山东省临沂市临沭县第一中学2019-2020学年高二数学上学期开学考试试题(含解析)

临沐一中髙2015級数学（文）学科素养测试第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在ABC中，已知a = 一2，b=2，B =45，则角A 二（）A. 30 B . 60 C . 30 或150 D . 60 或120：2. 在ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b , c，若a=2bcosC，则这个三角形一定是（）A.等边三角形 B .直角三角形C .等腰三角形 D .等腰直角三角形3. 在等差数列｛a n｝中，33 a6 3^27，设数列｛a.｝的前n项和为S n ,则Sn =（）A. 18 B . 99 C . 198 D . 2974. 已知等比数列｛a n｝满足a1 a2 =3 , a2 a^ 6，则a7二（）A. 64 B . 81 C.128 D . 2435. 钝角三角形ABC的面积是1, AB=1 , BC —,2，则AC二（）2A. 5 B . ,5 C.2 D . 16. 已知等差数列｛a.｝中，I a5 Ha? |，公差d 0，则使前n项和S.取最小值的正整数n的值是（）A. 4 和5B.5 和6C.6和7D.7和87.如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC二60m，塔顶B的仰角45，塔底C的仰角15：,则井架的高BC 为（）A. 20.2mB.30、2mC. 20、一3m D . 30、, 3m8. 已知-9 , a i , a 2, -1成等差数列，-9 , bi , b 2, d , -1成等比数列，则 d(a 2-aj 的 值为()A. 8 B . -8 C. _8 D . -989. 若a,b 是函数f(x) =X 2 - px • q(p 0,q 0)的两个不同的零点，且 a , b , -2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于（）A. 6 B . 7C.8 D . 910.等比数列｛a*｝的前n 项和为Sn ，若Sn =3“ 1 • a ，则a 的值为（）A. -3 B . -1 C. 1C 所对的边分别为a , b , c ，已知ABC 的面积为3.15 ,1b -c = 2 , cos A ，则 a 的值为()4A. 8 B . 16C.4 D. 2第H 卷（共90分）、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知 MBC 的三边长成公比为 42.的等比数列，则其最大角的余弦值为 ________________514.若等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且 aean • aga^ = 2e，则11. 已知｛a n ｝是等差数列，公差 d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3, a 4, a $成等比数列，则A. a 1d 0 , dS 4 - 0 .a-)d 0 , dS 4 :: 0C. a 1d :: 0 , dS 4 ::: 0.：：： 0, dS 4 - 012.在ABC 中，内角A ,1 In a-i ln a? 11(1" In a2015. 设ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c，且a=1 , b = 2 , cosC =-4 则sin B = _________ .16. 设数列｛a n｝的前n项和为S n.已知2S n =3n +3，则｛a n｝的通项公式为___________ .三、解答题（本大题共6小题，共70分■解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）设等差数列｛ a n｝满足a3 = 5，a10 - -9 .（1 ）求｛a n｝的通项公式;（2）求｛a n｝的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值.18. （本小题满分12分）■/6 二-ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a = 3，cos A ，B = A .3 2 （1 ）求b的值；（2 ）求ABC的面积.19. （本小题满分12分）已知｛a*｝是等差数列，｛b n｝是等比数列，且d=3，3=9，a1=bj ，a^ =b4.（1 ）求｛a n｝的通项公式；（2）设c^a n ■ bn，求数列｛C n｝的前n项和.20. （本小题满分12分）已知等差数列｛ a n｝的前n项和为S n，Ss=35，a5和a7的等差中项为13.（1）求a n 及S n ；1 *（2 ）令b^—（n • N ），求数列｛b n｝的前项和T n.1a n -121. （本小题满分12分）如图所示，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在河的这边测得 CD=T km ，.ADB — CDB =30；，. ACD =60；，. ACB = 45：，求 A 、B 两点间的距离数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n a =1（ n ，N *），数列｛0｝满足b^ 4， b ni =3b n -2（n N *）.（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2 ）求证：数列｛b n -1｝为等比数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （3）设数列｛C n ｝满足6二a n lOg 3（S n 」-1），其前n 项和为「，求林木一中高2015级数学（理）学科素养测试参考答案、选择题二、填空题三、解答题17. （本小题满分10分）（1 ）求｛a n ｝的通项公式;（2）求｛a n ｝的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值.1-5:ACBAB6-10:CBBDA 11 、12: CA13.