2016年春季新版沪科版八年级数学下学期18.2、勾股定理的逆定理课件1

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勾股逆定理及其应用
一、复习回顾
1、前面我们进一步学习了直角三角形的性质
在直角三角形中
角：有一个角是直角，两锐角互余 边：两直角边的平方和等于斜边的平方
如何判定一个三角形是直角三角形
B
D
C
5、如图，两个村子A,B在一条河的同侧，A,B两村 到河岸的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,CD=3千米, 现要在河岸CD上建一水厂,向A,B两村送自来水. 铺设水管的工程费用为每千米20000元, 请你在CD上选择水厂的位置,使铺设水管的费用最省, 并求出铺设水管的费用W.
B
A
C
D
3、如图所示，南北向PQ为我国邻海线，PQ以东为
B
A
2、
园丁住宅小区有一块草坪如图所示.
已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且 AB BC , 则这块草坪的面积是多少平方米?
D A
B
C
4、如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AB=6, BC=8,将 ABC折叠,使AB落在斜边AC上,折痕为AD,
则BD的长为多少?
A
B'
现想把它们摆成两个直角三角形，下图中正确的是（ ）
25 7
20
24
15
A
25
20
24
15 7
B
7 24
25 20 7
15
C

谢谢
勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的 三个正整数，称为勾股数.
例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a＝ n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)， 求证： △ABC为直角三角形.
证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2 ＝n4－2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2＝c2，
A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.等边三角形
3. 除3, 4, 5外，再写出3组勾股数.
课堂小结：
1.勾股定理的逆定理的功能是 什么？
2.截止到目前为止，你有哪些 方法判定直角三角形？
3.若一个题目告知你一个直角 三角形的两边长，接下来你
会用什么？干什么？ 4.若一个题目告知你一个三角 形的三边长，你会想到哪些？
解：(1) ∵最大边是c＝25，c2＝625， a2+b2＝72+242＝625， ∴a2+b2＝c2，
∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对角是直角.
解：(2) ∵最大边是a＝11，a2＝121， b2+c2＝72+82＝113， ∴ b2+c2≠a2
∴ △ABC不是直角三角形.
像上面的7、24、25这三个数，我们称之为勾股数.
18.2 勾股定理的逆定理
1. 直角三角形有哪些性质?
（1）有一个角是90°; （2）两个锐角的和是90° ； （3）两直角边的平方和等于斜边的平方； （4）30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
有一个内角是90°,那么这个三角形就为直角 三角形.
如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那 么这个三角形也是直角三角形.

活动3：验证 勾股定理的逆命题
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b
A
A′
在△ ABC和△ A’B’C’中
a ca
BC=a=B’C’
C b B C′ b B′
证明： ∵ ∠ C’=900
定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理；
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
倍
速
课
时 学
驶向胜利 的彼岸
练
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.
倍 速
我们发现这个定
课
理可以用来判定
时 学
一个三角形是直
19.2 勾股定理的逆定理
活动1：复习巩固
1.直角三角形有哪些性质?
2.如何判断三角形是直角三角形?
倍 速 课 时 学 练
探索新知
倍 速 课 时 学 练
•动手试一试：
用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形。
倍
速
课
时 学
A’
A
倍
速
c
课
b
时
学
练
B
a
C
b
B’ a
C’
活动5：练一练
1. 三角形三边长a、b、c满足条件
(a b)2 c2 2ab, 则此三角形是( B

形？如果是那么哪一个角是直角？ • 单击此处编辑母版文本样式
(1•) 第a=二25级 b=20 c=15;
• 第三级
(2) a=13• 第b四=级14 c=15;
• 第五级
(3) a=1 b=2 c= 3 ;
(4) a:b: c=3:4:5;
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直
角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最
(3•) 第a=二1级b=2 c= 3 ;
解：（• 3第）三因级为 12+（ 3）2 =4=22，根据勾股定理的逆定理， • 第四级 这个三角形• 第是五直级角三角形，∠B 是直角.
(4) a:b: c=3:4:5;
解：（4）设a=3k,b=4k,c=5k,因为
（3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
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第18章 勾股定理
• 单击此处编辑母版文本样式
18.2 • 第二级 • 第三级
勾股定理的逆定理
• 第四级
• 第五级
第1课时 勾股定理的逆定理
问题 引入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
2019/8/20
1
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问题引入
• 单1击. 直此角处三编角形辑有母哪版些文性本质样？式
• 第二级
• 第•三∠第级四C级是直角
A
• 第五级
？
△ABC是直角三角形
c
b
构造两直角边 分别为a,b的 Rt△A′B′C′
B aC
2019/8/2△0 ABC≌ △ △A′B′C′
9
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已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．A 求证：△ABC是直角三角形．

