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3.1.2不等关系与不等式(二)课件ppt(北师大版必修五)

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2019_2020学年高中数学第3章不等式3.1不等关系课件北师大版必修5

2019_2020学年高中数学第3章不等式3.1不等关系课件北师大版必修5

第26页
题型三 比较大小 例 3 (1)比较 x2＋3 与 3x 的大小，其中 x∈R. (2)已知 x>3，比较 x3＋3 与 3x2＋x 的大小．
第27页
【解析】 (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3 ＝(x－23)2＋34≥34>0， ∴x2＋3>3x. (2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x.
∵a>0，令(a＋1)(a－1)>0，得 a>1.
∴当 a>1 时，（a＋1）a（a－1）>0，此时 a>1a；
当 a＝1 时，（a＋1）a（a－1）＝0，此时 a＝1a；
当
0<a<1
时，（a＋1）a（a－1）<0，此时
1 a<a.
综上，当 0<a<1 时，a<1a；当 a＝1 时，a＝1a；当 a>1 时，a>1a.
第28页
探究 3 (1)作差法比较 a 与 b 的大小，归结为判断它们的差 a－b 的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这 里无关紧要)．
(2)确定差的符号往往有两种方法(类型)： ①将差式化成几个非负数或非正数的和的形式(如(1)题)． ②将差式化成几个因式乘积的形式(如(2)题)． (3)作差比较大小的步骤： 作差→变形→定号→下结论．
答案 x≥1 550
第47页
5．某市政府准备投资 1 800 万元兴办一所中学，经调查，班 级数量以 20 到 30 个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为 28 万元与 58 万元，该学校的规模(初、高中班级数量 x，y)所满足 的条件是________．
3.1不等关系 课件(北师大版必修五)

3.1不等关系 课件(北师大版必修五)

1.通过实例了解生活中的不等关系(重点).
2.用不等式（组）正确表示出不等关系(难点). 3.掌握实数大小的比较方法及实数运算的基本性质(难点、 易错点).
将不等关系表示成不等式 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量； (2)用适当的不等号连接； (3)多个不等关系用不等式组表示.
若a>b,c>d，则a+c>b+d，是否有a>b,c>d则a-c>b-d
2 000 g，糖3 000 g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足
的不等式组.
【审题指导】先设出每天应配制的两种饮料的杯数，按奶粉、
咖啡、糖三种原料的用量分别建立不等关系进行表示即可 .
【规范解答】设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，
则x、y应满足如下条件：
（1）奶粉的总使用量不大于3 600 g;
【审题指导】用a+b，a-b来表示2a+3b，再利用不等式的性
质求2a+3b的取值范围.
【规范解答】设2a+3b=x（a+b）+y（a-b），
5 x 2 解得 „„„„„„„„„„„„4分 y 1 2
2
∴
x y 2,
x y 3.
∴ 5 ＜ 5 (a b)＜15， -2＜ 1 （a-b）＜-1，„„„„„„„„„„„„„„8分
问题中的不等关系可以从“不超过”“至少”“至多”等
关键词上去把握，并考虑到实际意义.
解题中要特别注意不等关系中文字语言与符
号语言之间的转换.
【例1】咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、 糖分别为9 g,4 g,3 g，乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别 为4 g,5 g,10 g，已知每天可用原料为奶粉3 600 g，咖啡
【精选】_高中数学第三章不等式3.1.1_2不等关系课件北师大版必修5