-414.5015.15 416.a n_l_3, n = 1, n -43 ,n 1,设等差数列｛a n ｝满足a 3 = 5 , a 10 --9 .22.（本小题满分12分）解：⑴由耳=6 + （酬一1）/及吗=5 / 得所汰数列｛纠｝的通项公式为务=11 一2机 ..... 5分(2 )由(1 知,S n = na 「n(n=10 n — n 2. ................ 8 分22因为 S n 二—(n -5) - 25 , 所以当n =5时，S n 取得最大值.18. （本小题满分12 分）ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a，b，C .已知心，如冷，B（1） 求 b 的值;（2 ）求A ABC 的面积.解：（1 ）在L ABC 中，由题意知si nA = ・1—cos 2A —，3「， 6又因为 B =A ，所以 sinB 二sin(A)=cosA=- 223a.6B 3 x—由正弦定理可得b = Os ------ = _3 =3.2 .sin A v33二二■- 3 (2 )由 B = A 得 cosB 二 cos(A ) - - sin A 二2 23由 A B C =匾，得 C - 二- (A B).所以 sinC = si n[x -(A B)]二 s in (A B)二 sin AcosB cosAs in B上（一龟上亘13 3 3 3 310分码+加=_5*]<314-9J=-9J 1可解得営二9；Tt=A21 i i 3 f2因此ABC的面积S absinC 3 3*2 .................. 12分2 23 219. （本小题满分12分）已知｛a n｝是等差数列，｛b n｝是等比数列，且b2 =3 , b3 =9 , a1 =：“ , a^ =：b4.（1 ）求｛a n｝的通项公式；(2)设c n = a n• b n，求数列｛c n｝的前n项和.解：(1)等比数列｛b n｝的公比q =色=—=3，所以d = —2=1,b4 = pq二27 ................. ..................b2 3 q2分设等差数列｛ a n｝的公差为d .因为a1二a = 1 , a14二b4 = 27，所以1 13^27，即卩d =2. .................. 5 分所以a n =2n -1(n =1,2,3,|l(). ............................. 6 分(2)由(1)知，a n =2n -1 , b n =3n，,.因此 6 = a* b^ = 2n -1 ■ 3nJ................................................. 8分从而数列｛c n｝的前n项和S n =1 ^l| (2n-1) 1 ^1 3^^n(1 2n -1) 1 -3n 2 3n -112分n2 1-3 220. （本小题满分12 分）已知等差数列｛ a n｝的前n项和为S n, =35 , a5和a7的等差中项为13.(1 )求a n 及S n ；1 *(2)令b^—(n・N ),求数列｛b n｝的前n项和T n.a n -1解：(1)设等差数列｛a n｝的公差为d，因为S5 = 5a^ 35 , a5 a^ 26 , (2)分!a12d =7,所以解得a^i = 3, d = 2 , ................. 4分(2印+10d =26,所以 a n =3 2(n -1) =2n 1, n(n —1) 2S n = 3n2 = n 2n ，21(2)由(1 )知 a n = 2n 1，所以 b n = —2an —121. （本小题满分12分）如图所示，为了测量河对岸 A 、B 两点间的距离，在河的这边测得 CD 3 km ，2.ADB =/CDB =30：, ■ ACD =60： , ■ ACB =45：，求 A 、B 两点间的距离•1 1 1(— 4n(n 1)4 nn 1）， 所以T nJ”冷)(芥3)川』-1 42 2 3n1 1n W 1 一冷 4(n 1)12-.CDB - ACD -. ACB = 45 ,利用正弦定理一BC 一sin NCDB DC=—DC —，即可求出 sin CBDDC sin 30BC 二sin 45因为 ADB 二 CDB = 30；，则.ADC =60；，又.ACD 二60，所以 ACD 为等边三角形,因此 AD = DC = AC在ABC 中，利用余弦定理22. (本小题满分12分)数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n a =1( n，N*)，数列｛b n｝满足b i =4, b ni =3b n -2(n N*).(1 )求数列｛a n｝的通项公式；(2 )求证：数列｛b n -1｝为等比数列，并求数列｛b n｝的通项公式；(3)设数列｛C n｝满足5卞曇临」-1)，其前n项和为「，求1试题解析：(1)①当n =1时，a1 S! =1 ,••• a1. ..................... 1分1 21②当n _2时，a* = S n - S n」=(1- a n)-(1 - a n」)=a n」…a n，二a n a n J ,21 1••数列｛a n｝是以a1为首项，公比为的等比数列；............... 2分（2bm 也-2 ,• bm -1 =3（0 -1）,又••• b -1 =3 , • ｛b n -1｝是以3为首项，3为公比的等比数列,• b n -1 =3n,••• b n =3n 1 .T n =1 1 3 （I）2 5 （丄）3…（2n-3）L（l）n' （2门-“」1）"2 2 2 2 2 丄「=1 （丄）23 （丄）3 5 （丄）4…（2n-3）［/1）n（2门-1）_（丄）“1-2 ——6 cos45 =-所以AB盲，即所求A、B两点间的距离为迈km.12分10分（3）C n 兀）l0g42（2）2d -（1）心）1」2-(2 n—1)学仁1+1—(2)n」—(2 n —1)_(扩=—4"扩—(2 n —1 n -1 n 13(2n212分。

