八年级数学上册探索勾股定理(2)导学案学案

1.1、探索勾股定理导学案(2)主备教师：张凡课时： 一课时授课时间：2013年8月29日授课班级：八年级1.2班授课类型: 新授课学习目标：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.学习重点 ：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.学习难点：验证勾股定理.二、知识回顾：（1）勾股定理的内容是（2）直角三角形两边长为3和4，求第三边长（3）、求出x 的值三、探索活动：验证勾股定理拼图验证. 准备的四个全等的直角三角形拼出正方形.思考1： 你能由图1表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？3、请利用图3验证勾股定理图3x 1517图1 图2 a a b bc c4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？四、 交流展示1、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b =2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？五、达标检测1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .2．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .3．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30 cm 2 B ．130 cm 2 C ．120 cm 2 D ．60 cm 24．轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.5．一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？6．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.六、课后反思E CF B D A。

第一章勾股定理1. 探索勾股定理（第2课时）一、学生起点分析上节课已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点与难点.三、教学过程第一环节：问题引入内容：教师提出问题：上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问勾股定理的内容是什么？如何验证勾股定理呢？第二环节：探索新知活动1：[师] 下面我们利用拼图的方法来验证勾股定理：1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看？3、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2呢？拼法1:大正方形的面积可以表示为___________；也可以表示为________________.∵ c 2= 4•ab/2 +(b -a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2∴a 2+b 2=c 2拼法2:大正方形的面积可以表示为___________； 也可以表示为________________.∵ c 2= 4•ab/2 +(b -a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2∴a2+b2=c2活动2：拓展提升[师] 你还能拼出什么图形呢？你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理.第三环节延伸拓展，能力提升1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c22.一个直角三角形的斜边为30cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。

探索勾股定理（2）教案讲授新课 二、提炼概念勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.符号语言： 在△ABC 中， ∵a 2+b 2=c 2（已知） ∴△ABC 是Rt △,且∠C=Rt ∠三、典例精讲例3 根据下列条件，分别判断以a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25 （2）a ＝23 ，b ＝1，c ＝23解：（1）∵7²+24²=25²，∴以7,24,25为边的三角形是直角三角形。

（2）∵（23）²+ （23）²= 89≠1²也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，∴a,b,c 中任何两边的平方和都不等于第三边的平方∴以23，1，23为边的三角形不是直角三角形，例4.已知△ABC 三条边长分别为a,b,c,且a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2(m>n ，m,n 是正整数)。

△ABC 是直角三角形吗？请证明你的判断。

判断三条线段能否组成直角三角形的方法是：(1)找出最长边；(2)计算较小两边的平方和以及最长边的平方；(3)比较较小两边的平方和是否等于最长边的平方，若相等，则能组成直角三角形，若不相等，则不能组成直角三角形．∵能构成直角三角形．(3)∵a2＋b2＝72＋242＝625，c2＝252＝625，∵a2＋b2＝c2，∵能构成直角三角形．3.在△ABC中，CD是边AB上的高线，BC＝2，CD ＝3，AC＝23，请判断△ABC的形状．解：∵CD是边AB上的高，在Rt△CDB中，BD＝BC2－CD2＝1，在Rt△ACD中，AD＝AC2－CD2＝3，∴AB＝BD＋AD＝4，∵AC2＝(23)2＝12，BC2＝22＝4，AB2＝42＝16，又∵12＋4＝16，即AC2＋BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形．课堂小结。

勾股定理【学习目标】1．介绍勾股定理 、通过分割法让学生验证勾股定理; 2．能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单的问题。

3 探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力 【重点难点】重点：勾股定理的内容难点：应用勾股定理解决简单的问题一、【学前预习反馈】观察右图，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积＝________________平方厘米； 正方形Q 的面积＝________________平方厘米 正方形R 的面积＝_________ ____平方厘米我们发现，正方形P 、Q 、R 的面积之间的关系是____________________________； AB 、A 、B 的关系是二、【新知探求】日期 教师评价 家长签名1．观察图形，我们以直角三角形AB三边为边向形外作三个正方形．若将图形①②③④⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？2拼图活动引发我们的灵感，运算推演证实我们的猜想．为了计算面积方便，我们可将这幅图形放在方格纸中．如果每一个小方格的边长记作“1”，请你求出此时三个正方形的面积。

．你是如何得到的？如何求S R？3．仿照以上方法计算直角边为5和3的直角三角形中以斜边为边的正方形面积．4．我们这节课是探索直角三角形三边数量关系．至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？2、典型例题例1求下列直角三角形中未知边的长：8例2如图所示，求表示边的未知数、y、z的值例3．算一算：如图，一块长约80米、宽约60米的长方形草坪，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜“路”，类似的现象也时有发生．请问同学们：（1）走斜“路”的客观原因是什么？为什么？（2）斜“路”比正路近多少？三、【课堂检测】1在Rt△AB中，∠-90°（1）如果B=9A=12那么AB=（2）如果B=8AB=10那么A=（3）如果A=20B=15那么AB=（4）如果AB=13A=12那么B=2在⊿AB中，∠A B=900，AB=5cB=3cD⊥AB与D求：（1）A的长；（2）⊿AB的面积；（3）D的长。

