一类不含5-圈平面图结构的几个结论

最大度是5的可平面图的边染色倪伟平(枣庄学院数学与信息科学系,山东枣庄　277160)摘　要:对于最大度是Δ的可平面图G,如果χ′(G )=Δ,称G 为第一类图;如果χ′(G )=Δ+1,称G 为第二类图.χ′(G )表示G 的边染色数.1965年,V izing 举例说明Δ=5的可平面图中既有第一类图,也有第二类图.作者运用D ischarge 方法证明最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.关键词:平面图;边染色;最大度;圈中图分类号:O157.5 文献标识码:A 文章编号:1000-2162(2010)03-0018-06Edge color i n gs of pl anar graphs w ith max i m u m degree f i veN IW ei 2p ing(Depart m ent of M athematics and I nfor mati on Science,Zaozhuang University,Zaozhuang 277160,China )Abstract:Let G be a p lanar graph of maxi m u m degree Δ,G was said t o be class 1if χ′(G )=Δand class 2if χ′(G )=Δ+1,where χ′(G )denoted the chr omatic index of G .I n 1965,V izing p r oved that p lanar graphs of class 1and class 2were exist f or Δ=5.By app lying a discharging method,the author p r oved that every si m p le p lanar graph G with Δ=5was of class 1,if G had no chordal -4-cycles and chordal -5-cycles,or no chordal -4-cycles and chordal -6-cycles .Key words:p lanar graph;edge col oring;maxi m um degree;cycle文中考虑的图都是简单、无向有限图.若图G 可以表示在平面上,并且任意两条边仅在其端点处才可能相交,则称G 是可平面图,图G 的这种平面上的表示法称为G 的一个平面嵌入,或称为平面图.分别用V (G )、E (G )、F (G )、Δ(G )(简记为Δ)表示G 的顶点集合、边集合、面集合、最大度.用d (x )表示x 在G 中的度数,x ∈V (G )∪F (G ).用d k (v )表示点v 的度数为k 的邻点的个数,d k +(v )表示点v 的度数不小于k 的邻点的个数.度数为k 的点(或面)称为k -点(或k -面),度数不小于k 的点(或面)称为k +-点(或k +-面).若一个3-面f 关联3个度数分别为i,j ,k 的顶点,其中,i ≤j ≤k,则称f 为(i,j ,k )-面.设C 是G 中长度为k 的圈,如果xy ∈E (G )\E (C ),其中,x,y ∈V (C ),称xy 为C 的一条弦,C 为有弦的k -圈.若存在一个映射φ:E (G )→{1,2,…,k},对G 中任意两条相邻接的边e 1和e 2,有φ(e 1)≠φ(e 2),则称G 是k -边可染色的,使得图G 具有k -边可染色的最小的正整数k 定义为G 的边色数,记作χ′(G ).若图G 满足χ′(G )=Δ(G ),称G 为第一类图,若χ′(G )=Δ(G )+1,称G 为第二类图.若图G 是连通的第二类图,并且去掉任意边e ∈G 后,G -e 是第一类图,则称G 是一个临界图.最大度为Δ的临界图简称收稿日期:2009-10-24基金项目:山东省教育厅科研计划基金资助项目(J08L I 66)作者简介:倪伟平(1965—),女,山东枣庄人,枣庄学院副教授,硕士.引文格式:倪伟平.最大度是5的可平面图的边染色[J ].安徽大学学报:自然科学版,2010,34(3):18-23.2010年5月第34卷第3期安徽大学学报(自然科学版)Journal of Anhui University (Natural Science Editi on )May 2010Vol .34No .3Δ-临界图.显然,每个Δ-临界图(Δ≥2)是2-连通的.文献[2]证明了每个Δ≥8的简单平面图是第一类图,同时猜想这个结论对Δ≥6的简单平面图也是成立的,给出了Δ∈{2,3,…,5}的简单平面图存在第二类的例子.