江苏省南通市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷

2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.272.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=15.（单选题，5分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n-1，则a10=（）A.511B.513C.1025D.10246.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为（）A. 53B. 103C. 56D. 1167.（单选题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，P为椭圆C上的动点，若a= √2 b，满足∠F1PF2=90°的点P有（）个A.2个B.4个C.0个D.1个8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤210.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√612.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S2n≥T2n13.（填空题，5分）命题“∀x∈R，ax+b≤0”的否定是___ ．14.（填空题，5分）不等式x2-kx+1＞0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是___ ．15.（填空题，5分）椭圆x25+y2m=1的离心率为√105，则实数m的值为___ ．16.（填空题，5分）对于数列{a n}，定义A n= a1+2a2+⋯+2n−1a nn为数列{a n}的“好数”，已知某数列{a n}的“好数”A n=2n+1，记数列{a n-kn}的前n项和为S n，若S n≤S7对任意的n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是___ ．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆x 22 +y2=1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A（2，- √22），B（- √2，- √32）两点．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}满足a n+12-1=a n2+2a n，2a n=log2b n+log2b n+1+1，且a1=b1=1．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，求使得等式2S m+a m-36=T i成立的有序数对（m，i）（m，i∈N*）．2020-2021学年江苏省南通中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的第3项为（）A.8B.16C.18D.27【正确答案】：C【解析】：由已知利用等比数列的通项公式即可求解．【解答】：解：若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，由已知可得：a1=2，q=3，则它的通项a3=a1•q2=2×32=18．故选：C．【点评】：本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n=a1•q n-1，属于基础题．2.（单选题，5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：解得a的范围，即可判断出结论．【解答】：解：由a2＞a，解得a＜0或a＞1，故a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故选：A．【点评】：本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.（单选题，5分）不等式x+12x−1≤0的解集为（）A.[-1，12）B.[-1，12]C.（-∞，-1]∪（12，+∞）D.（-∞，-1]∪[ 12，+∞）【正确答案】：A【解析】：根据题意，分析可得原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】：解：根据题意，原不等式等价于（x+1）（2x-1）≤0且（2x-1）≠0，解可得：-1≤x＜12，及原不等式的解集为[-1，12）；故选：A．【点评】：本题考查分式不等式的解法，关键是将分式不等式变形为整式不等式．4.（单选题，5分）已知椭圆的准线方程为x=±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为（）A. x22+y2=1B.x2+ y22=1C. x24+y23=1D. x23+y24=1【正确答案】：C【解析】：由椭圆的准线方程可知椭圆的焦点在x轴上，再由已知列关于a，b，c的方程组，求得a2与b2的值，则椭圆标准方程可求．【解答】：解：由椭圆的准线方程为x=±4，可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为x 2a2+y2b2=1（a＞b＞0），由 { a 2c =4c a =12a 2=b 2+c 2 ，解得a 2=4，b 2=3，c 2=1．∴椭圆的标准方程为 x 24+y 23 =1． 故选：C ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．5.（单选题，5分）数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，则a 10=（ ）A.511B.513C.1025D.1024【正确答案】：B【解析】：直接利用构造法的应用，整理出数列{a n -1}是等比数列，进一步求出数列的通项公式，最后求出结果．【解答】：解：数列{a n }中，a 1=2，a n+1=2a n -1，所以a n+1-1=2（a n -1），所以 a n+1−1a n −1=2 （常数），所以数列{a n -1}是以a 1-1=1为首项，2为公比的等比数列．所以 a n −1=2n−1 ，所以 a n =2n−1+1 ．所以 a 10=29+1=513 ．故选：B ．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.（单选题，5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）A. 53B. 103C. 56D. 116【正确答案】：A【解析】：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（d ＞0）；则由五个人的面包和为100，得a 的值；由较大的三份之和的 17 是较小的两份之和，得d 的值；从而得最小的一份a-2d 的值．【解答】：解：设五个人所分得的面包为a-2d ，a-d ，a ，a+d ，a+2d ，（其中d ＞0）； 则，（a-2d ）+（a-d ）+a+（a+d ）+（a+2d ）=5a=100，∴a=20；由 17 （a+a+d+a+2d ）=a-2d+a-d ，得3a+3d=7（2a-3d ）；∴24d=11a ，∴d=55/6； 所以，最小的1分为a-2d=20-1106 = 53 ． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果．7.（单选题，5分）椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1和F 2，P 为椭圆C 上的动点，若a= √2 b ，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有（ ）个A.2个B.4个C.0个D.1个【正确答案】：A【解析】：由题意画出图形，由a= √2 b ，结合隐含条件可得b=c ，再由∠F 1PF 2=90°，可得P 为短轴的两个端点，则答案可求．【解答】：解：设椭圆的半焦距为c ，当a= √2 b 时，则 c =√a 2−b 2=√b 2=b ，如图，连接PO ，若∠F 1PF 2=90°，则|PO|=|OF 1|=b ，此时P 点在短轴的上下端点，即符合条件的P 有2个．故选：A ．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8.（单选题，5分）正数a，b满足9a+b=ab，若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（）A.[3，+∞）B.（-∞，3]C.（-∞，6]D.[6，+∞）【正确答案】：A【解析】：求出a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+6=16（当且仅当b=3a时取等号），问题转化为m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．【解答】：解：∵正数a，b满足1a + 9b=1，∴a+b=（a+b）（1a + 9b）=10+ ba+ 9ab≥10+2 √ba•9ab=10+6=16（当且仅当b=3a时取等号）．由不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，可得-x2+2x+18-m≤16对任意实数x恒成立，即m≥-x2+2x+2对任意实数x恒成立，即m≥-（x-1）2+3对任意实数x恒成立，∵-（x-1）2+3的最大值为3，∴m≥3，故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和二次函数的最值求法，考查化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若实数a＞0，b＞0，a•b=1，若下列选项的不等式中，正确的是（）A.a+b≥2B. √a+√b≥2C.a2+b2≥2D. 1a +1b≤2【正确答案】：ABC【解析】：直接利用不等式的性质和均值不等式的应用判定A、B、C、D的结论．【解答】：解：实数a＞0，b＞0，a•b=1，则对于A：a+b≥2√ab=2，成立，故A正确；对于B：√a+√b≥2√√a•√b=2成立，故B正确；对于C：a2+b2≥2ab=2成立，故C正确；对于D：1a +1b≥2√1ab=2成立，故D不正确．