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可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
第1课时 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数的图象和性质提示：指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a .当a >1时，图象具有上升趋势；当0<a <1时，图象具有下降趋势．思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？ 提示：指数函数值随自变量的变化规律．1．下列函数一定是指数函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝x 3C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－xD [由指数函数的定义可知D 正确．] 2．函数y ＝3－x的图象是( )A B C DB [∵y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，∴B 选项正确．] 3．若指数函数f (x )的图象过点(3,8)，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝2xC ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝x 13B [设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)，则由f (3)＝8得a 3＝8，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ，故选B.]4．函数y ＝a x(a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a 的取值范围是________．(1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y ＝a x(a >0且a ≠1)在R 上是增函数，则a >1.]指数函数的概念【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x；④y ＝2·3x . A ．1 B ．2 C ．3D ．0(2)已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39，则f (－2)＝________.(1)D (2)19 [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数；③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.(2)设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2，所以f (－2)＝3－2＝19.]1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a x 的系数必须为1.2．求指数函数的解析式常用待定系数法．1．已知函数f (x )＝(2a －1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．] 指数函数的图象的应用【例2】 (1)函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0(2)函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．(1)D (2)(3,4) [(1)由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1， 又0<f (0)<1，所以0<a －b<1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D. (2)令x －3＝0得x ＝3，此时y ＝4.故函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点(3,4)．]指数函数图象问题的处理技巧(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.2．已知f (x )＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到： (1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x －1的图象是由y ＝2x的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x＋1的图象是由y ＝2x的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．]指数函数的定义域、值域问题[探究问题]1．函数y ＝2x 2＋1的定义域与f (x )＝x 2＋1的定义域什么关系？ 提示：定义域相同．2．如何求y ＝2x 2＋1的值域？提示：可先令t ＝x 2＋1，则易求得t 的取值范围为[1，＋∞)，又y ＝2t在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2t≥2，所以y ＝2x 2＋1的值域为[2，＋∞)．【例3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝1－3x；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3；(3)y ＝4x＋2x ＋1＋2.[思路点拨] 函数式有意义―→原函数的定义域 ――→指数函数的值域原函数的值域 [解] (1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y ＝3x在R 上是增函数，所以x ≤0，故函数y ＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x<1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x的值域为[0,1)． (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16. 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．(3)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R .因为2x>0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x＋2＝(2x＋1)2＋1>1＋1＝2，即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)．1．