江苏省南通市第一中学2020届高考数学模拟试卷

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ．2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= ． 3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 ． 4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= ．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = ． 10．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= ． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为 ．12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 ．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为 ．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ABO ∆3（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM g 为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若220n T k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，求A 的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 112k-剟 ． 【解答】解：因为A B ⊇B ∴≠∅，∴213212k k --⎧⎨+⎩……，解得112k-剟 故答案为：112k-剟 2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= 1- ． 【解答】解：Q 复数1z i =+，∴1z i =-，∴111(1)1z i izi i i i --===-+-． 故答案为1-．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 35 ． 【解答】解：理科生人数占的比例为10003007100010-=，则应抽取的理科生人数为为7503510⨯=人， 故答案为：35．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 20 ．【解答】解：赋值5a =，1S =，判断54a =…成立， 执行155S =⨯=，1514a a =-=-=，判断44a =…成立， 执行5420S =⨯=，1413a a =-=-=，判断34a =…不成立， 算法结束，输出20S =． 故答案为：20． 5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 {|1x x …且5}x ≠ 【解答】解：要使函数有意义，则1050x x -⎧⎨-≠⎩…得15x x ⎧⎨≠⎩…，即1x …且5x ≠，即函数的定义域为{|1x x …且5}x ≠， 故答案为：{|1x x …且5}x ≠ 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为49【解答】解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中， 基本事件总数339n =⨯=，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数224m =⨯=，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为49m p n ==． 故答案为：49． 7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= 7 ． 【解答】解：Q 函数()y f x x =+是偶函数，()()f x x f x x ∴--=+，即()()2f x f x x -=+，f Q （3）1=，(3)f f ∴-=（3）23167+⨯=+=，故答案为：7．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 6 ．【解答】解：由双曲线22154x y -=，得25a =，24b =，则3c =，则双曲线22154x y -=的左焦点为(3,0)-，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，则32p=，6p =．故答案为：6．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = 49 ． 【解答】解：2617a a a a +=+Q∴1777()492a a s +== 故答案是4910．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= 1213- ． 【解答】解：Q 直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，3cos 2sin 0θθ∴+=，2cos sin 3θθ∴=-，22222413sin cos 199sin sin sin θθθθθ∴+=+==，解得sinθ=，cos θ=sin θ=cos θ=12sin 22sin cos 213θθθ∴==-=-．故答案为：1213-． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为．【解答】解：Q 圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，∴设底面半径为r ，则高为2r ，母线长2245l r r r =+， ∴圆锥的侧面积5S rl r r πππ==⨯=，解得15r =41555l =Q 正方形ABCD 内接于底面圆O ， 2AB r ∴=，∴四棱锥P ABCD -侧面积为：22144()22PAB ABS S AB PA ∆==⨯⨯-2221652256625r r r r =-==．65 12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 2 ． 【解答】解：根据题意，圆22:20C x y x m +-+=化为标准方程为22(1)1x y m -+=-，其圆心为(1,0)，半径1r m =- 2212||435C C =+，又由圆1C 与圆2C 内切，且圆1C 的半径小于6，则有615m -，解可得0m =，圆心1(1,0)C 到51280x y ++=的距离|58|125144d +==+，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为112+=； 故答案为：2．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为．