高18级2019—2020学年度上学期学情摸底调研数学试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第一卷（选择题共52分）一、选择题（本题共13小题，每小题4分，共52分．第1-10题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，第11-13题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得四分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）1.数列1,3,6,10,,21,28,x L 中，x 的值是（ ） A. 12 B. 13C. 14D. 15【答案】D 【解析】 【分析】观察相邻两项的关系,即可得到所求.【详解】观察数列可得:312-=；633-=；1064-=； 所以105x -=, 则15x =, 故选:D【点睛】本题考查观察法得数列的项,属于基础题. 2.数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( ) A. 2(1)21nn n a n =-⋅-B. (1)(1)21nn n n a n +=-⋅-C. 2(1)21nn n a n =-⋅+D. 22(1)21nn n na n -=-⋅-【答案】A 【解析】 【分析】 利用由数列﹣1，43，95-，167，…．可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”，其分母为奇数2n ﹣1，分子为n 2．即可得出．【详解】解：由数列﹣1，43，95-，167，… 可知：奇数项的符号为“﹣”，偶数项的符号为“+”， 其分母为奇数2n ﹣1，分子为n 2．∴此数列的一个通项公式2(1)21nn n a n =-⋅-．故选：A ．考点：数列的通项公式3.数列{}n a 中，已知612000a =，且1n n a a n +=+，则1a 等于（ ） A. 170 B. 171C. 172D. 173【答案】A 【解析】 【分析】由1n n a a n +=+,则()11n n a a n -=+-,L ,211a a =+,则利用累加法可得()1112n n n a a ++=+,再令60n =,进而求解即可.【详解】由题,因为1n n a a n +=+,所以()11n n a a n -=+-,L ,211a a =+, 累加可得1112n a a n +=++++L ,即()1112n n n a a ++=+,当60n =时,61161602a a ⨯=+,则1170a =, 故选:A【点睛】本题考查累加法处理数列的递推公式,考查等差数列的前n 项和公式的应用. 4.如图所示是一系列有机物的结构岗图，图中的“小黑点”表示原子，两基点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n 个图有化学键（ ）A. 6nB. 51+nC. 51n -D. 42n +【答案】B 【解析】由图分别得到第1个图,第2个图,第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第n 个图中化学键的个数.【详解】由图,第1个图中有6个化学键； 第2个图中有11个化学键； 第3个图中有16个化学键,观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键, 则第n 个图有()65151n n +-=+个化学键, 故选:B【点睛】本题考查图形的规律,考查等差数列的通项公式的应用.5.已知等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值是（ ） A. 20 B. 22C. 23D. 24【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列通项公式可整理18153120a a a ++=为()()1113714120a a d a d ++++=,即1724a d +=,进而整理9102a a -即可求解.【详解】由题,因为18153120a a a ++=,所以()()1113714120a a d a d ++++=, 即1724a d +=,所以()()1901112897242a d a a a a d d =+-+=+=-, 故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用,属于基础题.6.等比数列{}n a 的各项都为正数，且564718a a a a +=，3132310log log log a a a +++L 等于（ ） A. 12B. 11C. 10D.32log 5+【答案】C【分析】由等比数列的性质可得569a a =,再由对数的运算性质求解即可. 【详解】由题,因为564718a a a a +=,即569a a =,所以()53131323102103563l log log log og log 5log 910a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅===L L , 故选:C【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查对数的运算,属于基础题. 7.若3log 2，3log (21)x -，3log (211)x+成等差数列．则x 的值为（ ） A. 7或3- B. 3log 7C. 4D. 2log 7【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列中项可得3332log (21)log 2log (211)x x+=+-,即()()2212211x x -=⨯+,进而求解即可.