【数学10份汇总】南通市市联考2020年高一数学(上)期末试卷

2019-2020学年江苏省南通市通州、海安高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．集合{0,6,8}A =的非空．．子集的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】根据含有n 个元素的集合有21n -个非空子集，计算可得． 【详解】解：集合{0,6,8}A =含有3个元素，含有3个元素的集合的非空子集个数为3217-=． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的非空子集，属于基础题．2．下列各图中，一定不是函数的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的定义直接判断即可． 【详解】解：由函数的定义可知，一个x 的值只能对应一个y 的值，而选项B 中一个x 的值可能对应两个y 的值，故不是函数图象， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数定义及其表示，属于基础题． 3．函数ln 1y x x+-的定义域为（ ）A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A【解析】根据使函数有意义列出不等式组，解得即可; 【详解】解：函数ln y x =的定义域应满足，10x x ->⎧⎨>⎩，解得01x <<．即()0,1x ∈ 故选：A ． 【点睛】本题考查函数定义域的求法，属于基础题． 4．已知1tan 7α=，4tan 3β=-，且(),0,αβπ∈，则αβ+=（ ） A ．23πB ．34π C ．56π D ．74π 【答案】B【解析】根据已知条件确定出αβ+的取值范围，又根据两角和与差的正切公式求出tan()1αβ+=-，得出答案．【详解】解：αQ ，(0,)βπ∈，1tan 07α=>，4tan 03β=-<， 故(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，故3(,)22ππαβ+∈，又14tan tan 73tan()1141tan tan 173αβαβαβ-++===--⋅+⨯， 所以34αβπ+=， 故选：B ． 【点睛】考查两角和与差的正切公式，角的范围的确定，属于中档题．5．智能主动降噪耳机工作的原理 ：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如图）.已知噪音的声波曲线()sin y A ωx φ=+（0A ＞，0ω＞，02πϕ≤≤）的振幅为1 ，周期为2π，初相为0，则通过挺感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】C【解析】由题意可求出噪音的声波曲线，而且由题意可反向波曲线与原曲线关于x 轴对称，可求出． 【详解】解：由某噪音的声波曲线sin()(0y A x A ωϕ=+>，0>ω，0)2πϕ<…的振幅为1，周期为2π，初相为0， 知声波曲线：sin y x =，通过听感主动降躁芯片生成相等的反向波曲线为sin y x =-． 故选：C ． 【点睛】本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．6．设1e r ，2e r是平面内的一组基底，则下面的四组向量不能．．作为基底的是（ ） A ．1e r +2e r 和1e r -2e rB ．1e r 和1e r +2e rC ．1e r +23e r 和13e r +2e rD ．13e r -22e r 和16e -r +24e r【答案】D【解析】结合平面向量基本定理及基底的条件即可判断． 【详解】解：Q 1e u r ，2e u u r是平面内的一组基底，∴1e u r ，2e u u r不共线，而2112462(32)e e e e -=--u u r u r u r u u r ，则根据向量共线定理可得，()()211246//32e e e e --u u r u r u r u u r ，根据基底的条件，选项D 不符合题意， 故选：D ． 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属于基础题． 7．下列大小关系正确的是（ ） A ．45cos cos 78ππ＜B ．0.20.32233--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ C．1122--＜D．1123log log 【答案】B【解析】分别根据对应的函数的单调性，判断即可． 【详解】 解：对于A ，4325350756856πππππ<=<=<，函数cos y x =在[]0,π上单调递减，故45coscos 78ππ>，故A 错， 对于B ，23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，0.20.3->-，故0.20.32233--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜成立，B 正确，对于C ，12y x-=，在0x >时单调递减，<Q1122--∴>，所以C 错，对于D，2312log log =-=D 错， 故选：B ． 【点睛】考查不等式比较大小，同时考查了函数的单调性，属于中档题．8．已知方程ln 112x x =-的实数解为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】先转化为两个简单函数判断交点所在区间的大致范围，再由零点判定定理确定即可． 【详解】解：112lnx x =-Q ，令()g x lnx =，()112h x x =-在同一坐标系画出图象可得 由图可知01x >，令()211f x lnx x =+-，()()129(27)0f f ln =-->Q ，()()23(27)(35)0f f ln ln =-->， ()()34(35)(43)0f f ln ln =-->， ()()45(43)(51)0f f ln ln =--<， ()04,5x ∴∈ 4k ∴=，故选：D ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法，图象法和零点判定定理．将函数的零点问题转化为两个函数交点的问题是常用的手段，属于基础题． 9．函数421y x x =--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】首先判断函数的奇偶性，再根据复合函数的单调性判断函数的单调性，即可得解. 【详解】解：()421y f x x x ==--Q ，定义域为R且()()()()424211f x x x x x f x -=----=--=，所以函数是偶函数，图象关于y 轴对称，故,B C 排除；令()2t x x =，则()2215124f t t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为()2t x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，又()21524f t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增由复合函数的单调性可知函数()421y f x x x ==--在0,2⎛ ⎝⎭上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确，D 错误； 故选：A 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性、单调性的应用，属于中档题. 