高二数学北师大版选修2-2同步精练：1.4数学归纳法 Word版含答案

高手支招6体验成功 基础巩固1.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( ) 1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113 答案：B思路分析：由数塔猜测应是各位数字都是1的七位数,即1 111 111. 2.在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=2a n+2,则a n 是( ) A.2n-221-B.2n -2C.2n-1+1D.2n+1-4 答案：B思路分析：当n=1,2,3时,求得a 2=2,a 3=6,a 4=14,观察知a n =2 n -2. 3.已知等差数列{a n }中,a 7+a 9=16,a 4=1，则a 12的值是（ ）A.15B.30C.31D.64 答案：A 思路分析：用等差数列的性质:等差数列中项数之和相等的对应两项的和也相等.a 7+a 9=a 4+a 12,故选A 项. 4.已知322+=232,833+=383,1544+=4154,…,若b a +6=6ba (a,b 均为实数),请推测a=________________,b=________________.答案：6 35思路分析：由前面三个等式,推测归纳被开方数的整数与分数的关系,发现规律.由三个等式知,整数和这个分数的分子相同,而分母是这个分子的平方减1,由此推测ba +6中,a=6,b=62-1=35. 即a=6,b=35. 5.已知f(n)=1+21+31+…+n 1(n ∈N +),经计算:f(2)=23,f(4)＞24,f(8)＞25,f(16)＞3,f(32)＞27,推测当n≥2时,有_______________. 答案：f(2n )＞22+n 思路分析：对问题进行归纳时,要尽可能将结论的形式统一,这样便于找到共性特征,看出其规律,故本题应将所给的式子写成f(21)=23,f(22)＞2,f(23)＞25,f(24)＞26,f(25)＞27，从而归纳出当n≥2时的一般结论为n≥2时,f(2n )＞22+n .6.若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2,则三角形面积之比为:212211OM OM S S N OM N OM =∆∆·21ON ON .若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点P 1、P 2与点Q 1、Q 2和R 1、R 2,则类似的结论为:_______________. 答案：21222111OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR 思路分析：在平面中是两三角形的面积之比,凭直觉可猜想在空间应是体积之比,所以有21222111OP OP V V R Q P O R Q P O =--=21OQ OQ ·21OR OR 7.已知数列{a n }的通项公式a n =2)1(1+n (n ∈N +),f(n)=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n ),试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)的值. 答案：(1)f(1)=1-a 1=14341=-,f(2)=(1-a 1)(1-a 2)=f(1)·(191-)=43·98=32=64, f(3)=(1-a 1)(1-a 2)(1-a 3)=f(2)·(1161-)=32·1615=85,由此猜想f(n)=)1(22++n n . 思路分析：利用题目所给的关系式,可以计算出函数值,根据f(1),f(2),f(3)的值,找到共性特征,进而可得f(n)的值.8.已知:sin 230°+sin 290°+sin 2150°=23,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=23. 观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之. 答案：一般性的命题为sin 2θ+sin 2(60°+θ)+sin 2(120°+θ)=23. 证明如下:sin 2θ+sin 2(60°+θ)+sin 2(120°+θ)=2)2240cos(12)2120cos(122cos 1θθθ+++++++ =2123+［cos2θ+cos(120°+2θ)+cos(240°+2θ)］ =2123+［2cos60°cos(60°+2θ)+cos(180°+60°+2θ)］ =2123+［cos(60°+2θ)-cos(60°+2θ)］=23. 思路分析：仔细分析两个式子中角的特点,就会发现角的度数成等差数列,从而找到了规律.对角的观察是本题的突破口,若从两个式子中未能找到规律,可将两个式子中的三个角同时变化较小的度数,即可发现角的关系,从而找到式子的规律. 综合应用9.设数列{a n }的首项a 1=a≠41,且a n+1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+.,41,,21为奇数为偶数n a n a n n记b n =a 2n-141-,n ＝1,2,3,… （1）求a 2,a 3;（2）判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论.答案：（1）a 2＝a 1+41=a+41,a 3=21a 2=21a+81; （2）∵a 4=a 3+41=21a+83,所以a 5=21a 4=41a+163,所以b 1=a 1-41=a-41,b 2=a 3-41=21(a-41),b 3=a 5-41=41(a-41),猜想:{b n }是公比为21的等比数列.证明如下:∵b n+1＝a 2n+1-41=21a 2n -41=21(a 2n-1-41)=21b n ,(n ∈N *) ∴{b n }是首项为a-41,公比为21的等比数列.思路分析：本题是考查猜想归纳能力及等比数列的定义.10.如图,点P 为斜三棱柱状ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥B 1B 交AA 1于点M,PN ⊥BB 1交CC 1于点N.(1)求证:CC 1⊥MN;(2)在任意△DEF 中有余弦定理:DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos ∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.答案：(1)证明:∵PM ⊥BB 1,PN ⊥BB 1,∴BB 1⊥平面PMN. ∴BB 1⊥MN.又CC 1∥BB 1,∴CC 1⊥MN. (2)解:在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,有S a BB 1A 12=211B BCC S +211A ACC S -211B BCC S ·11A ACC S cosα.其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角. ∵CC 1⊥平面PMN,∴上述的二面角的平面角为∠MNP. 在△PMN 中,PM 2=PN 2+MN 2-2PN·MN·cos ∠MNPPM 2·CC 12=PN 2·CC 12+MN 2·CC 12-2(PN·CC 1)·(MN·CC 1)·cos ∠MNP, 由于11B BCC S =PN·CC 1,11A ACC S =MN·CC 1,11A ABB S =MP·BB 1, ∴211A AAB S =211B BCC S +211A ACC S -211B BCC S ·11A ACC S cosα.思路分析：考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧面的高,由已知条件可得△PMN 为三棱柱的直截面,选取三棱柱的直截面三角形作类比对象.11.找出三角形和四面体的相似性质,并用三角形的下列性质类比四面体的有关性质. (1)三角形的两边之和大于第三边;(2)三角形的中位线等于第三边的一半且平行于第三边;(3)三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心; (4)三角形的面积为S=21(a+b+c)r(r 为内切圆的半径). 解：三角形与四面体有下列共同性质：(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形,四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作平面上一条线段外一点与这条直线段上的各点连线所形成的图形,四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点连线所形成的图形.根据三角形的性质可以推测空间四面体的性质如下:有与另一类事物类似(或相同)的性质,充分分析出三角形和四面体之间所具有的共同性质,再进行类比推理.。