故选：ABC．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的性质和均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10.（多选题，5分）对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（）A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件C.“a＜5”是“a＜3”的必要条件D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件【正确答案】：CD【解析】：由题意逐一考查所给的命题是否成立即可．【解答】：解：逐一考查所给的选项：取a=2，b=3，c=0，满足ac=bc，但是不满足a=b，选项A错误，取a=2，b=-3，满足a＞b，但是不满足a2＞b2，选项B错误，“a＜5”是“a＜3”的必要条件，选项C正确，“a+5是无理数”，则“a是无理数”，选项D正确，故选：CD．【点评】：本题主要考查不等式的性质，等式的性质，命题真假的判定等知识，属于中等题．11.（多选题，5分）设椭圆x29+y23=1的右焦点为F，直线y=m（0＜m＜√3）与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是（）A.AF+BF为定值B.△ABF的周长的取值范围是[6，12]C.当m= √2时，△ABF 为直角三角形D.当m=1时，△ABF 的面积为√6【正确答案】：AD【解析】：利用椭圆的性质以及定义，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：设椭圆的左焦点为F'，则AF'=BF，可得AF+BF=AF+AF'为定值6，故A正确；△ABF的周长为AB+AF+BF，∵|AF+BF为定值6，可知AB的范围是（0，6），∴△ABF的周长的范围是（6，12），故B错误；将y= √2与椭圆方程联立，可解得A（−√3，√2），B（√3，√2），又知F（√6，0），如图，由图可知∠ABF为钝角，则△ABF为钝角三角形，故C错误；将y=1与椭圆方程联立，解得A（−√6，1），B（√6，1），∴ S△ABF=12×2√6×1=√6，故D正确．故选：AD．【点评】：本题考查椭圆的性质，椭圆与直线的位置关系．考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.（多选题，5分）已知数列{a n}，{b n}均为递增数列，{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n．且满足a n+a n+1=2n，b n•b n+1=2n（n∈N*），则下列说法正确的有（）A.0＜a1＜1B.1＜b1＜√2C.S2n＜T2nD.S 2n ≥T 2n【正确答案】：ABC【解析】：利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】：解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n+1=2n ，∴ {a 1+a 2=2a 2+a 3=4； ∴ {a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确．∴S 2n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n-1+a 2n ）=2+6+10+…+2（2n-1）=2n 2；∵数列{b n }为递增数列；∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n+1=2n∴ {b 1b 2=2b 2b 3=4； ∴ {b 2＞b 1b 3＞b 2； ∴1＜b 1＜ √2 ，故B 正确．∵T 2n =b 1+b 2+…+b 2n=（b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）= b 1•(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1) ；∴对于任意的n∈N*，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点评】：本题考查了数列的综合运用，考查学生的分析能力与计算能力．属于中档题．13.（填空题，5分）命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是___ ．【正确答案】：[1]∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R ，ax+b≤0”的否定是∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0， 故答案为：∃x 0∈R ，ax 0+b ＞0．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．14.（填空题，5分）不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-2，2）【解析】：设y=x 2-kx+1，将不等式恒成立的问题转化为函数y=x 2-kx+1图象始终在x 轴上方，进而根据判别式处理即可．【解答】：解：依题意，设y=x 2-kx+1，因为不等式x 2-kx+1＞0对任意实数x 都成立，所以△=k 2-4＜0，解得k∈（-2，2），故答案为：（-2，2）．【点评】：本题考查了二次函数的性质，二次函数与二次不等式的关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题．15.（填空题，5分）椭圆 x 25+y 2m =1 的离心率为 √105 ，则实数m 的值为___ ． 【正确答案】：[1] 253或3【解析】：分当m ＞5和m ＜5时两种情况，根据e= c a 求得m ．【解答】：解：当m ＞5时，√m−5√m = √105 ，解得m= 253 ， 当m ＜5√5−m √5 = √105 解得m=3符合题意， 故答案为： 253或3【点评】：本题主要考查了椭圆的简单性质．要利用好椭圆标准方程中a ，b ，c 的关系．16.（填空题，5分）对于数列{a n }，定义A n = a 1+2a 2+⋯+2n−1a n n为数列{a n }的“好数”，已知某数列{a n }的“好数”A n =2n+1，记数列{a n -kn}的前n 项和为S n ，若S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] [94，167] 【解析】：先根据数列的递推式求出a n =2n+2，所以a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，所以{S n }中S 7最大，则数列{a n -kn}的第7项大于等于0，第八项小于等于0，列出不等式组，即可解得实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可知， a 1+2a 2+⋯…+2n−1a n =n •2n+1 ，则n≥2时， a 1+2a 2+⋯…+2n−2a n−1=(n −1)•2n ，两式相减得： 2n−1a n =n •2n+1−(n −1)•2n ，∴a n =2n+2，又∵A 1= a 11 =4，∴a 1=4，满足a n =2n+2，故a n =2n+2，∴a n -kn=（2-k ）n+2，显然{a n -kn}是等差数列，∵S n ≤S 7对任意的n∈N *恒成立，∴{S n }中S 7最大，则 {a 7−7k =7(2−k )+2≥0a 8−8k =8(2−k )+2≤0，解得： 94≤k ≤167 ， 故实数k 的取值范围是：[ 94 ， 167 ]．【点评】：本题主要考查了数列的递推式，以及等差数列的性质，是中档题．17.（问答题，10分）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）与椭圆 x 22 +y 2=1有相同的焦点，且经过点（1， 32 ）；（2）经过A （2，- √22 ），B （- √2 ，- √32 ）两点．【正确答案】：【解析】：（1）先求出已知椭圆的焦点坐标（±1，0），则可设出所求椭圆方程，代入已知点即可求解，（2）待定系数法设出椭圆方程，代入已知点即可求解．【解答】：解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2m−1=1(m ＞1) ，代入点（1， 32 ），解得m=4或 14 （舍），所以所求椭圆方程为： x 24+y 23=1 ，（2）设所求的椭圆方程为： x 2m +y 2n =1(m ＞0，n ＞0，m ≠n) ，代入已知两点可得：{4m +12n=12 m +34n=1，解得m=8，n=1，故所求的椭圆方程为：x 28+y2=1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程以及焦点相同和不确定的问题的椭圆方程的设法，属于基础题．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}中，a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n+a n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（1）根据等差中项可得q=2，即可求出通项公式；（2）利用分组求和即可求出．【解答】：解：（1）设等比数列{a n}公比为q，则q≠0，∵a1=1，且a2是a1和a3-1的等差中项，∴2a2=a1+a3-1，即2q=1+q2-1，解得q=2，∴a n=2n-1；（2）b n=2n+a n=2n+2n-1；∴S n=2（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）=n（n+1）+2n-1=n2+n+2n-1．【点评】：本题考查等比数列的通项公式和等差数列的性质，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查了运算求解能力，属于基础题．19.（问答题，12分）已知函数f（x）=ax2+bx-a+2．