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高三数列知识点总结1. 数列的概念数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
数列中的每个数称为该数列的项，用a₁, a₂, a₃, … 表示。
2. 等差数列等差数列是一种数列，其中每个项与前一项之差都相等。
这个常数差称为公差，用d表示。
等差数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示第n项，a₁表示第一项，n表示项数。
常用的等差数列求和公式为：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示前n项和。
3. 等比数列等比数列是一种数列，其中每个项与前一项之比都相等。
这个常数比称为公比，用q表示。
等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示第n项，a₁表示第一项，n表示项数。
常用的等比数列求和公式为：当q ≠ 1时，Sₙ = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)当q = 1时，Sₙ = n * a₁4. 等差数列与等比数列的联系等差数列与等比数列都是常见的数学模型，它们在实际问题中有很广泛的应用。
等差数列和等比数列的联系在于它们都有递推公式和通项公式，并且都有相应的求和公式。
在求解实际问题时，我们可以根据问题的具体情况选择使用等差数列或等比数列来建立数学模型，从而简化问题的求解过程。
5. 斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其中每个项都是前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为：fₙ = fₙ₋₁ + fₙ₋₂其中，fₙ表示第n项，f₁ = 1, f₂ = 1。
斐波那契数列具有很多有趣的性质和应用，在自然界和艺术领域中都有广泛的出现。
6. 数列的应用数列作为一种常见的数学模型，在解决实际问题时有着广泛的应用。
数列在数学中的应用包括：•函数的展开式：将函数展开成无穷级数时，可以采用数列的形式来表示。
•物理问题的建模：通过建立合适的数学模型，将物理问题转化为求解数列的问题。
•统计学中的时间序列分析：将一组按照一定时间顺序排列的数据看作数列，通过数列的特点来分析数据的趋势和规律。
高考数列专题知识点数列是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要知识点。
在高考中，数列专题常常涉及到各种不同类型的数列，如等差数列、等比数列等。
掌握好数列的相关知识，对于解题能力的提升至关重要。
本文将介绍高考数列专题的相关知识点，帮助同学们更好地理解和应用数列。
一、等差数列等差数列是指一个数列中任意两个相邻的数之差都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，d为公差。
1. 公式推导对于等差数列，可以通过首项a1、公差d和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 + (n-1)d- 前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 22. 性质和特点等差数列有一些重要的性质和特点，包括：- 公差d与相邻两项之差相等- 中间项等于相邻两项的平均值- 前n项和是项数n和首末项之和的乘积的一半二、等比数列等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都相等的数列。
常用的表示方法是：{a1, a2, a3, ...}，其中a1为首项，q为公比。
1. 公式推导对于等比数列，可以通过首项a1、公比q和项数n来求解数列的任意项an的值。
常用的公式有：- 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)- 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)2. 性质和特点等比数列也有一些重要的性质和特点，包括：- 公比q与相邻两项的商相等- 中间项等于相邻两项的平方根- 前n项和无穷等于首项除以(1 - 公比)三、数列求和在高考中，常常需要求解数列的前n项和。
不同类型的数列有不同的求和公式，需要根据具体情况进行运用。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列，前n项和的求和公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项，n表示项数。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列，前n项和的求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
高考数列必懂的知识点总结数列作为高中数学中重要的一个章节，经常出现在高考试卷中。
掌握数列的相关知识点对考试成绩至关重要。
下面将针对高考数列的必懂知识点进行总结与归纳。
一、等差数列1. 等差数列的定义：数列中任意两个相邻的数之差相等，这个公差为常数，就是等差数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有aₙ = a₁ + (n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则有Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
4. 教材上常见的等差数列：斐波那契数列、等差数列的特殊形式等。
二、等比数列1. 等比数列的定义：数列中任意两个相邻的数之比相等，这个比值为常数，就是等比数列。
2. 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则有aₙ = a₁q^(n-1)。
3. 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则有Sₙ = a₁(q^n-1)/(q-1) （当q ≠ 1时）。
4. 教材上常见的等比数列：几何数列、等比数列的特殊形式等。
三、数列的性质与应用1. 数列的有界性：有界数列是指存在上界或下界（甚至同时存在上下界）的数列。
2. 数列的单调性：单调数列是指数列中的数单调递增或单调递减。
3. 数列的极限：数列的极限表示数列随着项数趋向于无穷时的极限值。
