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第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

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6无限脉冲响应数字滤波器的设计

6无限脉冲响应数字滤波器的设计
解：(1) 设计模拟滤波器的指标为
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N

数字信号处理第六章--无限脉冲响应数字滤波器的设计PPT课件

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（3）按频率特性确定增益常数 。
.
16
3、巴特沃斯低通滤波器设计方法 (1)、幅度平方函数
|H (j )|21(j 1 /j c)2N N1 ,2 , ,
当 =0 时，|H( j)|2 =1
当 c 时，|H( j)|2 =0.5,取3dB值
当 速度 愈 快c 时，，过随渡带 愈加窄大，幅度迅速.下降，
由上面两式可得：
1(p c
)2N
10ap /10
同理
1(s )2N 10as /10 c
上两式得：
(p )N s
10ap /10 1 10as /10 1
（1） （2）
令
sp s /p,ksp
10ap/10 1 10as/10 1
.
则
N lg ksp lg sp 25
c 的确定:
由(1)式
.
18
求极点：
1( s )2N 0 jC
( s )2N 1 jC
1
j (1 2 k 1 )
∴ sk 12 Nj C C e 2 2 N
k=0,1,2,…,2N-1
2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上,间隔为 N
设N=3，极点间隔为π/3
.
19
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平 面的N个极点构成Ha(s)
.
23
举例：求出三阶巴特沃斯低通滤波器的传输函数Ha (s)
设 c 2ra/ds
N3
查表得
Ha(p)12p12p2p3
将
p s c
代入上式得
1 Ha(s)12( sc)2( sc)2( sc)3
8
88s4s2 s3
下面介绍如何确定阶数N

第六章 无限冲击响应数字滤波器设计

第六章 无限冲击响应数字滤波器设计
k =0
分子分母同除Ω , 得 Ha (s) = ：
N c
1 s − sk ) ∏(Ωc Ωc k =0
N −1
因为
令λ = ΩΩc 称为归一化频率；p = jλ 称为归一化复变量
归一化巴特沃斯的传输函数为
Ha ( p) = 1
s = jΩ Ωc Ωc
∏( p − p )
k =0 k
N −1
Ha ( p) =
sk = (−1)
( jΩc ) = Ωce
1 2k −1 jπ [ + ] 2 2N
, k =1 ⋯,2N ,2
jΩ
例如，N=3时， 例如， 时
s0 =Ωce
s3 =Ωce
j 2π 3
s0
s5
s1 = −Ωc s2 =Ωce
− j 2π 3
s1
s2
s4
s3
− j 1π 3
s4 = Ωc
s5 =Ωce
Ha ( jΩ)
2
由于一般滤波器的单位冲响应为实数， 由于一般滤波器的单位冲响应为实数，其传递函数是对称 的，有：
* Ha ( jΩ) = Ha (s)Ha (−s) s= jΩ = Ha ( jΩ)Ha ( jΩ) 2
确定 Ha ( jΩ) 极、零点，并将左半S平面极点分配给 Ha (s) ， 零点，并将左半 平面极点分配给 此系统是因果稳定的。 得到滤波器的传递函数 Ha (s) ，此系统是因果稳定的。
Ha ( jΩ)
1
1 2
Ωc
巴特沃斯幅度特性和N的关系 巴特沃斯幅度特性和 的关系
Ω
3、巴特沃斯滤波器的极、零点分布 、巴特沃斯滤波器的极、 由于 H (s)H (−s) = a a 在

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

二、巴特沃斯低通滤波器的设计
由图可知：
（ 1）幅度 的 特单 性减 是函 的数 增， 大随 而 当c(通带)时 内H ， a(j)具有最大平坦 幅度特N 性 越， 大，越平坦。 当c时， Ha(j)随的增大而迅速衰减， N越大，衰减越快， 带过 越渡 陡。
当 s(阻带截)时 止的 频衰 率减 （ s 称 阻为 带
最小衰减）。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
（ 2 ） 当 0时 H a， (j )1
即在 0(直流分 )处量无衰减；
（ 3 ） 当 c 时 H a (j ， )2 1 2 ,H a (j ) 1 2 0 .70 即 A ( ) 3 d， B 在 c(截止 )处频 3 衰 d； B 率
Ha(s):系统函数
Ha(s) ha(t)estdt
设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(jΩ)| 给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数 Ha(s)
1、四个技术指标
工程实际中通常用损耗函数（衰减函数） A(Ω)来描述滤波器的幅频响应特性
A () 2 0 lg H a (j) 1 0 lg H a (j)2d B
巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通 带内最大平坦的振幅特性,且随Ω的增大，幅频 特性随Ω单调下降。
1、原理
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
Ha (
j) 2