【精选】_高中数学第三章不等式3.1.1_2不等关系课件北师大版必修5

(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确 定的数或式的大小的比较，作商后可变形为能与1比较大小的式 子．
跟踪训练 2 将本例(1)中的条件“x≤1”改为“x∈R”，试 比较x3－1与2x2－2x的大小．
解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
解析：由于b<2a,3d<c，则由不等式的性质得b＋3d<2a＋c，故 选C.
答案：C
3．已知a，b均为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－ 4)(填“>”“<”或“＝”)．
解析：因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－ 2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34. 当x>1时，x3－1>2x2－2x； 当x<1时，x3－1<2x2－2x； 当x＝1时，x3－1＝2x2－2x.
类型三 不等式的基本性质
[例3] (1)以下结论一定能推出a<b的是( )
A．(a－b)a2<0 B．a2<b2
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/8/4
最新中小学教学课件
30
谢谢欣赏！
2019/8/4
最新中小学教学课件
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(2)因为a>0，b>0，所以aabb>0，abba>0. 所以aaabbbba＝abaa－ －bb＝aba－b.
2022版数学北师大版必修五课件-3.1-不等关系

2022版数学北师大版必修五课件-3.1-不等关系


注意 同向
同正
第1讲 描述运动的基第本三概章念 不等式
4 | 常见的文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 符号语言
大于、高 于、超过
>
小于、低 于、少于
<
大于或等于、 至少、不低于
≥
小于或等于、 至多、不超过
≤
第1讲 描述运动的基第本三概章念 不等式
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
b
6.若a3>b3,则a>b. ( √ )
第1讲 描述运动的基第本三概章念 不等式
1 | 如何正确运用不等式的性质及推论 不等式的性质及推论有以下几点在应用时容易被忽略,从而导致出错,应注意: 1.在使用不等式的性质时,一定要弄清它们成立的前提条件. (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等 号是传递不过去的,如a≤b,b<c⇒a<c; (2)在乘法法则中,要特别注意乘数c的符号,例如,当c≠0时,有a>b⇒ac2>bc2;若无 “c≠0”这个条件,则a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,ac2=bc2); (3)“a>b>0⇒an>bn>0(n∈N+)”成立的条件是“n∈N+,a>b>0”.假如去掉“n∈N +”这个条件,取n=-1,a=3,b=2,那么就出现“3-1>2-1,即13 > 12”的错误结论;假如去掉 “b>0”这个条件,取a=3,b=-5,n=2,那么就会出现“32>(-5)2,即9>25”的错误结论. 2.注意不等式性质的可逆性.只有a>b⇔b<a,a>b⇔a+c>b+c,a>b⇔ac>bc(c>0)是可 逆的,其余几条性质是不可逆的.
3.1.2不等关系与不等式(二)课件ppt(北师大版必修五)

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1.2 不等关系与不等式 (二)
【课标要求】
1．掌握不等式的有关性质．
2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或证明不等式
．
【核心扫描】
1．不等式的八条性质的理解和应用．(重点、难点)
2．不等式的性质应用广泛、特别是结合其他性质进行判断，
和函数等知识结合命题．
课前探究学习 课堂讲练互动
自学导引
1．不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b＜a 可逆
并无相除式．
课前探究学习 课堂讲练互动
性质 别名 性质内容 注意
5 同向可加性 同向
同向同正
6 同向
可乘性
a＞b＞0 an＞bn
7 可乘方性
(n∈N，n≥2)
同正
8 可开方性
课前探究学习 课堂讲练互动
2 传递性 a＞b，b＞c a＞c
3 可加性 a＞b a＋c＞b＋c 可逆
4 可乘性 c的符号
课前探究学习 课堂讲练互动
想一想：若a＞b＞0，当n＜0时， an＞bn成立吗？
课前探究学习 课堂讲练互动
名师点睛
1．对不等式性质的理解
(1)不等式的性质是不等式பைடு நூலகம்基础知识，是不等式变形的依
据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关键，
不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2)性质4中①当c＞0时，得同向不等式．②当c＜0时，得
异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc.
(3)性质5是同向不等式相加得同向不等式并无相减式．
(4)性质6是均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，
3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)

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4．一个重要结论 a＋m ＞ a. 设 a，b 为正实数，且 a＜b，m＞0，则 b b＋m

