高中数学第1章4数学归纳法课时作业北师大版选修2-2

【成才之路】-高中数学 第1章 4数学归纳法课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋3n ＋42(n ∈N ＋)时，验证n ＝1时，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D2．如果1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)＝14n (n ＋1)(n ＋a )(n ＋b )对一切正整数n 都成立，则a ，b 的值应该等于( )A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝2，b ＝3[答案] D[解析] 当n ＝1时，上式可化为ab ＋a ＋b ＝11；① 当n ＝2时，上式可化为ab ＋2(a ＋b )＝16. ② 由①②可得a ＋b ＝5，ab ＝6，验证可知只有选项D 适合．3．(2019·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3[答案] A[解析] 因为从n ＝k 到n ＝k ＋1的过渡，增加了(k ＋3)3，减少了k 3，故利用归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，证明余下的项9k 2＋27k ＋27能被9整除．4．某个命题与正整数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推知n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝5时该命题不成立，那么可推得( )A ．当n ＝6时该命题不成立B ．当n ＝6时该命题成立C ．当n ＝4时该命题不成立D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C[解析] 若原命题正确，则其逆否命题正确，所以若n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立，可推得若n ＝k ＋1时命题不成立可推得n ＝k (k ∈N *)时命题不成立，所以答案为C ．5．(2019·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则归纳猜测a 7＋b 7＝( )A ．26B ．27C ．28D ．29[答案] D[解析] 观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29. 二、填空题6．(2019·吉林长春一模，13)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时左边表达式是________；从k →k ＋1需增添的项是________．[答案] 1＋2＋3；4k ＋5(或(2k ＋2)＋(2k ＋3))[解析] 因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，当n ＝1时，2n ＋1＝3，所以左边表达式是1＋2＋3；从k →k ＋1需增添的项的是4k ＋5或(2k ＋2)＋(2k ＋3)．7．使|n 2－5n ＋5|＝1不成立的最小的正整数是________． [答案] 5[解析] 从n ＝1,2,3,4,5，…，取值逐个验证即可．8．凸k 边形有f (k )条对角线，则凸k ＋1边形的对角线条数f (k ＋1)＝f (k )＋____________.[答案] k －1[解析] 设原凸k 边形的顶点为A 1，A 2，…，A k ，增加一个顶点A k ＋1，增加A k ＋1与A 2、A 3，…，A k －1共k －2条再加上A 1与A k 的一条连线共k －1条．三、解答题9．数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，并猜想a n 的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)(2)证明：①当n ＝1时，a 1＝1结论成立， ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时结论成立， 即a k ＝2k－12k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2k ＋1－12k，∴当n ＝k ＋1时结论成立， 于是对于一切的自然数n ∈N *，a n ＝2n－12n －1成立．10．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可知原不等式对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都成立.一、选择题1．(2019·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1时，左边所得的项为( )A ．1B ．1＋a ＋a 2C ．1＋aD ．1＋a ＋a 2＋a 3[答案] B[解析] 因为当n ＝1时，an ＋1＝a 2，所以此时式子左边＝1＋a ＋a 2.故应选B.2．(2019·衡水一模，6)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项[答案] D[解析] 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－(1＋12＋13＋…＋12k －1)＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k项．3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 D ．若f (4)≥25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立 [答案] D[解析] 对于A ，因为“原命题成立，否命题不一定成立”，所以若f (1)＜1成立，则f (10)＜100不一定成立；对于B ，因为“原命题成立，则逆否命题一定成立”，所以只能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)＜1成立，不能得出：若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立；对于C ，当k ＝1或2时，不一定有f (k )≥k 2成立；对于D ，因为f (4)≥25≥16，所以对于任意的k ≥4，均有f (k )≥k 2成立．故选D.4．(2019·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋1[答案] B[解析] n ＝k 时，等式为(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k·1·3·…·(2k －1)，n ＝k ＋1时，等式左边为(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(2k )·(2k ＋1)·(2k ＋2)，右边为2k ＋1·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选B.二、填空题5．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1(n ∈N ＋)，那么f (n ＋1)－f (n )＝________.[答案]12n ＋12n ＋1[解析] ∵f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12n －1＋12n ＋12n ＋1，∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋12n ＋1.6．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞m 24对n ∈N *都成立，则正整数m 的最大值为____________．[答案] 11 [解析] 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)， ∴f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝f (n )＋(12n ＋1－12n ＋2)＝f (n )＋12n ＋12n ＋2＞f (n )，∴f (n ＋1)＞f (n )＞…＞f (1)＝12＝1224，∴m ＝11.三、解答题7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .[证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边，∴当n ＝1时，等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1－12k ＋2 ＝(1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1)＋(1k ＋1－12k ＋2)＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边． ∴n ＝k ＋1时等式成立．由①②知等式对任意n ∈N ＋都成立．[点评] 在利用归纳假设论证n ＝k ＋1等式成立时，注意分析n ＝k 与n ＝k ＋1的两个等式的差别．n ＝k ＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1k ＋1变到1k ＋2.因此在证明中，右式中的1k ＋1应与－12k ＋2合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n ＝k ＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．8．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1(x ≥0)．设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n＝|a n －3|，用数学归纳法证明：b n ≤3－1n2n －1.[证明] 当x ≥0时，f (x )＝1＋2x ＋1>1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N ＋)． 下面用数学归纳法证明不等式b n ≤3－1n2n －1.(1)当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，不等式成立． 即b k ≤3－1k2k －1，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝3－1|a k －3|1＋a k ≤3－12b k ≤3－1k ＋12k .所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)，可知不等式对任意n ∈N ＋都成立．。