北师大版高二数学必修五课件：解三角形的综合应用

的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。
60° 75°
B C
BC=10sin60 °/sin45°
答：
A
5 6 海里
基本概念和公式
练习1.如图,一艘船以32海里/时 的速度向正北航行,在A处看灯塔 S在船的北偏东200, 30分钟后航行 到B处,在B处看灯塔S在船的北偏 东650方向上,求灯塔S和B处的距 离.（保留到0.1）
解：AB=16，由正弦定理知：
余弦定理先求出A,或先求 （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 出B 余弦定理先求出a （2）b=1，c= 2 ，A=105º ； _________________________________ 正弦定理先求出b （3）A=45º ，B =60º ， a=10； ________________________________
学习目标：
1、会运用解三角形的理论解决简单的实 际应用问题； 2、培养将实际问题化归为纯数学问题 的能力。
复习1、请回答下列问题：
（1）解斜三角形的主要理论依据 是什么？ （2）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？

3 + 1).
2
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D 典例透析 IANLITOUXI
题型一
题型二
题型三 题型四
题型二 判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且������为锐角,
试判断△ABC 的形状.
③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B.
答案:B
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D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做 1-2】 在锐角三角形 ABC 中,若 a=3,△ABC 的外接圆半
径为 3, 则������ =
.
解析:
∵
������ sin������
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题型一 利用正弦定理解三角形
【例1】 在△ABC中,解下列三角形.
(1)A=45°,C=30°,c=10;
(2)a= 3, ������ = 2, ������ = 45°.
分析:(1)分清已知和所求,选择一个与条件相吻合的正弦定理的
式子进行求解;(2)已知两边及其中一边的对角,由正弦定理先求出
反思如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形的内角和定 理,可以计算出三角形的另一角,再由正弦定理计算出三角形的另 两边.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可先判断 解的情况.若有解,再求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦 值求角,还需对角的情况加以讨论,如果有解,是一解还是两解,再由 三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边.

a������������������B sin A= b 2 13 14
=
∵a<c,∴A 为锐角,可得 A=60° , ∴C=180° -(A+B)=75° . (2)由余弦定理得
2 3× 2 2 2
2
= 2.
3
c2=a2+b2-2abcos C=72+82-2× 7× 8× =9, 14 ∴c=3.∵b>a>c,∴在△ABC 中,B 最大,
c������������������A 3 3������������������30° 3
3 3
应用 2 (1)在△ABC 中,a=2 3,c= 6 + 2,B=45° ,求 b,A,C; (2)在△ABC 中,a=7,b=8,cos C= ,求 c 及最大角的余弦值. 解:(1)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=12+8+4 3-4 3× ( 6 + 2)×2 =8,∴b=2 2. 由正弦定理得
(2)在△ABC 中,A+B+C=π,A+B=π-C,
应用 在△ABC 中,若 B=60° ,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:解法一:由正弦定理,得 2sin B=sin A+sin C. ∵B=60° ,∴A+C=120° . A=120° -C,代入上式,得 2sin 60° =sin(120° -C)+sin C, 整理得 sin C+ cos C=1. ∴sin(C+30° )=1,∴C+30° =90° , ∴C=60° ,故 A=60° .∴△ABC 为等边三角形. 解法二:由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B.

