辽宁省凌源市2017-2018学年高二11月月考数学(文)试题(扫描版)

凌源二高中2017-2018高二下期期末考试数学试题卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1.已知集合，,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：B．【点睛】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.2.“”是“函数在区间内单调递减”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也必要条件【答案】A【解析】【分析】利用二次函数的单调性可得a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【详解】函数f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减，∴2≤a．∴“a＞3”是“函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减”的充分非必要条件．故选：A．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.3.下列说法中正确的是（）A. “” 是“函数是奇函数” 的充要条件B. 若，则C. 若为假命题，则均为假命题D. “若，则” 的否命题是“若，则”【答案】D【解析】【分析】利用充要条件判断A的正误；命题的否定判断B的正误；复合命题的真假判断C的正误；否命题的关系判断D的正误.【详解】对于A，“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的充要条件，显然不正确，如果函数的定义域中没有0，函数可以是奇函数例如，y=，∴A不正确；对于B，若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B不正确；对于C，若p∧q为假命题，则p，q一假即假命，∴C不正确；对于D，“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”，满足否命题的形式，∴D正确；故选：D．【点睛】本题考查命题的真假的判断，四种命题的关系，充要条件的判定，属于基础题．4.4.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】∵函数，∴，解得，即x≤﹣1，∴f（x）的定义域为{x|x≤﹣1}．故选：C．【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．5.5.二项式的展开式中的系数为，则（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．【详解】二项式（ax+）6的展开式中通项公式：T r+1=（ax）r，令r=5，则T6=××a5x5．∵x5的系数为，∴×a5=，解得a=1．则x2dx=x2dx==．故选：A．【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6.6.已知是周期为4的偶函数，当时，则（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】利用函数的周期性，化简所求函数值的自变量为已知函数的定义域中，代入求解即可．【详解】f（x）是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时f（x）=，则f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=3．故选：D．【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的周期性以及函数值的求法，考查计算能力．7.7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥四个面的面积中最大的是A. B. 3C. D.【答案】C【解析】作出三棱锥P−ABC的直观图如图所示，过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD.由三视图可知PA⊥平面ABC，BD=AD=1,CD=PA=2,∴. ∴，.∴三棱锥P−ABC的四个面中，侧面PBC的面积最大.故选C.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.8.8.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表：车流量（微克）根据上表数据，用最小二乘法求出与的线性回归方程是（）参考公式：，；参考数据：，；A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果．【详解】由题意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故选：B．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.9.9.某联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法总数是．（）A. 72B. 120C. 144D. 168【答案】B【解析】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所以N=+=120.种。

2017-2018学年高二下学期第三次月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的直角坐标是（）A．B．C．D．2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（）A．6 B．12 C．18 D．163．命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣2x+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0C．∀x∈R，x3﹣2x+1=0 D．∀x∈R，x3﹣2x+1≠04．若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a⊥平面α的一个充分不必要条件是（）A．a∥β且α⊥βB．a⊂β且α⊥βC．a⊥b且b∥α D．a⊥β且α∥β5．直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交但不过圆心D．相交且过圆心6．已知命题p：x2﹣2x﹣3≥0；命题q：0＜x＜4．若q是假命题，p∨q是真命题，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）7．执行题图的程序框图，则输出的结果为（）A．66 B．64 C．62 D．608．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．8D ．49．如图，在半径为的圆O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA=PB=2，PD=1，则圆心O 到弦CD 的距离为（ ）A ．5B ．C ．D ．410．如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E ．若AB=6，ED=2，则BC=（ ）A ．B ．C ．D ．411．已知点P 为双曲线的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF 1F 2的面积为2ac （c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）A ． +1B ． +1C ． +1D ． +112．设f （x ）是R 上的连续可导函数，当x ≠0时，，则函数的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知复数z=，则它的共轭复数= ．14．经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加万元．15．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为．16．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．19．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD ．（Ⅰ）证明PQ ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）求棱锥Q ﹣ABCD 的体积与棱锥P ﹣DCQ 的体积的比值．20．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，若k AC •k BD =﹣，（i ） 求•的最值．（ii ） 求证：四边形ABCD 的面积为定值．21．已知函数f （x ）=alnx+x 2（a 为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f （x ）在[1，e]上的最大值及相应的x 值；（2）当x ∈[1，e]时，讨论方程f （x ）=0根的个数．（3）若a ＞0，且对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有，求实数a 的取值范围．2017-2018学年高二下学期第三次月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的直角坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由极值坐标点（ρ，θ）的直角坐标，将M 点坐标代入即可求得答案．【解答】解：在坐标点的直角坐标，解得：，∴M （1，），故答案选：B ．2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（）A．6 B．12 C．18 D．16【考点】分层抽样方法．【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=，∵丙专业有400人，∴要抽取400×=16故选D．3．命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣2x+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0C．