【解答】解：如图，(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)D ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则向量c r 满足1||2c a -=r r ，设OC c =u u u r r ，所以点C 为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点， 所以||||||a b c OD OC CD +-=-=u u u r u u u r r r r ，同理2||2||c b BC -=rr ，取点1(1,)4E ，则AE ACAC AD =，又因CAE DAC ∠=∠， 所以AEC ACD ∆∆∽，所以12CE CD =，即2CD CE =， 所以||2||2222()a b c c b CD BC CE BC BC CE +-+-=+=+=+r rr r r ，由三角形的三边关系知223552()221()2442BC CE BE +=+=⨯=…．故填：52．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 [1-，)+∞【解答】解：()x f x e ax b =-+Q ， ()x f x e a ∴'=-，当0a …时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()1f x …不恒成立， 当0a >时，令()0x f x e a '=-=，解得x lna =， 当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ()()min f x f lna a alna b ∴==-+，()1f x Q …恒成立，1a alna b -+Q … 1b alna a ∴-+…，∴2112b a alna a lna a a a--+=+-…， 设g （a ）12lna a=+-，0a > g ∴'（a ）22111a a a a-=-=， 令g '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，g '（a ）0<，函数g （a ）单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，g '（a ）0>，函数g （a ）单调递增，g ∴（a ）0121min =+-=-，∴1b aa--…， 故答案为：[1-，)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=Q ，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=． ⋯（2分）2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A ∴=+=+=，⋯（4分） (0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠．1cos 2B ∴=． 又0B π<<Q ，3Bπ∴=． ⋯（6分）（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=，得32262b ⨯==． ⋯（8分） 4A π=Q ，3B π=，512C π∴=，sin sin C ∴= 5sin()sin cos 12646ππππ=+= cos 4π+ 4πsin 626π+=． ⋯（11分） 116233sin 2622S ab C ++∴==⨯⨯⨯=g ． ⋯（13分） 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．【解答】证明：（1）11//AA BB Q ，11AA BB =，∴四边形11AA B B 是平行四边形，11//AB A B ∴，又AB ⊂/平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，//AB ∴平面11A B C ．（2）由（1）证明同理可知11AC AC =，11BC B C =，AB BC =Q ，1111A B B C ∴=，M Q 是11A B 的中点，111C M A B ∴⊥，1CC ⊥Q 平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ， 111CC B A ∴⊥，又111CC C M C =I ， 11B A ∴⊥平面1C CM ，又11B A ⊂平面111A B C ，∴平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．【解答】解：（1）连接CO 并延长交半圆于M ，则4AOM COD π∠=∠=，故4πθ…，同理可得34πθ…，[4πθ∴∈，3]4π． 过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，||2GOF πθ∠=-，11sin cos ||2OF πθθ∴==-，又¶AE θ=， 11()566sin T vv v θθθ∴=++，[4πθ∈，3]4π．（2）22222 1cos65cos65cos6 ()563030sin cosTv vsin vsin vsinθθθθθθθθθ---+'=-==，令()0Tθ'=可得26cos5cos60θθ--+=，解得2cos3θ=或3cos2θ=-（舍)．设2cos3θ=，[4πθ∈，3]4π，则当4πθθ<…时，()0Tθ'<，当34πθθ<…时，()0Tθ'>，∴当θθ=，()Tθ取得最小值．故2cos3θ=时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，ABO∆3（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||AN BMg为定值．【解答】解：（1）由题意可知，12cea==，132S a b=⨯⨯222a b c=+，所以2a=，3b=，1c=，所以椭圆方程为22143x y+=；（2）证明：方法一：由（1）知，(2,0)A，3)B，由题意可得，因为(P x，)y，则2200143x y+=，直线PA的方程为0(2)2yy xx=--令0x=，得022Myyx=--．从而02|||3||3|2MyBM yx==-．直线PB的方程为033yy-=+令0y =，得0033N x x y =--．从而003|||2||2|3N x AN x y =-=+-．0032|||||2||3|23x y AN BM x y ∴=++--g g 2200000000003443128312||3223x y x y x y x y x y ++--+=--+0000000043128324||433223x y x y x y x y --+==--+．所以||||AN BM g 为定值．