（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx-a+2=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax-a+2）＞0，由此讨论-1与a−2a的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】：解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（-1，3）∴-1，3是方程ax2+bx-a+2=0的两根，∴可得{a−b−a+2=09a+3b−a+2=0，解之得{a=−1b=2------------（5分）（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x-a+2=（x+1）（ax-a+2），∵a＞0，∴ (x+1)(ax−a+2)＞0⇔(x+1)(x−a−2a)＞0① 若−1=a−2a，即a=1，解集为{x|x≠-1}．② 若−1＞a−2a ，即0＜a＜1，解集为{x|x＜a−2a或x＞−1}．③ 若−1＜a−2a ，即a＞1，解集为{x|x＜−1或x＞a−2a}．------------（14分）【点评】：本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）＞0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题．20.（问答题，12分）某工厂年初用98万元购买一台新设备，第一年设备维修及燃料、动力消耗（称为设备的低劣化）的总费用12万元，以后每年都增加4万元，新设备每年可给工厂收益50万元．（Ⅰ）工厂第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：① 年平均获利最大时，以26万元出售该设备；② 总纯收入获利最大时，以8万元出售该设备，问哪种方案对工厂合算？【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，第n年时累计的纯收入f （n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98，获利为f（n）＞0，解得n的值，可得第几年开始获利；（Ⅱ）计算方案① 年平均获利最大时及总收益；方案② 总纯收入获利最大时及总收益；比较两种方案，总收益相等，第一种方案需7年，第二种方案需10年，应选择第一种方案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n），则f（n）=50n-[12+16+…+（4n+8）]-98=40n-2n2-98，获利为：f（n）＞0，∴4n-2n2-98＞0，即n2-20n+49＜0，∴10- √51＜n＜10+ √51；又n∈N，∴n=3，4，5， (17)∴当n=3时，即第3年开始获利．（Ⅱ）① 年平均收入为：f(n)n =40−2(n+49n)≤40−4√n•49n=12（万元）即年平均收益最大时，总收益为：12×7+26=110（万元），此时n=7；② f（n）=-2（n-10）2+102，∴当n=10时，f（n）max=102；总收益为110万元，此时n=10；比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种方案．【点评】：本题考查了数列与函数的综合应用问题，也是方案设计的问题；解题时应细心分析，认真解答，以免出错．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且短轴的两个端点与右焦点是一个等边三角形的三个顶点，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆的右焦点F作直线l，与椭圆相交于A，B两点，求△OAB面积的最大值，并求此时直线l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）由长轴长即等边三角形可得a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，代入面积公式，由均值不等式的性质可得面积的最大值，及直线l 的方程．【解答】：解：（1）由题意可得2a=4，2b= √b 2+c 2 =a ，所以a=2，b=1，所以椭圆的方程为： x 24 +y 2=1；（2）由（1）可得右焦点F 2（ √3 ，0），显然直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x=my+ √3 ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程 {x =my +√3x 24+y 2=1 ，整理可得：（4+m 2）y 2+2 √3 my-1=0， 可得y 1+y 2= −2√3m 4+m 2 ，y 1y 2= −14+m 2 ，所以S △AOB = 12 |OF 2||y 1-y 2|= 12×√3 × √(y 1+y 2)2−4y 1y 2= √32 •√12m 2(4+m 2)2+44+m 2= √32 •4√1+m 24+m 2=2 √3 •√1+m 24+m 2 =2 √3 •√1+m 2+3√2 √3 • 2√1+m 2•3√2 =1， 当且仅当 √1+m 2 = √1+m 2 m= ±√2 ，时三角形的面积最大为1，所以面积的最大值为1，这时直线l 的方程为x= ±√2 y+ √3 ．【点评】：本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．22.（问答题，12分）已知各项均为正数的两个数列{a n }，{b n }满足a n+12-1=a n 2+2a n ，2a n =log 2b n +log 2b n+1+1，且a 1=b 1=1．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）求数列{b n }的通项公式；（3）设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序数对（m ，i ）（m ，i∈N*）．【正确答案】：【解析】：（1）根据递推关系可得a n+12=（a n+1）2，从而得到数列{a n}为等差数列；（2）根据2a n=log2b n+log2b n+1+1，可知数列{b n}的奇数项和偶数项，进而整合即可得{b n}的通项公式．（3）分别求S n，T n，带入2S m+a m-36=T i成立，则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，在证明s≥5不成立，从而得到s=4，m=9，i=6．【解答】：证明（1）：由a n+12-1=a n2+2a n，可得a n+12=a n2+2a n+1即a n+12=（a n+1）2，∵各项均为正数的两个数列{a n}，{b n}，可得a n+1=a n+1，即数列{a n}是首项为1，公差d=1的等差数列．解（2）：由（1）可得a n=n，∵2a n=log2b n+log2b n+1+1，可得b n b n+1=22n-1…… ①∴b n+1b n+2=22n+1…… ②将②①可得：b n+2b n=4．所以{b n}是奇数项和偶数项都成公比q=4的等比数列，由b1=1，b2=2，可得b2k-1=4k-1，b2k=2×4k-1，k∈N*，∴b n=2n-1．故得数列{b n}的通项公式为b n=2n-1．（3）由（1）和（2）可得S n= n(n+1)2，T n=2n-1；由2S m+a m-36=m（m+1）+m-36=2i-1，即（m-5）（m+7）=2i．则存在s，t∈N*，使得2s=m+7，即2t=m-5，从而2s-2t=12，若s≥5，则2s-2t-12≥20，∴t≥5，又∵s＞t，那么2s-2t≥2t+1-2t=2t≥32，可知与2s-2t=12相矛盾，可得s≤4，根据2s-2t=12，s，t∈N*，可得s=4，t=2，此时可得m=9，i=6．【点评】：本题考查了等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于压轴题．。

2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤02．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．25．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．二、多选题（共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝010．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为412．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．2．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．解：要使函数有意义，则，解得x≥2且x≠3，∴函数的定义域是[2，3）∪（3，+∞）．故选：C．3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．2【分析】根据幂函数的定义求出k＝1，由函数图象过点（4，2）求出α，再计算k+α．解：幂函数f（x）＝kxα中，k＝1，由函数图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝；所以k+α＝1+＝．故选：A．5．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．【分析】根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选：C．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．【分析】由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，推出b＝﹣2a，再代入bx+a＜0，解之即可．解：由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，所以b＝﹣2a，所以不等式bx+a＜0可化为﹣2ax+a＜0，解得x＜，故选：A．