A.钝角三角形; C. 直角三角形;
B. 锐角三角形; D. 等腰三角形.
7、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm ，你能计算出这个三角形的面积吗？
课堂小结：
1.勾股定理的逆定理的功能是 什么？
2.截止到目前为止，你有哪些 方法判定直角三角形？
3.若一个题目告诉你一个直角 三角形的两边长，接下来你
4.一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件 中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个 零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?
5. 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的 三角形是( )
18.2 勾股定理的逆定理
1. 直角三角形有哪些性质?
（1）两个锐角互余； （2）两直角边的平方和等于斜边的平方； （3）在含30°角的直角三角形中，30° 的角所对的直角边是斜边的一半。 2. 一个三角形，满足什么条件是直角三角形？
有一个内角是90°,那么这个三角形就为直角三角形。 如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这 个三角形也是直角三角形。
∴△ABC是直角三角形，最大边c所对的角是直角.
第（2）题由同学们仿照上面自己解答.
（P59页练习1）下面以a,b,c为边长的三角形是不 是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=2 b=3 c=4 (2) a=9 b=7 c=12
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a=25 b=20 c=15
3
5
这个问题意味着 :
4

解题反思：
找出CD是该船只进入我领海的最短路线，也就 是解题的关键所在.在解决航海的问题上，南北方向和 东西方向是互相垂直的，可知PQ⊥AC，又由△ABC 三边的数量关系可判定△ABC是直角三角形，于是本 题便构造直角三角形，应用勾股定理及其逆定理.
课堂小结 运用勾股定理的逆定理解决问题有哪些收获？
么这个三角形是直角三角形.
2.三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上
的高为( B )
A.17
B.15
C.8
D.120
17
3.在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，则_∠__B__
=90°.
合作探究 活动：探究勾股定理的逆定理的应用
引例 判断以线段a,b,c为边组成的三角形是否是直 角三角形，其中a= 6,b=1,c= 5 . 小明的解法是：
例1 已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB
＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面
积。
提示
连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的
逆定理判断△ACD是直角三角形. C
4
12
B
3
D
A
13
解:
C 4 B 3 A
连接AC.
在 Rt△ABC 中， AC2= AB2+BC2= 32+42 =5 在△ACD 中， AC2+CD2=52+122=169，AD2=169， 所以△ACD 是直角三角形， 且∠ACD=90°。 所以四边形 ABCD 的面积 =SRt△ABC+S Rt△ACD=6+30=36.
（1）（1（3）12） （2） （11）

18.2 勾股定理的逆定理 X
25 16
9
勾股定理：
直角三角形两条直角边的平方和，等 于斜边的平方。
小试牛刀： 抢答：一直角三角形两边长分别为6和8， 那么第三边长为多少？
古埃及人的探究：
用13个等距的结,把一根绳子 分成等长的12段,然后以3个结， 4个结，5个结的长度为边长， 用木桩钉成一个三角形。
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形
ABCD的面积?
S C
四边形ABCD=36
B D
A
谈谈 收获
作业: 习题第2,3题。
善于思考领 悟，认真巩 固练习，才 能搞好学习。
搞好 学习
学会做人、 做事
才会使自己 更加强大
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的， 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。

今天又要学习勾股定理及其逆定理
驶向胜利 的彼岸
合作探究 勾股定理的逆定理的证明
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b
且a2+b2=c2
A
A'
求证:△ ABC是直角三角形
c b
b
Ba
C B'
a
C'
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=900,B’C’=a, C’A’=b
A
A'
∵ 边长取正值
400
A
B
D 1000
C
6. 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） 则△ABC是直角三角形吗？
解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）
∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4 =(m2+n2)2
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,
那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 两直线平行,同位角相等;与同位角相等,两直线平行. 我们已经学习过哪些互逆的定理？ 起立回答
如果三角形的三边分别 为3，4，5，这些数满足 关系：32+42=52，围成的 三角形是直角三角形．

∴AB2=52=25
∴AB2=BC2+AC2
∴△ABC为直角三角形
B
D
A
例3、如图，是一块四边形绿地示意图， AB长24米，BC长
20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90°
求：绿地ABCD的面积
D
7
解：连结BD
A
∵BC=20，CD=15，∠ C=90°
24
∴BD²=CD²+CB²=15²+20²=625（勾
BC=13，求∠ADC的度数．
提示：连结BD
D
C
∠ADC=150°著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：
“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为
田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，
13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，
常见勾股数：
3，4，5；
6，8，10
5，12，13
10，24，26
7，24，25
8，15，17
一组勾股数，都扩大相同
倍数k(k为正整数)，得到
一组新数，这组数同样是
勾股数.
9，40，41
新知讲授
已知m，n是任意给定的正整数（m＞n），
求证：m2+n2，2mn，m2-n2为勾股数
证：
毕达哥拉斯数
∵（m2-n2）²+（2mn）²
，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。
提示：
B
连结AC
12
C
由勾股定理得： AC=5
由勾股定理逆定理得： ∠ACB=90°
D
13

解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0), ∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2, ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
归纳 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先 设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定 理判断其是否是直角三角.如果三角形的三边比中有两 个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
( B)
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到
的三角形
(A)
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
相传，我国古代 的大禹在治水时 也用了类似的方 法确定直角.
大禹治水
讲授新课
一 勾股定理的逆定理 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量 一量，它们都是直角三角形吗？ 是
90
二 勾股数 概念学习
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25； 8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到
(2)∵132+142=365，152=225，