方法二：如图所示：设P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ， 由(2,0)A ，(0,3)B ， 则直线AP 的方程为3sin (2)y x θ=-，令0x =时，则3sin y θ=，即3sin (0,)M θ，所以3sin cos 1sin |||3|3||1cos BM θθθθ--=+=-，同理可得2cos (1sin N θθ-，0)， 所以2cos 1sin cos |||2|2||1sin 1sin AN θθθθθ--=-=--，所以|1sin cos ||1sin cos |(1sin )(1cos )||||2323243(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )AN BM θθθθθθθθθθ------==⨯⨯=----g g ，所以||||AN BM g为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若0n k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=， 可得1111222S a a a ==+，解得1a =由2222)a a a =+，解得22a =-可得22S =； 由33322(2)a a a +=+，解得32a =，即有3S = 由2n …时，1n n n a S S -=-，可得1122n n n n n S S S S S ---+=-，化为11()()2n n n n S S S S ---+=，即2212n n S S --=，则222(1)2nS n n =+-=，由0n a >，可得n S由22n n na S a +==，可得n a =； （2）21n n n b S S +===+，可得11n T =，由10n n T T +->，可得n T 在*n N ∈递增，n T的最小值为1T =，0n k -…对任意的正整数n都成立，可得11k =…，则实数k 的取值范围为(-∞1]．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．【解答】解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，f '（1）1=-， 又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=；②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<，()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又h （1）0=，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x --'=--=，令()0g x '=，解得x a =±0a >Q ，∴1a ，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．()0g x Q …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=， 即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--，0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立，0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又h （1）20=>，h （2）2210ln =--<，012x ∴<<． 0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增，34a ∴<． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵110[]31A b -=，求A 的特征值．【解答】解：Q 矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，111030032213AA a ab a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得1a =，23b =-，3021A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦． 30||(3)(1)021E A λλλλλ-⎡⎤-==--=⎢⎥--⎣⎦， 解得A 的特征值为1或3． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．【解答】解：直线l过点)6A π，(3,0)B 转化为直角坐标为：3(2A，(3,0)B ，则直线l的方程为：30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>转化为直角坐标方程为：222()24a a x y -+=，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则：|3|222a a -= 解得：2a =（负值舍去）． 实数a 的值为2．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 【解答】解：（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p =，又025||()222p p MF y p =--=+=，1p ∴=， ∴抛物线的方程为22x y =，（2）直l 的斜率显然存在，设直线:l y kx b =+，1(A x ，1)y 、2(B x ，22)2y由22y kx b x y =+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --= 122x x k ∴+=，122x x b =-由，121212242OA OB y y x x b k k x x ===-=-g ，4b ∴= ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)，原点O 到直线l的距离d =，11||1622OAB S d AB ∴=⨯=，243264k ∴+=，解得k =±所以直线方程为：4y =±+．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．【解答】解：（1）抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P （1）12=， 抛掷两次，出现12+，21+，00+，33+，03+，30+时，符合要求，故计6种情况， 故P （2）63168==． （2）设n S 被3除时余1的概率为1()p n ，n S 被3除时余2的概率为2()P n ， 则12111(1)()()()244P n P n P n P n +=++，① 112111(1)()()()424P n P n P n P n +=++，② 212111(1)()()()442P n P n P n P n +=++，③ ①(-②+③)，得：12121(1)[(1)(1)][()()]2P n P n P n P n P n +-+++=-+， 化简，得4(1)()1P n p n +=+， 111(1)[()]343P n P n ∴+-=-，又P （1）12=， 121()334n P n ∴=+⨯．。