10．已知函数3cos 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭既有最小值也有最大值，则实数t 的取值范围是（ ）A ．31326t <≤ B ．32t >C ．31326t <≤或52t > D ．52t > 【答案】C【解析】根据题意得到31326t πππ<≤或52t ππ<，计算得到答案. 【详解】3cos sin 2y x x πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，55,66x t t ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭则55,66x t t πππ⎡⎫⎛⎫∈>⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭函数有最小值也有最大值 则3133132626t t πππ<≤∴<≤或5522t t ππ<∴< 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，漏解是容易发生的错误.二、多选题11．对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（ ）A ．φB ．()1,a -C ．(),1a -D ．()(),1,a -∞-⋃+∞【答案】ABCD【解析】根据函数()(1)y a x a x =-+的图象和性质，对a 进行讨论，解不等式即可． 【详解】解：对于一元二次不等式()(1)0a x a x -+>，则0a ≠当0a >时，函数()(1)y a x a x =-+开口向上，与x 轴的交点为a ，1-， 故不等式的解集为()(),1,x a ∈-∞-+∞U ； 当0a <时，函数()(1)y a x a x =-+开口向下， 若1a =-，不等式解集为∅；若10a -<<，不等式的解集为(1,)a -， 若1a <-，不等式的解集为(,1)a -， 综上，ABCD 都成立， 故选：ABCD ． 【点睛】考查一元二次不等式的解法，二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．12．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数()0ϕϕ＞，使得函数()y f x =的图象向右．．平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是（ ）A ．()2f x x =，()221g x x x =-+B ．()sin f x x =，()cos g x x =C ．()ln f x x =，()ln 2xg x =D ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()123xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】根据所给定义，即函数的平移规则计算可得. 【详解】解：由2()f x x =，2()(1)g x x =-知，将()f x 向右移动一个单位可得到()g x ，故选项A 正确；由3 ()sin,()cos sin2 f x x gx x xπ⎛⎫===-⎪⎝⎭知，将()f x向右移动32π个单位可得到()g x，故选项B正确；由(),()22xf x lnxg x ln lnx ln===-知，将()f x向下移动2ln个单位可得到()g x，故选项C不正确；由3132121111133(),()21333123x xx x x loglogf xg x-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭=====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭知，将()f x向右移动3log2个单位可得到()g x，故选项D正确；故选：ABD．【点睛】本题考查函数图象的变换，同时也涉及了三角函数的恒等变换以及指对数的运算，属于中档题．13．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OAu u u r（以图中的格点O 为起点，格点A为终点），则（）A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OAu u u r是相反向量的共有11个B．满足10OA OB-u u u r u u u rB共有3个C．存在格点B，C，使得OA OB OC=+u u u r u u u r u u u rD．满足1OA OB⋅=u u u r u u u r的格点B共有4个【答案】BCD【解析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OAu u u r是相反向量的共有18个，故A 错，以O为原点建立平面直角坐标系，()1,2A，设(,)B m n ，若10OA OB -=u u u r u u u r，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -剟，22n -剟，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+u u u r u u u r u u u r，故C 正确．若1OA OB ⋅=u u u r u u u r，则21m n +=，(33m -剟，22n -剟，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．三、填空题14．已知集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，{}1,3C =，则()A B C =I U _________. 【答案】{}0,1,3【解析】根据交集的定义求出A B I ，再求根据并集的定义求出()A B C I U 即可； 【详解】解：{}1,0,1A =-，{}0,1,2B =，{}1,3C ={}0,1A B ∴⋂=(){}0,1,3A B C ∴=I U 故答案为：{}0,1,3． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，点O 为对角线AC 与BD 的交点，点E 在边CD 上，且2DE EC =，则OE =u u u r ________.（用a r ，b r表示）【答案】1126b a +r r【解析】结合平面向量共线定理及线性运算即可求解． 【详解】解：由题意可得，23DE DC =u u u r u u u r，∴1223OE OD DE BD DC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，()121111232626AD AB AB AD AB b a =-+=+=+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r r r ， 故答案为：1126b a +r r．【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题．16．