1
1

c
2N
式中N为正整数，代表的 滤阶 波,次 器
c称为 3dB截止频率。
二、巴特沃斯低通滤波器的设计
巴特沃斯低通滤波器幅度特性与N之间的关系
二、 数字滤波器的技术指标
p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小；

IIR数字滤波器的设计方法

IIR数字滤波器的设计方法
6.2 IIR滤波器设计的特点
将IIR滤波器的系统函数用极、零点表示：
M
M
bk zk
(1 ck z1)
H(z)
k 0 N

A
k 1 N
1 ak zk
(1 dk z1)
k 1
k 1
M≤N
对系统函数的设计就是确定各系数ak, bk或零极点ck，dk和A， 使滤波器满足给定的性能要求
14
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法 6.3.2 巴特沃思低通逼近 （最平幅度逼近）
巴特沃思低通滤波器在通带内有最大平坦的幅度特 性，因而又称为最平幅度特性滤波器
巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义
|
H
a
(
j)
|2

1

(
1 / c
)2
N
式中，N为正整数，代表滤波器的阶数。Ωc为 3dB截止频率。当Ω=Ωc时，衰减为 3 dB
器• Ha(s)Ha(-s)的极点为
sk
1
(1)2N ( jc )
ej

1 2

22kN1
c
k=1, 2, …, 2N
• Ha(s)Ha(-s)的2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆（巴特沃 思圆）上，极点间的角度间隔为π/N rad
16
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
|Ha(jΩ)|2单调减小，N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄
15
第12讲 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
巴特沃思滤波器的极(零)点分布 (公式法求解低通Ha(s))
|
H

数字信号处理 第6章

数字信号处理 第6章

H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e

【第6章】无限脉冲响应数字滤波器的设计解读


1 2 k 1 j ( ) 2 2N
式中k=0,1,2,…,(2N-1)
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
2N 个极点均匀分布在半径为 Wc 的圆上，间隔是
2/2N= /N .
为了形成稳定的滤波器，2N个极点中只取 s平面
左半面的N个极点构成Ha(s).
若W=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1，则
a p 10lg H a ( jW p ) ; a s 10lg H a ( jW s )
Wc称为3dB截止频率，且
2
2
2 20 lg H a ( jW c ) 3dB
低通滤波器的幅度特性
贵州大学计算机科学与信息学院
当幅度下降至 0.707 时， w=wc ，
3dB截止频率.
ap=3dB. 称 wc 为
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
3.数字滤波器设计方法
IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法不同.
IIR 滤波器设计方法是借助于模拟滤波器的设计
方法进行的.
IIR 滤波器的设计步骤是：首先设计模拟滤波器
《 数 字 信 号 处 理 》
第六章 IIR数字滤波器的设计
贵州大学计算机科学与信息学院
《 数 字 信 号 处 理 》
主要内容


数字滤波器的基本概念 模拟滤波器的设计 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 数字高通、带通、带阻滤波器的设计
贵州大学计算机科学与信息学院
得到传输函数 Ha(s) ，然后将 Ha(s) 按某种方法转 换成数字滤波器的系统函数H(z).

第6章无限脉冲响应滤波器的设计

想一想阶数N与幅频特性下降坡度的关系？
Ha(
j)
2
1(
1
)2N
c
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
为了求出幅度平方函数，将|Ha(jΩ)|2写成s的函数：
Ha(s)Ha(s) 1(
1 s
)2N
此幅度平方函数有2N个极j点c ，极点
1
j(12k 1)
sk( 1)2N(j c) ce 2 2N
它们均匀的分布在半径为Ωc的圆上，间隔是π/N弧度。
3c
j2
j2
(sce 3 )(sc)(sce 3 )
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，
将所有的频率归一化。这里采用对3dB截止频率Ωc归
一化，归一化后的Ha(s)表示为
Ha(s)
N 1
(
1 s
sk
)
k0 c c
(6.2.10)
式中，s/Ωc=jΩ/Ωc。
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
第六章 无限脉冲响应滤波器的设计
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB。请按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波 器。
H a (p ) p 5 3 .2
1 3 p 4 6 5 .213 p 3 6 5 .213 p 2 6 3 .213 p 1 6
系统函数的因式分解形式 1
H a (p ) (p 2 0 .6p 1 1 )8 p (2 1 .6p 1 1 )8 p ( 1 )
p 10 lg