∀x∈R，x3﹣2x+1=0 D．∀x∈R，x3﹣2x+1≠0【考点】命题的否定．【分析】因为特称命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：∀x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案【解答】解：“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，从而答案为：∀x∈R，x3﹣2x+1≠0．故选D．4．若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a⊥平面α的一个充分不必要条件是（）A．a∥β且α⊥βB．a⊂β且α⊥βC．a⊥b且b∥α D．a⊥β且α∥β【考点】平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．【解答】解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件，故选D．5．直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交但不过圆心D．相交且过圆心【考点】圆的参数方程．【分析】求出圆的普通方程，得出圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较距离与半径的关系得出结论．【解答】解：圆的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=25，∴圆的圆心为（2，1），半径r=5．圆心到直线的距离d==4．∵0＜d＜r，∴直线与圆相交但不过圆心．故选：C．6．已知命题p：x2﹣2x﹣3≥0；命题q：0＜x＜4．若q是假命题，p∨q是真命题，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）【考点】复合命题的真假．【分析】解出命题p．由q是假命题，p∨q是真命题，可得p是真命题，即可得出．【解答】解：命题p：x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1；命题q：0＜x＜4．由q是假命题，p∨q是真命题，可得p是真命题，∴，解得x≥4或x≤﹣1．则实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故选：A．7．执行题图的程序框图，则输出的结果为（）A．66 B．64 C．62 D．60【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=21+22+23+24+25的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：累加S=21+22+23+24+25的值，∵S=21+22+23+24+25=62．故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．8 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2，即可求出该几何体的表面积．【解答】解：根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2，∴该几何体的表面积为+2×2×2+2×=12+4，故选：A．9．如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为（）A．5 B．C．D．4【考点】与圆有关的比例线段．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d==．故选：B．10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（）A ．B ．C ．D ．4【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知条件推导出△ABC ∽△CDE ，从而BC 2=AB •DE=12，由此能求出BC 的值．【解答】解：∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB=90°．即AC ⊥BD ．又∵BC=CD ，∴AB=AD ，∴∠D=∠ABC ，∠EAC=∠BAC ．∵CE 与⊙O 相切于点C ，∴∠ACE=∠ABC ．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED ∽△ACB ．∴，又CD=BC ，∴BC==2．故选：B ．11．已知点P 为双曲线的右支上一点，F 1、F 2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF 1F 2的面积为2ac （c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（ ）A ． +1B ． +1C ． +1D ． +1【考点】双曲线的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】先由得出△F 1PF 2是直角三角形得△PF 1F 2的面积，再把等量关系转化为用a ，c 来表示即可求双曲线C 的离心率．【解答】解：先由得出：△F 1PF 2是直角三角形，△PF 1F 2的面积=b 2cot45°=2ac从而得c 2﹣2ac ﹣a 2=0，即e 2﹣2e ﹣1=0，解之得e=1±，∵e ＞1，∴e=1+．故选：A ．12．设f （x ）是R 上的连续可导函数，当x ≠0时，，则函数的零点个数为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵ [xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＜0，故函数 x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数 x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知复数z=，则它的共轭复数= ﹣2﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则它的共轭复数可求．【解答】解：z==，则它的共轭复数=﹣2﹣i．故答案为：﹣2﹣i．14．经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加0.254 万元．【考点】回归分析的初步应用．【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，即可得到家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加的数字．【解答】解：∵y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321①∴年收入增加l万元时，年饮食支出y=0.254（x+1）+0.321②②﹣①可得：年饮食支出平均增加0.254万元故答案为：0.25415．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正弦定理，求出△ABC的外接圆半径r，进而根据球心O到截面的距离d=4，结合R=求出球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵△ABC中BC=3，∠BAC=30°，∴△ABC的外接圆半径r满足：2r==6．故r=3．又∵球心O到截面的距离d=4，∴球的半径R==5．故球的体积V==，故答案为：16．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于7．硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于2，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算公式可求．【解答】解：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2cm以纸板的圆心为圆心，作一个半径2cm的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1cm的小圆无公共点，此半径为2的圆面积是4π所以有公共点的概率为=，无公共点的概率为P（A）=1﹣=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程；（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系．【解答】解：（1）由点A（，）在直线ρcos（θ﹣）=a上，可得a=cos0=，所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2，从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，所以圆心为（1，0），半径r=1，∴圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.06×5×100=30，0.04×5×100=20，0.02×5×100=10．从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为，，=1；（2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A ，则P （A ）==．19．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=PD ．（Ⅰ）证明PQ ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）求棱锥Q ﹣ABCD 的体积与棱锥P ﹣DCQ 的体积的比值．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化；（Ⅱ）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式．