＝42521× 23＋1275×12＝17＋5102
7 .
专题二 三角形形状的判断问题 思维突破：判断三角形的形状问题，通常将角转化为 边，或将边转化为角，通过三角或代数变形运算，转化为 反映三角形类型特征的数量关系(如边的相等关系、勾股关 系、角的相等关系、角的三角函数值的大小等)，然后作出 判定，这样要特别注意不要随便约掉等式两边的共同因式， 这样很容易丢解．
4．应用解三角形知识解实际问题的步骤： (1)准确理解题意，分清已知和所求，尤其理解应用中 的有关名词和术语，如仰角、俯角、视角、方位角等； (2)根据题意，画出示意图，将已知条件在图形中标出； (3)将已知问题化归到一个或几个三角形中，并弄清该 三角形的已知量和未知量； (4)合理选用正、余弦定理并作答；
(2)DE的最值即是y＝f(x)的最值，常借助y＝f(x)的单调 性求解．
解析：(1)△ABC 的边长为 2a，D 在 AB 上，
则 a≤x≤2a，
∵S△ADE＝12S△ABC＝12·43·(2a)2
＝12x·AE·sin60°，
∴AE＝2xa2.
在△ADE 中，由余弦定理得
y2＝x2＋4xa24－2x·2xa2·cos60°， ∴y2＝x2＋4xa24－2a2.
由正弦定理求出角B；由A ＋B＋C＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦 定理求c. 可有两解，一解或 无解
2.三角形中解的个数的确定． 已知两边和其中一边的对角不能惟一确定三角形的形 状，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况， 这时应结合“三角形中大边对大角”及几何图形帮助理解， 此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．
分析：已知三角形两边及一边对角的余弦值，也就是知 道一边的对角，首先应考虑到用正弦定理．至于求 sin(2B＋6π)， 由公式可知只要知道 cosB 即可．

2 x 1202＋ － x2 3
＝ .① 3 2×120× x 3 BC2＋ CE2－ BE2 在△ BCE 中， cos∠ BCE＝ 2BC· CE
2 2 x x 602＋ － 2 3 tan 54.2° ＝ .② 3 2×60× x 3
7 200 由①②得 x ＝ ， 4 2 － 3 tan254.2°
1．在某一山顶观测山下两村庄A、B，测得A的俯角为
30°，B的俯角为40°，观测A、B两村庄的视角为50°，
已知A、B在同一海平面上且相距1 000 m，求山的高度． (精确到1 m)
解：设山顶为 C，山高 CD＝ x，由题意∠ CAD＝ 30°， ∠ CBD＝ 40°，∠ ACB＝ 50° . CD 在 Rt△ ADC 中， AC＝ ＝ 2x， sin 30° CD x 在 Rt△ BDC 中， BC＝ ＝ . sin 40° sin 40° 在△ ABC 中，由余弦定理，知 AB2＝ AC2＋ BC2－ 2AC· BCcos∠ ACB.
[解 ] ∵∠ ADC＝∠ ADB＋∠ CDB＝60°，∠ ACD＝ 60°， ∴∠ DAC＝60°， ∴ AC＝ DC＝ 3 km. 2
在 △ BCD 中 ， ∠ DBC ＝ 45 ° ， 由 正 弦 定 理 ， 得 BC ＝ 3 2 DC 6 · sin∠ BDC＝ · sin 30°＝ (km)． 4 sin∠ DBC sin 45°
A． 50 2m C． 25 2m
B．50 3m 25 2 D. m 2
AB AC 解析：由正弦定理得 ＝ ，又 B＝ 30°， sin∠ ACB sin B 2 50× AC· sin∠ACB 2 ∴ AB＝ ＝ ＝50 2(m)． 1 sin B 2
2．有一长为 10 m 的斜坡，它的倾斜角为 75°，在不改变坡 高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30°，则坡底要延伸( C ) A． 5 m C． 10 2 m

由 2k π ≤ + ≤2kπ +π 得 4kπ - π ≤x≤4kπ + π ,k∈Z,
������ ������ ������ ������
������ ������
������
������ ������
∵x∈[-2π ,2π ],令 k=0,得- π ≤x≤ π ,
������ ������
������
∴cos A= ,sin A= .
������ ������
������
������
又∵ ������cos C=sin B=sin(A+C), ∴ ������cos C= cos C+ sin C, ∴
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
2.3.2解三角形的
综合应用
1.结合三角函数性质,深入理解正、余弦定理.
2.初步解决正、余弦定理与平面向量、三角恒等变换相
结合的综合性问题.
我们学完了正弦定理、余弦定理之后,又对正、余弦 定理的应用举例做了了解,如仰角、俯角、方位角这些涉 及角度的问题, 我们还会利用正、余弦定理处理与距离、 高度有关的问题,其实这些问题都离不开解三角形,这节 课我们就一起来研究正、余弦定理在解三角形中的综合 应用吧!
������
=5 ������.
【解析】 (1)f(x)=cos - ������sin =2( cos - sin )=2cos( + ),
������ ������ ������ ������ ������
������
������
������
������

由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C
2
2
=2 +2 -2×2×2× -
7
4
=8+2 7,所以 c= 7+1.
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变式训练3 在△ABC中,sin2A=sin Bsin C.
π
若 A=3,求 B 的大小;



解:因为 sin2A=sin Bsin C,且sin = sin = sin,
(2)若a2+b2=4(a+b)-8,求边c的值.