【详解】由题,3332log (21)log 2log (211)x x+=+-,则()()2212211x x -=⨯+,即()()27230xx-+=, 所以2log 7x =, 故选:D【点睛】本题考查等差数列中项的应用,考查对数的运算.8.在等差数列{}n a 中， 14736a a a ++= ， 25833a a a ++=，则369a a a ++的值为（ ） A. 27 B. 30C. 33D. 36【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得412a =,511a =,则可得541d a a =-=-,再由()3696533a a a a a d ++==+求解即可.【详解】由题,因为1474336a a a a ++==,则412a =； 因为2585333a a a a ++==,则511a =； 所以541d a a =-=-,所以()369653330a a a a a d ++==+= 故选:B【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的定义的应用. 9.若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ）A.B.C.3D. 3-【答案】B 【解析】 【分析】由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案．【详解】∵()11111611221123a a S a π+=== ，∴623a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫== ⎪⎝⎭故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+u u u r u u u r u u u r；且A ，B ，C 三点共线（该直线不过点O ），则200S 等于（ ） A. 90 B. 100C. 200D. 201【答案】B 【解析】 【分析】由A ,B ,C 三点共线（该直线不过点O ）可得12001a a +=,再由等差数列前n 项和公式求解即可.【详解】由题,因为A ,B ,C 三点共线（该直线不过点O ）,所以12001a a +=,因为等差数列{}n a ,所以()12002002001002a a S +⨯==,故选:B【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查等差数列的前n 项和.11.在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为()n S n *∈N ．以下说法正确的是（ ）A. 若315S S =，则180S =B. 若315S S =，则9S 是n S 中的最大项C. 若315S S =，则9100a a +=D. 若910S S >，则1011S S >【答案】ABCD 【解析】 【分析】 由315S S =可得45150a a a +++=L ,利用等差数列的性质可得4151189100a a a a a a +=+=+=,即可判断选项A,C ；再由10a >,则0d <,即可判断选项B ；由910S S >可得100a <,则110a <,即可判断选项D.【详解】若315S S =可得45150a a a +++=L ,即4150a a +=,则1180a a +=,所以()118181802a a S +==,故A 正确；由4150a a +=可得9100a a +=,故C 正确； 又10a >,则0d <,所以90a >,100a <,所以9S 是n S 中的最大项,故B 正确；若910S S >,则109100S S a -=<,因为10a >,所以0d <,则110a <, 所以1110110S S a -=<,即1011S S >,故D 正确, 故选:ABCD【点睛】本题考查等差数列的性质的应用,考查等差数列的前n 项和的最大项. 12.已知数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，则以下一定是等比数列的是（ ）A. {}2naB. {}2n aC. {}1n n a a +⋅D.{}1n n a a ++【答案】BC 【解析】 【分析】 由等比数列可得1n na q a +=,进而对各选项中数列依次作前后两项的比,判断是否为常数,即可得到答案.【详解】因为数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列,则1n na q a +=, 对于选项A,11222n n n na a a a ++-=,因为1n n a a +-不是常数,故A 错误；对于选项B,222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭,因为2q 为常数,故B 正确；对于选项C,2212111n n n n n n n na a a a q a a a a ++++++⋅=⋅=⋅,因为2q 为常数,故C 正确；对于选项D,若10n n a a ++=,即1q =-时,该数列不是等比数列,故D 错误. 故答案为:BC【点睛】本题考查等比数列的判断,需注意等比数列各项均不为0. 13.下列命题不正确的是（ ）A. 若数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则数列{}n a 是等差数列．B. 等差数列{}n a 的公差0d >则{}n a 是递增数列．C. 常数列既是等差数列，又是等比数列．D. 等比数列{}n a 是递增数列，则{}n a 的公比1q >． 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等比数列的前n 项和公式判断选项A ；由0d >可得1n n a a +>,即可判断选项B ；当0n a =时,该数列不是等比数列,即C 错误；当0n a <且1q >时,D 错误.