文献[3]、[4]独立证明了Δ=7时文献猜想成立.文献[5]、[6]给出了Δ=6的可平面图是第一类图的充分条件.对于Δ=5的可平面图,文献[7]证明了Δ=5且围长不小于4的可平面图是第一类图;文献[9]给出了Δ=5且不含4-圈或不含5-圈的可平面图是第一类图;文献[10]证明了Δ=5且没有相交三角形的简单平面图是第一类图.下面将运用D ischarge 方法及临界图的重要性质证明:最大度是5且不包含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不包含有弦的4-圈和有弦的6-圈的可平面图是第一类图.1　临界图的性质引理1　设G 是一个Δ-临界图,u,v ∈V (G )且u,v 相邻接,d (v )=k,那么(1)若k <Δ,则u 至少邻接于Δ-k +1个度为Δ的顶点;(2)若k =Δ,则u 至少邻接于两个度为Δ的顶点;(3)d (v )+d (u )≥Δ+2.引理2　设G 是一个Δ-临界图,xy ∈E (G ),使得d (x )+d (y )=Δ+2,那么(1)每个v ∈N ({x,y})/{x,y}是Δ-点;(2)每个v ∈N (N ({x,y}))/{x,y}满足d (v )≥Δ-1;(3)如果d (x )<Δ,d (y )<Δ,则每个v ∈N (N ({x,y}))/{x,y}是Δ-点.引理3　如果图G 存在3个不同的顶点x,y,z 满足下列两个条件:(1)xy ∈E (G ),xz ∈E (G ),d (z )<2Δ-d (x )-d (y )+2;(2)xz 包含在至少d (x )+d (y )-Δ-2个不包含顶点y 的三角形中.则G 不是Δ-临界图.2　主要结论及证明引理4　设G 是5-临界图,s 是v ∈V (G )所关联的3-面的个数.若G 不含有弦的4-圈和有弦的5-圈,则(1)G 中每个3-点v 至多关联1个3-面.s =1时,v 还关联2个5+-面.(2)G 中每个4-点v 至多关联2个3-面.s ≥1时,v 还关联2个5+-面.(3)G 中每个5-点v 至多关联2个3-面.若v 不与2-点邻接,当s =2时,v 还关联3个5+-面;当s =1时,v 还关联2个5+-面.若v 与2-点邻接,当s =2时,如果v 关联(2,5,5)-面及(5,5,5)-面,则v 还关联2个5+-面和1个6+-面;如果v 关联2个(5,5,5)-面,则v 还关联3个5+-面.当s =1时,如果v 关联(2,5,5)-面,则v 至少关联1个5+-面和1个6+-面;如果v 关联(5,5,5)-面,则v 至少还关联2个5+-面.引理5　设G 是5-临界图,s 是v ∈V (G )所关联的3-面的个数.若G 不含有弦的4-圈和有弦的6-圈,则(1)G 中每个3-点v 至多关联1个3-面.s =1时,v 至少关联1个6+-面.(2)G 中每个4-点v 至多关联2个3-面.s =2时,v 关联2个6+-面;s =1时,v 至少关联1个5+-面.(3)G 中每个5-点v 至多关联2个3-面.若v 不与2-点邻接,当s =2时,则v 至少关联2个6+-面;当s =1时,则v 至少关联2个5+-面.若v 与2-点邻接,当s =2时,v 关联2个6+-面.当s =1时,若v 关联(2,5,5)-面,则2-点关联的另一面f 为5-面或为7+-面.如果f 为5-面,则v 还关联1个5+-面和1个6+-面.如果f 为7+-面,则v 至少还关联1个5+-面.若v 关联(5,5,5)-面,则v 至少还关联1个5+-面.定理1　设G 是最大度为5的可平面图.若G 中不含有弦的4-圈和有弦的5-圈,或不含有弦的91第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色4-圈和有弦的6-圈,则G 是第一类图.证明　假设定理1不成立,即G 是第二类图.不失一般性,可以假设G 是5-临界图,那么G 是2-连通的.因此,G 的每个面的边界是一个圈,且每条边位于2个不同面的边界上.将Euler 公式|V (G )|-|E (G )|+|F (G )|=2∑v ∈V (G )d (v )=∑f ∈F (G )d (f )=2|E (G )|变形可得∑x ∈V (d (x )-4)+∑x ∈F (d (x )-4)=-8. 对任意x ∈V (G )∪F (G ),定义初值ch (x )为ch (x )=d (x )-4. 根据给出的交换规则(D ischarging rules ),对每一个x ∈V (G )∪F (G )的ch (x )进行调整,从而得到新的值ch ′(x ).因为所作的调整始终保证不影响其和式的值,所以有∑x ∈V ∪F ch (x )=∑x ∈V ∪F ch ′(x )=-8. 如果可以证明对于每一个x ∈V (G )∪F (G ),都有ch ′(x )≥0,则与上式矛盾,从而定理得证.