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为______cm 2.【答案】704【解析】设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设AOB θ∠=，OA OB r ==，由题意可得：2464(16)r r θθ=⎧⎨=+⎩，解得：485r =， 所以，21481486416247042525OCD OAB S S S cm ⎛⎫=-=⨯⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故答案为：704．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查数形结合思想的应用，属于中档题．17．请先阅读下面的材料：对于等式b a c =（0a ＞，且1a ≠），如果将a 视为自变量x ，b 视为常数，c 为关于a （即x ）的函数，记为y ，那么2y x =，是幂函数；如果将a 视为常数，b 视为自变量x ，c 为关于b （即x ）的函数，记为y ，那么xy a =，是指数函数；如果将a 视为常数，c 视为自变量x ，b 为关于c （即x ）的函数，记为y ，那么log ay x =，是对数函数.事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型.例如，如果c 为常数e （自然对数的底），将a 视为自变量x ，则b 为x 的函数，记为y ，那么y x =_______，若将y 表示为x 的函数，则y =_________（0x ＞，且1x ≠）.【答案】e1lnx． 【解析】根据定义及指数和对数的关系计算可得； 【详解】解：对于等式(0,1)b a c a a =>≠，如果c 为常数e （自然对数的底），将a 视为自变量x ，则b 为x 的函数，记为y ，那么y x e =，若将y 表示为x 的函数，则ln 1log ln x e y e x lnx===，(0,1)x x >≠． 故答案为：e ；1lnx． 【点睛】本题考查函数的求法，考查函数的定义等基础知识，对数和指数的互化，考查运算求解能力，属于基础题．四、解答题18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量()2,3a =r ，()2,4b =-r ，()1,1c =-r.（1）求证：a b -r r与a c -r r 垂直；（2）若a λb +r r 与c r是共线向量，求实数λ的值.【答案】（1）a b -r r 与a c -r r 垂直；（2）52λ=-【解析】（1）利用平面向量坐标运算法则求出(4,1)a b -=-r r ，(1,4)a c -=r r ，再由()()0a b a c -⋅-=r r r r ，能证明a b -r r与a c -r r 垂直．（2）利用平面向量坐标运算法则求出(22,34)a b λλλ+=-+r r ，再由a λb +r r 与c r是共线向量，根据平面向量共线定理的坐标表示得到方程，即可求出实数λ的值． 【详解】解：（1）证明：Q 平面向量()2,3a =r ，()2,4b =-r ，()1,1c =-r∴(4,1)a b -=-r r ，(1,4)a c -=r r，()()41(1)40a b a c ∴-⋅-=⨯+-⨯=r r r r，∴a b -r r与a c -r r 垂直．（2）解：Q (2,3)a =r ，(2,4)b =-r，∴(22,34)a b λλλ+=-+r r，Q a λb +r r 与c r是共线向量，()1,1c =-r．(22)(1)(34)10λλ∴-⨯--+⨯=，解得52λ=-． 【点睛】本题考查向量垂直的证明，考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量与向量垂直、向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 19．已知函数()sin f x x =，x ∈R .现有如下两种图象变换方案：方案1：将函数()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位长度； 方案2：将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变.请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数()g x 的解析式，并解决如下问题： （1）画出函数()g x 在长度为一个周期的闭区间上的图象；（2）请你研究函数()g x 的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论.【答案】（1）()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象见解析；（2）见解析. 【解析】利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可知无论在何种方案下所得的函数都是()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， （1）作出函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π这一周期上的图象： （2）利用正弦函数的图象和性质即可得出结论． 【详解】解：方案1：将函数()sin f x x =的图像上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到sin 2y x =，再将sin 2y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭方案2：将函数()sin f x x =的图象向左平移3π个单位长度得到sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，无论在何种方案下所得的函数都是()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， （1）如图，是函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π这一周期上的图象：（2）函数()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭定义域：R ；值域：[]1,1-；周期：22T ππ==； 奇偶性：因为()30sin 03g π==≠，±1，所以()g x 不具有奇偶性． 单调性：令222232k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈解得51212k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈，即函数在5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈上单调递增；同理可得函数的单调递减区间为：12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ 【点睛】本题主要考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律以及正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．20．