【解答】解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形，因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC在直角梯形PDAQ 中可得，则PQ ⊥DQ ，又DQ ∩DC=D ，所以PQ ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）设AB=a ，由题设知AQ 为棱锥Q ﹣ABCD 的高，所以棱锥Q 一ABCD 的体积由（Ⅰ）知PQ 为棱锥P ﹣DCQ 的高而PQ=．△DCQ 的面积为．所以棱锥P ﹣DCQ 的体积 故棱锥Q ﹣ABCD 的体积与棱锥P ﹣DCQ 的体积的比值为1：l ．20．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，若k AC •k BD =﹣，（i ） 求•的最值．（ii ） 求证：四边形ABCD 的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a 2=b 2+c 2，联立即可得到a 2、b 2、c 2；（2）（i ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设k AC =k ，由k AC •k BD =﹣=﹣，可得． 把直线AC 、BD 的方程分别与椭圆的方程联立解得点A ，B ，的坐标，再利用数量积即可得到关于k 的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii ）由椭圆的对称性可知S 四边形ABCD =4×S △AOB =2|OA||OB|sin ∠AOB ，得到=4，代入计算即可证明．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），不妨设x 1＞0，x 2＞0．设k AC =k ，∵k AC •k BD =﹣=﹣，∴．可得直线AC 、BD 的方程分别为y=kx ，．联立，．解得，．∴=x 1x 2+y 1y 2===2，当且仅当时取等号．可知：当x 1＞0，x 2＞0时，有最大值2．当x 1＜0，x 2＜0．有最小值﹣2．ii ）由椭圆的对称性可知S 四边形ABCD =4×S △AOB =2|OA||OB|sin ∠AOB ．∴=4=4=4=4==128，∴四边形ABCD 的面积=为定值．21．已知函数f （x ）=alnx+x 2（a 为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f （x ）在[1，e]上的最大值及相应的x 值；（2）当x ∈[1，e]时，讨论方程f （x ）=0根的个数．（3）若a ＞0，且对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有，求实数a 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x 值；（2）把原函数f （x ）=alnx+x 2求导，分a ≥0和a ＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a ＜0时，求出函数f （x ）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F （e ）的值的符号讨论在x ∈[1，e]时，方程f （x ）=0根的个数；（3）a ＞0判出函数f （x ）=alnx+x 2在[1，e]上为增函数，在规定x 1＜x 2后把转化为f （x 2）+＜f （x 1）+，构造辅助函数G （x ）=f （x ）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a 后利用函数单调性求a 的范围．【解答】解：（1）当a=﹣4时，f （x ）=﹣4lnx+x 2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x ∈时，f ′（x ）0，所以函数f （x ）在上为减函数，在上为增函数，由f （1）=﹣4ln1+12=1，f （e ）=﹣4lne+e 2=e 2﹣4，所以函数f （x ）在[1，e]上的最大值为e 2﹣4，相应的x 值为e ；（2）由f （x ）=alnx+x 2，得．若a ≥0，则在[1，e]上f ′（x ）＞0，函数f （x ）=alnx+x 2在[1，e]上为增函数，由f （1）=1＞0知，方程f （x ）=0的根的个数是0；若a ＜0，由f ′（x ）=0，得x=（舍），或x=．若，即﹣2≤a ＜0，f （x ）=alnx+x 2在[1，e]上为增函数，由f （1）=1＞0知，方程f （x ）=0的根的个数是0；若，即a ≤﹣2e 2，f （x ）=alnx+x 2在[1，e]上为减函数，由f （1）=1，f （e ）=alne+e 2=e 2+a ≤﹣e 2＜0，所以方程f （x ）=0在[1，e]上有1个实数根；若，即﹣2e 2＜a ＜﹣2，f （x ）在上为减函数，在上为增函数，由f （1）=1＞0，f （e ）=e 2+a ．=．当，即﹣2e ＜a ＜﹣2时，，方程f （x ）=0在[1，e]上的根的个数是0． 当a=﹣2e 时，方程f （x ）=0在[1，e]上的根的个数是1．当﹣e 2≤a ＜﹣2e 时，，f （e ）=a+e 2≥0，方程f （x ）=0在[1，e]上的根的个数是2．当﹣2e 2＜a ＜﹣e 2时，，f （e ）=a+e 2＜0，方程f （x ）=0在[1，e]上的根的个数是1；（3）若a ＞0，由（2）知函数f （x ）=alnx+x 2在[1，e]上为增函数，不妨设x 1＜x 2，则变为f （x 2）+＜f （x 1）+，由此说明函数G （x ）=f （x ）+在[1，e]单调递减，所以G ′（x ）=≤0对x ∈[1，e]恒成立，即a 对x ∈[1，e]恒成立，而在[1，e]单调递减，所以a ．所以，满足a ＞0，且对任意的x 1，x 2∈[1，e]，都有成立的实数a 的取值范围不存在．。

辽宁省普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知向量()1,2,3p =- ，则2p的值为（）A ．()1,4,9B ．14CD ．42．点(3,8,5)P --关于平面xOy 对称的点的坐标是（）A ．()3,8,5--B ．(3,8,5)-C ．(3,8,5)D ．(3,8,5)--3．已知圆22:(2)(4)25E x y -+-=，圆22:(2)(2)1F x y -+-=，则这两圆的位置关系为（）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离4．两平行直线12:20,:420l x y l y x --=--=之间的距离为（）A ．2B ．3CD ．5．已知点()()()3,2,1,4,1,2,5,4,3A B C ---，且四边形ABCD 是平行四边形，则点D 的坐标为（）A ．()6,5,4-B ．()3,2,7-C ．()1,2,6-D ．()6,1,3--6．已知方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,4B ．()2,3C ．()()2,33,4D ．()2,47．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2BC =，11AB CC ==，则直线1AC 与平面11AB C 所成角的余弦值为（）A B C D 8．在空间直角坐标系中，已知(1,1,1),(1,2,2),(3,4,2)A B C --，则点A 到直线BC 的距离为（）AB C D二、多选题9．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a b ∥ ，则（）A ．15x =B ．32y =-C ．13a b= D ．12a b= 10．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（）A ．//EF 平面ABCDB ．1D E CF⊥C ．(1,0,2)=a 是平面1EFD 的一个法向量D ．点C 到平面1EFD 的距离为511．已知椭圆22:132x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点()1,1A ，点P 是椭圆C 上的一个动点，则（）A ．212AF F F ⊥B ．12AF AF +<C ．当点P 不在x 轴上时，从点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为()222103x y y +=≠D ．1PF AP +的最大值为1三、填空题12．两平面的法向量分别为()()0,1,0,0,1,1m n =-=，则两平面的夹角为.13．在空间直角坐标系O xyz -中，点()2,0,2M 在平面α内，且OM α⊥，(),,N a b c 为平面α内任意一点，则a c +=．14．在平面直角坐标系xOy中，y 轴被圆心为()1,0C 的圆截得的弦长为l ：2y ax =+与圆C 相交于A ，B 两点，点()00,P x y 在直线y x =-上，且PA PB =，那么圆C的方程为，002x y +的取值范围为．四、解答题15．求符合下列条件的直线l 的方程：(1)过点()2,1A ，且斜率为12-；(2)过点()1,4A ，()2,3B ；(3)过点()2,1P 且在两坐标轴上的截距相等．16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB AC AB AC AA ⊥==，点,E F 分别为棱11,AB A B 的中点.(1)求证：//AF 平面1B CE ；(2)求直线1C E 与直线AF 的夹角的余弦值.17．已知圆C 过点()0,1A ，()2,1B --，且圆心C 在直线3y x =+上．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(4,2)P -的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．18．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的短轴长和焦距相等，长轴长是．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，原点O 到直线l的距离为10．点M 在椭圆C 上，且满足OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r，求直线l 的方程．19．如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，12AA =.点E 是线段1AD 上的动点（不含端点）.（1）当11BE B C ⊥时，求1AEAD 的值；（2）求平面BCE 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值的取值范围.。