【详解】对于选项A,{}n a 的前n 项和2n S An Bn =+,故A 错误；对于选项B,若0d >,则1n n a a +>,故B 正确；对于选项C,当0n a =时,该常数列不是等比数列,故C 错误；对于选项D, 等比数列{}n a 是递增数列，10,10a q >-<<,故D 错误； 故选:ACD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式,考查数列的单调性的判断,考查等比数列的判断.第二卷（非选择题 共98分）二、实验题（本题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中横线上．）14.已知等差数列{}n a 中，48a =，84a =，则其通项公式n a =__________ 【答案】12n - 【解析】∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4，∴41813874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得a 1=11，d =−1，∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .15.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若231n n S nT n =+则55a b ＝________． 【答案】914. 【解析】试题分析：根据等差数列的性质，由1919591919599()299229()3911422a a a a a Sb b b b b T ++⨯=====++⨯+. 考点：等差数列的性质.16.若x y ≠，两个数列:123,,,,x a a a y 和1234,,,,,x b b b b y 都是等差数列，则2143a ab b -=-______．【答案】54【解析】 【分析】由等差数列的定义可得14y x d -=,且25y x d -=,则211432a a db b d -=-,即可求解.【详解】由题,因为123,,,,x a a a y 是等差数列,所以14y x d -=,即()114d y x =-； 因为1234,,,,,x b b b b y 是等差数列,所以25y x d -=,即()215d y x =-, 所以21143254a a db b d -==-, 故答案为:54【点睛】本题考查等差数列的定义的应用,属于基础题.17.在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形的形状是 . 【答案】锐角三角形 【解析】 【分析】根据已知结合等差数列的性质和等比数列的性质,可求出tan A 和tan B ,代入两角和的正切公式,结合诱导公式,可得tan C 的值,进而判断出三个角的大小,进而判断出三角形的形状. 【详解】设以-4为第三项,4为第七项的等差数列的公差为d 则1[4(4)]24d =--= 即tan 2A = 设以13为第三项,9为第六项的等比数列的公比为q则3q == 即tan 3B =则tan tan tan()tan 11tan tan A BA B C A B++=-==--⋅即tan 1C = 故A,B,C 均为锐角 故ABC V 为锐角三角形 故答案为锐角三角形【点睛】本题考查的知识点是等差数列及等比数列,考查了三角形内角和定理以及两角和的正切公式，属于中档题.三、解答题（本原共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.（1）在等差数列{}n a 中，若公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）在等比数列{}n a 中，39a = ，42954a a +=．求{}n a 的通项公式． 【答案】（1）2n a n =（2）13-=n n a 【解析】 【分析】（1）由等比中项可得2214a a a =⋅,再由等差数列的定义可得()()21113a d a a d +=⋅+,即可求得1a ,进而求解；（2）由题可得219a q =,311954a q a q +=,进而求解.【详解】解:（1）由题知2214a a a =⋅()()21113a d a a d ∴+=⋅+,即()()211126a a a +=+,12a ∴=,2(1)22n a n n ∴=+-⨯=.（2）3429,954a a a =+=Q ,219a q ∴=,311954a q a q +=,解得11a =,3q =,13n n a -∴=.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用. 19.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知10203050a a ==，． （1）求通项n a ； （2）若242n S =，求n ． 【答案】（1）；（2）n=11.【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件用基本量列方程求解即可； （2）先求出n S ，再令242n S =解方程即可.试题解析：1设等差数列{}n a 的公差为d ，由得方程组，解得所以2由得方程，解得20.已知等差数列{}n a 中，19a =，470a a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和取得最大值？ 【答案】(1) 112n a n =-.(2) 当5n =时，n S 取得最大值． 【解析】 【分析】（1）根据题设条件和等差数列的通项公式，化简求得2d =-，即可求解，得到答案．（2）法一：利用等差数列的前n 项和公式，求得2(5)25n S n =--+，再利用二次函数的性质，即可求解；法二：由（1），求得5n ≤时，0n a >，6n ≥时，0n a <，即可求解，得到结论． 【详解】（1）由题意，等差数列{}n a 中，19a =，470a a +=， 则11360a d a d +++=，解得2d =-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)112n a a n d n =+-⋅=-. （2）法一：19a =，2d =-，22(1)9(2)10(5)252n n n S n n n n -=+⋅-=-+=--+， ∴当5n =时，n S 取得最大值．