若本例(1)的函数换为“y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1”，求其定义域． [解] 由⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－1≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥⎝ ⎛⎭⎪⎫130，∴x ≤0，即函数的定义域为(－∞，0]． 2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x ≤2”，再求函数的值域． [解] ∵0≤x ≤2，∴1≤2x ≤4，∴y ＝4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1.令2x＝t ，则t ∈[1,4]，且f (t )＝(t ＋1)2＋1， 易知f (t )在[1,4]上单调递增， ∴f (1)≤f (t )≤f (4)，即5≤f (t )≤26， 即函数y ＝4x＋2x ＋1＋2的值域为[5,26]．1．函数y ＝a f (x )的定义域与y ＝f (x )的定义域相同． 2．函数y ＝af (x )的值域的求解方法如下：(1)换元，令t ＝f (x )； (2)求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； (3)求t ＝f (x )的值域t ∈M ；(4)利用y ＝a t的单调性求y ＝a t，t ∈M 的值域．3．形如y ＝f (a x)的值域，要先求出u ＝a x的值域，再结合y ＝f (u )确定出y ＝f (a x)的值域．1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y ＝a x(a >0且a ≠1)这一结构形式．2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．3．由于指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)的定义域为R ，所以函数y ＝af (x )(a >0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．1．思考辨析(1)y ＝x 2是指数函数．( ) (2)函数y ＝2－x不是指数函数．( ) (3)指数函数的图象一定在x 轴的上方．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．如图是指数函数①y ＝a x，②y ＝b x，③y ＝c x，④y ＝d x的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜cB [作直线x ＝1，与四个图象分别交于A ，B ，C ，D 四点，则A (1，a )，B (1，b )，C (1，c )，D (1，d )，由图可知b <a <1<d <c ，故选B.]3．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域是________．[0，＋∞) [由1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥0得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，∴x ≥0， ∴函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为[0，＋∞)．] 4．设f (x )＝3x，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x. (1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ [解] (1)函数f (x )，g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π， f (m )＝3m ，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m＝3m . 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y 轴对称．。
4.2.3 对数函数的性质与图像课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)给定函数:①y=x 12,②y=lo g 12(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是减函数的序号有( ) A.① B.② C.③ D.④x 12在(0,1)上为增函数;y=lo g 12(x+1)在(0,1)内为减函数;y=|x-1|在(0,1)内为减函数;y=2x+1在(0,1)内为增函数.2.已知函数f (x )=1-2x ,若a=f (log 30.8),b=f [(12)13],c=f (2-12),则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b(x )=1-2x 在定义域上为减函数,由(12)13>(12)12=2-12,得b<c ,由log 30.8<0<2-12,得c<a.所以b<c<a.3.函数f (x )=2|log 2x |的图像大致是( )f (x )=2|log 2x |={x ,x ≥1,1x,0<x <1,故选C .4.若0<a<1,且函数f (x )=|log a x|,则下列各式中成立的是( ) A.f (2)>f (13)>f (14) B.f (14)>f (2)>f (13)C.f(13)>f(2)>f(14)D.f(14)>f(13)>f(2)0<a<1,所以函数f(x)=|log a x|在(0,1)内单调递减,所以f(14)>f(13)>f(12).又f(12)=|log x12|=|-log a2|=|log a2|=f(2),从而有f(14)>f(13)>f(2).故选D.5.以下四个数中最大的是()A.(ln 2)2B.ln(ln 2)C.ln √2D.ln 20<ln2<1,∴ln(ln2)<0,(ln2)2<ln2.又∵ln√2=12ln2<ln2,∴最大的数是ln2.6.下面结论中,不正确的是()A.若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数B.函数y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数C.y=log a x2与y=2log a x表示同一函数D.若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0A,若a>1,则函数y=a x与y=log a x在定义域内均为增函数,正确;对于B,因为y=log3t与t=x2+1在(0,+∞)内均为增函数,所以y=log3(x2+1)在(0,+∞)内为增函数,正确;对于C,y=log a x2的定义域为{x|x≠0},y=2log a x的定义域为{x|x>0},两函数定义域不同,不表示同一函数,错误;对于D,若0<a<1,0<m<n<1,则一定有log a m>log a n>0,正确.