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数t＝﹣x2+4x﹣3的减区间，可得函数的单调减区间．解：由﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，∴函数的定义域为[1，3]，令t＝﹣x2+4x﹣3，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，则函数t＝﹣x2+4x﹣3在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，又y＝2t是增函数，∴函数的单调减区间为[2，3]．故选：D．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．【分析】点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x＜1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC 上时，BE＝2（x﹣1），（1≤x≤2），y＝+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．解：点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x≤1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC上时，BE＝2（x﹣1），（1＜x≤2），y＝22﹣2（x﹣1）﹣[2﹣2（x﹣1）]×x﹣×（2﹣x）＝x2﹣3x+4＝+．利用一次函数与二次函数的单调性可知：A正确．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝0【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．解：lg（lg10）＝lg1＝0，所以A正确；e lnπ＝π，满足对数的运算法则，所以B正确；若e＝lnx，则x＝e e，所以C不正确；ln（lg1）＝ln0，无意义，所以D不正确；故选：AB．10．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）【分析】取特殊值判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．解：取a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，显然A，C错误；对于BD：a＜b＜0，故ab＜b2，a（c2+1）＜b（c2+1），BD正确，故选：BD．11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为4【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；对于B，当x＞1时，x+＝x﹣1++1≥2+1＝+1，当且仅当x﹣1＝，即x＝+1时，等号成立，即B的运算方法错误；对于C，取等的条件是x2+4＝，即x2+4＝±3，显然均不成立，即C的运算方法错误；对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为x＝4y，而第二次使用基本不等式的取等条件为x＝y，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．故选：BCD．12．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．解：符号函数sgn（x）＝，显然函数是奇函数，所以A正确；因为：e x＞0，所以，对任意的x∈R，sgn（e x）＝1，所以B正确；函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，+∞），所以C不正确；对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）＝，所以D正确；故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是{﹣1，0，3}．【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．解：函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z所以x＝﹣2，﹣1，0，1；对应的函数值分别为：0，﹣1，0，3；所以函数的值域为：{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为p ＜n＜m．【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．解：m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则＝+，＝+，＝+，∴＜＜，∴p＜n＜m，故答案为：p＜n＜m．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝3．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，联立两个式子分析可得答案．解：根据题意，f（x）对于任意实数x都有，令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，②，联立①②解可得：f（）＝3；故答案为：316．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】不妨设x1＞x2，由条件可得f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，构造新函数g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，显然g（x）在[1，+∞）上单调递增，再对a分情况讨论，利用g（x）的单调性即可求出a的取值范围．解：不妨设x1＞x2，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，①当a＝0时，g（x）＝﹣2x+1，显然不成立，②当a≠0时，则，解得a≥1，综上所述，实数a的取值范围是：[1，+∞），故答案为[1，+∞）．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【分析】（1）k＝1时，可得B，利用补集交集运算可得．（2）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进而即可得出实数k的取值范围．解：（1）k＝1时，2x2+3x﹣5＜0，解得﹣＜x＜1，即B＝（﹣，1），则∁R B＝（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），A∪B＝（﹣，3），（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B，由2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0可得（x﹣k）（x+）＜0，当k＞﹣时，解得﹣＜x＜k，即B＝（﹣，k），∵A⫋B∴k≥3，当k＝﹣时，解集为∅，即B＝∅，此时不满足A⫋B当k＞﹣时，解得k＜x＜﹣，即B＝（k，﹣），此时不满足A⫋B，∴实数k的取值范围是[3，+∞）．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝0可得b的值，进而由计算可得a的值，即可得函数的解析式；（2）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，用作差法证明即可得结论．解：（1）根据题意，对于函数f（x），由f（0）＝0，即f（0）＝＝0，即b＝0；则，又，所以a＝1；则．（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则＝；又﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；故f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．（2）先把指数式化为对数式得到a＝log2m，b＝log5m，代入＝Q，即可求出m的值．解：（1）P＝80.25×＝+﹣1＝﹣1＝2+﹣1＝，+log38＝+log38＝＝log39＝2．即，Q＝2．（2）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＝＝log m2+log m5＝log m10，∴log m10＝2，∴．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）设DN的长为x（x＞0）米，S AMPN＝AN•AM＝，表达AN＝（x+4）米和AM＝，要使矩形AMPN的面积大于50平方米，解不等式即可得DN的长的范围；（2）利用基本不等式可得当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+4）米．∵＝，∴AM＝，S AMPN＝AN•AM＝，由矩形AMPN的面积大于50，得：＞50，又x＞0，得：3x2﹣26x+48＞0，解得：0＜x＜或x＞6，即：DN长的取值范围是：（0，）∪（6，+∞）．（2）矩形花坛AMPN的面积为，y＝＝＝3x++24≥2+24＝48，当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长的范围：（0，）∪（6，+∞）；（2）当DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意可知：2≤f（2）≤2，由此确定f（2）＝2；（2）根据f（x）≥x恒成立，利用判别式≤0恒成立、结合f（2）＝2可求出a的值，最后结合f（﹣2）＝0，即可求出系数b，c的值；（3）根据x≥0，分离参数m，再利用基本不等式即可求出m的范围．解：（1）由题意得2≤f（2），所以f（2）＝2．（2）结合（1）知f（2）＝4a+2b+c＝2，由f（x）≥x恒成立得ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，故，将③代入②得，故c＝4a…④．