(新版)新人教版八年级数学上册第11章三角形专题多边形的内角与外角课件

因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
17
例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°， ∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分 ∠ABC，求∠P的度数．
角有什么关系？试说明理由.
A
解： 如图，四边形ABCD中，
D
∠A+ ∠C =180°.
B
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，C
所以 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
9
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
5×180°=900°
21
问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系？
五边形外角和 =5个平角 －五边形内角和 =5×180°－(5－2) × 180° =360 °
1A
B
5
2
E
C3
4 D
结论：五边形的外角和等于360°.
22
在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和 叫做n边形的外角和． 思考：n边形的外角和又是多少呢？
33
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋ ∠6＋∠7的度数.
89
解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°.

n边形外角和 =n个平角-n边形内角和
= n×180 °－(n－2) × 180° =360 °
A2 1 2 A3 3
A1 n
An 4 A4
n边形的外角和等于360°.
与边数无关
23
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每
个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角的度数是 (n 2)180 , n
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
3
讲授新课
一 多边形的内角和 问题1 三角形内角和是多少度？
三角形内角和 是180°. 问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
都是360°. 问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
4
猜想与证明
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ D
33
能力提升：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋ ∠6＋∠7的度数.
89
解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°.
34
课堂小结
内角和计 算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4；
15
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2） ×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．

● A．2个
B．3个 C．4个 D．5个
● 4．将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同 的剖分方法种数是（ ）
● A．6 B．8 C．12 D．14
● 5．下列说法不正确的是（ ）
● A．各边都相等的多边形是正多边形 B．正多形的各边都相等
● C．正三角形就是等边三角形 D．各内角相等的多边形不一定是正多边形
多边形
观察图中的图片，其中的房屋结构、蜂巢结构等给我们以 由一些线段 围成的图形的形象，你能从图中想象出几个由一些 线段围成的图形吗？
多边形的概念
问题1 观察画多边形的过程，类比三角形的概念，你能 说出什么是多边形吗？
我们学过三角形，类似地，在平 面内，由一些线段首尾顺次相接 组成的封闭图形叫做多边形.
小结
பைடு நூலகம்
边数
3
4 5 6 7…
n
从一个顶点出发 0 1 的对角线的条数
2
3
4
… n－3
总的对角线条数 0 2
上述对角线分成
的三角形个数
02
59
14
n(n－3)
…
2
3
45
… n－2
A
A
B C
C
D
B
D
图1
图2
我们现在研究的是如图1所示的多边形，整个多边形都在
这条直线的同一侧，这样的多边形是凸多边形； 如图2所示
延长线组成的角.
多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，
五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.
n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．
理解多边形的定义需注意： (1)线段必须“不在同一直线上”且条数要不少于3条； (2)必须是“平面图形”； (3)首尾顺次相接．

人教版八年级数学上册
多边形的外角和
学习目标：
• 1.掌握多边形外角和外角和定义 • 2.知道多边形的外角和等于360度 • 3.会用多边形的外角和解决实际问题
一、多边形外角及外角和的的定义
2
1 3
多边形一个内角的一边与另一边延长 线所组成的角叫多边形的外角
2
1 3
在多边形每一个顶点处各取一个外角，它 们的和叫做多边形的外角和
二、探索多边形的外角和
那 么 你
整体思路：1.先求4个 外角+4个内角的和； 2.再减去4个内角的和
能
研
究
出
四
边
形
的
外
角
和
吗
？
那么出五边形，六边形，n边形的外角和吗？
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回 到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和， 就是多边形的外角和。
（n-2）180 °
正多边形的每一个内角的度数:
n
360° 正多边形的每一个外角的度数: n
提高题
一个多边形的内角和与一个外角和是 1350°，你知道这个多边形的边数吗？
通过这节课的学习你 有哪些收获？
作业
习题11.3 的3、6题
例2.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个 多边形的边数是_6____
例3.如果一个ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ多边形的一个内角等于150°,则这 个多边形的边数是____A_
A.12 B.9 C. 8
D.7
多边形的内角和公式: (n-2)180°
多边形的外角和:
360°
多边形的一个外角和它相邻的内角的关系:
互为邻补角

探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
如图，从多边形的一 个顶点A 出发，沿多边形 的各边走过各顶点，再回 到点A，然后转向出发的 方向．
A
探索n 边形的外角和
我们也可以在问题4 的基础上这样理解多边形外角 和等于360°．
在行程中转过的各个
角的和，就是多边形的外
180°× 3 = 540 °． B
E D
C
动手操作，探究新知
如图，从六边形的一个顶点出发，可以作___3__条 对角线，它们将六边形分为___4__个三角形，六边形的 内角和等于180°×__4__=___7_2_0__°．
F A
E
B
D
C
归纳总结，获得新知
思考 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发： （1）十边形的内角和为 1 440 度． （2）已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数
为___8___．
动脑思考，例题解析
例2 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一
组对角有什么关系？
C
解：如图，四边形ABCD 中，
D
∠A +∠C =180°．
∵ ∠A +∠B +∠C +∠D
应是整数，因此不存在这样的多边形．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样得到“多边形外角和等于360°”这
一结论的？
布置作业
教科书习题11.3第6题．
问题4 你能仿照上面的方法求n 边形（n 是不小 于3 的任意整数）的外角和吗？
因为n 边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角， 它们的和是180°，所以n 边形内角和加外角和等于 n ·180°，所以， n 边形的外角和为：