故选C.7.已知函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像经过点14,2,则ab 的值为( )A.1B.2C.4D.8解析因为函数f (x )=log a x ,g (x )=b x的图像都经过点14,2,所以log a 14=2,x 14=2,解得a=12,b=16,则ab=8.8.设函数f (x )定义在实数集上,f (2-x )=f (x ),且当x ≥1时,f (x )=ln x ,则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12) B.f (12)<f (2)<f (13) C.f (12)<f (13)<f (2) D.f (2)<f (12)<f (13)f (2-x )=f (x )得x=1是函数f (x )的图像的一条对称轴,又当x ≥1时,f (x )=ln x 单调递增,∴当x<1时,函数单调递减. ∴f (12)<f (13)<f (0).又由已知得f (2)=f (0),∴f (12)<f (13)<f (2).9.已知函数f (x )=log 2x-2log 2(x+c ),其中c>0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是 ( )A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)f (x )≤1,得log 2x-2log 2(x+c )≤1,整理得log 2(x+c )≥log 2√x2,所以x+c ≥√x 2,即c ≥-x+√22√x (x>0).令√x =t (t>0),则c ≥-t 2+√22t.令g (t )=-t 2+√22t ,其图像对称轴为直线t=√24.所以g (t )max =g (√24)=-(√24)2+√22×√24=18.则c ≥18.所以,若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1,则c 的取值范围是[18,+∞).故选D . 10.若a>0,且a ≠1,则函数f (x )=√2log a (5x-10)+2恒过定点P 的坐标是 . (115,2)5x-10=1,解得x=115,所以函数f (x )恒过定点(115,2).11.函数f (x )=a x+log a (x+1)(a>0,且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值为 .0<a<1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是减函数;当a>1时,y=a x和y=log a (x+1)在[0,1]上都是增函数. 所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1). 而f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a , 即1+log a 2=0,故a=12.12.函数f (x )的定义域是[-1,1],则函数f (lo g 12x )的定义域为 .答案12,2解析由题得-1≤log 12x ≤1,所以lo g 122≤log 12x ≤log 1212,12≤x ≤2,所以函数f (lo g 12x )的定义域为12,2.13.已知函数f (x )=√log 2(x -1)的定义域为A ,函数g (x )=(12)x(-1≤x ≤0)的值域为B. (1)求A ∩B ;(2)若C={y|y ≤a-1},且B ⊆C ,求a 的取值范围.由题意知,{x -1>0,log 2(x -1)≥0,解得x ≥2.∴A={x|x ≥2}.易知B={y|1≤y ≤2}, ∴A ∩B={2}.(2)由(1)知B={y|1≤y ≤2},若要使B ⊆C ,则有a-1≥2.所以a ≥3.能力提升1.作出函数y=|log 2(x+1)|+2的图像.:作y=log 2x 的图像,如图①.第二步:将y=log 2x 的图像沿x 轴向左平移1个单位长度,得y=log 2(x+1)的图像,如图②. 第三步:将y=log 2(x+1)在x 轴下方的图像作关于x 轴的对称变换,得y=|log 2(x+1)|的图像,如图③.第四步:将y=|log 2(x+1)|的图像沿y 轴方向向上平移2个单位长度,便得到所求函数的图像,如图④.2.已知函数y=log 2x4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8). (1)令t=log 2x ,求y 关于t 的函数关系式及t 的范围;(2)求该函数的值域.因为2≤x ≤8,所以t ∈[1,3],则log 4x=12log 2x=12t. 因为y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8),所以y=(log 2x4)(log 4x -12)(2≤x ≤8). 所以y=(t-2)12t-12=12(t-2)(t-1)=12t 2-32t+1,t ∈[1,3]. (2)由(1)知y=12t 2-32t+1=12t-322-18,t ∈[1,3]. 当t ∈1,32时,函数单调递减,当t ∈32,3时,函数单调递增,所以当t=32时,y min =-18.因为当t=1时,y=0,当t=3时,y=12×32-32×3+1=1,所以y max =1. 所以函数y=log 2x 4(log 16x 2-log 2√2)(2≤x ≤8)的值域为-18,1.3.已知函数f (x )=log a [(1x-2)x +1]在区间[1,2]上的值恒为正,求实数a 的取值范围.当a>1时,只需(1x-2)x+1>1, 即(1x -2)x>0,∵1≤x ≤2,∴1x -2>0, 即a<12,这与a>1矛盾.(2)当0<a<1时,设g (x )=(1x -2)x+1(x ∈[1,2]),只需0<g (x )<1.①当a=12时,g (x )=1,f (x )=0,不合题意;②当0<a<12时,1x -2>0,g (x )是增函数,只要g (1)>0,且g (2)<1,解得12<a<1,与0<a<12矛盾;③当12<a<1时,1x -2<0,g (x )是减函数,只要g (2)>0,且g (1)<1,解得12<a<23.综上所述,a 的取值范围是(12,23).。