六章节FIR数字滤波器设计

对称中心必须等于滤波器的延时常数 a (N 1) / 2
h(n) a (
N
hd (n)RN 1) / 2
(n)
2、吉布斯（Gibbs）效应
∵频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换 ∴矩形窗截取后滤波器的频率响应为：
N 1
H (e j ) hd (n)e jn
n0
版权所有 违者必究
第六章第1讲
∵该式为有限项， ∴N越大，误差越 小。但对矩形窗截 取还存在“吉布斯 （Gibbs）效应”， 这将使滤波器的特 性很差。
下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程
设理想低通滤波器的频率响应 Hd (e j )为：
Hd
(e j
)
e 0
ja
c
c
其中c为滤波器的截止频率；a 为时延常数
∴单位脉冲响应为：
sin[ c (n a)]
hd
(n)
1
2
c e jae jnd
c
c
(n
a)
na na
为一 “ 以a 为对称中心的、偶对称的、无限长的、
显然：相位特性同样为一
严格的直线，但在零点处 有 的截距。
2
版权所有 违者必究
第六章第1讲
6
FIR数字滤波器的性质
结论： 无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，
等于 N 1个抽样间隔。
2
即群延时 () d() N 1
d
2
线性相位FIR滤波器的幅频特性
分四种情况讨论
情形h(1n)：偶h对(N称，1Nn取) 奇数
n0
N 1
N 1
h(n)z (N 1n) z (N 1) h(n)z n
n0
n0

第6章FIR数字滤波器的设计

16
表6-1a 四种线性相位FIR滤波器的特性 类型 h(n) h(n)=h(N-1-n) N为奇数 h(n)=h(N-1-n) N为偶数
H ( )
( )
1型
关于 0, ,2 偶对称
( )
2型
关于 0,2 偶对称 关于 奇对称
N 1 2
第一类线性相位
H()
1 H ( ) d ( n) sin ( n ) 2 n 1 o N N 其中：d ( n) 2h( n) n 1,2,3, , 2 2 由此看出：
N /2

2

1 （）由于sin ( n ) 在 0，处为0， 1 2 2 即H ( )在 0,2处为零。即H ( z )在z 1处有一零点。 H ( )对 0，处呈奇对称，对 呈偶对称。 2 （2 ）此类型不能用于设计 低通、带阻滤波器。
0
N 1 2


N 1 π
N/2 1 H () b(n) cos n 2 n1
N-1 n H() o
2
2型
情 况 2
b(n)
0
N 2
n
19
奇对称单位冲激响应
相位响应
h(n)=-h( N-1-n)
3型
情 况 3
7
H (e j ) sin 4e j 3 | sin 4 | e j ( )
1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1
0
0.5
1
0
0.5
1
0
1 0.5 0
-1
-2
-0.5 -1
-3
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第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计IIR 数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念1. 数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。

它们的系统函数分别为：(6.1.1) (6.1.2)图6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性110()1()()M r r r N kk k N n n b z H z a z H z h n z -=-=--==+=∑∑∑)(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH )(e j ωH 0低通0高通0带通0带阻ωωωωπ2-π2-π2-π2-π-π-π-π-πππππ2π2π2π22 数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。

假设数字滤波器的传输函数H(e j ω)用下式表示：通带内和阻带内允许的衰减一般用dB 数表示，通带内允许的最大衰减用αp 表示，阻带内允许的最小衰减用αs 表示，αp 和αs 分别定义为：(6.1.3)(6.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3)和(6.1.4)式则表示成：(6.1.5)(6.1.6)3. 数字滤波器设计方法概述IIR 滤波器和FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。

IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。

其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。

6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。

图6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性()()()j j j H e H e e ωωωΩ=00()20lg ()()20lg ()p s j p j j s j H e dB H e H e dB H e ωωαα==20lg ()20lg ()p s j p j s H e dB H e dB ωωαα=-=-1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有αp, Ωp,αs和Ωs。

其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω(=0~Ωp)中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。

对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2) 如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1,αp和αs表示为(6.2.3)(6.2.4) 以上技术指标用图6.2.2表示。

图中Ωc称为3dB截止频率，因图6.2.2 低通滤波器的幅度特性滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.5) 2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(jΩ)|2用下式表示：(6.2.6)222()10lg()()10lg()apa pasa sH jH jH jH jααΩ=ΩΩ=Ω2210lg()10lg()p a ps a sH jH jαα=-Ω=-Ω()20lg()3a c a cH j H j dBΩ=-Ω=2()()()()()a a s ja aH j H s G sH j H j=Ω*Ω=-=ΩΩ221()1()aNcH jΩ=Ω+Ω图6.2.3 巴特沃斯幅度特性和N 的关系将幅度平方函数|Ha(j Ω)|2写成s 的函数：(6.2.7)此式表明幅度平方函数有2N 个极点，极点sk 用下式表示：(6.2.8)图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器，2N 个极点中只取s 平面左半平面的N 个极点构成Ha(s)，21()()1()a a N c H s H s s j -=+Ω1121()222(1)()k j N N k c c s j e π++=-Ω=Ω而右半平面的N 个极点构成Ha(s)。

Ha(s)的表示式为设N=3，极点有6个，它们分别为取s 平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：(6.2.9)由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。

