突破6类解答题三角函数问题重在“变”——变角、变式思维流程策略指导1.常用的变角技巧: (1)已知角与特殊角的变换; (2)已知角与目标角的变换; (3)角与其倍角的变换;(4)两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如:α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α+β=2·α+β2,α+β2=(α-β2)-(α2-β). 2.常用的变式技巧:主要从函数名、次数、系数等方面入手,常见的情况有:(1)讨论三角函数的性质时,常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论;(2)涉及sin x±cos x 、sin x ·cos x 的问题,常做换元处理,如令t=sin x±cos x,t ∈[-√2,√2],将原问题转化为关于t 的函数来处理; (3)在解决三角形的问题时,常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等方法.规范解答典例1 (2019课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.标准答案阅卷现场解析 (1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc.(2分)① 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12.(4分)②因为0°<A<180°,所以A=60°.(5分)③(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C, (7分)④即√62+√32cos C+12sin C=2sin C, 可得cos(C+60°)=-√22.(9分)⑤由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,(10分)⑥故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)·sin60°=√6+√24.(12分)⑦ 第(1)问踩点得分 ①由正弦定理将角之间的关系转化为边之间的关系b 2+c 2-a 2=bc 得2分.②将所得边之间的关系变形并求得cos A 的值得2分. ③由cos A 的值及A 的取值范围求出A 的值得1分. 第(2)问踩点得分④借助第(1)问的结果,利用正弦定理将条件√2a+b=2c 转化为三角函数间的关系得2分. ⑤利用三角恒等变换求得cos(C+60°)的值得2分. ⑥利用同角三角函数基本关系求sin(C+60°)的值得1分. ⑦通过变角,利用三角恒等变换求得sin C 的值得2分.题后悟通1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”数列问题重在“归”——化归思维流程策略指导 化归的常用策略化归:首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量,将已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系.归纳:对于不是等差或等比的数列,可从特殊的情景出发,归纳出一般性的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.规范解答典例2 (2018课标全国Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;切入点:利用等比数列的通项公式求出公比q.(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.关键点:根据等比数列的前n 项和公式,列出方程,求出m.标准答案阅卷现场解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1.(1分)① 由已知得q 4=4q 2,(2分)②解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.(4分)③ 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1.(6分)④(2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)n3.(7分)⑤由S m =63得(-2)m =-188,(8分)⑥ 此方程没有正整数解.(9分)⑦ 若a n =2n-1,则S n =2n -1.第(1)问踩点得分 ①正确写出通项公式得1分.②根据题目中的条件,结合通项公式列出关于q 的方程得1分.③正确求出公比q 得2分,没有将q=0舍去扣1分.④每正确写出一个通项公式得1分. 第(2)问踩点得分⑤正确写出前n 项和公式得1分.由S m=63得2m=64,(11分)⑧解得m=6.综上,m=6.(12分)⑨⑥根据⑤及题目中的条件,写出关于m的方程得1分.⑦判断方程是否有正整数解,判断正确得1分.⑧正确写出当a n=2n-1时,2m=64得2分.⑨解得m=6,正确得1分.题后悟通如果一个数列是等差(比)数列或者是可以转化为等差(比)数列的数列,破解此类题的关键点如下:(1)做判断.根据条件判断数列是等差(比)数列或者特殊的数列.(2)求基本量.若是等差(比)数列,求出其首项和公差(比).(3)得结论.根据条件灵活选用公式,代入求值.立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换思维流程策略指导立体几何解答题建模、转换策略立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型及角度,距离等的计算模型.建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.规范解答典例3 (2019课标全国Ⅰ,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE;(2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:连接B 1C,ME.因为M,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME ∥B 1C,且ME=12B 1C.(1分)①又因为N 为A 1D 的中点,所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC,可得B 1C A 1D,故ME ND,(2分)②因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED.(3分)③ 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE.(4分)④(2)由已知可得DE ⊥DA.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,(5分)⑤则第(1)问踩点得分①证明ME 12B 1C 得1分. ②证得ME ND 得1分. ③利用平行四边形的性质,证明MN ∥ED 得1分.④利用线面平行的判定定理证得结论得1分.第(2)问踩点得分 ⑤建立恰当的空间直角坐标系得1分.⑥正确求出各点坐标、向量坐标得1分.