凌源市2017～2018学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,3}A =，2={|30}B x x x -=，则A B = （ ） A ．{0} B ．{0,1} C ．{0,3} D ．{0,1,3}2.“2x >”是“2280x x +->”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.函数y = ） A ．-1 B ．1 C ．6 D ．74.已知双曲线的中心为原点，(3,0)F 20y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）A ．2214536x y -= B ．2213645x y -= C.22154x y -= D ．22145x y -= 5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n，则可能使//l α的是（ ）A ．(1,0,0),(2,0,0)a n ==-B ．(1,3,5),(1,0,1)a n ==C.(0,2,1),(1,0,1)a n ==-- D ．(1,1,3),(0,3,1)a n =-=6.已知A 为抛物线22(0)x py p =>上一点，则A 到其焦点F 的距离为（ ）A ．32 B 12C.2 D 1 7.执行如图所示的程序框图，如果输出的k 值为3，则输入a 的值可以是（ ）A ．20B ．21 C.22 D ．238.为得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需要将函数cos2()4y x π=-的图象（ ） A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度9.若(0,)2πα∈，cos()4παα-=，则sin 2α等于（ ）A ．1516B ．78D ．153210.若,x y 满足约束条件201050y x y x y -≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值是（ ）A ．32B ．1 C.2 D ．3 11.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．172π B ．9π C.192πD ．10π 12.函数()f x 的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x 的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x =有m 个实数根，方程(())=0g f x 有n 个实数根，则m n +=（ ）A ．6B ．8 C.10 D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+的最小值是 ． 14.已知向量(2,1,3)a =- ，(4,,2)b y =- ，且()a a b ⊥+，则y 的值为 ．15.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是 ．16.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点12,B B 的连线交x 轴于点M 和N ，则|||ON |OM +的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数22y x x a =-+在区间(1,2)上有1个零点；:q 函数2(23)1y x a x =+-+图象与x 轴交于不同的两点.若“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，求实数a 的取值范围. 18.在数列{}n a 中，112a =，112n n n a a n ++= ，n N *∈.（1）求证：数列{}na n为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.19.已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a A c B b C =+.（1）求cos A 的值；（2）若224b c +=，求ABC ∆的面积.20.某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，且过点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆E 交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.22.如下图，在三棱锥A BCD -中，CD BD ⊥，AB AD =，E 为BC 的中点.（1）求证：AE BD ⊥；（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2AD CD ==，4BC =，求二面角B AC D --的正弦值.试卷答案一、选择题1-5:CBBDD 6-10:AADAC 11、12：BC二、填空题13.4 14.12 15.2a三、解答题17.解：对于:p 设2()2f x x x a =-+. 该二次函数图象开向上，对称轴为直线1x =，所以(1)10(2)0f a f a =-+<⎧⎨=>⎩，所以01a <<；对于:q 函数2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点， 所以2(23)40a -->，即241250a a -+>， 解得52a >或12a <. 因为“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，所以,p q 一真一假.①当p 真q 假时，有011522a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，所以112a ≤<；②当p 假q 真时，有101522a a a a ≥≤⎧⎪⎨<>⎪⎩或或，所以52a >或0a ≤.所以实数a 的取值范围是15(,0][,1)(,)22-∞+∞ .18.证明：（1）由112n n n a a n ++=⋅，知1112n n a a n n +=⋅+，又112a =， ∴则数列{}n a n是以12为首项，公比为12的等比数列.解：（2）由（1）知数列{}n a n是首项为12，公比为12的等比数列，∴1()22n n a =，∴2n n n a =. ∴1212222n n nS =+++ ，①则2311122222n n nS +=+++，② ①-②，得2311112222n S =++1122n n n +++-= 111211222n n n n n +++--=-，∴222n n n S +=-.19.解：（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+， 所以2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+， 所以2sin cos sin()A A B C ⋅=+.因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=， 所以2sin cos sin A A A ⋅=. 因为0A π<<，所以sin 0A ≠. 所以2cos 1A =，所以1cos 2A =.（2）据（1）求解知1cos 2A =，又(0,)A π∈，∴sin A =，又据题设知2sin aA=，得2sin a A ==. 因为由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-， 所以222431bc b c a =+-=-=.所以11sin 22ABC S bc A ∆==20.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=； 第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=； 第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=； 第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=； 第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为12,a a ，第3组的记为123,,b b b ，第4组的记为c ，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是121112131(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a c ，212223212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c b b ，1312323(,),(,),(,),(,),(,)b b b c b b b c b c ，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，12122232(,),(,),(,),(,),(,)a c a b a b a b a c ， 故所求概率为93=155. 21.解：（1）依题意，得2222221b c a a b c =⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=.（2）当k 变化时，2m 为定值. 证明如下：由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)84(m 1)0k x kmx +++-=. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，122814kmx x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，（*）因为直线OP ，直线OQ 的斜率分别为12,k k ，且124k k k =+，所以111212124y y kx m kx m k x x x x ++=+=+，得12122()kx x m x x =+， 将（*）代入解得212m =，经检验知212m =成立. 故当k 变化时，2m 为定值12.22.证明：（1）设BD 的中点为O ，分别连接,AO EO . 