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§1数列§11.1数列的概念1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题(1)数列的有关概念①一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；②字母表示：上面数列也可记为{a n}．③数列的分类思考：(1)数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1是同一个数列吗？[提示]数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．(2)数列的项和项数有何区别？[提示]数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1.2．通项公式阅读教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．(1)如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．(2)数列可以看作是定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：(1)若a n＝2n－1，则a2＋a3的值是什么？[提示]因为a n＝2n－1，所以a2＝2×2－1＝3，a3＝2×3－1＝5，则a2＋a3＝3＋5＝8.(2)数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？[提示]数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n}的通项公式是a n＝n2＋1，则122是该数列的()A．第9项B．第10项C．第11项D．第12项C[由n2＋1＝122得n2＝121，∴n＝11.故选C．]2．若数列{a n}的通项公式为a n＝2n2－3n，则a2＝________.2[a2＝2×22－3×2＝2.]3．数列1,2,3,4,5，…的通项公式为________．a n＝n(n∈N＋)[观察知数列的通项公式为a n＝n(n∈N＋)．]4．已知数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n，n∈N＋，则它的第8项是________，第9项是________．1－1[当n＝8时，a8＝(－1)8＝1.当n＝9时，a9＝(－1)9＝－1.]A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列1,2,3，…就是数列{n}D．数列中的项不能是三角形(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．(1)B[根据数列的相关概念，数列4,7,3,4的第1项就是首项，即4，故A 正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；根据数列的相关概念可知C 正确；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确．](2)[解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1,1，－1,1，….数列及其分类的判定方法(1)判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数；(2)判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．1．下列说法正确的是()A．1,2,3,4，…，n是无穷数列B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列{2n＋1}的第6项是13D[A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13.](1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，….[解](1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积．故a n＝2n(2n－1)(2n＋1).(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n2.∴a n ＝n 22.(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正，故a n ＝(－1)n ·n .(4)通过观察分析可知所求通项公式为a n ＝29(10n －1)．由数列的前几项求通项公式的思路(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等．(4)符号用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．2．(1)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( ) A ．n2n ＋1B ．n 2n －1C ．n 2n －3D ．n 2n ＋3(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….(1)B [由已知得，数列可写成11，23，35，47，59，…，故通项公式为n 2n －1.] (2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n ＝1(n ＋1)(n ＋3).②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．所以a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎨⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.1．已知数列{a n }的通项公式，如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值．2．已知数列{a n }的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？ [提示] 假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)． (1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 思路探究：(1)令a n ＝0，a n ＝1⇒求n ⇒判断(2)假设存在连续且相等的两项⇒列方程⇒求解⇒判断[解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0， 因为n ∈N ＋，所以n ＝21.所以0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，所以n 2－21n ＝2，即n 2－21n －2＝0. 因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， 所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，解得m ＝10. 所以数列{a n }中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝n 2－21n2”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1)(2)两题．[解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1，即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，所以m 2－3m ＝(m ＋1)2－3(m ＋1)，解得m ＝1.所以数列{a n }中存在连续的两项，第1项与第2项相等． 2．(变结论)例3的条件不变，求a 3＋a 4的值和a 2n .[解] a 3＋a 4＝32－21×32＋42－21×42＝－61，a 2n ＝(2n )2－21×2n 2＝2n 2－21n .1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，如2的不同近似值，依不同的近似值，可得数列1,1.4,1.41,1.414，…，便无通项公式，有些数列通项公式也不唯一．3．通项公式的应用．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列中的项不能相等．( )(2)数列1,2,3,4，…，n －1，只有n －1项．( ) (3)数列1,2,3,4，…，n 2是无穷数列．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n 2共n 2项，是有穷数列，故(3)错．2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中0.08是它的( ) A ．第100项 B ．第12项 C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝n －2n 2. 令a n ＝0.08，即n －2n 2＝8100， 所以n ＝10，n ＝52(舍去)，故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________.3－4n15 [根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项． 因为a n ＝3－2n ， 所以a 2n ＝3－22n ＝3－4n ，a 2a 3＝3－223－23＝15.]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n .(1)写出数列的前三项；(2)110和1627是不是数列{a n }中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)数列的前三项：a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝410＝25，a 3＝432＋3×3＝418＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N ＋，故n ＝－8舍去． 所以110是数列{a n }的第5项． 令4n 2＋3n＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，注意到n ∈N ＋，所以1627不是数列{a n }中的项．。