4.2.1 对数运算 4.2.2对数运算法则课后篇巩固提升夯实基础1.若ln x-ln y=a ,则ln (x 2)3-ln (x 2)3等于( )A.x2 B.a C.3x 2D.3a(x 2)3-ln (x 2)3=3(lnx 2-ln x2)=3(ln x-ln2-ln y+ln2)=3(ln x-ln y )=3a.2.已知a>0,a ≠1,x>y>0,n ∈N +,下列各式:①(log a x )n =n log a x ;②log a x=-log a 1x ;③log x x log xx =log a x x ;④√log x x x =1x log a x ;⑤1x log a x=log a √x x;⑥log a x=lo g x x x n;⑦log a x -x x +x =-log a x +xx -x. 其中成立的有( ) A.3个 B.4个C.5个D.6个②⑤⑥⑦正确.①式中n log a x=log a x n;③式中log a x x =log a x-log a y ;④式中1x log a x=log a √x x.3.(多选)已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0.若f (a )=13,则x 的可能取值为( ) A.-1 B.√2 C.√23D.2a>0时,由log 2a=13,得a=213=√23,故C 正确;当a ≤0时,由3a=13,得a=-1,故A 正确.4.如果关于lg x 的方程lg 2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x 1,lg x 2,那么x 1x 2的值为( )A.lg 2·lg 3B.lg 2+lg 3C.16 D.-6由已知,得lg x 1+lg x 2=-(lg2+lg3)=-lg6=lg 16, 又∵lg x 1+lg x 2=lg(x 1x 2),∴lg(x 1x 2)=lg 16.∴x 1x 2=16.5.已知f (x 5)=lg x ,则f (2)等于( ) A.lg 2 B.lg 32 C.lg 132 D.15lg 2方法一)令x 5=2,则x=215,∴f (2)=lg 215=15lg2.(方法二)令x 5=t ,则x=x 15,∴原函数可转化为f (t )=lg x 15=15lg t ,即f (x )=15lg x ,∴f (2)=15lg2.6.若2a =3b=6,则1x+1x=( )A.2B.3C.12D.12a =3b=6,∴a=log 26,b=log 36.∴1x +1x =1log 26+1log 36=log 62+log 63=1.7.若3α=2,则log 38-2log 36用含a 的代数式可表示为 ( )A.a-2B.3a-(1+a )2C.5a-2D.3a-a23a=2,∴a=log32,log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.8.已知log32=a,则2log36+log30.5=.2=2log3(2×3)+log312=2(log32+log33)-log32=log32+2=a+2.9.log56·log67·log78·log89·log910=.=lg6 lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9=lg10lg5=1lg5.10.若a=log43,则2a+2-a=,1x+1=.log312a=log43=log2√3,∴2a+2-a=2log2√3+2-log2√3=√3√3=4√33.∵1x=log34,1=log33,∴1x+1=log34+log33=log312.11.已知a,b,c为正数,且lg(ac)lg(bc)+1=0,则lg xx的取值范围是.-∞,-2]∪[2,+∞)lg c的一元二次方程有解问题进行处理.∵由题意,得(lg a+lg c)(lg b+lg c)+1=0,∴有(lg c)2+(lg a+lg b)lg c+lg a lg b+1=0.设lg c=t ,则t 2+(lg a+lg b )t+lg a lg b+1=0,t ∈R ,则关于t 的方程t 2+(lg a+lg b )t+lg a lg b+1=0有根,∴Δ=(lg a+lg b )2-4(lg a lg b+1)≥0.整理,得(lg a-lg b )2≥4,∴|lg x x |≥2.∴lg x x ≥2或lg xx ≤-2,即lg x x的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).12.计算:log 28+lg 11000+ln √23+21-12xxx 23+(lg 5)2+lg 2lg 50.=3-3+23+2÷212xxx 23+(lg5)2+lg2(lg5+1)=23+2√33+(lg5)2+(1-lg5)(1+lg5) =53+2√33.能力提升1.设a>0,a ≠1,x ,y 满足log a x+3log x a-log x y=3. (1)用log a x 表示log a y ;(2)当x 取何值时log a y 取得最小值?由题意得log a x+3logxx −log xxlog xx=3, ∴log x x log xx =log a x+3logx x-3.∴log a y=(log a x )2-3log a x+3.(2)设log a x=t ,t ∈R ,则有log a y=t 2-3t+3=(x -32)2+34(t ∈R ),∴当t=32时,log a y 取得最小值34,此时log a x=32,x=x 32,即当x=x 32时,log a y 取得最小值34.2.(1)已知5a =3,5b=4,求a ,b ,并用a ,b 表示log 2512. (2)求值:214 12-(√3-π)0+log 313+712log 74.因为5a =3,5b=4,所以a=log 53,b=log 54.所以log 2512=log 512log 525=12(log 53+log 54)=x +x 2.(2)原式=9412-1+(-1)+2=32-1-1+2=32.3.甲、乙两人解关于x 的方程log 2x+b+c log x 2=0,甲写错了常数b ,得到两个根14,18;乙写错了常数c 得到两个根12,64.求这个方程真正的根.log 2x+b+c ·1log 2x=0,即(log 2x )2+b log 2x+c=0.因为甲写错了常数b 得到两个根14,18,所以c=log 214·log 218=6.因为乙写错了常数c 得到两个根12,64, 所以b=-(log 212+log 264)=-5. 故原方程为(log 2x )2-5log 2x+6=0. 解得log 2x=2或log 2x=3. 所以x=4或x=8, 即方程真正的根为4,8.4.已知2y ·log y 4-2y-1=0,√log x √5x ·log 5x=-1,问是否存在一个正整数P ,使P=√1x-x ?2y·log y 4-2y-1=0,∴2y(log x 4-12)=0.又∵2y>0,∴log y 4=12.∴y=16.由√log x √5x ·log 5x=-1得√log x √5x =-log x 5>0,∴log x √5x =(log x 5)2. ∴12log x 5x=(log x 5)2. ∴2(log x 5)2-log x 5-1=0,即(2log x 5+1)(log x 5-1)=0,∴log x 5=-12或log x 5=1. ∵-log x 5>0,∴log x 5<0. ∴log x 5=1(舍去). ∴log x 5=-12,即x -12=5. ∴x=125.∴1x =25.∴P=√1x -x =√25-16=√9=3.即存在正整数P=3,使P=√1x -x .。