又因为AB AD =，所以AO BD ⊥.因为E 为BC 的中点，O 为BD 的中点，所以//EO CD . 又因为CD BD ⊥，所以EO BD ⊥.又因为OA OE O = ，,OA OE ⊂平面AOE ，所以BD ⊥平面AOE . 又因为AE ⊂平面AOE ，所以BD AE ⊥，即AE BD ⊥. 解：（2）由（1）求解知AO BD ⊥，EO BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ，所以AO ⊥平面BCD .又因为EO ⊂平面BCD ，所以AO EO ⊥. 所以,,OE OD OA 两两相互垂直.因为CD BD ⊥，4BC =，2CD =，所以BD =因为O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =，所以BO OD =1OA . 以O 为坐标原点，,,OE OD OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，(0,0,1)A，(0,B，C，D，所以(0,1)AB =，1)AC =-，1)AD -.设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则n AB ⊥ ，n AC ⊥.所以020z x z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，取y =33x z =⎧⎨=⎩.所以(3,n =是平面ABC 的一个法向量. 同理可求平面ADC的一个法向量m =.设二面角B AC D --的大小为θ，则|cos |||||||m n m n θ⋅==. 因为0θπ<<，所以sin θ=，所以二面角B AC D --.。

2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．74．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+17．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．238．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．311．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组[15，25）50.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27x第4组[45，55）b0.36第5组[55，65）3y（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．2017-2018学年辽宁省朝阳市凌源市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={0，l，3}，B={x|x2﹣3x=0}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，3}D．{0，1，3}【解答】解：由B中方程变形得：x（x﹣3）=0，解得：x=0或x=3，即B={0，3}，∵A={0，1，3}，∴A∩B={0，3}，故选：C．2．（5分）“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x2+2x﹣8＞0解得x＞2，或x＜﹣4．∴“x＞2“是“x2+2x﹣8＞0“成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）函数的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．6 D．7【解答】解：函数，其定义域为{x|3≤x≤4}，显然存在最大值是大于0的，则，当=0时，y取得最大值为1．故选：B．4．（5分）已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，∴设双曲线方程为，a＞0，∵是双曲线的一条渐近线，∴=，解得a2=4，∴双曲线方程为．故选D．5．（5分）若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则可能使l∥α的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中，=﹣2，不可能使l∥α；在B中，=1+0+5=6，不可能使l∥α；在C中，=﹣1，不可能使l∥α；在D中，=0﹣3+3=0，有可能使l∥α．故选：D．6．（5分）A（，1）为抛物线x2=2py（p＞0）上一点，则A到其焦点F的距离为（）A．B．+C．2 D．+1【解答】解：把A（，1）代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1．∴抛物线的焦点为F（0，）．∴抛物线的准线方程为y=﹣．∴A到准线的距离为1+=．∴AF=．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20．故选：A．8．（5分）为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由函数y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），且函数y=cos2（﹣x）=cos（﹣2x）=sin2x；为得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位长度．故选：D．9．（5分）若，，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：若，，则cosα+sinα=2（cos2α﹣sin2α），即1=4（cosα﹣sinα），平方可得1=16（1﹣sin2α），∴sin2α=，故选：A．10．（5分）若x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得A（1，2），则k OA==2，即的最大值为2．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．B．9πC．D．10π【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．12．（5分）函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）==﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5无解；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=3；故m+n=10；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则的最小值是4．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，则=（a+b）=2+≥2+2=4，当且仅当a=b=时取等号．∴的最小值是4．故答案为：4．14．（5分）已知向量，，且⊥（+），则y的值为12．【解答】解：+=（﹣2，y﹣1，5），∵⊥（+），∴•（+）=﹣4﹣（y﹣1）+15=0，则y=12．故答案为：12．15．（5分）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．【解答】解：∵圆的方程为：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0∴圆心C（1，1）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小当圆心与点P的距离最小时，距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小圆心到直线的距离为d=3∴|PA|=|PB|=∴故答案为：16．（5分）椭圆上的任意一点P（短轴端点除外）与短轴上、下两个端点B1，B2的连线交x轴于点M和N，则|OM|+|ON|的最小值是2a．【解答】解：设P（x0，y0），⇒化为b2x02=a2（b2﹣y02）直线B1P的方程为：y=x+b，可得M（，0）；直线B2P的方程为：y=x﹣b，可得N（，0）．则|OM|•|ON|==（定值）则|OM|+|ON|≥2=2a．故答案为：2a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p：函数y=x2﹣2x+a在区间（1，2）上有1个零点；q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1图象与x轴交于不同的两点．若“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：对于p：设f（x）=x2﹣2x+a．该二次函数图象开向上，对称轴为直线x=1，所以，所以0＜a＜1；对于q：函数y=x2+（2a﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，所以（2a﹣3）2﹣4＞0，即4a2﹣12a+5＞0，解得或．因为“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，所以p，q一真一假．①当p真q假时，有，所以；②当p假q真时，有，所以或a≤0．所以实数a的取值范围是．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，a n+1=•a n，n∈N*．（1）求证：数列{}为等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解（1）证明：由a n=a n知=•，+1∴{}是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）知{}是首项为，公比为的等比数列，∴=（）n，∴a n=，∴S n=++…+，①则S n=++…+，②①﹣②得S n=+++…+﹣=1﹣，∴S n=2﹣．19．（12分）已知顶点在单位圆上的△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）cosA的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcos B+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴．…（6分）（2）由，由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得：．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA⇒bc=b2+c2﹣a2=4﹣3=1．…（10分）∴．…（12分）20．（12分）某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的概率第1组[15，25）50.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27x第4组[45，55）b0.36第5组[55，65）3y（1）分别求出a，b，x，y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100；第2组人数100×0.2=20，所以a=20×0.9=18；第3组人数100×0.3=30，所以x=27÷30=0.9；第4组人数100×0.25=25，所以b=25×0.36=9；第5组人数100×0.15=15，所以y=3÷15=0.2．（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人．（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c），其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），故所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为p=．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆E交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）依题意，得，解得a2=4，b2=1．所以椭圆E的方程是．（2）当k变化时，m2为定值．证明如下：由得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），，，（*）因为直线OP，直线OQ的斜率分别为k1，k2，且4k=k1+k2，所以，得2kx1x2=m（x1+x2），将（*）代入解得，经检验知成立．故当k变化时，m2为定值．22．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，CD⊥BD，AB=AD，E为BC的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）设平面ABD⊥平面BCD，AD=CD=2，BC=4，求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【解答】证明：（1）设BD的中点为O，分别连接AO，EO．又因为AB=AD，所以AO⊥BD．因为E为BC的中点，O为BD的中点，所以EO∥CD．又因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．又因为OA∩OE=O，OA，OE⊂平面AOE，所以BD⊥平面AOE．又因为AE⊂平面AOE，所以BD⊥AE，即AE⊥BD．解：（2）由（1）求解知AO⊥BD，EO⊥BD．因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD．又因为EO⊂平面BCD，所以AO⊥EO．所以OE，OD，OA两两相互垂直．因为CD⊥BD，BC=4，CD=2，所以．因为O为BD的中点，AO⊥BD，AD=2，所以，．以O为坐标原点，OE，OD，OA分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（0，0，1），，，，所以，，．设平面ABC的一个法向量为，则，．所以，取，解得．所以是平面ABC的一个法向量．同理可求平面ADC的一个法向量．设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，则．因为0＜θ＜π，所以，所以二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．。

凌源市 2017～ 2018 学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分 . 在每题列出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知会合，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】会合，,因此.应选 C.2.“”是“”的（）A.必需不充足条件B.充足不用要条件C. 充要条件D.既不充足也不用要条件【答案】 B【分析】由解得 x>2，或 x<- 4.∴“ x>2“是““成立的充足不用要条件。

应选： B.3.函数的最大值是（）A. -1B. 1C.6D.7【答案】 B【分析】依据题意得：，因此.又，为减函数，为增函数，因此函数为减函数，当时获得最大值 1.应选 B.4.已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】∵双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的-个焦点，∴设双曲线方程为， a>0，∵是双曲线的一条渐近线，∴，解得 a2=4，∴双曲线方程为.应选 D.5.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（）A. B.C. D.【答案】 D【分析】直线的方向向量为，平面的法向量为，则使，只需即可 .四个选项中，只有 D，知足 .应选 D.6.已知为抛物线上一点，则到其焦点的距离为（）A. B. C. 2 D.【答案】 A【分析】把代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1.∴抛物线的焦点为F(0,).∴抛物线的准线方程为y=- .∴A 到准线的距离为1+ = .∴AF= .应选： A.7.履行以下图的程序框图，假如输出的值为3，则输入的值能够是（）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】 A【分析】由题意，模拟履行程序，可得k=0， S=0，知足条件 S? a，S=2×0+3=3， k=0+1=1知足条件 S? a，S=2×3+3=9， k=1+1=2知足条件 S? a，S=2×9+3=21， k=2+1=3由题意，此时，应当不知足条件21? a，退出循环，输出k 的值为3，从而联合选项可得输入的 a 的值为20.应选： A.8. 为获取函数的图象，只需要将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】 D【分析】因为因此只需要将函数的图象向右平移个单位长度即可.应选 C.点睛：此题考察三角函数的图象变换和三角函数的性质；此题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量而言，如：将的图象将左平移个单位时获取函数的图象，而不是的图象 .9.若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】.即.又，因此，因此，于是，因此，应选 A.10.若知足拘束条件，则的最大值是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】 C【分析】做出不等式组表示的可行域，以下图：设, 则.据图剖析知当直线经过直线和的交点 A(1,2)时，获得最大值2，应选 C.点睛：线性规划问题，第一明确可行域对应的是关闭地区仍是开放地区、分界限是实线仍是虚线，其次确立目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、仍是点到直线的距离等等，最后联合图形确立目标函数最值取法、值域范围.11.某几何体的三视图以下图，则其表面积为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体。

2017-2018学年辽宁省凌源市高二11月月考数学一、选择题：共12题1．若集合==,则中元素的个数为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查集合中元素的个数和集合的运算.因为直线与圆只有一个公共点，所以中只有一个元素.故选B.2．命题:“”的否定是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查命题的否定.全称命题的否定是特称命题.命题:“”的否定是”.故选C.3．在区间内任取一个数,则的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查几何概型.这是与长度有关的几何概型.其概率为.故选C.4．已知=,则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查基本不等式.==.故选A.5．直线=截圆=所得的弦长为A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.圆心为，半径=,圆心到直线的距离==.弦长为==.故选D.6．已知命题“且”为真命题,则下面是假命题的是A. B. C.或 D.【答案】D【解析】本题主要考查简单的逻辑联结词及命题的真假判断.由“且”为真命题得、都是真命题，或为真命题，为假命题.故选D.7．若函数的图象上所有点向左平移个单位,则得到的图象所对应的函数解析式为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的图象变换.函数的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得到的图象对应的函数解析式为===.故选A.8．已知向量===,则向量的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查平面向量的数量积、模及夹角.=得=13，即，即，，解得，又，故选C.9．长方体的8个顶点都在球的球面上,且==,球的表面积为,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查长方体与外接球的关系,表面积的计算.设球的的半径，由得,由得==.故选B.10．某空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查三视图和体积.