2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z 满足（z-2）i =2+ i ，则 z =（A ） -1- i （B ）1- i（C ） -1+3 i （D ）1-2 i（2）设集合A= 3213x x -≤-≤ ，集合B 为函数y=lg （x-1）的定义域，则A ⋂B=（A ） （1，2） （B ）[1, 2]（C ） [ 1，2 ） （D ）（1，2 ]（3）（2l o g 9） · （3log 4）=（A ） 14 （B ）12（C ） 2 （D ）4（4）命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（A ） 对任意实数x, 都有x > 1 （B ）不存在实数x ，使x ≤ 1（C ） 对任意实数x, 都有x ≤ 1 （D ）存在实数x ，使x ≤ 1（5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（A ） 1 （B ）2（C ） 4 （D ）8（6）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）3 （B）4（C）5 （D）8（7）要得到函数y=cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x 的图象（A）向左平移1个单位（B）向右平移1个单位（C）向左平移12个单位（D）向右平移12个单位（8）若x ，y满足约束条件2323xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z=x-y的最小值是（A）-3 （B）0（C）32（D）3（9）若直线x-y+1=0与圆（x-a）+y =2有公共点，则实数a取值范围是（A）[-3 , -1 ] （B）[ -1 , 3 ]（C）[ -3 , 1 ] （D）（- ∞，-3 ] U [1 ，+ ∞）（10）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（A）15（B）25（C ）35 （D ）452012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
2012年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2012•安徽）设集合A={x|﹣3≤2x﹣1≤3}，集合B为函数y=lg（x﹣1）的定义域，B=，知，6．（5分）（2012•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）向左平移向右平移个单位）个单8．（5分）（2012•安徽）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（），表示的可行域如图，，，、）9．（5分）（2012•安徽）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范的距离为10．（5分）（2012•安徽）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白B=；二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置．11．（5分）（2012•安徽）设向量=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，则||=．===，知，由（+）⊥）|==，+）⊥，），即．故答案为：12．（5分）（2012•安徽）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于56．=5613．（5分）（2012•安徽）若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6．关于直线关于直线14．（5分）（2012•安徽）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=．=⇔=故答案为：．15．（5分）（2012•安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则②④⑤（写出所有正确结论编号）①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．，，易知能构成三角形．，，，任意两边之和大于第三边，能构成三角形．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内．16．（12分）（2012•安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=2，c=1，D为BC的中点，求AD的长．A=，可求B=cosA=A=A=B=．17．（12分）（2012•安徽）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=ax++b（a＞0）（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=，求a，b的值．y==ax+x=，可得：，∴a++b=﹣=18．（13分）（2012•安徽）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标（Ⅱ）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间（1，3]内的概率；（Ⅲ）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为（Ⅲ）这批产品中的合格品的件数为19．（12分）（2012•安徽）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．（Ⅰ）证明：BD⊥EC1；（Ⅱ）如果AB=2，AE=，OE⊥EC1，求AA1的长．，求出AE=⇔=320．（13分）（2012•安徽）如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．40=|BA||F=40b=521．（13分）（2012•安徽）设函数f（x）=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n}．（Ⅰ）求数列{x n}．（Ⅱ）设{x n}的前n项和为S n，求sinS n．）﹣，再分类讨论，求，可得；，可得；．）﹣，=；=﹣。