4.4.2 对数函数的图象和性质 4.4.3 不同函数增长的差异[基础自测]1．函数y ＝e x的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则( ) A ．f (x )＝lg x B ．f (x )＝log 2x C ．f (x )＝ln x D ．f (x )＝x e解析：易知y ＝f (x )是y ＝e x 的反函数，所以f (x )＝ln x . 答案：C2．若log 3a ＜0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13b＞1，则( )A ．a ＞1，b ＞0B ．0＜a ＜1，b ＞0C ．a ＞1，b ＜0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：由函数y ＝log 3x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象知，0＜a ＜1，b ＜0.答案：D3．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝3x B ．y ＝103x C ．y ＝log 2x D ．y ＝x 3解析：指数函数模型增长速度最快，故选A. 答案：A4．函数f (x )＝log 3(4x －x 2)的递增区间是________． 解析：由4x －x 2＞0得0＜x ＜4， 函数y ＝log 3(4x －x 2)的定义域为(0,4)． 令u ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4， 当x ∈(0,2]时，u ＝4x －x 2是增函数， 当x ∈(2,4]时，u ＝4x －x 2是减函数． 又∵y ＝log 3u 是增函数，∴函数y ＝log 3(4x －x 2)的增区间为(0,2]． 答案：(0,2]题型一比较大小[教材P133例3]例1 比较下列各题中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log a5.1，log a5.9(a＞0，且a≠1)．【解析】(1)log23.4和log28.5可看作函数y＝log2x的两个函数值．因为底数2＞1，对数函数y＝log2x是增函数，且3.4＜8.5，所以log23.4＜log28.5.(2)log0.31.8和log0.32.7可看作函数y＝log0.3x的两个函数值．因为底数0.3＜1，对数函数y＝log0.3x是减函数，且1.8＜2.7，所以log0.31.8＞log0.32.7.(3)log a5.1和log a5.9可看作函数y＝log a x的两个函数值．对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论．当a＞1时，因为函数y＝log a x是增函数，且5.1＜5.9，所以log a5.1＜log a5.9；当0＜a＜1时，因为函数y＝log a x是减函数，且5.1＜5.9，所以log a5.1＞log a5.9.构造对数函数，利用函数单调性比较大小．教材反思比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1 (1)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则( )A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．a＞c＞b D．c＞b＞a(2)比较下列各组值的大小：①log 230.5，log230.6. ②log1.51.6，log1.51.4.③log0.57，log0.67. ④log3π，log20.8.【解析】(1)a＝log2π＞1，b＝log12π＜0，c＝π－2∈(0,1)，所以a＞c＞b.(2)①因为函数y＝log 23x是减函数，且0.5＜0.6，所以log230.5＞log230.6.②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6＞1.4，所以log1.51.6＞log1.51.4.③因为0＞log 70.6＞log 70.5，所以1log 70.6＜1log 70.5，即log 0.67＜log 0.57.④因为log 3π＞log 31＝0，log 20.8＜log 21＝0，所以log 3π＞log 20.8. 【答案】 (1)C(2)①log230.5＞log 230.6.②log 1.51.6＞log 1.51.4.③log 0.67＜log 0.57.④log 3π＞log 20.8.状元随笔 (1)选择中间量0和1，比较大小． (2)①②③利用对数函数的单调性比较大小． ④用中间量0比较大小．题型二 解对数不等式例2 (1)已知log 0.72x ＜log 0.7(x －1)，则x 的取值范围为________； (2)已知log a (x －1)≥log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，求x 的取值范围． 【解析】 (1)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1，即x 的取值范围是(1，＋∞)． (2)log a (x －1)≥log a (3－x )，当a ＞1时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞0，3－x ＞0，x －1≥3－x ，解得2≤x ＜3.当0＜a ＜1时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，3－x ＞0，x －1≤3－x ，解得1＜x ≤2.综上可得，当a ＞1时，不等式log a (x －1)≥log a (3－x )中x 的取值范围为[2,3)；当0＜a ＜1时，不等式log a (x －1)≥log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)中x 的取值范围是(1,2]． 【答案】 (1)(1，＋∞) (2)答案见解析状元随笔 (1)利用函数y ＝log 0.7x 的单调性求解． (2)分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论，解不等式．方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )＜log a g (x )的不等式． ①当0＜a ＜1时，可转化为f (x )＞g (x )＞0； ②当a ＞1时，可转化为0＜f (x )＜g (x )．(2)形如log a f (x )＜b 的不等式可变形为log a f (x )＜b ＝log a a b. ①当0＜a ＜1时，可转化为f (x )＞a b； ②当a ＞1时，可转化为0＜f (x )＜a b .跟踪训练2 (1)满足不等式log 3x ＜1的x 的取值集合为________； (2)根据下列各式，确定实数a 的取值范围： ①log 1.5(2a )＞log 1.5(a －1)； ②log 0.5(a ＋1)＞log 0.5(3－a )． 解析：(1)因为log 3x ＜1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，log 3x ＜log 33，即0＜x ＜3.所以x 的取值集合为{x |0＜x ＜3}． (2)①函数y ＝log 1.5x 在(0，＋∞)上是增函数．