解:(1)由已知,得 sin C+sin 2=1-cos C,


2
即 sin 2 2cos 2 + 1 =2sin 2.



由 sin 2≠0,得 2cos 2+1=2sin 2,


1
即 sin 2-cos 2 = 2.


2
2
两边平方,得 sin 2-2sin 2cos 2+cos 2
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-1-
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专题一 三角形中的基本计算问题
在三角形问题中,绝大多数是关于三角形的边、角以及面积等的
计算问题,这是高考对解三角形考查的主要情势.求解这类问题时,
可以直接利用正弦定理、余弦定理、面积公式进行求解计算或者
利用正弦、余弦定理,通过边与角的互化,对已知条件进行变形、

(1) 方向角顺时针转到目标方向线的水平角。
(2)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角。目标视线在水平线上方时叫仰角。目标视线在水平 线下方时叫俯角。(如下图所示)
例题解析
例 1 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长 度（如图）；已知车厢的最大仰角为 60°，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的 距离为 1.95m，AB 与水平线之间的夹角为 6020 ' ，AC 长为 1.40m，计算 BC
实际问题
数学模型
实际问题的解
数学模型的解
作业：
课本 59 页：练习 1、2
变式训练 1：
如图,一艘船以 32 海里/时的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 200 , 30 分钟后 航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 650 方向上,求灯 塔 S 和 B 处的距离（ 。保留到 0.1）
解： AB 16
由正弦定理知 AB BS sin 450 sin 200
方法小结：
1． 本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2．在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定 理和余弦定理解题。 3．在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：
的长（保留三个有效数字）。
C
解：由余弦定理，得
BC2 AB2 AC2 2AB ACcos A
1.40m
1.952 1.402 21.951.40 cos6620'
3.571 BC 1.89(m)
600
A
6020/

新课学习
（2）当 l 340mm ， r 85mm ， 800 时，利用计算器得： A0 A 340 85 85cos800 3402 852 sin 2 800 81(mm) 答：此时活塞移动的距离约为 81mm
新课学习
例2：a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测 点，另两个监测点B,C分别在A的正东方20km和54km处，某时刻，监测点B收 到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一 信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s （1）设A到P的距离为xkm，用x表示B,C到P的距离，并求x的值 （2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）
1200 A2
10 2
B2
B1 乙
1050 A1
甲 20
新课学习
解：如图，连结 A1B2 ，由已知 A2 B2 10
2 ， A1 A2 30
2 20 10 60
2，
∴ A1 A2 A2 B2 ，又∠ A1 A2 B2 180 0 120 0 60 0 ，
∴ A1 A2 B2 是等边三角形， ∴ A1B2 A1 A2 10 2 ． 由已知， A1B1 20 ，∠ B1 A1B2 105 0 60 0 = 450 在 A1B2B1 中， 由余弦定理， B1B2 2 A1B12 A1B2 2 2 A1B1 A1B2 cos 45 0
c2 a2 b2 2abcosC ， cosC a 2 b2 c 2 2ab
例题讲解
新课学习
引例： （课本P62题2）飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平 面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为189km/h,飞行员先 看到山顶的俯角为18°30′,经过960s（秒）后又看到山顶的俯 角为81°, 求山顶的海拔高度（精确到1m）.