由三视图可知该几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形，易知正视图中的梯形，侧棱，即高为则四棱锥的体积.故选D.11．如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查程序框图.模拟程序运行，可得：,,不满足循环结束条件,执行循环体；,,不满足循环结束条件,执行循环体；,,不满足循环结束条件,执行循环体；,,不满足循环结束条件,结束循环体，输出的值为.故选B.12．设函数=,若互不相等的实数满足==,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查分段函数的应用.作出函数图形如图：设，则,,则=,==,,.故选C.二、填空题：共4题13．在中任取个不同的数,则这个数的和小于的概率为．【答案】【解析】本题主要考查古典概型.在中任取个不同的数，共有=种不同的取法，其中，“个数的和小于”共包含两个不同事件，则这个数的和小于的概率为.故答案为.14．已知是等比数列的前项和,若,则．【答案】【解析】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式.由得,,.故答案为.15．若实数满足不等式组,则=的最小值为．【答案】【解析】本题主要考查简单的线性规划和点到直线的的距离..画出不等式组表示的可行域，如图所示,的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方.显然，原点到直线的距离的平方即为的最小值，则==.故答案为.16．若直线=与曲线=有公共点,则的取值范围是．【答案】【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系.由=得,则曲线=表示圆的下半部.当直线=过点时，取得最大值；当直线=与圆的下半部相切时，取得最小值，此时，由圆心到直线=的距离为半径可得,解得.则的取值范围是.故答案为.三、解答题：共6题17．已知条件,条件,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【答案】,因为是的充分不必要条件,所以,所以,即.【解析】本题主要考查充分必要条件与集合间的包含关系、解一元二次不等式.解不等式，求出条件、，由充分不必要条件与集合间的包含关系列出不等式组，则结论可得.18．已知的三内角都是锐角,向量==,且.(1)若=,求的值;(2)求=的取值范围.【答案】(1)因为,所以=,即,因为,所以,所以.由正弦定理得=,又因为=,所以=.(2)====,因为与都是锐角,所以,所以,所以,所以.【解析】本题主要考查向量共线的坐标表示、两角和与差的三角函数、正弦定理、正弦函数的性质.(1)由向量共线的坐标表示、两角差的余弦公式及特殊角的三角函数求出，由正弦定理及合比定理可得结论；(2)利用两角和与差的三角函数化简解析式，根据正弦函数的单调性和值域可得结论. 19．如图,已知矩形中,,将矩形沿对角线把折起,使移到点,且在平面上的射影恰好在上.(1)求证:;(2)求证:平面平面;(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)因为在平面上的射影恰好在上所以平面,又平面,所以,又，所以平面,又平面,所以,(2)因为是矩形,所以,由(1)知,所以平面,又平面,所以平面平面.(3)因为平面,所以,因为==,所以,所以===.【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定定理、性质定理，考查棱锥的体积计算.(1)由题意可得线面垂直，由线面垂直的性质和判定定理可得结论；(2)由线面垂直判定得到以平面，再由面面垂直的判定定理可得结论；(3)利用等积法和棱锥的体积公式可得结论.20．已知是等差数列的前项和,已知.(1)求数列的通项公式和前项和(2)是否存在,使成等差数列,若存在,求出,若不存在,说明理由.【答案】(1)设的公差为,则,所以===.(2)==,==,若存在使得成等差数列,则=,解得,所以存在,使成等差数列.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查等差数列的判定.(1)将已知条件代入等差数列的前项和公式求出首项和公差，再代入等差数列的通项公式与前项和公式即得结论；(2)由等差中项的性质得到关系式，解方程即得结论.21．为了调查中小学课外使用互联网的情况,教育部向华东、华北、华南和西部地区60所中小学发出问卷份,名学生参加了问卷调查,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图).(1)要从这名中小学中用分层抽样的方法抽取名中小学生进一步调查,则在(小时)时间段内应抽出的人数是多少?(2)若希望的中小学生每天使用互联网时间不少于(小时),请估计的值,并说明理由. 【答案】(1)抽取的名中小学生,每天使用互联网的时间在(小时)时间内的概率为,所以这名中小学生每天使用互联网的时间在(小时)时间内的人数为,抽样比是=,则在(小时)时间段内应抽出的人数为=人. (2)后3组的频率之和为=,后的频率这为=,希望的中小学生每天使用互联网的时间不少于(小时),则,所以=,解得.【解析】本题主要考查分层抽样、频率分布直方图.(1)求出该小矩形的面积，即频率，以频率代替概率，求出在该段时间内的总人数，再由抽样比即得结论.(2)分别求出后3组与后4组的频率之和，可得的取值范围，由频率求出底边长，则结论可得.22．已知二次函数=且==,且,函数的图象与直线相切.(1)求的解析式;(2)若当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)是否存在区间,使得在区间上的值域恰好为?若存在,请求出区间,若不存在,请说明理由.【答案】(1)由===,可得,由函数的图象与直线=相切,可知方程=有两个相等的实数根,方程整理得,所以,代入,可得=,解得=或=,由,得,函数的解析式为=.(2)由有,得,故.(3)由,可得函数的对称轴,函数的最大值为1,故由,可得,故当时,函数单调递增有,故为方程的两个根,整理方程为,解得或,由,可得==,所求区间为.【解析】本题主要考查指数函数的值域、二次函数的图象和性质.(1)由函数的图象与直线相切得方程组有惟一解，求出参数，再利用待定系数法求出的值，即得函数的解析式.(2)问题转化为,利用指数函数和二次函数的性质可得结论；(3)求出的值域，得到区间的范围，由二次函数的单调性可得结论.。

辽宁省朝阳市凌源金鼎高级中学高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 将函数的图像上的所有点向右移动个单位长度，再将所得的各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得的图像的函数解析式为（）.. ...参考答案：B略2. 函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减，根据图形可得f′（x）＜0，即可判断答案．【解答】解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，所以函数的导数值f′（x）＜0，因此D正确，故选：D 3. (x∈R)展开式中的常数项是( )A．－20 B．－15 C．15 D．20参考答案：C略4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+2B．11+2C．14+2D．15参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】判断出该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，运用梯形，矩形的面积公式求解即可．【解答】解：根据三视图可判断该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高为1，∴侧面为（4）×2=8，底面为（2+1）×1=，故几何体的表面积为8=11，故选：B．5. 用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】数学归纳法．【分析】当n=k+1时，右边=，由此可得结论．【解答】解：由所证明的等式，当n=k+1时，右边==故选D．6. 设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】K9：抛物线的应用；K8：抛物线的简单性质；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得．【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．7. 设随机变量X的分布列如表，则E(X) 等于()A. B. C. D. 不确定参考答案：A【分析】根据随机变量的分布列求出，再求【详解】根据随机变量的分布列可知，解得所以故选A.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，属于简单题。

凌源市2017～2018学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,3}A =，2={|30}B x x x -=，则AB =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,3}D ．{0,1,3}2.“2x >”是“2280x x +->”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.函数43y x x =---的最大值是（ ）A ．-1B ．1C ．6D ．74.已知双曲线的中心为原点，(3,0)F 是双曲线的一个焦点，520x y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A ．2214536x y -= B ．2213645x y -= C.22154x y -= D ．22145x y -= 5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则可能使//l α的是（ ）A ．(1,0,0),(2,0,0)a n ==-B ．(1,3,5),(1,0,1)a n ==C.(0,2,1),(1,0,1)a n ==-- D ．(1,1,3),(0,3,1)a n =-=6.已知(2,1)A 为抛物线22(0)x py p =>上一点，则A 到其焦点F 的距离为（ ）A ．32B ．122+ C.2 D ．21+ 7.执行如图所示的程序框图，如果输出的k 值为3，则输入a 的值可以是（ ）A ．20B ．21 C.22 D ．