已知全集U =R ，集合{}2|2150A x x x =--<，集合()(){}2|210B x x a x a =-+-<.（1）若1a =，求U A ð和B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{|3U A x x =-„ð或5}x …，B =∅；（2）5⎡-⎣【解析】（1）利用集合的基本运算即可算出结果；（2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，对集合B 分等于空集和不等于空集两种情况讨论，求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）2{|2150}{|35}A x x x x x =--<=-<<Q ， {|3U A x x ∴=-„ð或5}x …，若1a =，则集合22{|(21)()0}{|(1)0}B x x a x a x x =-+-<=-<=∅， （2）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆， ①当B =∅时，221a a =-，解1a =， ②当B ≠∅时，即1a ≠时，221a a >-Q2{|21}B x a x a ∴=-<<，又由（1）可知集合{|35}A x x =-<<，∴22135a a --⎧⎨⎩…„，解得1a -剟1a ≠，综上所求，实数a的取值范围为：⎡-⎣．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题． 21．已知2sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5β=-，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭和2sin cos sin cos ββββ+-的值；（2）比较α与2πβ-的大小，并说明理由. 【答案】（1）sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2sin cos 11sin cos ββββ+=-；（2）2απβ>- 【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，再根据两角和的正弦公式计算sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭，由cos β可求sin β，tan β的值，进而将弦化切，代入求值即可．（2）由已知可求范围35,22ππαβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由（1）利用两角和是正弦函数公式可求sin()0αβ+=>，进而可求52,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即可得解．【详解】 解：（1）2sin 3α=Q ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos α∴=，2sin sin cos cos sin 4443πππααα⎛⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭3cos 5β=-Q ，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4sin 5β∴=-，4sin 45tan 3cos 35βββ-∴===-4212sin cos 2tan 13114sin cos tan 113ββββββ⨯+++∴===---（2）,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，3,2πβπ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 35,22ππαβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，Q 由（1）可得：234sin()sin cos cos sin 0355αβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=⨯-+⨯-=> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 52,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，2αβπ∴+>，即2απβ>-．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于中档题．22．用清水漂洗衣服上残留的洗衣液，对用一定量的清水漂洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一般，用水越多漂洗效果越好，但总还有洗衣液残留在衣服上.设用x 单位量的清水漂洗一次．．．．后，衣服上残留的洗衣液质量与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数()f x ，其中0x ＞. （1）试规定()0f 的值，并解释其实际意义；（2）根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个指数函数； （3）设函数()353x f x x +=+.现有c （0c ＞）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把水平均分成2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由. 【答案】（1）(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1；（2）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0x >．（3）将c 单位量的清水平均分成2份后先后漂洗效果更好．【解析】（1）有题意知，(0)1f =，所以表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1；（2）由题意可找出满足条件的函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（3）将(0)c c >单位量的清水平均分成2份后先后漂洗两次后，剩余洗衣液的质量为2236256532c c c c ⎡⎤+⎢⎥+⎛⎫⎢⎥= ⎪+⎛⎫⎢⎥⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再用作差法比较大小即可． 【详解】解：（1）规定(0)1f =，表示漂洗前衣服上残留的洗衣液质量为1； （2）函数()f x 应该满足的条件：(0)1f =，且()112f =； 函数()f x 应该具有的性质：()f x 为(0,)+∞上单调减函数，且当x 无限大时，()f x 无限趋于0；满足假定的一个指数函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中0x >． （3）设(0)c c >单位量的清水漂洗一次后，剩余洗衣液的质量为1353c f c +=+； 将(0)c c >单位量的清水平均分成2份后先后漂洗两次后，剩余洗衣液的质量为22236256532c c f c c ⎡⎤+⎢⎥+⎛⎫⎢⎥== ⎪+⎛⎫⎢⎥⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则22122364(518)05356(53)(56)c c c c f f c c c c +++⎛⎫-=-=> ⎪++++⎝⎭， 所以12f f >．