1．若b<0，a＋b>0，则a－b的值( A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 解析： ∵b<0，a＋b>0， ∴a>－b>0，∴a－b>0. 答案： A的速度 v 的最大限速为 120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不 等式表示为( ) B．v≤120(km/h)或 d≥10(m) D．d≥10(m)
a 已知 12＜a＜60,15＜b＜36，求 a－b 及b的取值范围．
a 1 欲求 a－b，应先求－b 范围，欲求 ，应先求 范围，再 b b 利用不等式性质可求解．
[解题过程] ∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. ∴12－36＜a－b＜60－15，∴－24＜a－b＜45. 1 1 1 12 a 60 1 a 又 ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜4. 36 b 15 36 b 15 3 b 1 a ∴－24＜a－b＜45，3＜b＜4.
3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述 理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.

某厂使用两种零件A、B，装配两种产品： 甲、乙，该厂的生产能力是月产甲最多2 500 件，月产乙最多1 200件，而组装一件甲需要4 个A,2个B；组装一件乙需要6个A,8个B.某个月， 该厂能用的A最多有14 000个，B最多有12 000 个．用不等式将甲、乙两种产品产量之间的关 系表示出来．
(北师大版)数学必修五：3.1《不等关系》ppt课件

(北师大版)数学必修五：3.1《不等关系》ppt课件

[答案] B [ 解析 ]
)
A 项不能传递下去， C 项不满足倒数不等式的条
件，D项只有a>b>0时才成立．故选B．
第三章
§1
不等关系
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4．若 a、b 是任意实数，且 a>b，则( A．a >b
2 2
)
b B．a<1
1 1 D．2a<2b
的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小
值问题，无一不与不等式有着密切关系．能够运用不等式的性 质，定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布的
问题，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学
问题．
第三章
不等式
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.
第三章
§1
不等关系
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[ 方法总结 ] 骤：
用不等式 ( 组 ) 表示实际问题中不等关系的步
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求
量； ②列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系 ( 即满足什 么条件)； ③列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的 关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
不等式
第三章
不等式
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世界上工程师建造了很多美妙绝伦的建筑，其中很多工程 师打破了对称美的传统形式，利用不等关系与不对称美的思想 设计了无数的经典之作．不等关系是客观世界中广泛存在的一 个基本关系，各种类型的不等式在现代数学的各个分支及其应
北师大版高中数学必修5课件3.1不等关系课件(数学北师大版必修5)

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x 5x 0.5 0.2 2 万册 ,杂志社的销售收 在问题(2)中 ,设每本杂志价格提高 x 元, 则发行量减少 (2 x)(10 5x 5x ) (2 x)(10 ) 22.4 2 万元．根据题意，得 2 ，
入为
2 5 x 10 x 4.8 0 ． 化简，得
3 2 3 2 2 2 x 11 x (6 x 6) x 3 x 3 x 11 x 6 x ( x 3) (3x 2)( x 3) 解：
=
( x 3)( x 2)( x 1)
----------------- （*）
3 2 x 11 x 6 x 6； x 3 0 当 时，（*）式 ，所以 3 2 x 3 0 x 11 x 6 x 6 ； 当 时，（*）式 ，所以 3 2 x 11 x 6 x 6 2 x 3 0 当 时，（*）式 ，所以
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2．某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6
个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7
个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白 质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写 出x，y满足的条件．

上面的例子表明， 我们可以用不等式 (组)来刻画不等关系． 表示不等关系的式子叫做不等式,
， ， ， )表示不等关系. 常用( ，
建构数学 1．建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分 析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式． 问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问
北师版数学高二北师大版必修5课件不等关系与不等式(二)