A
B
C
D
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下
的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能
是（ A ）
A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形
随堂即练
3.九边形的对角线有（ C ） A.25条 B.31条 C.27条 D.30条
4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条 对角线，则这是 十三 边形.
•
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
学习目标
情境引入
1.掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形.
2.掌握正多边形的概念.（重点）
3.会求多边形的对角线的条数.（难点）
情境引入
在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围 成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形 吗？
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午9时41分42秒 下午9时41分21:41:4221.8.10
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四

三角形的外角和等于360°.
练习1如图，在△ABC 中 ，BP,CP 分别是∠ABC,∠ACM 的平分
线.若∠ABP=22°,∠ACP=62°,
则∠A-∠P=( D )
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
解析：∵BP ,CP 分别是∠ABC,∠ACM 的平分线.
∴∠ABP=∠CBP=22°,∠ACP=∠MCP=62°, ∠ABC=2∠CBP,∠ACM=2∠MCP ∵∠A=∠ACM-∠ABC,∠P=∠MCP-∠CBP
相邻的内角
已知：如图，△ABC, 求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明2:过C 作CE 平行于AB,
∴∠1=∠B,
(两直线平行，同位角相等)
∠2=∠A ,
B
C D (两直线平行，内错角相等)
∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.
一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. A
三角形共有几个外角?
每一个三角形都有6 个外角 . 每一个顶点相对应的外角都有 2个，且这2个角为对顶角.
在△ABC 中，∠A=70°,∠B=60°,∠ACD 是△ABC的一个外角，能由 ∠A,∠ B求出∠ACD 的度数吗?∠AC D 与 ∠A,∠B 的大小又有 什么关系呢?
∠ACD=180°-∠ACB
和是多少?
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和，得
0
∠BAE=∠2+∠3, ∠CBF=∠1+∠3,
∠ACD=∠1+∠2,
你还有其 他解法吗?
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3).

16.若一个多边形的各边都相等,它的周长为96,且它的内角和是1800°,则它的边长是 8 .
综合能力提升练
17.将一块正五边形纸片( 图1 )做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒( 侧面均垂 直于底面,见图2 ),需在每一个顶点处剪去一个四边形,例如图1中的四边形ABCD,求∠BAD的度 数.
知识要点基础练
知识点2 多边形的外角和 4.一个正多边形的每个外角都等于36°,那么它是 ( C ) A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形 5.科技馆为某机器人编制一段程序,如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走,那么该机器 人所走的总路程为 12 米.
知识要点基础练
6.如图,六边形ABCDEF中,AB∥DC,∠1,∠2,∠3,∠4分别是∠BAF,∠AFE,∠FED,∠EDC的外角,则 ∠1+∠2+∠3+∠4= 180° .
解:由题意得纸盒的侧面是长方形,
∴∠ABC=∠ADC=90°, 又∵正五边形的每个内角的度数为( 5-2 )5×180°=108°, ∴∠BAD=360°-108°-90°×2=72°.
综合能力提升练
18.李明在计算某个多边形的内角和时得到1840°,老师说他算错了,于是李明认真地检查了一遍 . ( 1 )若他检查发现其中一个内角多算了一次,求这个多边形的边数是多少? ( 2 )若他检查发现漏算了一个内角,求漏算的那个内角是多少度?这个多边形是几边形? 解:( 1 )设这个多边形的边数是n,重复计算的内角的度数是x, 则( n-2 )·180°=1840°-x,解得n=12,x=40°.故这个多边形的边数是12. ( 2 )设这个多边形的边数是n,没有计算在内的内角的度数是x, 则( n-2 )·180°=1840°+x,解得n=13,x=140°, 故漏算的那个内角是140度,这个多边形是十三边形.

探索新知
多边形的有关概念.
定义: 在平面内，由一些线段首尾
顺次相接组成的封闭图形叫做 多边形。
探索新知
比一比
你能说出这两幅图形的异同点吗？
（1）
（2）
典题精讲
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边 所在的直线，整个四边形都在这条直线的 同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。 本节我们只讨论凸多边形。
六边形的内角和等于多少度？
A
A
E B
B
F E
C
D
C
D
180。×3=540。
180。×4=720。
典例精讲
A
B
C
四边形
A
B D
C
五边形
A
E
F
B E
D
C
D
六边形
180。×2=360。 180。×3=540。 180。×4=720。
（4-2）
（5-2）
（6-2）
思考：Nn边边形形的内内角角和和如=何表18示0？。×（n-2）
典例精讲
(3)可以从四边形的一个顶点出发，和其一 个顶点连接，将四边形分成两个三角形。 (4)可以在四边形的内部找一个点与四个顶 点连接，将四边形分成四个三角形。
像这样的方法还很多都能说明任意四边 形的内角和为360°，大家考虑一下后面几 种画线的方法有没有共同之处
典例精讲
2 选择同一种方法分别求出任意五边形、
探索多边形的内角和
多边形
三角形
3
边数
四边形
4
五边形
5
六边形
6
… n边形 …n
从一个顶 点引出对
0
角线的条
数