南通市2020届高三第一次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，，则▲.【答案】2．已知复数满足，其中是虚数单位，则的模为▲.【答案】3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为，则这5名党员教师学习积分的平均值为▲.【答案】404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为▲．【答案】115．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的值为▲．【答案】16．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为▲.【答案】7．在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为▲.【答案】8．已知函数．若当时，函数取得最大值，则的最小值为▲.【答案】59．已知函数是奇函数．若对于任意的，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．a ←1i ←1While i ≤4a ←a+i i ←i +1End While Print a（第4题）【答案】10．在平面直角坐标系中，已知点A，B分别在双曲线的两条渐近线上，且双曲线经过线段AB的中点．若点的横坐标为2，则点的横坐标为▲．【答案】11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的▲倍．【答案】100012．已知△ABC的面积为3，且．若，则的最小值为▲．【答案】13．在平面直角坐标系中，已知圆与圆相交于A，B两点．若圆上存在点，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数的值组成的集合为▲.【答案】14．已知函数若关于的方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是▲.【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面，，分别为的中点．求证：（1）AB∥平面；（2）平面平面．【证】（1）在中，因为分别为的中点，所以AB∥DE．……3分又因为平面，平面，所以AB∥平面．……6分（2）因为平面，平面，所以．……8分又因为，平面，，所以平面．……11分因为平面，所以平面平面．……14分16．（本小题满分14分）在△ABC中，已知，，．（1）求的值；（2）求的值．【解】（1）在△ABC中，因为，，由，得．……2分又，，由正弦定理，得，……4分所以．……6分（2）（方法一）由余弦定理，得，……8分即，解得或（舍去）．……11分所以．……14分（方法二）在△ABC中，由条件得，所以，所以．所以．……8分所以．……10分由正弦定理，得，所以．……12分所以．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，两条准线间的距离为，分别为椭圆的左、右顶点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知图中四边形是矩形，且，点分别在边上，与相交于第一象限内的点．①若分别是的中点，证明：点在椭圆上；②若点在椭圆上，证明：【解】（1）设椭圆的焦距为，则由题意，得解得所以．所以椭圆的标准方程为．……3分（2）①由已知，得，，，．直线的方程为，直线的方程为．联立解得即．……6分因为，所以点在椭圆上．……8分②（解法一）设，，则，．直线的方程为，令，得．……10分直线的方程为，令，得．……12分所以．……14分（第18题）O（解法二）设直线的方程为，令，得．设直线的方程为，令，得．……10分而．……12分设，，则，所以，所以．……14分18．（本小题满分16分）在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转．如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为的正三角形绕其中心逆时针旋转到三角形，且．顺次连结，得到六边形徽标．（1）当时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形徽标的周长的最大值．【解】连结．在正三角形中，，，，．……2分当正三角形绕中心逆时针旋转到正三角形位置时，有，，，所以≌≌，≌≌，所以，．……4分（1）当时，设六边形徽标的面积为，则……6分．答：当时，六边形徽标的面积为．……9分（2）设六边形徽标的周长为，则……11分，．……13分所以当，即时，取最大值．答：六边形徽标的周长的最大值为．……16分19．（本小题满分16分）已知数列满足：，且当时，．（1）若，证明：数列是等差数列；（2）若．①设，求数列的通项公式；②设，证明：对于任意的，当时，都有．【解】（1）时，由，得……2分所以，即（常数），所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……4分（2）时，，时，．①时，所以．……6分所以．又，所以．……8分又，所以（常数）．所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．……10分②由①知，，．所以，所以．……12分所以．……14分当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．所以若，则．……16分20．（本小题满分16分）设函数，其中为自然对数的底数．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）已知函数的导函数有三个零点，，．①求的取值范围；②若，是函数的两个零点，证明：．【解】（1）时，，其定义域为，．令，得，所以函数的单调减区间为．……3分（2）①，设，则导函数有三个零点，即函数有三个非零的零点．又，若，则，所以在上是减函数，至多有1个零点，不符合题意，所以．……5分令，．列表如下：所以即解得．……8分又，所以在上有且只有1个非零的零点．因为当时，，，，且，又函数的图象是连续不间断的，所以在和上各有且只有1个非零的零点．所以实数的取值范围是．……10分②（证法一）由，得设，且，所以．又因为，所以．所以或时，；时，．由①知，．因为，所以，，所以，极大值极小值．……14分所以成立．……16分（证法二）依题设知：，由①知，设，由①知，所以，在上单调递减．……12分又由，得：，即，所以，又，故，．于是（Ⅰ），即，又，，所以；……14分（Ⅱ），即，又，，故，又，所以，即．所以，得证．……16分21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知，向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵；（2）若点在矩阵对应的变换作用下得到点，求点的坐标．【解】（1）因为向量是矩阵的属于特征值3的一个特征向量，所以，即，所以解得所以．……5分（2）设，则，所以解得所以点的坐标为．……10分B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为(为参数)．