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2.在利用不等式的性质进行证明、判断或者推理过程 中，要注意性质成立的条件，不能出现同向不等式 相减、相除的情况，要特别注意同向不等式相乘的 条件为同为正.
明目标、知重点
明目标、知重点
明目标、知重点
跟踪训练1 (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc； 证明 因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc. 又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.
明目标、知重点
(2)已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证： e > e . a－c b－d
证明 ∵c<d<0，∴－c>－d>0， ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴0< 1 < 1 ，
明目标、知重点
(6)a>b>0，c>d>0⇒ac > bd； (7)a>b>0⇒an > bn(n∈N＋)； (8)a>b>0⇒n a > n b (n∈N＋).
明目标、知重点
探要点·究所然 情境导学 在初中我们学习了不等式的三条性质，事实上，不等 式还具有其他一些性质，本节我们一起研究.
明目标、知重点
是( C )
A.a>b>－b>－a
B.a>－b>－a>b
C.a>－b>b>－a
D.a>b>－a>－b
解析 由a＋b>0知a>－b，∴－a<b<0.
又b<0，∴－b>0，∴a>－b>b>－a.
高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式课件北师大必修5

高中数学第三章不等式3.1不等关系3.1.1不等关系3.1.2不等关系与不等式课件北师大必修5

即“>”，所以y>380， z>45.
2．若 m≠2 且 n≠－1，则 M＝m2＋n2－4m＋2n 的值与－5 的
大小关系为( )
A．M>－5
B．M<－5
C．M＝－5
D．不确定
解析：选 A.因为 m≠2，n≠－1，所以 M＝(m－2)2＋(n＋1)2 －5>－5.
3．已知 a>b>c，则a－1 b＋b－1 c＋c－1 a的值为__________(填“正 数”“非正数”“非负数”)． 解析：因为 a>b>c，所以 a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0.所以 a－1 b>0，b－1 c>0，a－1 c<b－1 c， 所以a－1 b＋b－1 c－a－1 c>0， 所以a－1 b＋b－1 c＋c－1 a为正数． 答案：正数
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c ＞ b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac ＞ bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an ＞ bn(n∈N＋)．
(8)开方法则：a＞b＞0⇒n a ＞ n b(n∈N＋)．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数 a 不大于－2，用不等式表示为 a≥－2.( × ) (2)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2.( √ ) (3)若 a<b 或 a＝b 之中有一个正确，则 a≤b 正确．( √ ) (4)若 a>b，则 ac>bc 一定成立．( × ) (5)若 a＋c>b＋d，则 a>b，c>d.( × )
5x＋4y≤25， 【解】 根据题意可得x≥1，x∈N，
y≥1，y∈N.
(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量； ②用适当的不等号连接； ③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示． (2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质， 可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间 不能用不等式(组)来表示.
§3.1.2不等关系与不等式(二)

§3.1.2不等关系与不等式(二)

b0
推论1:(乘法法则)
2013-1-21
a b 0, 且c d 0 ac bd.
4
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质
推广: a1 b1 0, a2 b2 0,an bn 0
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 3
§3.1.2不等关系与不等式(二)
不等式的性质
求证：如果a b 0, c d 0, 那么ac bd 证明：ac bd ac bc bc bd ca b bc d
证明：假设n a不大于n b ,即n a n b
n 这有两种情况：a n b，或者n a n b
由推论2和定理 ，当n a n b时，有a b 1 当n a n b时，有a b 这些都与已知条件 b 0矛盾。 a
所以n a n b
2013-1-21 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 6
a1a2 an b1b2 bn
若a1 a2 an 0，b1 b2 bn 0
推论2:(乘方法则) a b 0, an bn (n N , 且N 1)
a b a2n1 b2n1 (n N , 且N 1)
问题：不等式具有开方 原则吗？ n 即由a b 0能否得到 a n b n N , n 1？
2013-1-21
a>b b<a a>b , b>c a>c a>b a+c>b+c a+b>c a>c-b a>b , c>d a+c>b+d a>b , c>0 ac>bc a>b , c<0 ac<bc a>b>0 , c>d>0 ac>bd a>b>0 an > bn (n∈N , n＞1）