这里采用对3dB 截止频率Ωc 归一化，归一化后的Ha(s)表示为(6.2.10)式中，s/Ωc=j Ω/Ωc 。

令λ=Ω/Ωc ，λ称为归一化频率；令p=j λ，p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.11)式中，pk 为归一化极点，用下式表示：(6.2.12)将极点表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到的Ha(p)的分母是p 的N 阶多项式，用下式表示： (6.2.14)将Ω=Ωs 代入(6.2.6)式中，再将|Ha(j Ωs)|2代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.15) 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：10()()N c a N k k H s s s -=Ω=-∏23012321334135j c c j c j c c j c s e s s e s e s s e ππππ--=Ω=-Ω=Ω=Ω=Ω=Ω32233()()()()a a j j c c c H s s s s ππ-Ω=+Ω-Ω-Ω101()()a N k k c c H s s s -==-ΩΩ∏101()()a N k k H p p p -==-∏121()22,0,1,,1k j N k p e k N π++==⋅⋅⋅-/10/10221()101()10p s a p N c a N s c Ω+=ΩΩ+=Ω令则N 由下式表示：(6.2.16)用上式求出的N 可能有小数部分，应取大于等于N 的最小整数。

关于3dB 截止频率Ωc ，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到：(6.2.17)由(6.2.15)式得到：(6.2.18) 总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标Ωp,αp,Ωs 和αs ，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数N 。

(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点pk ，将pk 代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数Ha(p)。

(3)将Ha(p)去归一化。

将p=s/Ωc 代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。

例 6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz ，通带最大衰减αp=2dB ，阻带截止频率fs=12kHz ，阻带最小衰减αs=30dB ，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。

解 (1) 确定阶数N 。

(2) 按照(6.2.12)式，其极点为按照(6.2.11)式，归一化传输函数为()p N s Ω=Ω/,sp s p sp k λ=ΩΩ=lg lg sp sp k N λ=-10.1210.12(101)(101)p s a N c p a N c s --Ω=Ω-Ω=Ω-0.02422 2.42lg 0.0242 4.25,5lg 2.4sp s sp p k f f N N πλπ=====-==3455016523754,,j j j j j s e s e s e s e s e πππππ=====401()()a k k H p p p ==-∏表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。

这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5，直接查表得到：极点：-0.3090±j0.9511,-0.8090±j0.5878;-1.0000式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB 截止频率Ωc 。

按照(6.2.17)式，得到：将Ωc 代入(6.2.18)式，得到：将p=s/Ωc 代入Ha(p)中得到：我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。

图6.2.5分别画出阶数N 为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性。

其幅度平方函数用A2(Ω)表示： (6.2.19)图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。

Ωp 称为通带截止频率。

令λ=Ω/Ωp ，称为对Ωp 的归一化频率。

CN(x)称为N 阶切比雪夫多项式，定义为5432432101()a H p p b p b p b p b p b =+++++10.1210.12(101)2 5.2755/(101)210.525/p s a N c p a N s c krad s krad s ππ--Ω=Ω-=Ω=Ω-= 554233245432()10c a c c c c c H s s b s b s b s b s b Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω22221()()1()a N p A H j C εΩ=Ω=Ω+Ωcos(arccos ),1()(),1N N x x C x ch N Archx x ≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩当N=0时，C0(x)=1；当N=1时，C1(x)=x ；当N=2时，C2(x)=2x 21；当N=3时，C3(x)=4x 33x 。

由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为C N+1(x)=2xC N (x)C N-1(x) (6.2.20)图6.2.6示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。

由图可见：(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；(2)当|x|<1时，|CN(x)|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹性；(3)当|x|>1时，CN(x)是双曲线函数，随x 单调上升。

图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即ε,Ωp 和N 有关。

其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ用下式表示：(6.2.21)2max 2min 2max min 2()10lg ()1()1,()1A A A δεΩ=ΩΩ=Ω=+因此(6.2.22)图6.2.7 切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A 2(Ω)曲线设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs 表示，在Ωs 处的A2(Ωs)用(6.2.19)式确定：(6.2.23) 令λs=Ωs/Ωp ，由λs>1，有可以解出(6.2.24)(6.2.25)3dB 截止频率用Ωc 表示，按照(6.2.19)式，有通常取λc>1，因此220.110lg(1)101δδεε=+=-2221()1()s s N P A C εΩ=Ω+Ω()[()]1N s s s s p C ch NArch N Arch N λλ===⎫⎪⎧Ω=Ω⎨⎬⎩⎪⎭22221()2()1,1()[()]c cN c c p N c c A C C ch NArch ελλλλεΩ=Ω==Ω=±=上式中仅取正号，得到3dB 截止频率计算公式：(6.2.26)以上Ωp,ε和N 确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Ωp 。