求椭圆C上的点到直线的距离的最大值．【解】（方法一）直线的普通方程为．……2分设，则点到直线的距离．……8分当，即（）时，．……10分（方法二）直线的普通方程为．椭圆C的普通方程为．……4分设与直线平行的直线方程为，由消，得．令，得．……8分所以直线与椭圆相切．当时，点到直线的距离最大，．……10分C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知都是正实数，且．证明：（1）；（2）．【证】（1）因为都是正实数，所以．又因为，所以，即，得证．……4分（2）因为都是正实数，所以，①，②．③……6分由①+②+③，得，所以，又因为，所以，得证．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出（第22题）文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在直四棱柱中，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）若点为棱的中点，点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【解】在直四棱柱中，因为平面，，平面，所以，．又，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，．……2分（1），，设平面的一个法向量，则即不妨取，则，，所以．……4分因为平面，所以平面的一个法向量为．设二面角的平面角的大小为，根据图形可知，．所以二面角的余弦值为．……6分（2）设，则．又为的中点，则，，．设平面的一个法向量，由得取，则，，所以．……8分设直线与平面所成角的大小为，则，所以或（舍去）.所以.……10分23．(本小题满分10分)一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只.现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球.（1）当时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量表示次取球中取到红球的次数，随机变量求的数学期望（用表示）.【解】（1）当时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共有个基本事件.记“恰好取到3次红球”为事件，事件包含基本事件有个.因为上述个基本事件发生的可能性相同，故.答：当时，恰好取到3次红球的概率为.……3分（2）由题意知，随机变量的所有可能取值为.则...……5分所以.……7分令，，则，.，所以.所以.答：的数学期望为.……10分。

开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。

2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学I 卷2020.4一､填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.设复数z 满足(z+i)(2+i)=5(i 为虚数单位),则z=___. 2.设全集U={1,2,3,4},集合A={1,3},B={2,3},则B U A ⋂ ___.3.箱子中有形状､大小都相同的3只红球和2只白球,一次摸出2只球,则摸到的2球颜色不同的概率为____.4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高.据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)､第二组[160,165)､…､第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上(含180cm)的人数为___.5.阅读如图所示的程序框,若输入的n 是30,则输出的变量S 的值是___.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,若曲线C 经过点P(1,3),则其焦点到准线的距离为__.7.抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为__.8.已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2,锐角为60°的菱形,侧棱PA ⊥底面ABCD,PA=3.若点M 是BC 的中点,则三棱锥MPAD 的体积为___.9.以抛物线24y x =的焦点为焦点,以直线y=±x 为渐近线的双曲线标准方程为___.10.一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍,,则圆锥的体积___是cm³ 11.设f(x)是R 上的奇函数,当x>0时,()2ln ,4x f x x=+记(5),n a f n =-则数列{}n a 前8项和为__.12.过曲线1(0)y x x x=->上一点P(x 0,y 0)处的切线分别与x 轴,y 轴交于点A,B,O 是坐标原点,若△OAB 的面积为1,3则0x =__.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O:222211,:(4)4,x y O x y +=-+=动点P 在直线0x b -=上,过P 分别作圆O,1O 的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA 的点P 有且只有两个,则实数b 的取值范围是___. 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,1()(|||2|3||)2f x x a x a a =-+--.若集合{|(1)()0,}x f x f x x -->∈=∅R ,则实数a 的取值范围为___. 二､解答题;本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知m=(sinB-sinC,sinC-sinA),n=(sinB+sinC,sinA),且m ⊥n. (1)求角B 的大小;(2)若b=c·cosA,△ABC 的外接圆的半径为1,求△ABC 的面积.16.(本小题满分14分)如图,在直四棱柱,1111ABCDA B C D 中,E,F 分别是AB,BC 的中点,11A C 与11B D 于点O.(1)求证:11,,A C F,E 四点共面;(2)若底面ABCD 是菱形,且1,OD A E ⊥求证:OD ⊥平面11.A C FE 17.(本小题满分14分) 已知函数2()2 1.f x x ax =-+(1)若函数()log [()](0,1)a g x f x a a a =+>≠的定义域是R ,求实数a 的取值范围; (2)当x>0时,恒有不等式()ln f x x x>成立,求实数a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,墙上有一壁画,最高点A 离地面4m,最低点B 离地面2m,观察者从距离墙xm(x>1),离地面高am(1≤a≤2)的C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB=θ.