4. 数列的应用：数列可以用来解决各种实际问题，如计算质数、拓展数列的概念、运用数列解决函数极限等。
四、递推数列1. 递推数列的定义：数列的第n+1项与前面的n项有一定的关系。
2. 递推数列的通项公式：通过递推公式可以求得递推数列的任意项。
3. 递推数列的性质：递推数列具有独特的性质，如线性递推数列、非线性递推数列、齐次递推数列等。
5. 教材上常见的递推数列：斐波那契数列、阶乘数列等。
五、其它常见数列1. 二项式系数：二项式系数通常用来展开二项式的幂，是数学上常见的一种数列。
数列高三理科知识点归纳数列是高中数学中的重要内容，也是高三数学考试中常见的知识点。
理解和掌握数列的性质及相关概念对于高考数学的顺利解题至关重要。
本文将对高三数学中与数列相关的知识点进行归纳和概述。
一、数列的基本概念：数列是由一串按特定规律排列的数所组成的有序集合。
数列的一般形式为：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n个数，a1为首项，d 为公差。
二、等差数列：等差数列是最基本的数列之一，其特点是每一项与前一项之差都相等。
常见的等差数列有以下几个重要概念：1. 公差：等差数列中相邻两项之间的差值，用d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过该公式可以求得任意一项的值。
3. 求和公式：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，通过该公式可以求得前n项的和。
三、等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
常见的等比数列有以下几个重要概念：1. 公比：等比数列中相邻两项之比，用q表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，通过该公式可以求得任意一项的值。
3. 求和公式：等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，通过该公式可以求得前n项的和。
四、数列的性质：数列具有一些重要的性质和特点，这些性质对于解题和理解数列的本质起到了重要的作用。
1. 有界性：数列可以是有界的，即存在上界和下界，也可以是无界的。
2. 单调性：数列可以是递增的，即每一项都比前一项大，也可以是递减的，即每一项都比前一项小。
还可以是常数列，即每一项都相等。
3. 极限：数列可能有极限，即当项数趋近于无穷时，数列的值趋于一个确定的常数。
4. 递推关系：数列的每一项都可以通过前一项或前几项来确定。
五、常见数列：高三数学中常见的数列有以下几种：1. 等差数列：每一项与前一项之差相等。
2. 等比数列：每一项与前一项之比相等。
3. 斐波那契数列：每一项等于前两项之和。
高考数学中的数列知识点主要包括以下内容：
1. 数列的定义与性质：
-数列的概念：数列是按照一定规律排列的数的集合。
-项数与前n项和：第n项表示数列中的第n个数，前n项和表示数列前n项的和。
-通项公式与递推公式：通项公式是指可以通过给定的项数n来直接计算某一项的公式，递推公式则是通过前一项或前几项来计算下一项的公式。
2. 常见数列：
-等差数列：数列中的每个数都与其前一个数之差相等。
-等比数列：数列中的每个数都与其前一个数之比相等。
-斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和，即第三项开始满足an = an-1 + an-2。
3. 数列的性质和运算：
-数列的有界性：数列可以是有界的（上有界、下有界）、无界的或发散的。
-数列的单调性：数列可以是递增的、递减的或保持不变。
-数列的极限：数列可能有极限（有限或无穷）或不存在极限。
4. 数列的求和：
-等差数列的求和公式：利用等差数列的性质，可以得到等差数列前n项和的通用公式。
-等比数列的求和公式：利用等比数列的性质，可以得到等比数列前n项和的通用公式。
5. 数列的应用：
-常见问题的建模与解决：通过将实际问题转化为数列的形式，利用数列的性质和公式来解决问题。
以上是高考数学中与数列相关的主要知识点。
掌握这些知识点，能够帮助学生在解答数列相关题目时更加熟练和准确。
需要注意的是，除了理论知识，还需要进行大量的练习和实践，以提高对数列概念的理解和应用能力。
必修五数列知识点整理+例题+练习（学生版）一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .2．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
如1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( ) Ａ．)1(2--=n n a n B ．12-=n a n C ．2)1(+=n n a n D ．2)1(-=n n a n 2.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（ ）11(1)(21),(1)(21),(1)(21),(1)(21)n n n n n n n n A a n B a n C a n D a n ++=-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅+．．．．3.在数列 ,55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．134.数列{}n a 的通项公式为 n n a n 2832-=,则数列各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项5.已知数列{}n a 是递增数列，其通项公式为n n a n λ+=2,则实数λ的取值范围是 二、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系1．∑==++++=ni i n n a a a a a S 1321 2．⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n n n如：1.若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，则（ ）A ．12-=n a nB ．12+=n a nC ．12--=n a nD ．12+-=n a n2.已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，则n a ＝3．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=______。