高中数学 1.2 不等关系与不等式多媒体教学优质课件 北师大版必修5

第二十一页，共23页。
1.比较大小(dàxiǎo)的重要方法—— 作差法; 2.不等式的主要性质.
第二十二页，共23页。
以信接人，天下信之；不以(bù yǐ)信接人，妻子
疑之。
——畅泉
第二十三页，共23页。
,
再由不等式的主要性质 2,有 q3 q2 q 12 1 , , q(i j) 1,
所以 ajqi j aj 1 aj 即 ai a j ,所以 an 是递减数列.
第十五页，共23页。
例3 建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积， 但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%， 且这个比值越大，住宅的采光条件越好，试问：同时增加相 等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是 变坏(biàn huài)了？请说明理由.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
第十七页，共23页。
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b
日常生活中,还有哪些(nǎxiē)实例满足例3中的不等式? 糖水(tánɡ shuǐ)越加糖越甜
第十八页，共23页。
1．不等式(1)a2＋2>2a；(2)a2＋b2≤2(a－b－1)；(3)a2＋b2>ab 恒成立的个数是( B )
不等式的两边都加上同一个实数(shìshù)，不等号方向不
３变：.如果a>b，c>0，则ac>bc；
如果a>b，c<0，则ac<bc.
第八页，共23页。
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .

3.1.2不等关系 课件(北师大版必修5)


解析：选 D.法一：∵c2≥0，∴c＝0 时，有 ac2＝ bc2，故 A 为假命题； a b 1 1 由 a>b>0， 有 ab>0⇒ > ⇒ > ， 故 B 为假命题； ab ab b a 1 1 a＜b＜0⇒－a>－b>0⇒－b>－a>0 a b ⇒ > ， b a a<b<0⇒－a＞－b＞0 故 C 为假命题； a>b⇒b－a<0 b－a ⇒ab<0. 1 1 1 1 > ⇒ － >0 ⇒ >0 a b a b ab ∵a>b，∴a>0 且 b<0，故 D 为真命题．
等式的基本性质和运算法则，做题时要有理有
据，这是正确解答此类题目的保证．
例3
(2010年高考辽宁卷)已知－1<x＋y<4
且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是
____________．(答案用区间表示)
【思路点拨】 性质求解．
用x＋y和x－y表示z后用不等式的
问题探究
1．若a>b>0，当n<0时，an>bn成立吗？
提示：不成立．如当 a＝3，b＝2，若 n＝－1，则 1 －1 1 3 ＝ <2 ＝ ，所以原式不成立． 3 2
－1
2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？
提示：可以相加但不能相乘，例如2>－1，－1>
－3.
课堂互动讲练
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特 殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：

高中高中数学北师大版必修5课件第三章不等式 3.2.1.1精选ppt课件


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【做一做1】 下面不等式中,是关于x的一元二次不等式的有 (其中a,b,c,m为常数).
(1)x2>0;(2)-x-x2≤5;(3)ax2>2;(4)x3+5x-6>0;(5)mx2-
5y<0;(6)ax2+bx+c>0. 解析:(1)(2)是,符合一元二次不等式的定义. (3)不是,因为当a=0时,不符合定义. (4)不是,因为x的最高次数是3,不符合定义. (5)不是,因为当m=0时,它为一元一次不等式;当m≠0时,它含有两
−
b 2a
b x x ≠ - 2a
没有实数根 R
⌀
⌀
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【做一做2-1】 不等式x2<3x的解集为( ).
A.{x|x>3} B.{x|x<0或x>3}
C.R
D.{x|0<x<3}
答案:D
【做一做2-2】 不等式9x2+6x+1≤0的解集是( ).
解:由题意知,-1,3为方程x2-mx-3=0的两个根,则-1+3=m,故m=2. 所以x2+mx-8≤0即为x2+2x-8≤0.
因为x2+2x-8=(x-2)(x+4)=0,所以x1=2,x2=-4为方程x2+2x-8=0的 两个根,所以x2+mx-8≤0的解集为{x|-4≤x≤2}.
A. ������ ������ ≠ - 1