法二：由（1）知19a =，20d =-<，∴{}n a 是递减数列． 令0n a ≥，则1120n -≥，解得112n ≤. ∵*n N ∈，∴5n ≤时，0n a >，6n ≥时，0n a <. ∴当5n =时，n S 取得最大值．【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，以及等差数列的前n 项和的最值问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和的最值问题的求解方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 21.设关于x 的一元二次方程2x -1n a +x 1+0=(n N *∈)有两根α和β且满足6263ααββ-+=.①试用表示1n a +；②求证：数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.③当176a =时，求数列{}n a 的通项公式. 【答案】①②见解析③2132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】（1）根据韦达定理，得1n n a a αβ++=，1na αβ⋅=,由6263ααββ-+=得1263n n na a a +⋅-=，故（2）证明：121112()32323n n n a a a +-=-=-， 若203n a -=，则1203n a +-=，从而123n n a a +==，这时一元二次方程2x -1n a +x 1+0=无实数根，故1203n a +-≠，所以1213223n n a a +-=-，数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列.（3）设23n n b a =-，则数列{}n b 是公比12q =的等比数列，又1127213632b a =-=-=，所以111111222n n n n b b q --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2132nn a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.22.等差数列{}n a 中，321S = ，624S =， （1）求数列{}n a 的前n 项和公式n S ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）n S 210n n =-+（2）2210(5)1050(6)n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩【解析】 【分析】（1）由题可得11323212656242a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩,即可解得1,a d ,进而求解； （2）由（1）先求得211n a n =-+,由0n a ≥可得112n ≤,再分别讨论5n ≤与6n ≥的情况,进而求解.【详解】解:（1）设{}n a 首项为1a ,公差为d ,由321S =,624S =得11323212656242a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩,192a d =⎧∴⎨=-⎩(1)9(2)2n n n S n -∴=⨯+⨯-210n n =-+. （2）由（1）知,9(1)(2)211n a n n =+-⨯-=-+, 由0n a ≥得2110n -+≥即112n ≤, 当5n ≤时,12n n T a a a =+++L 21210n n a a a S n n =++⋯+==-+； 当6n ≥时,516n n T a a a a =+⋯+++⋯+ ()()1256n a a a a a =++⋯+-+⋯+255()1050n S S S n n =--=-+综上,2210(5)1050(6)n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和,考查等差数列的绝对值求和,考查分类讨论思想. 23.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，点()1,n n S S +在直线*1().1x yn n n-=∈+N （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设112n n n n n S S b S S ++=+-数列{}n b 的前n 项和为n T ．是否存在正整数m 使得4n m T <恒成立，若存在，求出正整数m 的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2n a n =（2）存在，最小的正整数m 为12． 【解析】 【分析】（1）将点()1,n n S S +代入直线方程可得111n nS S n n+-=+,可解得2n S n n =+,再由1n n n a S S -=-求解即可；（2）由（1）可得1122n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,利用裂项相消法可求得4nm T <,则34m ≥,即可求解. 【详解】解:（1）由题知111n nS S n n+-=+, 当1n =时,112S a ==,n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是首项为2,公差为1的等差数列, 2(1)11nS n n n∴=+-⨯=+, 2n S n n ∴=+,当2n ≥时,1n n n a S S -=-, 又12a =适合上式,2n a n ∴=.