情况1　若G 中不含有弦的4-圈和有弦的5-圈.定义规则如下:R 1对每个5-点v,v 分值如下:(1)v 分值1给其邻接的2-点,分值12给其邻接的每个3-点,分值215给其邻接的每个4-点;(2)若v 邻接5-点u,u 与2-点x 邻接,而v 与x 不邻接,则v 分值130给u .R 2对每个3-点v,v 分值25给其关联的每个3-面.R 3对每个4-点v,v 分值13给其关联的每个3-面.R 4对每个度为3的面f,设x 、y 、z 是f 的3个不同顶点,且d (x )≤d (y )≤d (z ).(1)若f 是(2,5,5)-面,则y 、z 分别分值12给f;(2)若f 是(3,4,5)-面,则x 分值25、y 分值13、z 分值415给f;(3)若f 是(3,5,5)-面,则x 分值25、y 分值310、z 分值310给f;(4)若f 的顶点的度至少为4,则x 、y 、z 分别分值13给f .R 5设f 是度至少为5的面,则f 分值d (f )-4d (f )给与其关联的每个顶点.假设f ∈F (G ),则d (f )≥3.如果d (f )=4,则ch (f )=0,取ch ′(f )=0.如果d (f )≥5,则ch (f )=d (f )-4≥1.由R 5,有ch ′(f )=d (f )-4-d (f )-4d (f )×d (f )=0.如果d (f )=3,则ch (f )=-1.由于Δ=5,由引理1～3知,f 必为下列3-面之一:(2+,5,5)-面,(3,4,5)-面,(4,4,4)-面,(4,4,5)-面,(5,5,5)-面,由R 4,有ch ′(f )=-1+1=0.对于每个v ∈V (G ),有d (v )≥2.(1)设d (v )=2,则ch (v )=-2.由引理1,v 与2个5-点邻接.由R 1(1),有ch ′(v )=ch ′(v )=-2+1×2=0.(2)设d (v )=3,则ch (v )=-1.由引理1,v 至少邻接2个5-点,由R 1(1),v 至少得12×2.若02安徽大学学报(自然科学版)第34卷s=1,由引理4(1)及R5,v至少得值15×2,再由R2,有ch′(v)≥-1+12×2+15×2-25=0;若s=0,有ch′(v)≥-1+12×2=0.(3)设d(v)=4,则ch(v)=0.由引理1,v至少邻接两个5-点,由R1(1),v至少得值215×2.由引理4(2),有s≤2.若s≥1,由引理4(2)及R5,v至少得值15×2,由R3,v至多分值13×2给其关联的3-面,所以,ch′(v)≥215×2+15×2-13×2=0;若s=0,则有ch′(v)≥215×2>0.(4)设d(v)=5,则ch(v)=1.由引理1,m in{d(u)|u∈N(v)}≥2且至多有一个2-点,至少有2个5-点与v邻接.由引理4(3),有s≤2.当d2(v)=1时,由引理2,有d5(v)=4.如果s=2且v关联(2,5,5)-面和(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2+13,由R1(2),v得值130×3,由R1(1)、R4(1)、R4(4),v至多分出值1+1 2+13,所以,ch′(v)≥1+15×2+13+130×3-(1+12+13)=0.如果s=2且v关联2个(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15×3,由R1(2),v至少得值130×3,由R1(1)及R4(4)知,v至多分值1+13×2,所以,有ch′(v)≥1+15×3+130×3-1+13×2>0.如果s=1且v关联(2,5,5)-面,由引理4(3)及R5,v至少得值15+13,由R1(1)、R4(1),有ch′(v)≥1+15+13-1+12>0.如果s=1且v关联(5,5,5)-面,由引理4(3)及R5知,v至少得值15×2,再根据R1(1)、R4(4),有ch′(v)≥1+15×2-1+13>0.如果s=0,则有ch′(v)=1-1=0.当m in{d(u)|u∈N(v)}=3时,由引理1,v至多与2个3-点、至少与3个5-点邻接.假如d3(v)=2,由引理3,v至多关联1个3-面,为(5,5,5)-面.当s=1时,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2,再由R1(1)、R4(4),有ch′(v)≥1+15×2-12×2+13>0.当s=0时,由R1(1),有ch′(v)=1-12×2=0.假如d3(v)=1且d4(v)=1,由R1(1),v分值12+215给其邻接的3-点和4-点,由R4(2)、R4(3)、R4(4),v至多分值13×2给其关联的2个3-面.