2021-2022年北师大版数学必修五 3.1.1不等关系和3.1.2不等关系与不等式(一)课件p


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2．实数的运算性质与大小顺序之间的关系 a－b＞0⇔_a_＞__b_；a－b＝0⇔ __a_＝__b_ ；a－b＜0⇔ _a_＜__b__. 等价符号的左边反映的是_实__数__的__运__算__性__质__，右边反映的是 _实__数__的__大__小__顺__序__ ，它是不等式这一章内容的理论基础，是 不等式性质的证明，也是解(或证)不等式的重要依据． 想一想：不等关系与不等式有什么区别？
小的方法．(重点)
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自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． (2)不等式“a≥b”读作“_大__于__或__等__于__b__”．其含义是指“_或__者__a _＞__b_，__或__者__a_＝__b_”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有 一个正确，则a≥b正确． (3)不等式“a≤b”读作“__a_小__于__或__等__于__b_”．其含义是指“或者 a＜b，或者a＝b”，等价于“__a_不__大__于__b_”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
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x＋y≤9，
10×6x＋6×8y≥360，
0≤x≤4，
即
0≤y≤7，
x，y∈N.
x＋y≤9， 5x＋4y≥30， 0≤x≤4， 0≤y≤7， x，y∈N.
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题型二 比较大小——作差法
【例2】 已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
解 (x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－ 1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－122＋34＞0. ∴(x－1)[x－122＋34]＜0，∴x3－1＜2x2－2x.

高中数学北师大版必修五3.1.2【教学课件】《不等关系与不等式 》


变式训练：
1．下列不等式： ①a2＋3＞2a；②a2＋b2＞2(a－b－ 1)；③x2＋y 2＞2xy 其中恒成立的不 等式的个数为( A．3
C
) C．1 D．0[来源: 学
B．2
解析： ②a2＋b2－2(a－b－ 1)＝(a－ 1)2＋(b＋ 1)2 0 ，
Hale Waihona Puke ③x2＋y 2－2xy＝( x－y)2 0 ，∴只有①恒成立。
所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了。
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变式训练：
若 a，b，c R，a＞b ，则下列不等式成立的是(
C
2
)
1 1 A． a b a b 2 C． 2 c 1 c 1
解析：方法一：
2
B． a ＞b
2
D． a c ＞b c
a b a＞b，c ＋1＞0, 2 c 1 c2 1
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解：设住宅窗户面积和地板面积分别为 a，b，同时增加的面积为 m，
a a m a m b a 根据问题的要求 a b ，且 10% ，由于 0， b b m b b b m am a a 于是 ,又 10% ， bm b b am a 因此 10% bm b
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作业：
3 3 2 2 1. 0 a b ，试比较 a b 与 ab a b 的大小。 2 2. 设 a x x ， b x 2 ，a 与 b 的大小。
谢谢观看！
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例题解析
1)( x＋5) 与 ( x＋3)2 的大小。 例 1： 试比较 ( x＋