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1用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N),第一步应验证 ( ) A.当n=1时不等式成立 B.当n=2时不等式成立 C.当n=3时不等式成立 D.当n=4时不等式成立 解析:由题知n的最小值为3,所以第一步验证当n=3时不等式成立,选C. 答案:C
题型一 题型二 题型三
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反思应用数学归纳法证明整除问题时,关键是“凑项”,采用增项、 减项、拆项和因式分解等方法,也可以说将式子“硬提公因式”,即将 n=k时的项从n=k+1时的项中“硬提出来”,后面的式子相应变形,使 之与n=k+1时的项相同,从而达到利用归纳假设的目的.
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4 对于不等式 ������2 + ������ < ������ + 1(������∈N+),某同学的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 + 1 < 1 + 1, 不等式成立; (2)假设当 n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立,即 ������2 + ������ < ������ + 1(������∈
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这就是说，当n=k+1时,等式也成立。
k ( k 1) (2k 1) ( k 1) 2 6 k ( k 1)(2k 1) 6( k 1) 2 6 ( k 1)(2k 2 7 k 6) 6 ( k 1)( k 2)(2k 3) 6 ( k 1)[( k 1) 1][ 2( k 1) 1] 6
(Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，并应用 此假设证明n＝k＋1时结论也正确．
练习1
用数学归纳法证明：
如果{a n } 是等差数列，已知首项为 a1，公差为 d ，那么 a n a1 ( n 1)d n N 对一切 都成立． 递推基础
左边 a1 , 右边 a1 0 d a1 , 证明：（1）当n=1时， 等式是成立的．
（2）假设当n=k时等式成立，就是a k a1 ( k 1)d , 那么当n=k+1时，
ak 1 a k d [a1 (k 1)d ] d a1 [(k 1) 1]d 递推依据
n N 由（1）和（2）可知，等式对任何 都成立．
目标：ak 1 a1 [(k 1) 1]d
1.4
数学归纳法
问题情境
1 2 3 1 , 6 2 3 5 2 2 1 2 , 6 3 4 7 2 2 2 1 2 3 , 6 4 5 9 2 2 2 2 1 2 3 4 , 6 . 归纳
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情境1.观察下列各等式，你发现了什么？ 思考：你由不完全归纳法 所发现的结论正确吗？若 不正确，请举一个反例; 若正确，如何证明呢？
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用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：
n0 1或2等）时结论正确； （1）证明当 n 取第一个值 n （如 0

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数学归纳法同步练习1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为二个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成（）A．511个 B．512个 C．1023个D．1024个2. 一个与正整数n有关的命题，当时，命题成立，且由kn=时命题成立可以推得n时命题也成立，则（）=k+2A. 该命题对于2n的自然数n都成立>B. 该命题对于所有的正偶数都成立C. 该命题何时成立与k取值无关D. 以上答案都不对3. 某个命题与自然数n有关，若)=时该命题成立，那么推得当n∈(,Nkk=n时该命题不成立，那么可推得n时该命题也成立，现已知当5+1=kA．当6n时该命题成立=n时该命题不成立B．当6=C．当4n时该命题成立=n时该命题不成立D．当4=4. 用数学归纳法证明)()12(312)()3)(2)(1(+∈-⋅⋅⋅⋅=++++N n n n n n n n n ，递推步从k n =到1+=k n 时，右边应增乘的式子是（ ）A. 22+kB. )12(2+kC.112++k k D. 132++k k5．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为A ．130B ．170C ．210D ．2606. 凸n 边形有)(n f 条对角线，则凸n 边形的对角线条数_________)()1(+=+n f n f 。

7. 用数学归纳法证明)1,(12131211>∈<-++++n N n n n 时，第一步应验证的不等式是___________________________。

8. 证明：)(212111211214131211+∈+++++=--++-+-N n n n n n n9. 求证：当n 为正整数时，n n 53+能被6 整除。

10. 求证：)()11(2131211+∈-+>++++N n n n参考答案1. B2. B3. C4. B5. C6. 1-n7. 231211<++8. 证：（1）当1=n 时，左21211=-=，右21=，等式成立；（2）假设当k n =时，等式成立，则有kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 成立当1+=k n 时，2211212121)1(21111212121221121212111221121211214131211+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++++++=+-+++++++=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k 所以当1+=k n 时，等式成立。