高中数学选修2-2 北师大版 数学归纳法(第二课时) 教案

数学归纳法-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.了解数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题；3.能够理解和应用数学归纳法解决实际问题。

二、教学内容1.数学归纳法的概念与特点；2.数学归纳法的推广和严密化；3.数学归纳法的应用。

三、教学重点1.数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题。

四、教学难点1.数学归纳法的推广和严密化；2.数学归纳法的应用。

五、教学方法1.观察与讨论法：通过生动的例子，引导学生认识和理解数学归纳法的基本概念和特点；2.讲授与演示法：通过讲授和演示归纳法的具体步骤，使学生掌握如何运用归纳法证明命题；3.练习与探究法：通过练习和探究，让学生掌握数学归纳法的应用技巧。

第一步：引入1.引入数学归纳法的基本概念；2.通过实际例子，引导学生理解数学归纳法的重要性。

第二步：讲解1.讲解数学归纳法基本的步骤；2.分析数学归纳法的特点，包括归纳假设、基本步骤、归纳证明、结论；第三步：演示1.带领学生完成归纳法的几个简单例子，让学生深入掌握归纳法的基本操作；2.带领学生完成一道较为复杂的归纳证明练习，让学生掌握归纳法的应用技巧。

第四步：练习1.让学生分组自主练习归纳法的应用；2.教师辅助解答学生的问题。

第五步：总结1.对本节课所学的内容进行总结；2.强调数学归纳法在理解和应用中的重要性。

七、教学评价1.课堂参与度（20%）：检测学生是否认真听讲、积极互动，师生互动是否频繁；2.练习与应用（40%）：检测学生掌握归纳法的技巧和应用能力；3.课堂表现（40%）：检测学生是否能够在课上正确展现自己的学习成果。

通过本节课的教学，我发现学生对于数学归纳法的概念和特点有了更加深入的理解和认识。

同时，在练习中也发现了一些问题，比如有些学生在归纳证明中容易犯错，需要加强指导和训练。

因此，在教学中需要更加强化实践，多引入真实案例来加强学生对归纳法的认识和理解，同时通过练习和探究来让学生得到更好的应用和提高。

1.1 归纳推理学习目标 1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．知识点归纳推理思考(1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”；(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电；(3)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？梳理归纳推理的定义及特征根据一类事物中________事物具有某种属性，推断该类事物中________定义事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理(1)归纳推理是由________到________，由________到________的推理．特征(2)利用归纳推理得出的结论________是正确的类型一归纳推理在数与式中的应用引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N ＋)的表达式． 例1 (1)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________________．(2)已知f (x )＝x1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________． 反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 (1)已知x >1，由不等式x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…，可以推广为( )A ．x n ＋nx >nB ．x n ＋nx >n ＋1C ．x n ＋n ＋1x>n ＋1D ．x n ＋n ＋1x>n(2)已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2；….根据以上不等式的结构特点，归纳出一般性结论．类型二 归纳推理在数列中的应用引申探究若本例条件不变，求a 2，a 3，a 4，猜想a n (n ≥2)的表达式．例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4并猜想S n 的表达式．反思与感悟 用归纳推理解决数列问题的方法在求数列的通项和前n 项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论．跟踪训练2 S n ＝12(a n ＋1a n )，a n >0，求a 1，a 2，a 3并猜想通项公式a n .类型三 归纳推理在几何图形中的应用例3 如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练3 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中黑色地面砖的块数是________．1．有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色．两种彩旗排成一行：…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( ) A ．111B ．89C ．133D ．672．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式a n 等于( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1) C.22n －1D.22n －13．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋24．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．5．由12＝1，112＝121，1112＝12321，…，可得11112＝________.1．归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．2．归纳推理解决问题的思维过程 实验、观察→分析概括→猜测总结答案精析问题导学 知识点思考 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．梳理 部分 每一个 (1)部分 整体 个别 一般 (2)不一定 题型探究例1 (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)x 1－4x x1－2n －1x 引申探究解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x.又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1－2x 1－x 1－2x＝x 1－3x ， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x1－3x 1－x 1－3x＝x 1－4x . 因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx . 跟踪训练1 (1)B(2)解 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n －1，而不等式右端依次分别为12，22，32，42，…，n 2.归纳得一般性结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)．例2 解 因为S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，所以S n ＋1S n ＋2＝S n －S n －1(n ≥2)，所以1S n ＝－2－S n －1(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－a 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.由此猜想S n ＝－n ＋1n ＋2.引申探究解 a 2＝S 2－S 1＝－34＋23＝－112，a 3＝S 3－S 2＝－45＋34＝－120，a 4＝S 4－S 3＝－56＋45＝－130，猜想a n ＝－1(n ＋2)(n ＋1)(n ≥2)．跟踪训练2 解 因为S n ＝12(a n ＋1a n )，所以S 1＝12(a 1＋1a 1)．又因为S 1＝a 1， 所以a 1＝12(a 1＋1a 1)，因为a n >0，所以a 1＝1. 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)，所以a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，所以1a n－a n ＝a n －1＋1a n －1，所以1a 2－a 2＝2，所以a 2＝－1± 2.又因为a n >0，所以a 2＝2－1. 同理，1a 3－a 3＝a 2＋1a 2，所以a 3＝－2± 3.又因为a n>0，所以a3＝3－ 2.所以a1＝1，a2＝2－1，a3＝3－ 2.利用归纳推理，猜测a n＝n－n－1(n∈N＋)．例3B[由已知中的图形我们可以得到：当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，…，则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，故选B.]跟踪训练35n＋1当堂训练1．D 2.B 3.C 4.40 5.1234321。