238.为得到函数sin(2)3y xπ=-的图象，只需要将函数cos2()4y xπ=-的图象（）A．向左平移3π个单位长度 B．向左平移6π个单位长度C.向右平移3π个单位长度 D．向右平移6π个单位长度9.若(0,)2πα∈，cos()22cos24παα-=，则sin2α等于（）A．1516B．78C.3116D．153210.若,x y满足约束条件201050yx yx y-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值是（）A．32B．1 C.2 D．311.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．172πB．9π C.192πD．10π12.函数()f x的定义域为[1,1]-，图象如图1所示；函数()g x的定义域为[2,2]-，图象如图2所示，方程(())0f g x=有m个实数根，方程(())=0g f x有n个实数根，则m n+=（）A．6 B．8 C.10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+的最小值是 ． 14.已知向量(2,1,3)a =-，(4,,2)b y =-，且()a a b ⊥+，则y 的值为 ．15.已知P 是直线3480x y ++=上的动点，,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是 ．16.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点P (短轴端点除外)与短轴上、下两个端点12,B B 的连线交x 轴于点M 和N ，则|||ON |OM +的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知:p 函数22y x x a =-+在区间(1,2)上有1个零点；:q 函数2(23)1y x a x =+-+图象与x 轴交于不同的两点.若“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，求实数a 的取值范围.18.在数列{}n a 中，112a =，112n n n a a n ++=，n N *∈. （1）求证：数列{}n a n为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.19.已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a A c B b C =+.（1）求cos A 的值；（2）若224b c +=，求ABC ∆的面积.20.某市电视台为了提高收视率而举办有奖问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题统计结果及频率分布直方图如图表所示.（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为3，且过点2(2,). （1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆E 交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.22.如下图，在三棱锥A BCD -中，CD BD ⊥，AB AD =，E 为BC 的中点.（1）求证：AE BD ⊥；（2）设平面ABD ⊥平面BCD ，2AD CD ==，4BC =，求二面角B AC D --的正弦值.试卷答案一、选择题1-5:CBBDD 6-10:AADAC 11、12：BC二、填空题13.4 14.12 15.2a三、解答题17.解：对于:p 设2()2f x x x a =-+.该二次函数图象开向上，对称轴为直线1x =，所以(1)10(2)0f a f a =-+<⎧⎨=>⎩，所以01a <<； 对于:q 函数2(23)1y x a x =+-+与x 轴交于不同的两点，所以2(23)40a -->，即241250a a -+>， 解得52a >或12a <. 因为“p q ∧”是假命题，“p q ∨”是真命题，所以,p q 一真一假.①当p 真q 假时，有011522a a <<⎧⎪⎨≤≤⎪⎩，所以112a ≤<； ②当p 假q 真时，有101522a a a a ≥≤⎧⎪⎨<>⎪⎩或或，所以52a >或0a ≤. 所以实数a 的取值范围是15(,0][,1)(,)22-∞+∞. 18.证明：（1）由112n n n a a n ++=⋅，知1112n n a a n n +=⋅+，又112a =， ∴则数列{}n a n 是以12为首项，公比为12的等比数列. 解：（2）由（1）知数列{}n a n 是首项为12，公比为12的等比数列， ∴1()22n n a =，∴2n n n a =.∴1212222n nn S =+++，① 则2311122222n n n S +=+++，② ①-②，得2311112222n S =++1122n n n +++-=111211222n n n n n +++--=-， ∴222n n n S +=-. 19.解：（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+，所以2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ⋅=+，所以2sin cos sin()A A B C ⋅=+.因为A B C π++=，所以sin()sin B C A +=，所以2sin cos sin A A A ⋅=.因为0A π<<，所以sin 0A ≠.所以2cos 1A =，所以1cos 2A =.（2）据（1）求解知1cos 2A =，又(0,)A π∈，∴sin A =又据题设知2sin a A=，得2sin a A ==. 因为由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，所以222431bc b c a =+-=-=.所以11sin 22ABC S bc A ∆=== 20.解：（1）第1组人数50.510÷=，所以100.1100n =÷=；第2组人数1000.220⨯=，所以200.918a =⨯=；第3组人数1000.330⨯=，所以27300.9x =÷=；第4组人数1000.2525⨯=，所以250.369b =⨯=；第5组人数1000.1515⨯=，所以3150.2y =÷=.（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18:27:92:3:1=，所以第2，3，4组每组应依次抽取2人，3人，1人.（3）记抽取的6人中，第2组的记为12,a a ，第3组的记为123,,b b b ，第4组的记为c ，则从6名学生中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是121112131(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a c ，212223212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a c b b ，1312323(,),(,),(,),(,),(,)b b b c b b b c b c ，其中第2组至少有1人的情况有9种，它们是12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ，12122232(,),(,),(,),(,),(,)a c a b a b a b a c ， 故所求概率为93=155. 21.解：（1）依题意，得2222221b c a a b c=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （2）当k 变化时，2m 为定值.证明如下： 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)84(m 1)0k x kmx +++-=. 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，122814km x x k +=-+，21224(1)14m x x k -=+，（*） 因为直线OP ，直线OQ 的斜率分别为12,k k ，且124k k k =+， 所以111212124y y kx m kx m k x x x x ++=+=+，得12122()kx x m x x =+， 将（*）代入解得212m =，经检验知212m =成立. 故当k 变化时，2m 为定值12. 22.证明：（1）设BD 的中点为O ，分别连接,AO EO .又因为AB AD =，所以AO BD ⊥.因为E 为BC 的中点，O 为BD 的中点，所以//EO CD .又因为CD BD ⊥，所以EO BD ⊥.又因为OA OE O =，,OA OE ⊂平面AOE ，所以BD ⊥平面AOE .又因为AE ⊂平面AOE ，所以BD AE ⊥，即AE BD ⊥. 解：（2）由（1）求解知AO BD ⊥，EO BD ⊥.因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD .又因为EO ⊂平面BCD ，所以AO EO ⊥.所以,,OE OD OA 两两相互垂直.因为CD BD ⊥，4BC =，2CD =，所以2223BD BC CD =-=.因为O 为BD 的中点，AO BD ⊥，2AD =，所以3BO OD ==，221OA AD OD =-=. 以O 为坐标原点，,,OE OD OA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，(0,0,1)A ，(0,3,0)B -，(2,3,0)C ，(0,3,0)D ，所以(0,31)AB =--，(2,3,1)AC =-，(0,3,1)AD -.设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则n AB ⊥，n AC ⊥.所以30230y z x y z ⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩，取3y =-，解得33x z =⎧⎨=⎩. 所以(3,3,3)n =-是平面ABC 的一个法向量.同理可求平面ADC 的一个法向量(0,3,3)m =.设二面角B AC D --的大小为θ，则7|cos |||||||m n m n θ⋅==. 因为0θπ<<，所以242sin 1cos 7θθ=-=，所以二面角B AC D --的正弦值为427.。