⑦正确求出平面A 1MA 的法向量得2分.A(2,0,0),A 1(2,0,4),M(1,√3,2),N(1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0).(6分)⑥ 设m=(x,y,z)为平面A 1MA 的法向量,则{m ·A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-x +√3y -2z =0,-4z =0.可取m=(√3,1,0).(8分)⑦设n=(p,q,r)为平面A 1MN 的法向量,则{n ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以{-√3q =0,-p -2r =0.可取n=(2,0,-1).(10分)⑧于是cos<m,n>=m ·n |m||n|=√32×√5=√155,(11分)⑨ 所以二面角A-MA 1-N 的正弦值为√105.(12分)⑩ ⑧正确求出平面A 1MN 的法向量得2分.⑨正确求出两法向量夹角的余弦值得1分.⑩正确求出二面角的正弦值得1分.题后悟通利用法向量求解空间角的关键在于“四破”概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图思维流程策略指导概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略 (1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么关系,如互斥、对立等.(2)理清事件以什么形式发生,如同时发生、至少有几个发生等. (3)明确抽取方式,如放回还是不放回、抽取有无顺序等. (4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数,或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率. (5)确定随机变量的取值并求其对应的概率,写出分布列再求期望.(6)会套用求b ^、K 2的公式求值,从而进一步求值与分析. (7)理解各图表所给的信息,根据信息找出所要数据.规范解答典例4 (2019课标全国Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.标准答案阅卷现场解析(1)X的所有可能取值为-1,0,1.(1分)①P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).(3分)②所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(4分)③(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.(5分)④因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,第(1)问踩点得分①正确写出随机变量X的取值得1分.②正确求出X取不同值时的概率得2分.③列出X的分布列得1分.第(2)问踩点得分④求出a,b,c的值得1分.⑤通过变形得出关系式p i+1-p i=4(p i-p i-1)得2分.故0.1(p i+1-p i )=0.4(p i -p i-1),即p i+1-p i =4(p i -p i-1).(7分)⑤ 因为p 1-p 0=p 1≠0,续表标准答案阅卷现场所以{p i+1-p i }(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p 1的等比数列.(8分)⑥ (ii)由(i)可得p 8=p 8-p 7+p 7-p 6+…+p 1-p 0+p 0=(p 8-p 7)+(p 7-p 6)+…+(p 1-p 0)=48-13p 1. 由于p 8=1,故p 1=348-1,(10分)⑦ 所以p 4=(p 4-p 3)+(p 3-p 2)+(p 2-p 1)+(p 1-p 0)=44-13p 1=1257.(11分)⑧p 4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p 4=1257≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.(12分)⑨⑥得出{p i+1-p i }的性质得1分.⑦根据p 8,利用累加法求得p 1得2分.⑧利用累加法求得p 4得1分. ⑨根据p 4的值解得这种试验方案的合理得1分.题后悟通1.本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力,解决本题的关键是正确理解题意,准确将实际问题转化为数列问题,利用数列的性质求解.2.概率问题的求解关键是辨别它的概率模型,只要找到模型,问题便迎刃而解了.而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,常常因题设条件理解不准而出错.另外,还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别,合理划分复合事件.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线思维流程策略指导圆锥曲线解答题的常见类型:第1小题通常是根据已知条件,求曲线方程或离心率,一般比较简单;第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等,这一小题综合性较强,可通过巧设“点”“线”,设而不求. 在具体求解时,可将整个解题过程分成程序化的三步:第一步,联立两个方程,并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出; 第二步,用两个交点的同一类坐标的和与积来表示题目中涉及的位置关系和数量关系;第三步,求解转化而来的代数问题,并将结果回归到原几何问题中. 在求解时,要根据题目特征恰当地设点、设线,以简化运算.规范解答典例5 (2019课标全国Ⅲ,21,12分)已知曲线C:y=x 22,D 为直线y=-12上的动点,过D 作C 的两条切线,切点分别为A,B.(1)证明:直线AB 过定点;切入点:(1)D 为直线y=-12上的动点;(2)A,B 为过D 作C 的两条切线的切点.(2)若以E (0,52)为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积.标准答案阅卷现场解析 (1)证明:设D (t,-12),A(x 1,y 1),则x 12=2y 1.(1分)① 由于y'=x,所以切线DA 的斜率为x 1,故y 1+12x 1-t =x 1. 整理得2tx 1-2y 1+1=0.(2分)②设B(x 2,y 2),同理可得2tx 2-2y 2+1=0.(3分)③ 故直线AB 的方程为2tx-2y+1=0. 所以直线AB 过定点(0,12).(4分)④ (2)由(1)得直线AB 的方程为y=tx+12.(5分)⑤ 由{y =tx +12,y =x22可得x 2-2tx-1=0.(6分)⑥于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=-1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1,|AB|=√1+t 2|x 1-x 2|=√1+t 2×√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=2(t 2+1).