12安徽(文)1.(2012安徽,文1)复数z 满足(z -i )i =2+i ,则z =( ). A .-1-i B .1-i C .-1+3i D .1-2i B 由题意可得,z -i =2i i+=2(2i)i i+=1-2i ,所以z =1-i .2.(2012安徽,文2)设集合A ={x |-3≤2x -1≤3},集合B 为函数y =lg (x -1)的定义域,则A ∩B =( ). A .(1,2) B .[1,2] C .[1,2) D .(1,2] D 由-3≤2x -1≤3得,-1≤x ≤2;要使函数y =lg (x -1)有意义,须令x -1>0, ∴x >1.∴集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x >1}, ∴A ∩B ={x |1<x ≤2}.3.(2012安徽,文3)(log 29)·(log 34)=( ). A .14B .12C .2D .4D 原式=(log 232)·(log 322)=4(log 23)·(log 32)=4·lg 3lg 2·lg 2lg 3=4.4.(2012安徽,文4)命题“存在实数x ,使x >1”的否定．．是( ). A .对任意实数x ,都有x >1 B .不存在实数x ,使x ≤1 C .对任意实数x ,都有x ≤1 D .存在实数x ,使x ≤1C 该命题为存在性命题,其否定为“对任意实数x ,都有x ≤1”.5.(2012安徽,文5)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ). A .1 B .2 C .4 D .8 A 由题意可得,a 3·a 11=27a =16,∴a 7=4.∴a 5=72a q=242=1.6.(2012安徽,文6)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( ).A .3B .4C .5D .8B 由程序框图依次可得,x =1,y =1→x =2,y =2→x =4,y =3→x =8,y =4→输出y =4.7.(2012安徽,文7)要得到函数y =cos (2x +1)的图象,只要将函数y =cos 2x 的图象( ). A .向左平移1个单位 B .向右平移1个单位 C .向左平移12个单位 D .向右平移12个单位C ∵y =cos (2x +1)=cos 122x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,∴只须将y =cos 2x 的图象向左平移12个单位即可得到y =cos (2x +1)的图象.8.(2012安徽,文8)若x ,y 满足约束条件0,23,23,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z =x -y 的最小值是( ).A .-3B .0C .32D .3A 作出可行域如图所示,令z =0,得l 0:x -y =0,平移l 0,当l 0过点A (0,3)时满足z 最小,此时z min =0-3=-3.9.(2012安徽,文9)若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( ). A .[-3,-1] B .[-1,3] C .[-3,1] D .(-∞,-3]∪[1,+∞C 由题意可得,圆的圆心为(a ,0),22221(-1)≤+即|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1.10.(2012安徽,文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ). A .15B .25C .35D .45B 记1个红球为A ,2个白球为B 1,B 2,3个黑球为C 1,C 2,C 3,则从中任取2个球,基本事件空间Ω={(A ,B 1),(A ,B 2),(A ,C 1),(A ,C 2),(A ,C 3),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 1,C 3),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 2,C 3),(C 1,C 2),(C 1,C 3),(C 2,C 3)},共计15种,而两球颜色为一白一黑的有如下6种:(B 1,C 1),(B 1,C 2),(B 1,C 3),(B 2,C 1),(B 2,C 2),(B 2,C 3),所以所求概率为615=25.安徽,文11)设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ),若(a +c )⊥b ,则|a |= . 2由题意可得,a +c =(3,3m ).由(a +c )⊥b 得,(a +c )·b =0,即(3,3m )·(m +1,1)=3(m +1)+3m =0, 解之,得m =-12.∴a =(1,-1),|a 212.(2012安徽,文12)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于 .56 由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形,且侧棱垂直于底面的棱柱,∴V 柱=12×(2+5)×4×4=56.13.(2012安徽,文13)若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是[3,+∞),则a = .-6 f (x )=|2x +a |=a 2x a,x ,2a 2x a,x ,2⎧+≥-⎪⎪⎨⎪--<-⎪⎩∵函数f (x )的增区间是[3,+∞), ∴-a 2=3,即a =-6.14.(2012安徽,文14)过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,若|AF |=3,则|BF |= .32设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|AF |=3及抛物线定义可得,x 1+1=3,∴x 1=2.∴A 点坐标为(2,则直线AB 的斜率为k1∴直线AB 的方程为y =x -1). 由2y 4x ,y x 1),⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得,2x 2-5x +2=0,解得x 1=2,x 2=12.∴|BF |=x 2+1=32.15.(2012安徽,文15)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,则 (写出所有正确结论的编号).①四面体ABCD 每组对棱相互垂直 ②四面体ABCD 每个面的面积相等③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180° ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长②④⑤ 如图所示,四面体ABCD 中,AB =CD ,AC =BD ,AD =BC ,则△ABC ≌△CDA ≌△DCB ≌△BAD ,故②正确;∵△ABC ≌△CDA ≌△BAD ,∴∠BAD =∠ABC ,∠C AD =∠ACB ,∴∠BAC +∠CAD +∠B AD =∠B AC +∠ACB +∠ABC =180°,故③错; 取AB ,BC ,CD ,DA 的中点M ,N ,P ,Q ,连接MN ,NP ,PQ ,MQ ,由此得,MN =QP =12AC ,NP =MQ =12BD ,∵BD =AC ,∴MN =QP =MQ =NP ,∴四边形MNPQ 为菱形,∴对角线相互垂直平分,故④正确,①错误;而⑤正确,如AB ,AC ,AD 可作为△ABC 的三边.16.(2012安徽,文16)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,且有2sin B cos A =sin A cos C +cos A sin C . (1)求角A 的大小;(2)若b =2,c =1,D 为BC 的中点,求AD 的长.解:(1)(方法一)由题设知,2sin B cos A =sin (A +C )=sin B ,因为sin B ≠0,所以cos A =12.由于0<A <π,故A =3π.