因为log 1.5(2a )＞log 1.5(a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞a －1，a －1＞0，解得a ＞1，即实数a 的取值范围是a ＞1.②函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，因为log 0.5(a ＋1)＞log 0.5(3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－a ＞0，a ＋1＜3－a ，解得－1＜a ＜1.即实数a 的取值范围是－1＜a ＜1.答案：(1){x |0＜x ＜3} (2)①(1，＋∞) ②(－1,1) (1)log 33＝1.(2)由对数函数的单调性求解． 题型三 对数函数性质的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求实数a 的值．【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)因为f (x )＝log a [(1＋x )(3－x )] ＝log a (－x 2＋2x ＋3) ＝log a [－(x －1)2＋4]，若0＜a ＜1，则当x ＝1时，f (x )有最小值log a 4， 所以log a 4＝－2，a －2＝4， 又0＜a ＜1，所以a ＝12.若a ＞1，则当x ＝1时，f (x )有最大值log a 4，f (x )无最小值． 综上可知，a ＝12.真数大于0.分0＜a ＜1，a ＞1两类讨论． 方法归纳1．解答y ＝log a f (x )型或y ＝f (log a x )型函数需注意的问题①要注意变量的取值范围．例如，f (x )＝log 2x ，g (x )＝x 2＋x ，则f (g (x ))＝log 2(x 2＋x )中需要g (x )＞0；g (f (x ))＝(log 2x )2＋log 2x 中需要x ＞0.②判断y ＝log a f (x )型或y ＝f (log a x )型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．2．形如y ＝log a f (x )的函数的单调性判断 首先要确保f (x )＞0，当a ＞1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )＞0的前提下与y ＝f (x )的单调性一致． 当0＜a ＜1时，y ＝log a f (x )的单调性在f (x )＞0的前提下与y ＝f (x )的单调性相反． 跟踪训练3 已知函数f (x )＝log 2(1＋x 2)． 求证：(1)函数f (x )是偶函数；(2)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数． 证明：(1)函数f (x )的定义域是R ，f (－x )＝log 2[1＋(－x )2]＝log 2(1＋x 2)＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数． (2)设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(1＋x 21)－log 2(1＋x 22)＝log 21＋x 211＋x 22，由于0＜x 1＜x 2，则0＜x 21＜x 22，则0＜1＋x 21＜1＋x 22， 所以0＜1＋x 211＋x 22＜1.又函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以log 21＋x 211＋x 22＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数． (1)函数是偶函数， f(－x)＝f(x)．(2)用定义法证明函数是增函数． 题型四 几类函数模型的增长差异例4 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A ．y ＝2 018xB ．y ＝x2 018C ．y ＝log 2 018xD ．y ＝2 018x(2)四个自变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如表：【解析】 (1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y 2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．【答案】 (1)A (2)y 2状元随笔 (1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)观察变量y 1，y 2，y 3，y 4的变化情况→找出增长速度最快的变量→该变量关于x 呈指数型函数变化跟踪训练4 分析指数函数y ＝2x与对数函数y ＝log 2x 在区间[1，＋∞)上的增长情况．解析：指数函数y＝2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，y2－y1＝23－21＝6；对数函数y＝log2x，当x由x1＝1增加到x2＝3时，x2－x1＝2，而y2－y1＝log23－log21≈1.585 0.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y＝2x随着x的增长函数值的增长速度快，而对数函数y＝log2x的增长速度缓慢．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图象，从图象上可观察出函数的增长变化情况．如图：课时作业 24一、选择题1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜c B．b＜a＜cC．b＜c＜a D．a＜c＜b解析：因为0＝log0.51＜a＝log0.50.9＜log0.50.5＝1，b＝log1.10.9＜log1.11＝0，c＝1.10.9＞1.10＝1，所以b＜a＜c，故选B.答案：B2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有( )A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.答案：B3．若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) C ．(1，＋∞) D．(0,1)解析：当a ＞1时，log a 34＜0＜1，成立．当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数． 由 log a 34＜1＝log a a ，得0＜a ＜34.综上所述，0＜a ＜34或a ＞1.答案：B4．函数y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)的值域是( ) A ．(0,2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．