高三数列知识点理科一、数列的定义和基本性质（200字）数列是由一列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
在高三数学中，数列是一个重要的知识点。
它有着丰富的应用领域，如物理学、经济学等。
数列的基本性质包括有界性、有序性和无穷性。
数列的有界性是指数列中的数有上界和下界。
例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，如果d>0，则数列的每一项都比前一项大，那么数列是有上界的；如果d<0，则数列的每一项都比前一项小，那么数列是有下界的。
数列的有序性是指数列中的数按照一定的顺序排列。
对于等差数列，如果d>0，则数列的每一项都比前一项大，按照从小到大的顺序排列；如果d<0，则数列的每一项都比前一项小，按照从大到小的顺序排列。
数列的无穷性是指数列中的数是无限多个。
例如，等差数列an = a1 + (n-1)d中的项数n可以取任意自然数，所以数列是无穷的。
二、常见数列及其性质（400字）1.等差数列：等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数的数列。
其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中，a1为首项，d为公差。
等差数列具有以下性质：(1) 第n项的值可表示为an = a1 + (n-1)d；(2) 第n项和前n项和的公式分别为Sn = n/2[2a1 + (n-1)d]和Sn = n/2(a1 + an)；(3) 前n项和与项数n成正比。
2.等比数列：等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数的数列。
其通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中，a1为首项，q为公比。
等比数列具有以下性质：(1) 第n项的值可表示为an = a1 * q^(n-1)；(2) 第n项和前n项和的公式分别为Sn = a1(q^n - 1)/(q - 1)和Sn = a1(q^n - 1)/(q - 1)；(3) 前n项和与项数n之间存在关系。
3.费波那契数列：费波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和的数列。
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
数列高三理科知识点数列在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到了很多的理论和应用。
在高三理科的数学学习中，数列的知识点也是必不可少的。
本文将围绕数列的定义、分类、性质和应用等方面展开论述，帮助高三理科学生巩固数列的相关知识。
一、数列的定义与分类数列是按照一定规律排列的一组数。
数列中的每一个数称为这个数列的项，通常用an表示第n项。
根据数列的规律不同，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差几何数列。
1. 等差数列：若数列中任意两项之差相等，则称这个数列为等差数列。
常用的表示方式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列：若数列中任意两项之比相等，则称这个数列为等比数列。
常用的表示方式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 等差几何数列：是指等差数列与等比数列的混合形式，即数列中任意两项之比等于常数d。
常用的表示方式为an=a1*b^(n-1)，其中a1为首项，b为比值，n为项数。
二、数列的性质与推导方法1. 数列的通项公式推导方法根据数列的定义和规律，可以通过找到数列中的特殊项或者利用递推关系式来确定数列的通项公式。
以等差数列为例，若已知数列的首项a1和公差d，则可以得到数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
同样地，可以通过类似的方法得到等比数列和等差几何数列的通项公式。
2. 数列的性质数列具有以下几个重要的性质：（1）有界性：数列可能是有界的，即存在一个上界和一个下界。
（2）单调性：数列可能是递增的，即后一项大于前一项；也可能是递减的，即后一项小于前一项。
（3）极限性：数列可能存在极限，即数列的值随着项数的增加趋于某个有限值或者无穷大。
三、数列的应用数列在实际生活中有着广泛的应用。
以下是数列在一些应用问题中的具体应用：1. 等差数列的应用：在日常生活中，等差数列常用于描述一些增长或者减少的规律。
例如，一辆车以匀速行驶，速度每秒增加2米，可以通过等差数列来描述车的位置与时间的关系。
高考数列知识点归纳数列在高考数学中是一个非常重要的知识点，它涉及到高等数学中的重要理论和应用。
掌握数列的相关概念和性质，对于考生来说是非常关键的。
本文将对高考数列知识点进行归纳总结，帮助考生更好地备考和应对考试。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是一列按照一定规律排列的数的集合，通常用{an}表示，其中an代表数列的第n个项。
2. 等差数列：如果一个数列中任意两个相邻项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列可以由首项a1和公差d来确定。
3. 等比数列：如果一个数列中任意两个相邻项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列可以由首项a1和公比r来确定。
二、数列的通项公式1. 等差数列的通项公式：对于等差数列{an}，其通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等比数列的通项公式：对于等比数列{an}，其通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
三、数列的基本性质1. 等差数列的性质：a) 前n项和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn为前n项和。
b) 通项和公式：Sn = (n/2)(a1 + a1 + (n-1)d) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)。
c) 项数公式：n = (an - a1)/d + 1。
d) 等差数列的和公式是高考中经常考察的一个知识点，考生应熟练掌握。