由引理4(3)及R5,当s=2时,v至少得值15×3,s=1时,v至少得值15×2.所以,s=2时,有ch′(v)≥1+15×3-12+215+13×2>0;s=1时,有ch′(v)≥1+15×2-12+215+13>0;s=0时,有ch′(v)=1-12+215>0.假如d3(v)=1且d5(v)=4,由R1(1)、R4(3)、R4(4),v至多分值12+13×2.当s≥1时,由引理4(3)及R5,v至少得值1 5×2,所以,有ch′(v)≥1+15×2-12+13×2>0;当s=0时,则有ch′(v)=1-12>0.当m in{d(u)|u∈N(v)}≥4时,由引理1,有d5(v)≥2,d4(v)≤3.由R1(1),v至多分值215×312第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色给其邻接的4-点,由R1(2),v至多分值130×5给其邻接的5-点,由R4(4),v至多分值13×2给与其关联的3-面.当s≥1时,由引理4(3)及R5,v至少得值15×2,所以,ch′(v)≥1+15×2-2 15×3+13×2+130×5>0;当s=0时,有ch′(v)≥1-215×3+130×5>0.情况1得证.情况2　若G中不含有弦的4-圈和有弦的6-圈.定义规则如下:R1对每个5-点v,v分值如下:(1)v分值1给其邻接的2-点,分值12给其邻接的每个3-点,分值115给其邻接的每个4-点;(2)若v邻接5-点u,u与2-点x邻接,而v与x不邻接,则v分值118给u.R2每个3-点、4-点分值13给其关联的每个3-面.R3对每个度为3的面f,设x、y、z是f的3个不同顶点,且d(x)≤d(y)≤d(z).(1)若f是(2,5,5)-面,则y、z分别分值12给f;(2)若f的顶点的度至少为3,则x、y、z分别分值13给f.R4设f是度至少为5的面,则f分值d(f)-4d(f)给与其关联的每个顶点.假设f∈F(G),则d(f)≥3.如果d(f)=4,则ch(f)=0,取ch′(f)=0.如果d(f)≥5,则ch(f)=d(f)-4≥1,由R4,ch′(f)=d(f)-4-d(f)-4d(f)×d(f)=0.如果d(f)=3,则ch(f)=-1.由于Δ=5,根据引理1～3,f必为下列3-面之一:(2+,5,5)-面,(3,4,5)-面,(4,4,4)-面,(4,4,5)-面,(5, 5,5)-面.由R3(1)、R3(2),有ch′(f)=-1+1=0.对每个v∈V(G),有d(v)≥2.(1)设d(v)=2,则ch(v)=-2.由引理1,v与2个5-点相邻接.由R1(1),有ch′(v)=-2+1×2=0.(2)设d(v)=3,那么ch(v)=-1.由引理5(1),s≤1.由引理1,v至少邻接2个5-点,由R1(1),v至少得值12×2.当s=1时,由引理5(1)及R4,v至少得值13,再由R2,有ch′(v)≥-1+12×2+13-1 3=0;当s=0时,有ch′(v)≥-1+12×2=0.(3)设d(v)=4,则ch(v)=0.由引理5(2),有s≤2.由引理1,v至多与1个3-点、至少与2个5-点邻接,由R1(1),v至少得值115×2.所以,当s=0时,有ch′(v)≥115×2>0;当s=1时,由引理5(2)及R4,v至少得值15,再由R2,有ch′(v)≥115×2+15-13=0;当s=2时,由引理5(2)及R4,v至少得值13×2,再由R2,有ch′(v)≥115×2+13×2-13×2>0.(4)设d(v)=5,则ch(v)=1.由引理1,m in{d(u)|u∈N(v)}≥2且至多有1个2-点、至少有2个5-点与v邻接.由引理5(3),有s≤2.当d2(v)=1时,根据引理2,有d5(v)=4.若s=2,则由引理5(3)及R4,v至少得值13×2,由R1(2),v至少得值118×3,由R1(1)、R3(1)、R3(2),v至多分值1+12+13给其邻接的2-点及其关联22安徽大学学报(自然科学版)第34卷的3-面,所以,ch ′(v )≥1+13×2+118×3-(1+12+13)=0.若s =1,并且v 关联(2,5,5)-面,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值37+15,由R 1(1)、R 3(1),有ch ′(v )≥1+37+15-1+12>0;若s =1,并且v 关联(5,5,5)-面,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值15,由R 1(2),v 得值118×4,再由R 1(1)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15+118×4-1+13>0.