[2，＋∞)解析：－x 2＋3x ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋254≤254，又－x 2＋3x ＋4＞0，则0＜－x 2＋3x ＋4≤254，函数y ＝log 0.4x 为(0，＋∞)上的减函数，则y ＝log 0.4(－x 2＋3x ＋4)≥log 0.4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．答案：B 二、填空题5．函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在[2,3]上的最大值为1，则a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )的最大值是f (3)＝1， 则log a 3＝1，∴a ＝3＞1.∴a ＝3符合题意． 当0＜a ＜1时，f (x )的最大值是f (2)＝1.则log a 2＝1，∴a ＝2＞1.∴a ＝2不合题意，综上知a ＝3. 答案：36．已知函数f (x )＝log 2a －x1＋x为奇函数，则实数a 的值为________．解析：由奇函数得f (x )＝－f (－x )，log 2 a －x 1＋x ＝－log 2a ＋x 1－x ，a －x 1＋x ＝1－x a ＋x，a 2＝1，因为a ≠－1， 所以a ＝1. 答案：17．如果函数f (x )＝(3－a )x与g (x )＝log a x 的增减性相同，则实数a 的取值范围是________．解析：若f (x )，g (x )均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞1，a ＞1，则1＜a ＜2；若f (x )，g (x )均为减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜3－a ＜1，0＜a ＜1，无解．答案：(1,2) 三、解答题8．比较下列各组对数值的大小： (1)log 151.6与log 152.9；(2)log 21.7与log 23.5； (3)log 123与log 153；(4)log 130.3与log 20.8.解析：(1)∵y ＝log 15x 在(0，＋∞)上单调递减，1.6＜2.9，∴log 151.6＞log 152.9.(2)∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，而1.7＜3.5， ∴log 21.7＜log 23.5.(3)借助y ＝log 12x 及y ＝log 15x 的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log 123＜log 153.(4)由对数函数性质知，log 130.3＞0，log 20.8＜0，∴log 130.3＞log 20.8.9．已知log a (2a ＋3)＜log a 3a ，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＞1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，2a ＋3＜3a ，2a ＋3＞0，解得a ＞3.(2)当0＜a ＜1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，2a ＋3＞3a ，3a ＞0，解得0＜a ＜1.综上所述，a 的范围是(0,1)∪(3，＋∞)．[尖子生题库]10．已知a ＞0且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性和奇偶性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－2m )＜0，求m 的取值范围． 解析：(1)令t ＝log a x (t ∈R )， 则x ＝a t，且f (t )＝a a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫a t －1a t ， 所以f (x )＝aa 2－1(a x－a －x)(x ∈R )；(2)因为f (－x )＝aa 2－1(a －x －a x) ＝－f (x )，且x ∈R ，所以f (x )为奇函数． 当a ＞1时，a x－a －x为增函数， 并且注意到aa 2－1＞0，11 所以这时f (x )为增函数；当0＜a ＜1时，类似可证f (x )为增函数． 所以f (x )在R 上为增函数；(3)因为f (1－m )＋f (1－2m )＜0，且f (x )为奇函数， 所以f (1－m )＜f (2m －1)．因为f (x )在(－1,1)上为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜1－m ＜1，－1＜2m －1＜1，1－m ＜2m －1.解之，得23＜m ＜1. 即m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.。
4．5.2 用二分法求方程的近似解教材要点要点 用二分法求方程的近似解 1．二分法对于在区间[a ，b ]上 的函数y ＝f （x ），通过不断地把函数f （x ）的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度ε，用二分法求函数y ＝f （x ）零点x 0的近似值的一般步骤 第一步：确定零点x 0的初始区间[a ，b ]，验证f （a ）·f （b ）＜0. 第二步：求区间（a ，b ）的中点c . 第三步：计算f （c ），并进一步确定零点所在的区间． （1）若f （c ）＝0（此时x 0＝c ），则c 就是函数的零点； （2）若f （a ）·f （c ）＜0，则令b ＝c （此时零点x 0∈（a ，c ））； （3）若f （c ）·f （b ）＜0，则令a ＝c （此时零点x 0∈（c ，b ））.第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |＜ε，则得到零点近似值a （或b ），否则重复第二步至第四步．状元随笔 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）用二分法可求所有函数零点的近似值．（ ）（2）用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位．（ ） （3）用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用．（ ）（4）用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间．（ ）2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）3．用二分法求函数f （x ）的一个正实数零点时，经计算f （0.64）＜0，f （0.72）＞0，f （0.68）＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ）A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.44．