2. 等比数列的性质：a) 前n项和公式：Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn为前n项和。
b) 无穷项和公式：当0 < r < 1时，Sn趋近于a1/(1 - r)，即S =a1/(1 - r)。
c) 项数公式：n = loga(an/a1) / loga(r)。
四、数列的应用1. 判断数列的性质：考生在解决应用题时，常常需要判断数列是等差数列还是等比数列，需要根据题目中给出的条件来进行判断。
考点一：所有数列都有的关系：与n n S a ⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-)1()2(11n S n S S a n n n ★已知数列{}n a 的前n 项和1322-+=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式 ★已知数列{}n a 的前n 项和12+=n n S .则数列{}n a 的通项公式 考点二：等差数列的有关性质 （1）定义：)(1常数d a a n n =-+ （2）通项公式：d n a a n)1(1-+=＝d m n a m )(-+（3）前n 项和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=函数特征：形如n S =bn an+2的常数项为0的二次式★ 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =★ 若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式 ★★已知数列{}n a 是以2-为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若7S 是数列{}n S 中的唯一最大项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 （4）若q p n m +=+，那么qp n m a a a a +=+特殊地，若p nm 2=+，则p n m a a a 2=+★★设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于 ★★设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则95S S = . ★★在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项 的 和等于（ ） A ．8 B ．13 C ．16 D ．26 （5）等差中项：2A=a+b; 112-++=n n na a a★★等差数列{n a }前n 项和为n S ，已知1m a -+-+1m a 2m a =0，21m S -=38,则m=____ ★★已知{}n a 为等差数列，,99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于 （6）{}n a 等差数列,则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等差（7）等差数列中，求前n 项和最大(小)的方法：首项为正数的递减数列，求n S 最大，令0≥n a ，求出所有正数项 首项为负数的递增数列，求n S 最小，令0≤n a ，求出所有负数项★ ★已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是 考点三：等比数列的有关性质 （1）定义：)(1常数q a a nn =+★若数列{}n a 满足：111,2()n n a a a n N *+==∈，则5a = ；前8项的和8S = . （2）通项公式：11-=n nq a a ＝mn m qa -（3）前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠-=--==1qq -1 1)1(1q111q a a q q a na S n n n函数特征：形如A Aq S n n-=的关于n 的指数式★已知数列{}n a 的前n 项和5(n n S t t =+是实数），下列结论正确的是（ ）A ．t 为任意实数，{}n a 均是等比数列B ．当且仅当1t =-时，{}n a 是等比数列C ．当且仅当0t =时，{}n a 是等比数列D ．当且仅当5t =-时，{}n a 是等比数列 （4）若q p n m +=+，则q p n m a a a a =特殊地，若n m p+=2，则2pn m a a a =（5）等比中项：G 2= a b; 112+-=n n n a a a★★公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于 ( 6 )等比数列{}n a ,则k k k k k S S S S S 232,,-- 仍成等比数列 （q ≠－1或k 为奇数）★★★设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69SS = 考点四：求数列通项公式的四种常见类型（1）作差型★★已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，则{}n a 的通项公式 （2）叠乘叠加型★★已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，则数列{}n a 的通项公式 ★★★已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，则数列{}n a 的通项公式 （3）转换型（倒数转换或通过先求n S 再转换成n a ） ★★=+==+n n nn a a a a a ，写出数列的通项，已知数列满足：22111 （4）通过证明复合数列为等差等比数列，然后再转换 ★★★已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）求通项n a考点五：求数列前n 项和的四种常见类型 (1）分组求和特征：等比和等差的复合★数列通项n a n n +=2，求前n 项的和n S(2）倒序相加特征：数列的首尾相加是定值，项数不能判定奇偶，不能单纯的首尾相加 ★★函数)(x f 对任意的R x ∈都有21)1()(=-+x f x f （1）求)21(f 和)()1()1(N n n n f nf ∈-+的值 （2）化简：S=)1()1(...)2()1()0(f nn f n f n f f +-++++(3)裂项求和特征：分式呈现，且分母可以因式分解 ★★n b n =，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和(4）错位相减特征：等差数列乘（或除）等比数列 ★★★若数列{}n a 满足：11=a ，且nnn a a a +=+11 （1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和记为n S , 且n n b S -=2，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 的前n 项和n T ． 