若s =0,有ch ′(v )=1-1=0.当m in {d (u )|u ∈N (v )}=3时,由引理1,v 至多与2个3-点,至少与3个5-点邻接.假如d 3(v )=2,由引理3,v 至多关联1个3-面,为(5,5,5)-面.s =1时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,由R 1(1)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-12×2+13>0;s =0时,由R 1(1),有ch ′(v )=1-12×2=0.假如d 3(v )=1,由R 1(1),v 至多分值12+115给其邻接的3-点和4-点.当s =2时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值13×2,由R 3(2),有ch ′(v )≥1+13×2-12+115+13×2>0;s =1时,由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,再由R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-12+115+13>0;s =0时,有ch ′(v )=1-12+115>0.当m in {d (u )|u ∈N (v )}≥4时,由引理1,有d 5(v )≥2,d 4(v )≤3.若s =2,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值13×2,由R 1(1)、R 1(2)、R 3(2),v 至多分值115×3+118×2+13×2给其邻接的4-点、邻接的5-点及其关联的3-面,所以,ch ′(v )≥1+13×2-115×3+13×2+118×2>0;若s =1,则由引理5(3)及R 4,v 至少得值15×2,再根据R 1(1)、R 1(2)、R 3(2),有ch ′(v )≥1+15×2-115×3+13+118×2>0;若s =0,则由R 1(1)、R 1(2),有ch ′(v )≥1-115×3+118×2>0.情况2得证.由情况1、2的证明可知,定理1成立.参考文献:[1]　V izing V G .On an esti m ate of the chr omatic index of a p 2graph[J ].D iskret A naliz,1964,3(1):25-30.[2]　V izing V G .Critical graphs with given chr omatic class[J ].D iskret A naliz,1965,5(1):9-17.[3]　Sanders D P,Zhao Y .Planar graphs of maxi m um degree seven are class 1[J ].J Co m bin Theory SerB ,2001,83(2):201-212.[4]　Zhang L.Every p lanar with maxi m u m degree 7is of class 1[J ].Graphs Co m bin,2000,16(4):467-495.[5]　Zhou G .A note on graphs of class 1[J ].D iscrete M ath,2003,262(1/3):339-345.[6]　Bu Y,W ang W.Some sufficient conditi ons f or a p lanar graph of maxi m u m degree six t o be class 1[J ].D iscreteM ath,2006,306(13):1440-1445.[7]　L i X,Luo R.Edge col oring of embedded graphs with large girth[J ].Graphs Co m bin,2003,19(3):393-401.[8]　La m P,L iu J,Shu W ,et al .Some sufficient conditi ons for a p lanar graph t o be of class1[J ].Congr N um er ,1999,136(1):201-205.[9]　吴玉文.关于平面图的边剖分的若干结果[D ].山东大学数学学院,2007.[10]　陈永珠,王维凡.第一类平面图的一个充分条件[J ].浙江师范大学学报:自然科学版,2007,30(4):416-420.(责任编校　朱夜明)32第3期倪伟平:最大度是5的可平面图的边染色。