已知函数y ＝f （x ）在区间（2，4）上连续，验证f （2）·f （4）＜0，取区间（2，4）的中点x 1＝2+42＝3，计算得f （2）·f （x 1）＜0，则此时零点所在的区间为 Ｗ．题型1二分法的概念应用例1（1）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）（2）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1，3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是Ｗ．方法归纳二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．跟踪训练1（多选）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（）A．f（x）＝3x－1 B．f（x）＝x2－2x＋1C．f（x）＝log4x D．f（x）＝e x－2题型2用二分法求函数零点的近似值例2用二分法求函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点．（精确度0.01）方法归纳（1）用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则①需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）.②取区间端点的平均数c，计算f（c），确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．（2）二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看．同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．跟踪训练2根据下表，用二分法求函数f（x）＝x3－3x＋1在区间（1，2）上的零点的近似值（精确度为0.1）是（）C．0.127 197 26 D．1.562 5题型3用二分法求方程的近似解例3用二分法求2x＋x＝4在区间（1，2）内的近似解（精确度0.2）.参考数据：方法归纳用二分法求方程的近似解的方法对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解．跟踪训练3用二分法求函数f（x）＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3－x －4＝0的一个近似解（精确度为0.01）可取 Ｗ． 易错辨析 精确度理解不正确致误例4 用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似解（精确度为0.1）解析：令f （x ）＝x 2－5，因为f （2.2）＝－0.16＜0，f （2.4）＝0.76＞0，所以f （2.2）·f （2.4）＜0，所以函数f （x ）在区间（2.2，2.4）内有零点，设为x 0.取区间（2.2，2.4）的中点x 1＝2.3，f （2.3）＝0.29＞0，因为f （2.2）·f （2.3）＜0，所以x 0∈（2.2，2.3）.再取区间（2.2，2.3）的中点x 2＝2.25，f （2.25）＝0.062 5＞0， 因为f （2.2）·f （2.25）＜0，所以x 0∈（2.2，2.25）.因为|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以原方程的一个近似正解可取为2.25. 易错警示 课堂十分钟1．用二分法求如图所示函数f （x ）的零点时，不可能求出的零点是（ ）A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 42．用二分法求函数f （x ）＝2x －3的零点时，初始区间可选为（ ） A ．（－1，0） B ．（0，1） C ．（1，2） D ．（2，3）3．在用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f （1）＜0，f （1.5）＞0，f （1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定4．用二分法求函数y ＝f （x ）在区间[2，4]上的近似零点（精确度为0.01），验证f （2）·f （4）＜0，取区间[2，4]的中点x 1＝2+42＝3，计算得f （2）·f （x 1）＜0，则此时零点x 0所在的区间是.5．以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f（x）＝x3＋3x－5，其图象在（－∞，＋∞）上是连续不断的一条曲线．先求值，f（0）＝，f（1）＝，f（2）＝，f（3）＝Ｗ．所以f（x4．5.2用二分法求方程的近似解新知初探·课前预习要点1．图象连续不断且f(a)·f(b)＜0一分为二零点[基础自测]1．(1)×(2)√(3)√(4)√2．答案：C3．答案：B4．答案：(2，3)题型探究·课堂解透例1解析：(1)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.(2)设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2＜0，f(3)＝10＞0，f(2)＝3＞0，f(x)零点所在的区间为(1，2)，所以方程2x＋3x－7＝0有根的区间是(1，2).答案：(1)B(2)(1，2)跟踪训练1解析：f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.答案：ACD例2解析：经计算f(1)＜0，f(1.5)＞0，所以函数在[1，1.5]内存在零点x0.取(1，1.5)的中点x1＝1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25，1.5)，如此继续下去，如下表：因为|1.328 125－1.320 312 5|＝0.007 812 5＜0.01，所以函数f(x)＝x3－x－1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328 125.跟踪训练2解析：因为f(1.5)＝－0.125＜0.f(1.562 5)≈0.127 197 27＞0，f(x)在(1，2)上是连续的，且|1.562 5－1.5|＝0.062 5＜0.1，所以区间[1.5，1.562 5]中的任何一个值可作为函数f(x)在区间(1，2)上零点的近似值．故选D答案：D例3解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，∴2x＋x＝4在(1，2)内的近似解可取为1.375.跟踪训练3解析：由题中图表可知f(x)＝3x－x－4的零点在1.556 2和1.562 5之间，方程3x－x－4＝0的近似解在1.556 2和1.562 5之间，由题意知近似解要精确到0.01，所以方程3x－x－3＝0的近似解为1.56.答案：1.56[课堂十分钟]1．答案：C2．答案：C3．答案：B4．答案：(2，3)5．解析：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.。