又f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝0…⑤，联立③④⑤解得．所以．（3）由x∈[0，+∞），且恒成立可得：，（i）x＝0时，恒成立，此时m∈R；（ii）x＞0时，原式化为：恒成立，因为，当且仅当时取等号．故此时．综合（i）（ii）可知m的取值范围为（）．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，可得f（0）＝0，然后求出t的值，再检验得到的t值是否符合题意；（2）先根据f（1）＞0，求出a的范围，然后利用定义法判断f（x）的单调性，再根据f （kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，得到关于k的不等式，进一步求出k的范围；（3）根据函数f（x）的图象过点，求出a，令t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，根据f（x）是单调递增函数，得到t的范围，然后得到，再求出m的值即可．解：（1）∵是奇函数，∴f（0）＝0，1﹣（t﹣1）＝0，解得t＝2．当t＝2时，，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足题意，∴t＝2．（2）∵，f（1）＞0，∴，又a＞0，∴a＞1，设∀x1，x2∈R，x1＜x2，则，∴＝，∵x1＜x2，a＞1，∴，又∵．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）f（x）是单调递增函数．f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x）kx﹣x2＜1﹣x恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0恒成立，∴△＝（k+1）2﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1，∴k的取值范围为（﹣3，1）．（3）∵函数f（x）的图象过点，∴（a＞0），解得a＝2，设t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，由（2）知f（x）是单调递增函数，∴当x∈[1，log23]时，，t2＝a2x+a﹣2x﹣2，∴，，其最大值为m，也即t2﹣mt+2有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，而m＞1，也即h（t）最小值，不合题意舍去．②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，而m＞1，也即h（t）最大值，符合．③，解得m＝±2，此时对称轴为t＝±1，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，．。

2020年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.(2021·宁夏回族自治区固原市·模拟题)计算|−1|−3，结果正确的是()A. −4B. −3C. −2D. −12.(2021·山东省聊城市·模拟题)今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2.将68000用科学记数法表示为()A. 6.8×104B. 6.8×105C. 0.68×105D. 0.68×1063.(2021·安徽省·单元测试)下列运算，结果正确的是()A. √5−√3=√2B. 3+√2=3√2C. √6÷√2=3D. √6×√2=2√34.(2021·全国·单元测试)以原点为中心，将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.(2021·山东省·其他类型)如图，已知AB//CD，∠A=54°，∠E=18°，则∠C的度数是()A. 36°B. 34°C. 32°D. 30°6.(2020·江苏省南通市·历年真题)一组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是()A. 3B. 3.5C. 4D. 4.57.(2021·全国·单元测试)下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是()A. AC=BDB. AB⊥BCC. AD=BDD. AC⊥BD8.(2020·江苏省南通市·历年真题)如图是一个几体何的三视图(图中尺寸单位：cm)，则这个几何体的侧面积为()A. 48πcm2B. 24πcm2C. 12πcm2D. 9πcm 29. (2021·甘肃省平凉市·模拟题)如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B出发沿折线B −E −D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x(s)，△BPQ 的面积为y(cm 2)，若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是( )A. 96cm 2B. 84cm 2C. 72cm 2D. 56cm 210. (2021·天津市市辖区·模拟题)如图，在△ABC 中，AB =2，∠ABC =60°，∠ACB =45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为( )A. √6B. 2√2C. 2√3D. 3√2二、填空题（本大题共8小题，共30.0分）11. (2021·江苏省·其他类型)分解因式：xy −2y 2=______．12. (2020·江苏省常州市·期中考试)已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为______cm ．13. (2020·江苏省南通市·历年真题)若m <2√7<m +1，且m 为整数，则m =______． 14. (2021·全国·单元测试)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则C 1C 2的值等于______．15. (2021·江苏省·其他类型)1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为______．16.(2020·江苏省南通市·历年真题)如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为______m.(结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)17.(2021·全国·单元测试)若x1，x2是方程x2−4x−2020=0的两个实数根，则代数式x12−2x1+2x2的值等于______．18.(2020·江苏省南通市·历年真题)将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx−2−k(k>0)相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则(a−1)(b+2)=______．三、解答题（本大题共8小题，共90.0分）19.(2020·江苏省南通市·历年真题)计算：(1)(2m+3n)2−(2m+n)(2m−n)；(2)x−yx÷(x+y2−2xyx).20.(2020·江苏省南通市·历年真题)(1)如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD=AE，∠B=∠C.求证：AB=AC．(2)如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC=OA；④连接AC．若AC=3，求⊙O的半径．21.(2021·河北省·其他类型)如图，直线l1：y=x+3与过点A(3,0)的直线l2交于点C(1,m)，与x轴交于点B．(1)求直线l2的解析式；(2)点M在直线l1上，MN//y轴，交直线l2于点N，若MN=AB，求点M的坐标．22.(2021·广东省佛山市·模拟题)为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”.第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表．两个小组的调查结果如图的图表所示：第二小组统计表等级人数百分比A1718.9%B3842.2%C2831.1%D77.8%合计90100%若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：(1)第______小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上(含合格)的共约______人；(2)对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．23.(2020·山东省青岛市·单元测试)某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：(1)写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；(2)两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．24.(2021·江苏省常州市·模拟题)矩形ABCD中，AB=8，AD=12.将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．(1)如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求AP的值；DE(2)如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．25.(2021·全国·月考试卷)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0)，B(3n−4,y1)，C(5n+6,y2)三点，对称轴是直线x=1.关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根．(1)求抛物线的解析式；(2)若n<−5，试比较y1与y2的大小；(3)若B，C两点在直线x=1的两侧，且y1>y2，求n的取值范围．26.