一类特殊图的顶点染色数张祥波【摘要】If there are common vertexes in all the maximum cliques of graph, and there are k common vertexes, then we call graph is the k class graph. Hereby, this paper gives a new method to study vertex coloring of graph. According to this method, this paper studies a class vertex coloring of special graphs, and gives vertex coloring number of some graphs.%如果图G含有的所有最大团存在公共顶点,且公共顶点的个数为k,就称此图为第k类图。

据此,本文给出了研究图的顶点染色的一种新方法,并以此研究了一类特殊图的顶点染色及一些图的顶点染色数。

【期刊名称】《安庆师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P11-13,30)【关键词】最大团;顶点染色数;第k类图;图的厚度【作者】张祥波【作者单位】临盘中学，山东临邑 251507【正文语种】中文【中图分类】O157.5给定一个无向简单图G(V,E)(以下简称图G)，使得任意相邻顶点染不同颜色，这种染色所需要的最小数目，叫做图G的顶点染色数，记为χ(G)。

图的顶点染色较为复杂，这是一个NPC问题。

关于这个方面的研究主要包括它的求解算法[1-5]和特殊图的顶点染色[6-11](尤以平面图的染色较多[12-18])两个方面。

本文则提出了第k类图的概念，对图的结构进行统一分类，给出了研究图的顶点染色的一种新方法。

按照这种方法，本文研究了|S|且|S|=p-3时，图G的顶点染色，并给出了其中4类图的顶点染色数。

不含5-圈的平面图的无圈边着色
吴燕青;谢德政;赵灿鸟
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》
【年(卷),期】2012(028)003
【摘要】图G的一个无圈边着色是一个正常的边着色且不含双色的圈.图G的无圈边色数是图G的无圈边着色中所用色数的最小者.本文用反证法得到了不含5-圈的平面图G的无圈边色数的一个上界.
【总页数】7页(P342-348)
【作者】吴燕青;谢德政;赵灿鸟
【作者单位】山西师范大学数学系,山西临汾041000／重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆大学数学与统计学院,重庆401331;重庆大学数学与统计学院,重庆401331
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.不含4-圈和5-圈的平面图的非正常2-染色的一个新结果 [J], 周倩倩;孙磊
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平面图形的认识中的几个重要结论求平行线中的折线角平行线中折线问题常用辅助线：一连（连接）二延（延长）三平行（作平行线）。

如图，已知AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠P AB ，∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中任意选出一个，说明你探究结论的正确性.以图（1）为例。

方法一：平行。

即可折角顶点作平行线。

通过两次平行线间角的性质解决 解：过点P 作直线PE ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴PE ∥CD ；（理由是平行于同一条直线的两直线平行） ∵AB ∥CD ，∴∠A +∠1=180°， ∵PE ∥CD ，∴∠2+∠C =180°，∴∠A +∠1+∠2+∠C =360°，即∠APC +∠A +∠C =360°。

强调：本题添加辅助线时千万不能说成是：过点P 作直线PE ∥AB ∥CD ，只能作与一条直线平行，与另一条平行是证明的，而不是作的。

方法二：连。

将求折线角转化为求三角形内角 解：连结AC ，∵AB ∥CD ，∴∠2+∠4=180°， 在△APC 中，又∵∠1+∠P +∠3=180°， ∴∠1+∠P +∠3+∠2+∠4=360°，即∠P +（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=360°，∴∠P +∠P AB +∠PCD =360°。

方法三：延。

通过延长线将折线角转化为三角形外角 解：延长AP 、DC 相交于点E ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠E =180°，∵∠PCD 与∠PCE 互补，∴∠PCD +∠1=180°，∴∠A +∠E +∠PCD +∠1=360°；即（∠E +∠1）+∠A +∠PCD =360°； △PEC 的外角，∴∠P AB =∠1+∠E ，∴∠P AB +∠A +∠PCD =360°。

P DC BAPDC BAPDC BAPDCBA（1）（2）（3）（4）PDCBA1 3 4 2PDCBA1 E2 P DCBA 1 EγβαE DCB A当然，这道题目的解法还有，但主要是这三种。

圆中基本图和结论
一、垂径图
二、单高图
条件：AB⊥CD（圆的内接四边形，对角线互相垂直：垂美四边形）
结论：
①∠OCA=∠BCD（6对：半径与一边的夹角等于高与另一边的夹角）
②AC2+BD2=BC2+AD2（2组：对弦的平方和等于直径的平方）
BD（4组：弦心距等于对弦的一半）
③OE=1
2
④若PH⊥AC，则直线PH过BD中点M（4组：中点对垂直）
三、双高图
①AD=AH=AF，PH=PD（垂心鸡爪型：3组）
②平行四边形AHCF
四、等腰图——圆心在三线
五、等腰图——圆心在腰上
六、角平分线图（1）
七、角平分线图（2）
八、折弦内外角平分线
条件：直径AD⊥BC
结论：①角平分线：PA平分∠BPF，PD平分∠BPC；
②旋转全等：△ABE≌△ACF，△BDM≌△DCN
③PB-PC=2PE，PB+PC=2PN
十、双切图。