高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法, 在高中数学内容中占有重要的地位, 其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先, 我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法, 即不完全归纳法, 这是研究数学问题, 猜想或发现数学规律的重要手段.但是, 由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确, 这种推理方法不能作为一种论证方法.因此, 在不完全归纳法的基础上, 必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法, 这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节, 掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1. 知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确, 初步理解数学归纳法原理.（2）能以递推思想为指导, 理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习, 使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.（3）在学习中培养学生大胆猜想, 小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究, 亲历知识的构建过程, 领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐, 感悟数学的内在美, 激发学生学习热情, 使学生喜欢数学.（3）学生通过置疑与探究, 初步形成正确的数学观, 创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1. 教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想, 掌握它的基本步骤, 运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式, 特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2. 教学难点（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.（2）递推步骤中如何利用归纳假设, 即如何利用假设证明当时结论正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法, 以学生及其发展为本, 一切从学生出发.在教师组织启发下, 通过创设问题情境, 激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理, 并类比多米诺骨牌倒下的原理, 探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力, 进而应用数学归纳法, 证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力, 分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考, 又提倡团结合作；既重视教师的组织引导, 又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程（一）创设情境, 提出问题情景一: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话: 财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论, 用的就是“归纳法”, 不过, 这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二：平面内三角形内角和是, 四边形内角和是, 五边形内角和是, 于是得出：凸边形内角和是 .情境三: 数列的通项公式为可以求得于是猜想出数列的通项公式为.情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔, 怎么证明它们是白色的呢？结论: 情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论, 即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法, 情景四是完全归纳法, 结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题: 如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.（二）实验演示, 探索解决问题的方法① 1. 几何画板演示动画多米诺骨牌游戏, 师生共同探讨: 要让这些骨牌全部倒②下, 必须具备哪些条件呢③第一块骨牌必须倒下.两块连续的骨牌, 当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出, 条件②事实上给出了一个递推关系: 当第块倒下时, 相邻的第块也倒下.这样, 只要第1块倒下, 其他所有的就能够相继倒下.无论多少块, 只要①②成立, 那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节: 数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2. 数学归纳法原理证明一个与正整数 有关的命题, 可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基） 当n 取第一个值0n （*0n ∈）时命题成立；（2） （归纳递推）假设当 时命题成立, 证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础, 解决了特殊性；第二步是递推的依据, 解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步, 属不完全归纳法；只有第二步, 假设就失去了基础.（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.”）（三）迁移应用, 理解升华例1 用数学归纳法证明：如果 是一个等差数列, 那么 对于一切 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当 时结论成立, 即则当1n k =+ 1k k a a d +=+ ()11a k d d =+-+ ()1[11]a k d =++-当 时, 结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论. 用假设凑结论解: （1）323459S S a =+=+= 4349716S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:（1） 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当 时等式成立, 即有()213521k k ++++-= 则当1n k =+,有()()()()22213521[211][211]211k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+因此, 当 时, 等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.（四）反馈练习, 巩固提高课堂练习：课本第95页练习1, 2（五）课堂小结: 让学生归纳本节课所学内容, 不足的老师补充.1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2.数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两 个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性: 基础正确, 可传递.用有限的步骤证明无限的结论.（六）布置作业课本第96页习题 2.3 A 组1.2.。

归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。

归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。

也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。

由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。

”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。

这里就有着归纳推理的运用。

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 (二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。

解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F ）、棱数（E ）、顶点数（V ）列出，得到下表：从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。