(2021·全国·月考试卷)【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】(1)如图①，对余四边形ABCD中，AB=5，BC=6，CD=4，连接AC.若AC=AB，求sin∠CAD的值；(2)如图②，凸四边形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2=CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】(3)在平面直角坐标系中，点A(−1,0)，B(3,0)，C(1,2)，四边形ABCD是对余四边=u，点形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC=90°+∠ABC.设AEBE D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．答案和解析1.【答案】C【知识点】绝对值、有理数的减法【解析】解：原式=1−3=−2．故选：C．首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得|−1|=1，再根据有理数的减法法则进行计算．本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，熟悉有理数的减法法则是关键．2.【答案】A【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：68000=6.8×104．故选：A．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，根据科学记数法的表示形式进行解答．3.【答案】D【知识点】二次根式的乘除、二次根式的加减【解析】解：A．√5与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B.3与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C.√6÷√2=√6÷2=√3，此选项错误；D.√6×√2=√3×√2×√2=2√3，此选项计算正确；故选：D．本题主要考查二次根式的运算，分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得．4.【答案】B【知识点】旋转中的坐标变化*【解析】解：如图，∵点P(4,5)按逆时针方向旋转90°，得点Q所在的象限为第二象限．故选：B．根据旋转的性质以原点为中心，将点P(4,5)按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．本题考查了坐标与图形变化−旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．5.【答案】A【知识点】平行线的性质【解析】解：过点E作EF//AB，如图所示．∵AB//CD，∴EF//CD，∵EF//AB，∴∠AEF=∠A=54°，∴∠CEF=∠AEF−∠AEC=54°−18°=36°．又∵EF//CD，∴∠C=∠CEF=36°．故选：A．过点E作EF//AB，则EF//CD，由EF//AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF−∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF//CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．6.【答案】B【知识点】中位数、众数【解析】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，∴x=3，从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9，处于中间位置的两个数是3，4，∴这组数据的中位数是(3+4)÷2=3.5．故选：B．先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7.【答案】D【知识点】平行四边形的性质、菱形的判定【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：D．根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出答案．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．8.【答案】B【知识点】圆锥的计算、由三视图判断几何体【解析】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，×π×6×8=24π(cm2).所以这个几何体的侧面积=12故选：B．先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．9.【答案】C【知识点】动点问题的函数图象、勾股定理、三角形的面积【解析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x=10，y=30，过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式得：y=12BQ×EH=12×10×EH=30(cm2)，解得EH=AB=6(cm)，∴AE=√BE2−AB2=√102−62=8(cm)，由图2可知当x=14(cm)时，点P与点D重合，∴AD=AE+DE=8+4=12(cm)，∴矩形的面积为12×6=72(cm2).故选：C．过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH=AB=6(cm)，由图2可知当x=14(cm)时，点P与点D重合，则AD=12(cm)，可得出答案．本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．10.【答案】A【知识点】平移的基本性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=√3，在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴AC=√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD(AAS)，∴BF=CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△ACN中，AN<AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．11.【答案】y(x−2y)【知识点】因式分解-提公因式法【解析】解：xy−2y2=y(x−2y)，故答案为：y(x−2y)．用提公因式法进行因式分解即可．本题考查提公因式法因式分解，找出公因式是正确分解的前提．12.【答案】12【知识点】勾股定理、垂径定理【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，AB=5，则AC=BC=12在Rt△OAC中，OC=√132−52=12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．AB=5，然后利用如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=12勾股定理计算OC的长即可．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.【答案】5【知识点】估算无理数的大小【解析】解：2√7=√28，∵√25<√28<√36，∴5<2√7<6，又∵m<2√7<m+1，∴m=5，故答案为：5．估计2√7的大小范围，进而确定m的值．本题考查无理数的估算，理解2√7在哪两个整数之间是正确求解的关键．14.【答案】√22【知识点】勾股定理、相似三角形的判定与性质【解析】解：∵DEAB =2√12+12=√2，EF BC =√22+222=√2，DF AC =√42+22√32+12=√2，∴DEAB =EFBC=DFAC=√2，∴△ABC∽△DEF，∴C1C2=ABDE=√22，故答案为：√22．先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．15.【答案】x(x−12)=864【知识点】数学传统文化-代数类、由实际问题抽象出一元二次方程【解析】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为(x−12)步．依题意，得：x(x−12)=864．由长和宽之间的关系可得出宽为(x−12)步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】7.5【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE=BC=5，DC=BE=1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE =AE DE ，∴AE =tan∠ADE ⋅DE =tan50°×5≈1.19×5=5.95(米)，∴AB =AE +BE =5.95+1.5≈7.5(米)，故答案为：7.5．作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 17.【答案】2028【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系*【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2−4x −2020=0的两个实数根，∴x 1+x 2=4，x 12−4x 1−2020=0，即x 12−4x 1=2020，则原式=x 12−4x 1+2x 1+2x 2=x 12−4x 1+2(x 1+x 2)=2020+2×4=2020+8=2028，故答案为：2028．根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x 12−4x 1=2020，x 1+x 2=4，代入原式=x 12−4x 1+2x 1+2x 2=x 12−4x 1+2(x 1+x 2)计算可得．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=c a ． 