高中高中数学北师大版必修5课件第三章不等式 3.1精选ppt课件


������
������
分析:根据已知条件和不等式的结构,利用不等式的开方性质和
同向可乘性即证.
证明:由 a>b>0,得 ������ > ������ > 0. ①
由
d<c<0,得
0<-c<-d,故
−
1 ������
>
−
1 ������
>
0.
②
由①②可得 − ������ > − ������ , 即 ������ < ������.
������
������
������
������
故原命题得证.
题型一
题型二
题型三
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题型四
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题型四 易错辨析
易错点:不等式变形不等价致误 【例4】 已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围. 错解:∵1≤a-b≤2,① 2≤a+b≤4,② ∴①+②得 3≤2a≤6,即 32≤a≤3,③ ∴②+①×(-1)得 0≤2b≤3,即 0≤b≤32 , ④ ∴③×4+④×(-2)得 3≤4a-2b≤12.
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题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰 直角三角形构成的,图②是一个矩形,从图形上确定这两种广告牌
面积的大小关系,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出
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所以 f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)．又因为 1≤a－b≤2， 所以 3≤3(a－b)≤6 因为 2≤a＋b≤4. 所以 5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10.即 5≤f(－2)≤10. 法二 设xy＝＝aa＋－bb，， 即 a＝x＋2 y，b＝y－2 x.
所以f(－2)＝4a－2b＝2(x＋y)－(y－x)＝3x＋y， 而1≤x＝a－b≤2,2≤y＝a＋b≤4，所以5≤f(－2)≤10.
本题把所求的问题用已知不等式表示，然后利用 同向不等式的性质 加以解决，解决此类问题常用的方法是 方程组思想与待定系数法．
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[正解] 法一 (待定系数法)： 设 f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以－m＋m＋n＝n＝4，－2， 解得mn＝＝13.，
答案 3
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题型二 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 (1)已知 a＞b，e＞f，c＞0，求证：f－ac＜e－bc； (2)已知 a＞1，m＞n＞0，求证：am＋a1m＞an＋a1n. [思路探索] (1)对不等式进行变形，利用不等式的性质证 明；(2)将不等式两边相减，转化为比较与0的大小问题．
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想一想：若a＞b＞0，当n＜0时，an＞bn成立吗？
提示 不成立，如当 a＝3，b＝2，若 n＝－1，则 3－1＝ 13＜2－1＝12，所以原式不成立．
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名师点睛
1．对不等式性质的理解 (1)不等式的性质是不等式的基础知识，是不等式变形的 依据，每一步变形，都应有根有据，记准适用条件是关 键，不准强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． (2)性质4中①当c＞0时，得同向不等式．②当c＜0时，得 异向不等式．③当c＝0时，ac＝bc. (3)性质5是同向不等式相加得同向不等式并无相减式． (4)性质6是均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式， 并无相除式．
所以 am＋a1m＞an＋a1n. 规律方法 (1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利 用不等式的性质，通过对不等式变形得证． (2)对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用不等式 的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差，然后进行变 形，根据条件确定每一个因式的符号，利用符号法则判断 最终的符号，完成证明．
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【训练3】 已知－π2≤α＜β≤π2.求α＋2 β，α－2 β的取值范围． 解 ∵－π2≤α＜β≤π2，∴－π4≤α2＜π4， －π4＜β2≤π4.将两式相加．得－π2＜α＋2 β＜π2. ∵－π4＜β2≤π4.∴－π4≤－2β＜π4. ∴－π2≤α－2 β＜π2.又知 α＜β，∴α－2 β＜0.故－π2≤α－2 β＜0.
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(5)性质 7、8 成立的条件：“n 是大于 1 的整数，a＞b＞0”对
于 a、b 均为正数这个条件不能忽略，即 a＞b⇒an＞bn 但n a＞n b 是不一定成立的，当 n 取正整数时，可放宽条件，命题仍成立，
即有 a＞b⇒an＞bn(n＝2k＋1，k∈N*)，a＞b⇒n a＞n b(n＝2k ＋1，k∈N*)
[思路探索] (1)由 a＞b 得 ac2＞bc2，关键看 c2 的情况，若 c2＝0， 则 ac2＞bc2 不成立，若 c2≠0 则成立．(2)中ca2＞cb2已隐含 c2≠0 这一条件．(3)(4)类似分析． 解 (1)错误，当 c＝0 时不成立． (2)正确．∵c2≠0 且 c2＞0，∴在ca2＞cb2两边同乘以 c2 不等式方向 不变．∴a＞b. (3)错误．a＞b⇔1a＜1b成立的条件是 ab＞0. (4)错误．a＞b，c＞d⇒ac＞bd，当 a，b，c，d 均为正数时成立．
