高等数学电子教案
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第二节 数列的极限
教学目的：使学生理解数列极限的定义及性质，并能用定义证明一些简单数列的极
限。
教学重点：数列极限的定义及性质。
教学过程：
一、复习数列的定义：
定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 3,2,1),
(==n n f x n ，由于全体
自然数可以从小到大排成一列，因此数列的对应值也可以排成一列：
n x x x ,,21，这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为{}n x 或数列n x 。
数列中的每一数称为数列的项，第n 项n x 称为一般项或通项。
【例1】 书上用圆内接正126-⨯n 边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列
,,,21n A A A （多边形的面积数列）
【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构
成一数列： ,21,21,21,2132n ，通项为n 2
1。
【例3】 ;
,)1(,,1,12;
1,31,21,111 ---n n
）（）（ ;
,1
,,34,23,24;
,2,,6,4,23 n
n n +）（）（ 都是数列，其通项分别为n
n n n n 1
,2,)1(,11+--。
注：在数轴上，数列的每项都相应有点对应它。
如果将n x 依次在数轴上描出点的位
置，限我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然，⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n 1,21是无限接近于0的；
{}n 2是无增大的；{}1)1(--n 的项是在1与1-两点跳动的，不接近于某一常数；⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧+n n 1无限接近常数1。
对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。
二、讲授新课——数列的极限
我们来观察⎭
⎬
⎫
⎩⎨⎧+n n 1的情况。
从图中不难发现n n 1+随着n 的增大，无限制地接近1，亦即n 充分大时，
n
n 1
+与1可以任意地接近，即11-+n n 可以任意地小，换言之，当n 充分大时
11
-+n
n 可以小于预先给定的无论多么小的正数ε。
例如，取1001=
ε，由1001001111>⇒<=-+n n n n ，即⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+n n 1从第101项开始，以后的项 ,102103,101102102101==
x x 都满足不等式100
1
1<
-n x ，或者说，当100>n 时，有100111<-+n n 。
同理，若取10000
1=ε，由10000100001111>⇒<=-+n n n n ，即⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+n n 1从第10001项开始，以后的项 ,1000210003,100011000210002
10001==x x 都满足不等式10000
1
1<
-n x ，或说，当10000>n 时，有10000111<-+n n 。
一般地，不论给定的正数ε多么小，总存在一个正整数N ，当N n >时，有ε<-+11
n
n 。
这就充分体现了当n 越来越大时，
n
n 1
+无限接近1这一事实。
这个数“1”称为当∞→n 时，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+n n 1的极限。
定义：若对0>∀ε（不论ε多么小），总∃自然数0>N ，使得当N n >时都有ε
<-a x n 成立，这是就称常数a 是数列n x 的极限，或称数列n x 收敛于a ，记为a x n n =∞
→lim ，
或a x n →（∞→n ）。
如果数列没有极限，就说数列是发散的。
【例4】证明数列 ,1
,,34,23,2n
n +收敛于1。
证明：对0>∀ε，要使得
ε<=-+n n n 111，只须ε1>n ，所以取⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=ε1N ，当N n >时，有ε<=-+n n n 111，所以11
lim =+∞→n
n n 。
注1：ε是衡量n x 与a 的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。
然而，尽管ε具有任意性，但一经给出，就应视为不变。
（另外，ε具有任意性，那么2,2,2
εεε
等
也具有任意性，它们也可代替ε）
2：N 是随ε的变小而变大的，是ε的函数，即N 是依赖于ε的。
在解题中，N 等
于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ，使得当N n >时，
有ε<-a x n 就行了，而不必求最小的N 。
【例5】证明1lim
2
2=+∞
→n
a n n 。
证明：对0>∀ε，因为ε<=-+n
n n 1
11,因为n
a n a n n a n a n 2
22222)(1<++=-+
（此处不妨设0≠a ，若0=a ，显然有1lim
2
2=+∞
→n
a n n ） 所以要使得
ε<-+122n a n ，只须ε<n
a 2
就行了。
即有ε2a n >. 所以取][2
εa N = ，当N n >时，因为有
ε<n
a 2
⇒ ε<-+12
2n
a n ，所以1lim
22=+∞→n a n n 。
注3：有时找N 比较困难，这时我们可把a x n -适当地变形、放大（千万不可缩小！），
若放大后小于ε，那么必有ε<-a x n 。
【例6】 设1<q ，证明 ,,,,,112-n q q q 的极限为0，即0lim 1=-∞
→n n q 。
证明：若0=q ，结论是显然的，现设10<<q ，对0>∀ε，（因为ε越小越好，不妨
设1<ε），要使得ε<--01n q ，即ε<-1
n q
，只须两边放对数后，ε
ln ln )1(<-q n 成立就行了。
因为10<<q ，所以0ln <q ，所以q
n q n ln ln 1ln ln 1ε
ε+>⇒>
- 。
取⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+=q N ln ln 1ε，所以当N n >时，有ε<--01
n q 成立。
收敛数列的有关性质：
定理1：（唯一性）数列n x 不能收敛于两个不同的极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有
ε<-a x n (1)
当2N n >时，有ε<-b x n …(2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）
同时成立。
现考虑：
εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
【例7】证明数列1)1(+-=n n x 是发散的。
证明：（反证法）假设n x 收敛，由唯一性，设a x n n =∞
→lim ，按定义，对∃=
,2
1
ε自然数N ，当N n > 时，
2
1=
<-εa x n ，考虑
12
1
2111=+<
-+-≤-++a x a x x x n n n n ，而n x ，1+n x 总是一个“1”，一个“1-”，所以11=-+n n x x ,所以矛盾，
所以 1)1(+-=n n x 发散。
定理2. （有界性）若数列n x 收敛，那么它一定有界，即：对于数列 n x ，若∃正数
M ，对一切n ，有M x n ≤。
证明：设a x n n =∞
→lim ，由定义对∃=,1ε自然数,N 当N n >时，1=<-εa x n ，所以当
N n >时，a a a x x n n +<+-≤1，令}1,,{21a x x x Max M N += ，显然对一切n ，M x n ≤。
注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。
例如数列1)1(+-=n n x 是有界的
（1≤n x ），但数列不收敛。
三、课堂练习 四、布置作业
. .。
