人教版九年级数学上册 学案：22.3 第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1

第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题与运动中的抛物线一、教学目标1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．会运用二次函数知识解决其他简单的实际问题.二、教学重难点重点：掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题难点：利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题三、教学过程【新课导入】[情境导入]观察实物及欣赏图片：[课件展示]在我们的生活中有很美丽也很实用的各种各样的桥，他们无不给我们以抛物线的形象感受，我们本节课就来研究与桥有关的抛物线问题.【新知探究】[课件展示] 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m.水面下降1m ，水面宽度增加多少？如图所示以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系. 可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为2ax y = 当拱桥离水面2 m 时，水面宽 4 m 即抛物线过点（２，－２） ∴a 42=- 解得：5.0=a∴这条抛物线所表示的二次函数为:25.0x y -= 当水面下降1 m 时,水面的纵坐标为3-=y ，这时有；25.03x -=-解得：6±=x这时水面宽度为：62ｍ∴当水面下降1m 时,水面宽度增加了)462(-ｍ [归纳总结]建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解[交流讨论] [课件展示]某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 恰在水面中心，OA=1.25m ，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外？解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A 点坐标为(0，1.25)，顶点B 坐标为(1，2.25). 设抛物线为k h x a y ++=2)(，由待定系数法可求得抛物线表达式为：25.22)1(+--=x y . 当y=0时,可求得点C 的坐标为(2.5,0) ; 点 D 的坐标为(－2.5，0)．据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m ，才能使喷出的水流不致落到池外.数学模型●B (1,2.25)●DoAxy(0,1.25)x[课件展示]例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m （水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m ，如果篮圈中心距离地面3.05m ，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？解：如图，建立直角坐标系.则点A 的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B （0，3.5）. 以点C 表示运动员投篮球的出手处.设以y 轴为对称轴的抛物线的解析式为：k ax y +=2. 而点A ，B 在这条抛物线上，所以有3.05k 2.25a =+ 3.5k =解得：⎩⎨⎧=-=5.32.0k a 所以该抛物线的表达式为y=－0.2x2+3.5. 当 x=－2.5时，y=2.25 .故该运动员出手时的高度为2.25m .【课堂小结】转化回归（二次函数的图象和性质）（实物中的抛物线形问题）建立恰当的直角坐标系①能够将实际距离准确的转化为点的坐标；②选择运算简便的方法.实际问题数学模型【课堂训练】 [课件展示]1.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ C ）A.50mB.100mC.160mD.200m[课件展示]2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 2321812++-=x x y ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米.。

第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线知识点：利用二次函数解决抛物线的问题，如隧道、大桥和拱门等，要恰当地建立平面直角坐标系，从而确定抛物线的解析式，然后利用抛物线的性质解决实际问题。

一、选择1．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．y=-2x 2B ．y=2x 2C 、212y x =-D 、212y x =第1题 第2题 第3题 第4题2、有长24m 的篱笆，一面利用围墙围城如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为xm ，面积是sm 2，则s 与x 的关系式是（ ）A 、2324s x x =-+B 、2224s x x =-+C 、2324s x x =--D 、2224s x x=-+米，则铅球运行路线的解析式为（ ）B 、y 、国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为A 、y=36（1-x ） B 、y=36（1+x ）C 、218(1)y x =+D 、218(1)y x =-7、如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A 、1y x =+B 、1y x =-C 、21y x x =-+D 、21y x x =--第5题 第7题 第8题8、某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A 、4米B 、3米C 、2米D 、1米二、填空题厘米，面积随之增加平方厘米，米，现把它第10题 第13题 第14题 第15题3、二次函数2y ax bx c =++中，2b ac =，且x=0时y=4,则y 的最（大或小）值=4、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形的面积之和的最小值是5、如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如果他的出手处A 距地面OA 为1m ，球路的最高点为B （8,9），则这个二次函数的表达式为 ，小孩将球抛出约 米。

第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－112m 2＋m ＋3)，D (m ，－112m 2＋m ＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.。

3
4
3. 如图，小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动

路线是抛物线 y ＝－ （ x ＋1）（ x －7）的一部分.

铅球落在 A 点处，则 OA ＝
7
第3题图
1
2
3
4
m.
⁠
4. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h
（单位：m）与小球的运动时间 t （单位：s）之间
2
的关系式是 h ＝－ t ＋10 t （0≤ t ≤4）.

（1 ） 当 小 球的 高 度是 8.4m时 ， 求 此时 小 球的 运
动时间；
1
2
3
4
2
解：（1）由题意可得8.4＝－ t ＋10 t ，解得 t1＝1.2，

t2＝2.8.
∵0≤ t ≤4，∴ t1＝1.2， t2＝2.8都符合题意.
∴当小球的运动时间为1.2s或2.8s时，它的高度是8.4m.
实物问题
运动路线
（轨迹）
问题
具体方法
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛
物线形状的图形放到平面直角坐标系中；
（2）从已知条件中获得求二次函数解析
式所需要的条件；
（ 3 ）利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解
析式；
（4）根据所求出的抛物线解析式去解决
相关问题.
当堂检测
1. 一足球被踢出后，距离地面的高度 h （m）和飞行
第二十二章
二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 拱桥问题和运动中的抛物线
要点归纳
知识要点
拱桥问题和运动中的抛物线
常见情形
几种常见的抛物线形实物有拱形桥