又 e＜0，∴a－e c2＞b－e d2.
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题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 (本题满分 12 分)已知 12＜a＜60,15＜b＜36.
求：a－b，ab的取值范围．
审题指导 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注 意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两 个同方向的不等式可加不可减可乘不可除．
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误区警示 不等式的可加性导致范围扩大而致错
【示例】 设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的 取值范围． [错解] 由12≤≤aa－＋bb≤≤24， 得320≤ ≤ab≤ ≤323， . 所以 3≤f(－2)＝4a－2b≤12，即 3≤f(－2)≤12.
1.2 不等关系与不等式(二)
【课标要求】
1．掌握不等式的有关性质． 2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或证明不等
式．
【核心扫描】 1．不等式的八条性质的理解和应用．(重点、难点) 2．不等式的性质应用广泛、特别是结合其他性质进行判断，
和函数等知识结合命题．
Байду номын сангаас
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自学导引
解 (1)因为 a＞b，c＞0，所以 ac＞bc，即－ac＜－bc. 又 e＞f，所以 f－ac＜e－bc. (2)am＋a1m－an＋a1n＝am－anam＋anm＋n－1， 因为 a＞1，m＞n＞0，所以 am＞an，am＋n＞1，
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即 am－an＞0，am＋n－1＞0，故am＋a1m－an＋a1n＞0，
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规律方法 判断一个命题是假命题的常用方法 (1)从条件入手，推出与结论相反的结论；(2)举出反例予 以否定．反例法简捷、快速、有效，是解决该类问题行之 有效的好方法．
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【训练1】 已知三个不等式：①ab＞0，②ac＞db，③bc＞ad.以其中 两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题． 解析 将命题②作等价变形：ac＞db⇔bc－abad＞0. 由 ab＞0，bc＞ad，可得②成立，即①③⇒② 若 ab＞0，bc－abad＞0，则 bc＞ad，故①②⇒③； 若 bc＞ad，bc－abad＞0，则 ab＞0，故②③⇒①. ∴可组成 3 个正确命题．
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在求解某些有关联的未知数范围时，因多次使用 不等式相加的性质(这条性质是单向推出的)而导致所给变量的 范围改变，出现错误，因此，要尽可能少地运用不等式的可 加性求范围．
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[规范解答] ∵15＜b＜36(3 分) ∴－36＜－b＜－15 ∴12－36＜a－b＜60－15∴－24＜a－b＜45(6 分) 又316＜1b＜115(8 分) ∴1326＜ab＜6105(10 分) ∴13＜ab＜4(12 分)
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【题后反思】 利用性质求范围问题的基本要求 (1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同 向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不 等式才能相乘等． (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形 的等价性．
2．不等式几个性质的推广 同向可加性与同向同正可乘性可以推广到两个以上的不等 式，即：
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1a1＞b1
a2＞b2 …
⇒a1＋a2＋…＋an＞b1＋b2＋…＋bn.
an＞bn
2a1＞b1＞0
a2＞b2＞0 …
⇒a1·a2·…·an＞b1·b2·…·bn.
an＞bn＞0
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题型一 利用不等式性质判断命题真假
【例1】 判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)若 a＞b，则 ac2＞bc2； (2)若ca2＞cb2，则 a＞b； (3)a＞b，ab≠0，则1a＜1b； (4)若 a>b，c＞d，则 ac＞bd.
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1．不等式的性质
性质
别名
性质内容
注意
1
对称性
a＞b⇔b＜a
可逆
2
传递性
a＞b，b＞c⇒a＞c
3
可加性
a＞b⇔a＋c＞b＋c
可逆
4
可乘性
c的符号
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性质
别名
5
同向可加性
性质内容
注意 同向
同向同正
6
可乘性
同向
7
可乘方性
a＞b＞0⇒an＞bn (n∈N，n≥2)
8
可开方性
同正
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【训练2】
若
a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：
a－e c2＞
e b－d2.
证明 ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又 a＞b＞0， ∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以a－c21b－d2，得a－1 c2＜b－1 d2.