(1)若a=1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大? (2)若1tan ,2θ=当a 变化时,求x 的取值范围.19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆22221(0)x y a b n b+=>>的离心率是e,定义直线by e =±椭圆的“类准线”.已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上),过点P 作圆O 22:3x y +=的切线1,过点O 且垂直于OP 的直线与1交于点A,问点A 是否在椭圆C 上?证明你的结论.20.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列,偶数项是公差为2d 的等差数列,n S 数列{}n a 的前n 项和,121, 2.a a ==(1)若54516,,S a a ==求a 10;(2)已知15815,S a =且对任意n ∈N *，有1n n a a +<恒成立,求证:数列{}n a 是等差数列;(3)若1213(0),d d d =≠且存在正整数m,n(m≠n),使得.n m a a =求当1d 最大时,数列{}n a 的通项公式.21.[选做题]本题包括A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修4--2:矩阵与变换](本小题满分10分)求矩阵3113⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.B.[选修4--4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C :x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线1的极坐标方程为(cos )40ρθθ+=).求曲线C 上的点到直线1的最大距离,C.[选修4--5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x,y 均为正数,且x>y,求证:22122 3.2x y x xy y +≥+-+[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱111ABCA B C 中,AC=3,BC=4,AB=5,1 4.AA =(1)设,AD AB λ=异面直线1AC 与CD 所成角的余弦值为求λ的值; (2)若点D 是AB 的中点,求二面角1DCB B 的余弦值.23.(本小题满分10分) 设*(,)(1),.n f x n x n =+∈N (1)求f(x,6)的展开式中系数最大的项;(2)*n ∈N 时,化简01122310144444n n n n n n n n n n C C C C C -----+++++ (3)求证:21132132n n n n n n C C C nC n -++++=⨯绝密★启用前2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅰ卷 参考答案与解析2020.4一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. (本小题满分5分) 【答案】2－2i 2. (本小题满分5分) 【答案】{2} 3. (本小题满分5分) 【答案】354. (本小题满分5分) 【答案】1445. (本小题满分5分) 【答案】2406. (本小题满分5分) 【答案】927. (本小题满分5分) 【答案】358. (本小题满分5分) 【答案】3 9. (本小题满分5分) 【答案】x 212－y 212＝110. (本小题满分5分) 【答案】3π 11. (本小题满分5分) 【答案】－16 12. (本小题满分5分) 【答案】5【解析】P(x 0，y 0)处的切线斜率为1＋1x 20，则切线方程为y －⎝⎛⎭⎫x 0－1x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 20(x －x 0) ，当x ＝0时，y ＝－2x 0；当y ＝0时，x ＝2x 0x 20＋1.S △OAB ＝12×2x 0 ×2x 0x 20＋1＝13，则x 0＝ 5.本题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题． 13. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎭⎫－203，4 【解析】设P 点坐标为(x ，y)，∵ PB ＝2PA ，∴ PB 2＝4PA 2，即(x －4)2＋y 2－4＝4(x 2＋y 2－1)，整理得3x 2＋3y 2＋8x －16＝0.(方法1)该方程表示一个圆，圆心⎝⎛⎭⎫－43，0，r ＝83.因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故⎪⎪⎪⎪－43－b 2<83，解得b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.(方法2)因为P 在直线x ＋3y －b ＝0上，所以3y ＝－x ＋b ，代入3x 2＋3y 2＋8x －16＝0，得4x 2＋(8－2b)x ＋b 2－16＝0.因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相等的根，即Δ>0，整理得3b 2＋8b －80<0，所以b ∈⎝⎛⎭⎫－203，4.本题考查了直线与圆的位置关系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法，其中方法1是利用方程对应的几何图形解决问题；方法2用代数方法算方程根的个数．本题属于难题． 14. (本小题满分5分) 【答案】⎝⎛⎦⎤－∞，16 【解析】∵ {x|f(x －1)－f(x)>0，x ∈R }＝∅ ，∴ f(x －1)－f(x)≤0恒成立，即f(x －1)≤f(x)．(1) 当a ≤0时，当x ≥0时，f(x)＝12x ，又函数f(x)是定义在R 上的奇函数，∴ 函数f(x)是在R 上的解析式为f(x)＝12x ，而f(x －1)是由f(x)向右平移1个单位，则函数f(x)和f(x －1)的图象有下图关系：通过图象观察，当a ≤0时，f(x －1)≤f(x)恒成立；(2) 当a>0时，当x ≥0时，f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈-∈-=),2[,3)2,[,),0[,)(a x a x a a x a a x x x f ∵ 函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴ f(x)在R 上的图象为(如下图)：要使f(x －1)≤f(x)，两图象只要满足：由图知，只要满足－3a ＋1≥3a ，即0<a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．综上可得，当a ≤16时，f(x －1)≤f(x)恒成立．