第1节探索勾股定理【学习目标】1、会用勾股定理进行简单的计算。

2、树立数形结合的思想、分类讨论思想。

3、培养思维意识，发展数学理念，理会勾股定理的应用价值。

【学习方法】引导——探究——应用.【学习重难点】重点：勾股定理的简单计算。

难点：勾股定理的灵活运用。

【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的．即：2、勾股定理有以下应用：（1）已知直角三角形的两边，求；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的。

3、应用勾股定理时该注意些什么? 。

二、自主学习1、观察下面图形：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？S解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？解：（3）你还能利用图2验证勾股定理吗？解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2S实践练习：利用右图验证勾股定理：解：正方形的面积的第一种表示方法：=1S正方形的面积的第二种表示方法：=2S 因为：1S 2S2、 一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？解：模块二 合作探究1、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km 的B 处有一可疑船只正在向东方向8km 的C 处行驶.我边防海警即刻派船前往C 处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h ，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C 处将可疑船只截住？模块三小结评价一、本课知识：1、勾股定理的验证方法：利用图形面积相等（用不同方法表示同一图形面积）。

2、将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理解决．模块四形成提升1、锐角△ABC中，A B＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为。

2、如图，一棵大树在离地面9米处断裂，树顶部落在离树底12米处，则树断裂之前的高度为( )A．9米B．15米C．24米D．无法确定3、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度.【拓展延伸】一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8千米，接着它又掉头向正东方向航行15千米．（1）此时轮船离出点多少千米？（2）若轮船每航行1千米需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升？组长评价：你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒 ( B)一般 (C) 没发挥出来 (D)还需努力.家长签名：。

1.1.2探索勾股定理(2)执笔：黄海林 审核:初 二备课组 课型：新授 授课时间： 第 （1） 周【学习目标】1、 经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。

2、 掌握勾股定理和他的简单应用【学习重点】能熟练运用拼图的方法证明勾股定理。

【学习难点】用面积法证勾股定理。

一、预习导学：1、补充完全平方公式：（a+b ）2 =2、如图，在Rt ABC 中,∠B=900，a 、b 、c 的关系为：面积表示为二、探究活动：验证勾股定理在右图中，四边形APQC ，四边形CDEF ，四边形BCMN ，四边形ABGH 为正方形， ABC BGF 、 GHE 、 HAD 为全等的直角三角形，三边分别为a 、b 、c ，则正方形CDEF 的边长用a 、b 表示为：面积用a 、b 表示为还可用a 、b 、c 表示为：由此可得等式：从而推导出： 定理的关系式为：拼图验证. 准备的四个全等的直角三角形拼出正方形.思考1： 你能由图1表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？ 3、请利用图3验证勾股定理图2 a a b b c c 图1 图3三、课堂检测：一、判断题.1.★∆ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )2.★∆ ABC的两边a=6,b=8,则第三边c=10 ( )二、填空题1.★在∆ ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.2.★在∆ ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则∆ABC面积为_____,斜边为上的高为______.三、选择题1、★放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离（）A、600米；B、800米；C、1000米；D、不能确定2、★★直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是（）A、6厘米；B、 8厘米；C、 80/13厘米；D、 60/13厘米；3、用四个边长均为a、b、c的直角三角板，拼成如图中所示的图形，则下列结论中正确的是（）A．c2=a2+b2 B．c2=a2+2ab+b2C．c2=a2-2ab+b2 D．c2=（a+b）2．4、下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．5、我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．16、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为____ __，该定理的结论其数学表达式是____ __．C B A 四：归纳总结：验证勾股定理用的是什么方法？五、课外作业：1.★如图，是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？2.★如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？3.★一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为4、 ★直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是5.★直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为6.★以直角三角形的两直角边为边长向外作正方形，所作的正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为120km 50km 40km 30km QP N O ME D B C AF E D C BA 7.★★如图，是一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长8、如图1-4，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？9★★★如图7，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长。

2.7.2 探索勾股定理【学习目标】1、通过合作学习活动探索并掌握勾股定理的逆定理2、通过两个例题的学习掌握能用上述定理判定一个三角形是否为直角三角形3、了解勾股定理互逆定理的关系与意义【重点】勾股定理逆定理【难点】例题4中的字母表示比较抽象且计算量大是难点【学习过程】一、自主复习填空——相信自己一定行的！（时间分钟）1、回顾勾股定理：逆命题为。

2、已知直角三角形中，a、b是直角边，c是斜边.（1）a=2，b=3，求c. （2）c=41，b=40，求a.二、小组合作——相信团队力量是巨大的！（时间分钟）1、画一个三角形,使其三条边长分别是3cm、4cm和5cm.2、算一算两条短边的平方和与最长边的平方有什么关系？3、用量角器量出三角形最大角的度数，并判断其形状4、猜想发现：如果三角形中较短两边的平方和等于最长边的，那么这个三角形是，最长边为边，它所对的角是。