解：（1）由已知得n n n n a a a a =+++11∴1111=-+nn a a 则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1为等差数列， 且公差为1，11=a 所以na n 1=（2）n n b S -=2 11=∴bn n n n n n n b b b b S S b -=---=-=---111)2(2)2(21≥=∴-n b b n n则数列{}n b 是公比1,211==b q 的等比数列，所以1)21(-=n n b令1)21(-==n n n n n a b C ， 12)21()21(3)21(21-++⨯+⨯+=n n n T (1)n n n T )21()21(3)21(2)21(2132⨯++⨯+⨯+= …（2） （1）-（2）得：nn n n nn T 222)21()21()21(2112112+-=-++++=-1224-+-=n n nT考点六：数列不等式的证明如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++； ⑥2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-. 广东真题例1，（2012广东）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(Ⅰ) 求1a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<. 解：(Ⅰ)因为11221n n n S a ++=-+,当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+ 联立上述三个式子可得11a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知25a = 当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132n n n a a +=-,即11312222n n n na a ++=⋅+,即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭,又2121311222a a ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首项为113122a +=,公比为32的等比数列,所以133312222n nn na -⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以32n nn a =-. (Ⅲ) 当1n =时,11312a =<显然成立,当2n =时,121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时,32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+- 122111222n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1)n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21n a n n n n<=---所以12311111111111131(1)1(1)2234122n a a a a n n n ++++<+-+-++-=+-<- ., 例2，（2011•广东）设b ＞0，数列{a n }满足a 1=b ，a n =（n ≥2）．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ，a n ≤+1．解：（1）由题意知：，∴， 设，则设，则，当b=2时，，∴为首项是，公差是的等差数列．∴a n =2．当b ≠2时， 令，∴，∴，∴是等比数列．∴，又∵，∴，∴．综上可知：当b=2时，a n =2． 当b ≠2时，习题1，（2008•广东）设p ，q 为实数，α，β是方程x 2﹣px+q=0的两个实根，数列{x n }满足x 1=p ，x 2=p 2﹣q ，x n =px n ﹣1﹣qx n ﹣2（n=3，4，…）． （1）证明：α+β=p ，αβ=q ； （2）求数列{x n }的通项公式； （3）若p=1，，求{x n }的前n 项和S n ．2（2007•广东）已知函数f （x ）=x 2+x ﹣1，α，β是方程f （x ）=0的两个根（α＞β），f （x ）是f （x ）的导数，设a 1=1，（n=1，2，…）．（1）求α，β的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有a n ＞α； （3）记（n=1，2，…），求数列{b n }的前n 项和S n ．练习1，(2006 广东)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2na 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；(III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞存在且不等于零.2，（2004 广东）已知角,,αβγ成公比为2的等比数列（[0,2]απ∈），s i n ,s i n ,s i n αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值．3（2002 广东）设｛a n ｝为等差数列，｛b n ｝不等比数列，a 1= b 1=1，a 2＋a 4= b 3，b 2 b 4= a 3，分别求出｛a n ｝及｛b n ｝的前10项的和S 10及T 104，（2012 全国卷）函数f(x)=x 2-2x-3，定义数列{x n }如下：x 1=2，x n+1是过两点P （4,5）、Q n (x n ,f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标。