答：将c 单位量的清水平均分成2份后先后漂洗效果更好． 【点睛】本题考查了指数函数的应用，利用函数模型解决实际问题，属于中档题．23．设a R ∈，函数()22x x af x a+=-.（1）若1a =，求证：函数()f x 为奇函数； （2）若0a <，判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若0a ≠，函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈，求ka的范围. 【答案】（1）见解析；（2）函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增，证明见解析；（3）当0a <时，(0,3k a ∈-；当0a >时，1ka=-．【解析】（1）当1a =时，函数21()21x x f x +=-，根据函数奇偶性得2112()()2112x xx xf x f x --++-===---，进而得出结论． （2）当0a <时，函数2()2x x af x a+=-的定义域为R ，通过单调性的定义法的五步①设元②作差③变形④定号⑤下结论．（3）因为m n <，22m n k k <，所以k 0<，分0a >，0a <两种情况讨论函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈，进而得出结论．【详解】解：（1）当1a =时，函数21()21x x f x +=-，因为210x -≠，所以0x ≠，即定义域为()(),00,-∞⋃+∞从而对任意的0x ≠，2112()()2112x xx xf x f x --++-===---， 所以21()(0)21x xf x x +=≠-为奇函数． （2）当0a <时，因为20x >，所以20x a ->，所以函数2()2x x af x a+=-的定义域为R ．结论：函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增函数． 证明：设对任意的1x ，2x R ∈，且12x x <， 则12121222()()22x x x x a af x f x a a++-=--- 122112(2)(2)(2)(2)(2)(2)x x x x x x a a a a a a +--+-=--21122(22)(2)(2)x x x x a a a -=--， 因为12x x <，所以2122x x >，即21220x x ->， 又因为120x a ->，220x a ->，0a <，所以21122(22)0(2)(2)x x x x a a a -<--， 于是12()()f x f x <，即函数2()(0)2x xaf x a a+=<-为R 上的单调递增．（3）因为m n <，所以22m n <，从而1122m n>， 由,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，知22m n k k <，所以k 0<，因为0a ≠，所以0a <或0a >．1︒ 当0a <时，由（2）知，函数2()2x xaf x a+=-为R 上单调递增函数． 因为函数()f x 在区间[],n m ()m n <上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()k R ∈所以()2()2m nk f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222222m m m n n na k a a k a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，从而关于x 的方程222x xx a ka +=- 有两个互异实数根． 令2x t =，则0t >，所以方程2()0t a k t ak +-+=，(,0)a k <有两个互异实数根202()400a k a k ak ak -⎧->⎪⎪-->⎨⎪>⎪⎩，从而03k a<<-2︒ 当0a >时，函数2()12x af x a=+-在区间2(,log )a -∞，()2log ,a +∞上均单调递减．若[]()2,log ,m n a ⊆+∞，则()1f x >，于是02mk>，这与k 0<矛盾，故舍去．若[]()2,,log m n a ⊆-∞，则()1f x <，于是()2()2n m k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即222222m m n n n ma k a a k a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩①②，所以2(2)(2)2(2)(2)n m m m n na k a a k a ⎧+=-⎨+=-⎩，两式相减整理得，()(22)0n m a k --=， 又22m n <，故220n m ->，从而0a k -=，因为0a >，所以1ka=-． 综上可得，当0a <时，(0,3ka∈-当0a >时，1ka=-． 【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性的证明，函数单调性的应用，分类讨论思想的应用，属于难题.。

2019-2020学年江苏省南通一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 函数f(x)＝lg (x +2)的定义域为（ ） A.(−2, +∞) B.(2, +∞) C.(−∞, 2)D.(−∞, −2)2. sin 225∘＝（ ） A.√22B.−√22C.12D.−123. 函数y ＝3cos (25x −π6)的最小正周期是（ ） A.5π2 B.2π5C.5πD.2π4. 若向量a →，b →不共线，且a →+mb →与(b →−2a →)共线，则实数m 的值为（ ） A.−12B.12C.−2D.25. 若tan α=13，tan (α+β)=12，则tan β＝（ ） A.16B.17C.56D.576. 要得到函数y ＝cos (2x +π3)的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象（ ） A.向左平移π6个单位B.向左平移π3个单位C.向右平移π3个单位 D.向右平移π6个单位7. 已知角θ的终边经过点P(4, m)，且sin θ=35，则m 等于( ) A.3B.−3C.±3D.1638. 已知扇形圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于（ ）A.π4B.π6C.π2D.π39. 若0<α<π2，sin (π3−α)=35，则sin α的值（ ）A.4√3−310B.4√3+310C.−4√3+310D.3−4√31010. 已知正三角形ABC 边长为2，D 是BC 的中点，点E 满足AE →=2ED →，则EB →⋅EC →=( )A.−12 B.−13C.−1D.−2311. 如果函数y =f(x)在区间I 上是增函数，而函数y =f(x)x在区间I 上是减函数，那么称函数y =f(x)是区间I上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”，若函数f(x)=12x 2−x +32是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A.