D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型三 正、余弦定理的综合应用
【例 3】
在△ABC
中,AC=2,BC=1,cos
C=
3 4
.
求:
(1)AB的值;
(2)sin(2A+C)的值.
分析:先由余弦定理求出AB的值,再由正弦定理和同角三角函数
的关系式求出sin A,cos A,最后由倍角公式和两角和的正弦公式求
=
sin(������+������) sin������sin������
∵sin Bsin C≠0,∴sin Bsin C=cos Bcos C,
即cos(B+C)=0.
∵0°<B+C<180°,∴B+C=90°,∴A=90°.
故△ABC是直角三角形.
反思判断三角形的形状时,一般有两种思路:一是转化为三角形 的边与边的关系;二是转化为三角形的角与角的关系.当然有时可 将边与角巧妙结合同时考虑,正弦、余弦定理都可以实现这种边角 关系的转化.注意两种解法的比较.
∴b2+c2=
[(������ 2+������2-������ 2)+(������2+������ 2-������ 2)]2 4������ 2
=
4������ 4 4������ 2
=
������2.
∴A=90°,故△ABC 是直角三角形.
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Z 知识梳理 HISHISHULI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
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反思设计方案测量有关长度或高度,方法一般不唯一.一般以简 便为原则,构建在同一个三角形中解决问题,对于较复杂的问题,也 可以考虑构建几个三角形.
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Z知识梳 H理ISHISHULI
D典例透析 IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度,在 只能使用简单测量工具的前提下,可以设计出哪些测量方案?并提 供出每种方案的计算公式.
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一
题型二
题型三
题型四
解:设甲船沿方位角45°+θ方向航行,需t h才能与乙船在B处相遇. ∵在△ABC中,由余弦定理,
得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,
即(20 3������)2 = 102 + (20������)2 − 2 × 10 × 20������cos120°,
分析:如图所示,若设甲、乙两船在 B 处相遇,所需时间为 t h,这样 由题设知,AC=10 n mile,AB=20 3������ n mile,BC=20t n mile,∠ ACB=45°+75°=120°,解△ABC 即可.
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D典例透析 IANLITOUXI
sin (������-������)
在
Rt△PAO
中,PO=PAsin
α,则
PO=
������������sin ������sin ������.
sin (������-������)
题型一
题型二
∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°+70°=130°.

大约需要15分钟.
§3 解三角形的实际应用举例
22
规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很 重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就 是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化 为三角形问题.
§3 解三角形的实际应用举例
23
跟踪演练3 如图，A，B是海面上位于
东西方向相距5 3 ( 3＋1)海里的两个 观测点，现位于A点北偏东45°，B点北
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇. 答案 30°
§3 解三角形的实际应用举例
33
4.如图所示，在斜度一定的山坡上的 一点A测得一建筑物顶端C对于山坡 的坡度为15°，向山顶前进100 m后， 又从B点测得坡度为45°，设建筑物的 高度为50 m，求此山坡相对于地平面 的倾斜角的余弦值.
第2章——
§3 解三角形的实际应用举例
[学习目标]
1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理 及三角函数的有关知识加以解决. 2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探 索习惯. 3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类 比、概括的能力.
栏目索引
§3 解三角形的实际应用举例
14
解 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由sinAB15°＝sinAD45°，
得
AD＝ABsi·nsin154°5°＝8060－×
2 2 ＝800( 2
3＋1) (m).
4
所以 CD＝AD＝800( 3＋1)(m). 即山的高度为 800( 3＋1) m.

，sinC=
5
sin120 7
5
3 2
5
3
7 A 14
又 C为锐角，cos C 1 sin2 C 11， c=5 120 14
B
a=7 C
sinB=sin(180 -120 -C)=sin(60 -C)
=sin60 cos C cos 60 sin C 3 11 1 5 3 3 3
b=7
（1）确定角C的大小； B
aC
（2）若 c 7，且△ABC的面积为
3
3 2
，
求a+b的值．
解：（2）又 c 7, C ,由三角形的面积公式可得 1 ab sin 3 3 ，
3
即ab=6 ①，由余弦定理可得cos

a2
b2

22
7 ，
32
3
2ab
即a2 b2 ab 7 ②，把①代入②得， a2 b2 13 ③，
3
c
2bc
22 3
6
又
0
A 180 ， A 60 ，sin A
33 6
B
a
1
1
33 11
S
ABC

bcsin 2
A
2 2
3
6

2
A b C
例1．
在ΔABC中，若A 120 ，AB=5，BC=7，求ΔABC的面积.
解：由正弦定理得 7
sin120

5 sin C
高一下必修5
1.2.4三角形的面积公式
教学目标：
1.从熟知的三角形面积公式--- S 1 ah 出发，推导三角形