18.【答案】−3【知识点】一次函数与反比例函数综合【解析】解：一次函数y =kx −2−k(k >0)的图象过定点P(1,−2)，而点P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y =3x 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y =kx −2−k(k >0)相交于两点，在没平移前是关于原点对称的， 平移前，这两个点的坐标为为(a −1,3a−1)，(3b+2,b +2)，∴a−1=−3b+2，∴(a−1)(b+2)=−3，故答案为：−3．由于一次函数y=kx−2−k(k>0)的图象过定点P(1,−2)，而点P(1,−2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y=3x向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y=kx−2−k(k>0)相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．19.【答案】解：(1)原式=4m2+12mn+9n2−(4m2−n2)=4m2+12mn+9n2−4m2+n2=12mn+10n2；(2)原式=x−yx ÷(x2x+y2−2xyx)=x−yx÷x2−2xy+y2x=x−yx⋅x(x−y)2=1x−y．【知识点】平方差公式、完全平方公式、分式的混合运算【解析】(1)先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；(2)先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式与整式的混合运算顺序和运算法则．20.【答案】(1)证明：在△ABE和△ACD中{∠B=∠C ∠A=∠A AE=AD，∴△ABE≌△ACD(AAS)，∴AB=AC；(2)解：连接AB，如图②，由作法得OA =OB =AB =BC ，∴△OAB 为等边三角形，∴∠OAB =∠OBA =60°，∵AB =BC ，∴∠C =∠BAC ，∵∠OBA =∠C +∠BAC ，∴∠C =∠BAC =30°∴∠OAC =90°，在Rt △OAC 中，OA =√33AC =√33×3=√3． 即⊙O 的半径为√3．【知识点】作一条线段等于已知线段、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质【解析】(1)根据“AAS “证明△ABE≌△ACD ，然后根据全等三角形的性质得到结论；(2)连接AB ，如图②，由作法得OA =OB =AB =BC ，先判断△OAB 为等边三角形得到∠OAB =∠OBA =60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C =∠BAC =30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA 的长．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了全等三角形的判定与性质． 21.【答案】解：(1)在y =x +3中，令y =0，得x =−3，∴B(−3,0)，把x =1代入y =x +3得y =4，∴C(1,4)，设直线l 2的解析式为y =kx +b ，∴{k +b =43k +b =0，解得{k =−2b =6， ∴直线l 2的解析式为y =−2x +6；(2)AB =3−(−3)=6，设M(a,a +3)，由MN//y 轴，得N(a,−2a +6)，MN =|a +3−(−2a +6)|=AB =6，解得a =3或a =−1，∴M(3,6)或(−1,2)．【知识点】待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程(组)的关系【解析】(1)把点C的坐标代入y=x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；(2)由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．22.【答案】二922【知识点】用样本估计总体、条形统计图、统计表【解析】解：(1)根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；1000×(1−7.8%)=1000×0.922=922(人)，故答案为：二，922；(2)第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性．(1)根据样本要具有代表性可知第二小组的调查结果比较合理；用这个结果估计总体，1000人的(1−7.8%)就是“合格及以上”的人数；(2)从抽样的代表性、普遍性和可操作性方面提出意见和建议．本题考查样本估计总体，样本的抽取要具有代表性和普遍性，才能够准确地反映总体．23.【答案】解：(1)甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；(2)由(1)可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，则张先生坐到甲车的概率是26=13；由(1)可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，则李先生坐到甲车的概率是26=13；所以两人坐到甲车的可能性一样．【知识点】用列举法求概率(列表法与树状图法)【解析】(1)假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；(2)分别求出两人坐标到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案．此题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】解：(1)如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，由翻折可知，AO=OP，AP⊥DE，∠2=∠3，∠DAE=∠DPE=90°，在Rt△EPD中，∵EM=MD，∴PM=EM=DM，∴∠3=∠MPD，∴∠1=∠3+∠MPD=2∠3，∵∠ADP=2∠3，∴∠1=∠ADP，∵AD//BC，∴∠ADP=∠DPC，∴∠1=∠DPC，∵∠MOP=∠C=90°，∴△POM∽△DCP，∴POPM =CDPD=812=23，∴AODE =2PO2PM=23．(2)如图②中，过点P作GH//BC交AB于G，交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG=x，则BG=4−x∵∠A=∠EPD=90°，∠EGP=∠DHP=90°，∴∠EPG+∠DPH=90°，∠DPH+∠PDH=90°，∴∠EPG=∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴EGPH =PGDH=EPPD=412=13，∴PH=3EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2=PD2，∴(3x)2+(4+x)2=122，解得x=165(负值已经舍弃)，∴BG=4−165=45，在Rt△EGP中，GP=√EP2−EG2=125，∵GH//BC，∴△EGP∽△EBF，∴EGEB =GPBF，∴1654=125BF，∴BF=3．【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质【解析】(1)如图①中，取DE的中点M，连接PM.证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．(2)如图②中，过点P作GH//BC交AB于G，交CD于H.设EG=x，则BG=4−x.证明△EGP∽△PHD，推出EGPH =PGDH=EPPD=412=13，推出PG=2EG=3x，DH=AG=4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2=PD2，可得(3x)2+(4+x)2=122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．25.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A(2,0)，∴0=4a +2b +c①，∵对称轴是直线x =1，∴−b 2a =1②，∵关于x 的方程ax 2+bx +c =x 有两个相等的实数根，∴△=(b −1)2−4ac =0③，由①②③可得：{a =−12b =1c =0，∴抛物线的解析式为y =−12x 2+x ；(2)∵n <−5，∴3n −4<−19，5n +6<−19∴点B ，点C 在对称轴直线x =1的左侧，∵抛物线y =−12x 2+x ，∴−12<0，即y 随x 的增大而增大，∵(3n −4)−(5n +6)=−2n −10=−2(n +5)>0，∴3n −4>5n +6，∴y 1>y 2；(3)若点B 在对称轴直线x =1的左侧，点C 在对称轴直线x =1的右侧时，由题意可得{3n −4<15n +6>11−(3n −4)<5n +6−1， ∴0<n <53，若点C 在对称轴直线x =1的左侧，点B 在对称轴直线x =1的右侧时，由题意可得：{3n −4>15n +6<13n −4−1<1−(5n +6)， ∴不等式组无解，综上所述：0<n <53．【知识点】二次函数与一元二次方程、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、根的判别式【解析】(1)由题意可得0=4a+2b+c①，−b2a=1②，△=(b−1)2−4ac=0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；(2)由n<−5，可得点B，点C在对称轴直线x=1的左侧，由二次函数的性质可求解；(3)分两种情况讨论，列出不等式组可求解．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26.【答案】解：(1)过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．