(8分)⑦设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离,则d 1=√t 2+1,d 2=2√t +1.(9分)⑧因此,四边形ADBE 的面积S=12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1.(10分)⑨设M 为线段AB 的中点,则M (t,t 2+12). 由于EM ⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗ ,而EM ⃗⃗⃗⃗ =(t,t 2-2),AB ⃗⃗⃗⃗ 与向量(1,t)平行, 所以t+(t 2-2)t=0.解得t=0或t=±1.(11分)⑩ 当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4√2.因此,四边形ADBE 的面积为3或4√2.(12分)第(1)问踩点得分 ①正确设出D,A 两点的坐标得1分.②利用切线的斜率建立t,x 1,y 1的关系得1分.③建立与B 点坐标的关系得1分.④正确证明结论得1分. 第(2)问踩点得分⑤用参数表示出AB 的方程得1分.⑥联立直线与抛物线的方程并正确化简得1分.⑦利用弦长公式得出|AB|得2分.⑧求出D,E 到AB 的距离得1分.⑨表示出四边形ADBE 的面积得1分.⑩利用直线与圆相切求出参数t 的值得1分.求出四边形的面积得1分.题后悟通解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤 (1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是不是零);(3)得到根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.函数与导数问题重在“分”——分离、分解思维流程策略指导函数与导数问题一般以函数为载体,导数为工具,重点考查函数的一些性质,如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论,复杂函数零点的讨论,有关函数不等式中参数范围的讨论,恒成立和能成立问题的讨论等,是近几年高考试题的命题热点.对于这类综合问题,一般是先求导,再变形、分离或分解出基本函数,再根据题意处理.规范解答典例6 (2018课标全国Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=e x -ax 2. (1)若a=1,证明:当x ≥0时, f(x)≥1;切入点:构造新函数,利用导数判断其单调性并进行证明.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.关键点:对函数f(x)求导,并构造函数,结合函数的单调性,确定函数零点的情况,最后求a.标准答案阅卷现场解析(1)证明:当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,(1分)①则g'(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.(2分)②当x≠1时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减.(3分)③而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(4分)④(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(5分)⑤(ii)当a>0时,h'(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0.所以h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在(0,+∞)的最小值.(6分)⑥①若h(2)>0,即a<e24,h(x)在(0,+∞)没有零点;(7分)⑦②若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+∞)只有一个零点;(8分)⑧③若h(2)<0,即a>e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-16a3e4a =1-16a3(e2a)2>1-16a3(2a)4=1-1a>0.(10分)⑨故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=e24.(12分)⑩第(1)问踩点得分①构造函数g(x)=(x2+1)e-x-1得1分.②正确求导得1分.③判断出g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减得1分.④得出结论得1分.第(2)问踩点得分⑤判断出当a≤0时,h(x)没有零点得1分.⑥求出h(x)在(0,+∞)的最小值为h(2)得1分.⑦得出a<e24时,h(x)在(0,+∞)没有零点得1分.⑧得出a=e24时,h(x)在(0,+∞)只有一个零点得1分.⑨对h(2)<0时,分析得出h(4a)>0得2分.⑩判断出h(x)在(2,4a)有一个零点,并求出a的值得2分.题后悟通函数与导数综合问题的解题关键(1)求函数的极值点,先求方程f'(x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后根据表格内容即可写出函数的极值;(2)证明不等式常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法外,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,求参数的取值范围.。
-1-微专题(六)换元法求解与指数型函数有关的最值问题
[例]已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数的值域．解析：y ＝a 2x ＋2a x －1，令t ＝a x ，
则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.
当a >1时，∵x ≥0，∴t ≥1，∴当a >1时，y ≥2.
当0<a <1时，∵x ≥0，∴0<t ≤1.
∵g (0)＝－1，g (1)＝2，
∴当0<a <1时，－1<y ≤2.
综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0<a <1时，函数的值域是(－1,2]．
名师点评
1．此例利用了换元法，把函数f (x )转化为y ＝t 2＋2t －1，将问题转化为求二次函数的最值(值域)问题，从而减少了运算量．
2．对于同时含有a x 与a 2x (a >0且a ≠1)的函数、方程、不等式问题，通常令t ＝a x 进行换元巧解，但一定要注意新元的范围；对数函数中的类似问题，也用这种方法．
[变式练]已知函数y ＝4x ＋m ·2x －2在区间[－2,2]上单调递增，则m 的取值范围为________．
微专题(六)
变式练
解析：设t ＝2x ，则y ＝4x ＋m ·2x －2＝t 2＋mt －2.
因为x ∈[－2,2]，所以t ∈14，4.
又函数y ＝4x ＋m ·2x －2在区间[－2,2]上单调递增，
即y ＝t 2＋mt －2在区间14，4上单调递增，故有－m 2≤14，解得m ≥－12.所以m 的取值范围为－12，＋
答案：－12，＋∞。