(方法二)由题设可知,2b ·222b c a 2bc +-=a ·222a b c 2ab +-+c ·222b c a 2bc+-,于是b 2+c 2-a 2=bc ,所以cos A =222b c a 2bc +-=12.由于0<A <π,故A =3π.(2)(方法一)因为2A D =2A B A C 2⎛⎫+ ⎪⎝⎭=14(2A B+2A C +2AB ·AC ) =11421243cos π⎛⎫++⨯⨯⨯⎪⎝⎭=74,所以|AD2从而AD2(方法二)因为a 2=b 2+c 2-2bc cos A =4+1-2×2×1×12=3, 所以a 2+c 2=b 2,B =2π.因为BD2AB =1,所以AD217.(2012安徽,文17)设定义在(0,+∞)上的函数f (x )=ax +1ax+b (a >0).(1)求f (x )的最小值;(2)若曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =32x ,求a ,b 的值.解:(1)(方法一)由题设和均值不等式可知,f (x )=ax +1ax+b ≥2+b ,其中当且仅当ax =1时,等号成立, 即当x =1a时,f (x )取最小值为2+b .(方法二)f (x )的导数f '(x )=a -21ax=222a x 1ax-,当x >1a时,f '(x )>0,f (x )在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增;当0<x <1a时,f '(x )<0,f (x )在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减.所以当x =1a 时,f (x )取最小值为2+b . (2)f '(x )=a -21ax.由题设知,f '(1)=a -1a =32,解得a =2或a =-12(不合题意,舍去). 将a =2代入f (1)=a +1a+b =32,解得b =-1.所以a =2,b =-1.18.(2012安徽,文18)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品,在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检测,结果发现有50件不合格品,计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm ),将所得数据分组,得到如下频率分布表:(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上;(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品,据此估算这批产品中的合格品的件数.(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50+0.20=0.70;(3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意有505000=20x20+,解得x=50002050⨯-20=1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件.19.(2012安徽,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点,(1)证明:BD⊥EC1(2)如果AB=2,AE OE⊥EC1,求AA1的长.(1)证明:连接AC,A1C1.由底面是正方形知,BD⊥AC.因为AA1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC=A,所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1⊂平面AA1C1C知,BD⊥EC1.(2)解:设AA1的长为h,1.在Rt△OAE中,AE AO故OE 222=4.在Rt △EA 1C 1中,A 1E =h A 1C 1=故E 21C =(h 2+(2.在Rt △OCC 1中,OC CC 1=h ,O 21C =h 22, 因为OE ⊥EC 1,所以OE 2+E 21C =O 21C ,即4+(h 2+(2=h 22,解得h =所以AA 1的长为20.(2012安徽,文20)如图,F 1,F 2分别是椭圆C :22x a +22y b =1(a >b >0)的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°.(1)求椭圆C 的离心率;(2)已知△AF 1B 的面积为求a ,b 的值. 解:(1)由题意可知,△AF 1F 2为等边三角形,a =2c ,所以e =12.(2)(方法一)a 2=4c 2,b 2=3c 2直线AB 的方程可为:y x -c ). 将其代入椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2,得B 855⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以|AB 8c 05-=165c .由1A FB S =12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB =12a ·165c 252=解得a =10,b =(方法二)设|AB |=t .因为|AF 2|=a ,所以|BF 2|=t -a .由椭圆定义|BF 1|+|BF 2|=2a 可知,|BF 1|=3a -t . 再由余弦定理(3a -t )2=a 2+t 2-2at cos 60°可得,t =85a .由1A FB S =12a ·85a 252=,a =10,b =21.(2012安徽,文21)设函数f (x )=x 2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)设{x n }的前n 项和为S n ,求sin S n . 解:(1)f '(x )=12+cos x =0.令f '(x )=0,则cos x =-12,解得x =2k π±23π(k ∈Z ).由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知 x n =2n π-23π(n ∈N *).(2)由(1)可知,S n =2π(1+2+…+n )-23n π=n (n +1)π-2n 3π,所以sin S n =sin 2n n (n 1)3ππ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦.因为n (n +1)表示两个连续正整数的乘积,n (n +1)一定为偶数, 所以sin S n =-sin 2n 3π.当n =3m -2(m ∈N *)时,sin S n =-sin 42m 3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2当n =3m -1(m ∈N *)时, sin S n =-sin 22m 3ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2当n =3m (m ∈N *)时,sin S n =-sin 2m π=0.综上所述,sin S n=***n 3m 2(m ),2n 3m 1(m ),20,n 3m (m ).N N N ⎧-=-∈⎪⎪⎪⎪=-∈⎨⎪=∈⎪⎪⎪⎩。