本题考查了集合、分段函数、函数的图象与性质、不等式等内容的综合运用，体现了数形结合思想和分类讨论的思想．本题属于难题． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 因为m ⊥n ，所以sin 2B －sin 2C ＋sinA(sinC －sinA)＝0，即sinAsinC ＝sin 2A ＋sin 2C －sin 2B.(2分)由正弦定理得ac ＝a 2＋c 2－b 2，所以cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.(4分)因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(6分)(2) 因为c·cosA ＝b ，所以b c ＝b 2＋c 2－a22bc，即b 2＝c 2－a 2.(8分)又ac ＝a 2＋c 2－b 2，b ＝2RsinB ＝3，(10分) 解得a ＝1，c ＝2.(12分)所以S △ABC ＝12acsinB ＝32.(14分)16．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 连结AC ，因为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以EF 是△ABC 的中位线，所以EF ∥AC.(2分)由直棱柱知AA 1平行等于CC 1，所以四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1.(5分)所以EF ∥A 1C 1，故A 1，C 1，F ，E 四点共面．(7分)(2) 连结BD ，因为直棱柱中DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥A 1C 1.(9分)因为底面A 1B 1C 1D 1是菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1.又DD 1∩B 1D 1＝D 1，所以A 1C 1⊥平面BB 1D 1D.(11分) 因为OD ⊂平面BB 1D 1D ，所以OD ⊥A 1C 1.又OD ⊥A 1E ，A 1C 1∩A 1E ＝A 1，A 1C 1平面A 1C 1FE ，A 1E ⊂平面A 1C 1FE ，所以OD ⊥平面A 1C 1FE.(14分) 17．(本小题满分14分) 【答案与解析】(1) 由题意得，对任意x ∈R ，恒有f(x)＋a ＞0，即恒有x 2－2ax ＋1＋a ＞0，(2分) 于是Δ＝4a 2－4(1＋a)＜0，(3分)即a 2－a －1＜0，解得1－52＜a ＜1＋52.(3分)因为a ＞0，a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋52.(5分)(2) 当x ＞0时，不等式f （x ）x ＞lnx 等价于x －2a ＋1x ＞lnx ，即2a ＜x ＋1x－lnx ，(7分)设g(x)＝x ＋1x －lnx ，则g′(x)＝1－1x 2－1x ＝x 2－x －1x 2.(9分)令g′(x)＝0，得x ＝1＋52，当0＜x ＜1＋52时，g ′(x)＜0，g(x)单调减，当x ＞1＋52时，g ′(x)＞0，g(x)单调增，(11分)故当x ＝1＋52时，g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＝5－ln 1＋52，(13分)所以2a ＜5－ln 1＋52，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52－12ln 1＋52.(14分) 18．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD －∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分)又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，(4分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.(9分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y 0，即A(6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0)．(11分)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋（3（2y 0－3）6－3y 0）23＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1， 所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上．(16分)20．(本小题满分16分) 【答案与解析】(1) 由题意，得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1＋d 1＝1＋d 1，a 4＝a 2＋d 2＝2＋d 2，a 5＝a 3＋d 1＝1＋2d 1.(2分)因为S 5＝16，a 4＝a 5，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝7＋3d 1＋d 2＝16，2＋d 2＝1＋2d 1.所以d 1＝2，d 2＝3，(4分)所以a 10＝2＋4d 2＝14.(5分)(2) 证明：当n 为偶数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2＜1＋n 2d 1，n2(d 2－d 1)＋1－d 2＜0恒成立，所以d 2－d 1≤0且d 2＞1.(7分) 当n 为奇数时，因为a n ＜a n ＋1恒成立，即1＋n －12d 1＜2＋⎝⎛⎭⎫n ＋12－1d 2，(1－n)(d 1－d 2)＋2＞0恒成立，所以d 1－d 2≤0，于是有d 1＝d 2.(9分)因为S 15＝15a 8，所以8＋8×72d 1＋14＋7×62d 2＝30＋45d 2，所以d 1＝d 2＝2，a n ＝n ，所以数列{a n }是等差数列．(11分)(3) 解：若d 1＝3d 2(d 1≠0)，且存在正整数m ，n(m ≠n)，使得a m ＝a n ，由题意得，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为a m ＝a n ，所以1＋m －12d 1＝2＋⎝⎛⎭⎫n 2－1d 2.(13分) 因为d 1＝3d 2，所以d 1＝63m －n －1. 因为m 为奇数，n 为偶数，所以3m －n －1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1.(15分)所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧32n －12，n 为奇数，12n ＋1，n 为偶数.(16分)2020届江苏省南通市高三年级第一次高考全真经典模拟试卷数学Ⅱ卷（附加题） 参考答案与解析2020.421．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题。