∵AC=AB，∴BE=CE=3，在Rt△AEB中，AE=√AB2−BE2=√52−32=4，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD=90°，∵∠B+∠D=90°，∴∠B=∠DCF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴△AEB∽△DFC，∴EBCF =ABCD，∴3CF =54，∴CF=125，∴sin∠CAD=CFAC =1255=1225．(2)如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM=DC，连接CM．∵四边形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∵∠DCM=∠DMC=45°，∵∠CDM=∠ADB=90°，∴∠ADC=∠BDM，∵AD=DB，CD=DM，∴△ADC≌△BDM(SAS)，∴AC=BM，∵2CD2+CB2=CA2，CM2=DM2+CD2=2CD2，∴CM2+CB2=BM2，∴∠BCM=90°，∴∠DCB=45°，∴∠DAB+∠DCB=90°，∴四边形ABCD是对余四边形．(3)如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．∵A(−1,0)，B(3,0)，C(1,2)，∴OA=1，OB=3，AB=4，AC=BC=2√2，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠ADC+∠ABC=90°，∴∠ADC=45°，∵∠AEC=90°+∠ABC=135°，∴∠ADC+∠AEC=180°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠ACE=∠ADE，∵∠CAE+∠ACE=∠CAE+∠EAB=45°，∴∠EAB=∠ACE，∴∠EAB=∠ADB，∵∠ABE=∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴BEAB =AEAD，∴AEBE =ADAB，∴u=AD4，设D(x,t)，由(2)可知，BD2=2CD2+AD2，∴(x−3)2+t2=2[(x−1)2+(t−2)2]+(x+1)2+t2，整理得(x+1)2=4t−t2，在Rt△ADH中，AD=√AH2+AD2=√(x+1)2+t2=2√t，∴u=AD4=√t2(0<t<4)，即u=√t2(0<t<4)．【知识点】锐角三角函数的定义、四边形综合、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质【解析】(1)先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值．(2)通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形．(3)过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D(x,t)，再利用(2)中结论，求出AD与t的关系即可解决问题．．本题属于四边形综合题，考查了对余四边形的定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。

高一级期中质量测试数学科试参考答案（第1页共4页）2020－2021学年度第一学期期中高中一年级质量测试数学科试卷参考答案题号123456789101112答案A C D A B D C A AB ABD AD BCD 三、13．1214．{x |x ≥−1且x ≠0}15．5≤4a −2b ≤1016．1516；0或1312．四、解答题17．解：(1)由图象观察可知f (x )的单调增区间为(0,2]；……………………………………5分(2)函数f (x )的图象如图所示：……………………………………………7分f (x )<0的解集为(−∞,−4)∪(4,+∞)．………………………………………………………10分18．解：因为A ∩B ={9}，故9∈A 且9∈B ，………………………………………………1分所以2m −1=9，或者m 2=9，…………………………………………………………………3分解得m =5，或者=±3，…………………………………………………………………………5分当m =5时，A ={−4,9,25}，B ={0,−4,9}，A ∩B ={−4,9}，不合题意；……………………7分当m =3时，B ={−2,−2,9}，与集合元素的互异性矛盾；…………………………………9分当m=−3时，A={−4,−7,9}，B={−8,4,9}，A∩B={9}，符合题意；……………………11分综上所述，m=−3．……………………………………………………………………………12分19．解：(1)已知x<2，∴x−2<0.……………………………………………………………1分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8……………………………………………………………………2分∴−4(x−2)−1x−2≥4，……………………………………………………………………………3分当且仅当−4(x−2)=−1x−2，即x=32时等号成立．………………………………………………4分∴4(x−2)+1x−2≤−4……………………………………………………………………………5分∴4x+1x−2=4(x−2)+1x−2+8≤4∴4x+1x−2的最大值为4………………………………………………………………………6分(2)解：∵x+4y+xy=5，∴5−xy=x+4y≥24xy=4xy……………………………………………………………………7分当且仅当x=4y，x+4y+xy=5即x=2，y=12时，等号成立……………………………………………………………………8分∴xy+4xy−5≤0………………………………………………………………………………9分∴xy≤1………………………………………………………………………………………11分∴xy的最大值为1……………………………………………………………………………12分20．解：(1)f(x)为R上的奇函数，……………………………………………………………1分∴f(0)＝0，得b＝0，…………………………………………………………………………3分又f(1)＝a＋b2＝12，∴a＝1，…………………………………………………………………5分∴f(x)＝xx2＋1……………………………………………………………………………………6分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第2页共4页）(2)f(x)在[1,＋∞)上为减函数，……………………………………………………………7分证明如下：在[1,＋∞)上任取x1和x2，且x1＜x2，……………………………………………8分则f(x2)−f(x1)＝x2x22＋1−x1x21＋1＝(x21＋1)x2－(x22＋1)x1(x21＋1)(x22＋1)＝x21x2－x22x1＋x2－x1(x21＋1)(x22＋1)＝(x1－x2)(x1x2－1)(x21＋1)(x22＋1)……………………9分∵x2>x1≥1，∴x1x2−1>0，x1−x2<0，…………………………………………………………10分∴f(x2)−f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，………………………………………………………………11分∴f(x)在[1,＋∞)上为减函数．…………………………………………………………………12分21．解：(1)由已知条件f(x)−g(x)＝x＋ax−2………………①………………………………1分①式中以−x代替x，得f(−x)−g(−x)＝−x−ax−2………②………………………………2分因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，故f(−x)＝−f(x)，g(−x)＝g(x)，②可化为−f(x)−g(x)＝−x−ax−2………③…………………………………………………3分①−③，得2f(x)＝2x＋2ax，……………………………………………………………………4分故f(x)＝x＋ax，g(x)＝2，x∈(−∞,0)∪(0,＋∞)；…………………………………………6分(2)由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，x∈[1,＋∞)，……………………………………………7分当a≥0时，函数f(x)＋g(x)的值恒为正；……………………………………………………8分当a＜0时，函数f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2在[1,＋∞)上为增函数，…………………………9分故当x＝1时，f(x)有最小值3＋a，故只需3＋a＞0，解得−3<a<0.………………………………………………………………11分综上所述，实数a的取值范围是(−3,＋∞)．………………………………………………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第3页共4页）【法二：由(1)知，f(x)＋g(x)＝x＋ax＋2，……………………………………………………7分当x∈[1,＋∞)时，f(x)＋g(x)＞0恒成立，等价于a＞−(x2＋2x)，…………………………9分而二次函数y＝−(x2＋2x)＝−(x＋1)2＋1在[1,＋∞)上单调递减，………………………10分x＝1时，y max＝−3，.…………………………………………………………………………11分故a＞−3………………………………………………………………………………………12分】22．解：(1)由题意知，y−x−(10＋2p)，…………………………………………2分将p＝3−2x＋1代入化简得y＝16−4x＋1−x(0≤x≤a)．…………………………………………5分【注：没注明定义域，扣1分】(2)当a≥1时，y＝17x＋−24x＋1×(x＋1)＝13，…………………………7分当且仅当4x＋1＝x＋1，即x＝1时，上式取等号．…………………………………………8分所以当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为13万元．…………………9分当0<a<1时，y＝16−4x＋1−x在(0,1)上单调递增，…………………………………………11分所以当0<a<1时，促销费用投入a万元时，厂家的利润最大为4161aa－万元………12分高一级期中质量测试数学科试参考答案（第4页共4页）。