这就是勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理的几何表达：∵c是最长边，且a2+b2=c2∴以a、b、c为边的三角形是。

三、例题疑析——相信你我互动是有效的！（时间分钟）例1、根据下列条件，分别判断以a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形。

（1）a=6,b=8,c=10; （2） a=31,b=1,c=32 模仿（1）跟进练习：根据下列条件，分别判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形（1） a=5，b=7，c=8； （2）b=2，c=1；例2、已知△ABC 三条边长分别为a,b,c,且a ＝m 2－n 2，b ＝2mn ，c ＝m 2＋n 2(m>n ，m,n 是正整数)。

△ABC 是直角三角形吗？请说明理由.四、小结五、当堂练习——展现最棒的自已！（ 时间 分钟）1．下列各组数据中，能构成直角三角形的有（ ）组①32，2，3 ②7，24，25 ③6，8，10 ④5，12，13 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．已知三角形的三边长之比为1：1，则此三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3．当直角三角形三边都扩大一倍，则新得到的三角形为（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能4．下列结论：①在△ABC中，∠C=∠A一∠B，则△ABC为直角三角形；②在△ABC中，∠A：∠B：∠C=5 ：2：3，则△ABC为直角三角形；③在△ABC中，若a= 35c，b=45c，则△ABC为直角三角形；④在△ABC中，若a：b：c=1：1：2，则△ABC为直角三角形，其中正确的有____________．(填序号)5．如图所示，已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且AB⊥BC• 求四边形ABCD的面积．六、课后巩固练习：（作业本）——收获属于自己的精彩！C组完成T1-4B组完成T1-5A组完成T1-6 D。

弦股勾1.1《探索勾股定理》（1）导学案主备：外国语学校【学习目标】在方格纸上计算面积的方法探索勾股定理，掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【重点】掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

【难点】探索勾股定理。

【新课学习和探究】1、导入新课：P 22、探索发现图1图2观察图形完成下列问题： 如果正方形 A 边长为，则其面积为______；正方形 B 边长为b , 则其面积为________；正方形 C 边长为c ,则其面积为_______；你能发现正方形A 、B 、C 围住的直角三角形的两直角边长a 、b ，斜边c 之间有怎样的关系。

（小组讨论） 结论：_____________________3、画一画：在草稿纸上，以cm 3、cm 4为直角边画一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面的结论对这个三角形还成立吗？4、归纳：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

222a b c +=或 222AC BC AB +=注：① 作用：知道直角三角形的任意两边可以求出第三边。

②我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾．， 较长的直角边称为股．，斜边称为弦．．【巩固练习】1、【新课学习和探究】中“导入新课”中的答案为_______米。

2、正方形A 的面积为______，正方形B 的面积为______。

【例题精讲】如图，强台风使得一根旗杆在离地面9m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处．旗杆折断之前有多高？【巩固练习】求出下列直角三角形中未知边的长度。

（要求写出简单过程）（１） （２）【课堂小结】本节课有哪些收获？ 【课后作业】1、在△ABC 中，∠C ＝90°，（l ）若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝ ； （2）若c ＝15，a ＝9，则b ＝ .2、直角三角形的斜边长为17cm ，一条直角边长为15cm ，则直角三角形的面积为_________cm 23、如图，求等腰△ABC 的面积。

第1课时 探索勾股定理（1）一、三角形的边角关系： 边： 角： 引例：二、探索直角三角形三边的特殊关系：（1）画一个直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； （2）猜想：直角三角形的三边满足什么关系?勾股定理：三、利用拼图验证勾股定理：用四个全等的直角三角形拼出图1，并思考：1．拼成的图1中有_______个正方形，___个直角三角形。

2．图中大正方形的边长为_______，小正方形的边长为_______。

3．你能请用两种不同方法表示图1中大正方形的面积，列出一个等式，验证勾股定理吗？四、典型例题例1、求出下列各图中x 的值。

x 1517例2、如图所示，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。

旗杆折断之前有多高？例3、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了25秒，飞机距离女孩头顶5000米处，则飞机的飞行速度是多少？例4、求下图中字母所代表的正方形的面积。

= ；（3）若BC ∶AC =3∶4，AB =10，则BC = ，AC = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木棒的长为 .CB A3．若直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，则斜边上的高为 。

4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.5．一个直角三角形的两直角边长为3cm 、4cm ，斜边长为 a cm ，则以斜边为半径的圆的面积是 。

6．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则其面积为 ．第2课时 探索勾股定理（2）一、典型例题例1、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE重合，求CD 的长例2、如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面15米，要使梯子顶端离地24米，则梯子的底部在水平方向上应滑动多少米？例3、某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4EDBCA米、宽3米的卡车能否顺利通过该隧道？例4、 如图，铁路上A 、B 两站相距25㎞，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A,CB ⊥AB 于B,已知DA=15㎞，CB=10㎞.现在要在铁路上建一个收购站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站多少㎞处？例5、在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只猴子只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的路程相等，问这棵树有多高？ 例6、以Rt △ABC 三边为直径作半圆，这三个半圆的面积S 1、S 2、S 3之间有什么关系？说明理由。