[0,√3]B.[1, +∞)C.[1,√3]D.[0, 1]12. 如图，已知函数f(x)=√32|sin πx|，A 1，A 2，A 3是图象的顶点，O ，B ，C ，D 为f(x)与x 轴的交点，线段A 3D 上有五个不同的点Q 1，Q 2，…，Q 5，记n i =OA 2→⋅OQ i →(i ＝1, 2,…,5)，则n 1+n 2+...+n 5的值为（ ）A.45B.152√3C.452D.154√3二、填空题（本大题共4小题，共20分）已知向量a →=(2, 1)，b →=(x, −2)，若a → // b →，则a →+b →=________．若幂函数y ＝f(x)的图象过点(4, 2)则f(8)的值为________．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120∘．点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OC →=xOA →+yOB →，其中x ，y ∈R ，则x +y 的最大值是________．已知函数f(x)=sin 2x +sin x cos x −12，下列结论中： ①函数f(x)关于x =−π8对称； ②函数f(x)关于(π8,0)对称； ③函数f(x)在(π8,3π8)是增函数，④将y =√22cos 2x 的图象向右平移3π4可得到f(x)的图象． 其中正确的结论序号为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）已知向量a →=(1, cos α)，b →=(13, sin α)，α∈(0, π) （1）若a →⊥b →，求sin 2α的值；（2）若a →∥b →，求sin α+cos αsin α−cos α的值如图为函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2,x ∈R)的部分图象．（1）求函数解析式；（2）求函数f(x)的对称轴的方程．已知函数f(x)=sin 2x−2sin 2x sin x−cos x．（1）求f(x)定义域；（2）若tan α=43(π2<α<3π2)，求f(2α+π6)值．在△ABC 中，满足：AB →⊥AC →，M 是BC 的中点．(1)若|AB →|=|AC →|，求向量AB →+2AC →与向量2AB →+AC →的夹角的余弦值；(2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB|=|AC|=√2，求OA →⋅OB →+OC →⋅OA →的最小值．已知函数f(x)=cos 2x +m cos (π2−x)+n,x ∈R （1）若m ＝1，n ＝0．求y ＝f(x)的最小值；（2）若m ＝1，f(x)＝0在[0, π]内有解．求实数n 的取值范围：（3）若n ＝0．求y ＝f(x)的最大值g(m)．已知函数f(x)=2a x −4+a 2a x +a(a >0，a ≠1)是定义在R 上的奇函数．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的值域；(3)当x∈[1, 2]时，2+mf(x)−2x>0恒成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省南通一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】运用诱导于式化虫求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】平行向根（共线）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】函数y射Asi过（ω复非φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】任意角使三角函如【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】弧因激式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】平面射量长量化的性置及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】函根的盖调道及年调区间【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】正弦射可的图象平面向表的综合题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】平面水因共线（平行）的坐似表阻【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】幂函数来概念斗解析式场定找域、值域【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向水明基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6小题，共70分）【答案】此题暂无答案【考点】平行向根（共线）数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】由y=于si械（ωx+美）的部分角象六定其解断式正弦根量的奇打性和丝称性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法二倍角于三角术数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】线段验置比分点二次明数织性质数量积常断换个平只存量的垂直关系数量来表示冷个向让又夹角平面向量三量积州运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数二倍角于三角术数三角水三的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】不等式都特立问题函数奇明性研性质函数的较域及盛求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】40 a←1 i←14．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．While i≤4【答案】11a←a+i i←i+1 End While5．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，Print a 则的值为▲．（第4题）【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：为定值，并求出该定值．【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到O 六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（第18题）（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：极大值极小值所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，（第22题）因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。