（2）存在, 由（1）(1)(1)(2)2(1)(2)(1)n n n n n b n n n n +++=+-+++4112(2)2n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭1n n T b b b ∴=++⋯+1111111112132435112n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭11121212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭3112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭223312n n =--<++,4n mT <Q 恒成立, 34m∴≥即12m ≥, 又*m N ∈Q ,min 12m ∴=,∴存在最小的正整数m 为12.【点睛】本题考查等差数列的定义,考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查裂项相消法求数列的和,考查数列的不等式问题.。

2019~2020学年度高二年级第一学期开学测试数学试卷考试范围：必修二必修五难度区间：A(难度大)考试时间：120分钟分值：150分注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AP=，，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是（）A. B. C. D.2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 53.若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是（）A. 1B.C. 1或D.4.函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A.B. 3，C. 4，D.5.已知平面上点，其中，当，变化时，则满足条件的点P在平面上所组成图形的面积是A. B. C. D.6.已知数列中，.若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7.在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围为A. B. C. D.8.在锐角三角形ABC中，cos（A+）=-，AB=7，AC=2，则=（）A. B. 40 C. D. 349.已知三棱锥A—BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=90°，AD=2，若球O的表面积为29π，则三棱锥A—BCD的侧面积的最大值为( )A. B. C. D.10.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（）A. 两段圆弧B. 两段椭圆弧C. 两段双曲线弧D. 两段抛物线弧第II卷（非选择题共60分）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知在体积为4π的圆柱中，AB，CD分别是上、下底面直径，且AB⊥CD，则三棱锥A-BCD的体积为______．12.底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为______ m2．13.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知=，b=4a，a+c=5，则△ABC的面积为______．14.已知数列{a n}中，a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n N），设b n=+++…+，若对任意的正整数n，当m[1，2]时，不等式m2-mt+＞b n恒成立，则实数t的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，共80.0分）15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．16.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b M时，|a+b|＜|1+ab|．17.已知数列的前n项和为，且．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ若，设数列的前n项和为，证明．18.如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）求四棱锥P-BFDE的体积．19.已知圆M的方程为，直线l的方程为，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若，试求点P的坐标；（2）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=3，F是棱PA上的一个动点，E为PD的中点．（Ⅰ）若AF=1，求证：CE∥平面BDF；（Ⅱ）若AF=2，求平面BDF与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．21.已知圆C：，直线l：，．求证：对，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．22.如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：．（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设动圆同时平分圆的周长、圆的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．首先确定三角形ABC为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【解答】解：如图所示：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=，M是线段BC上一动点，线段PM长度最小值为，则当AM⊥BC时，线段PM达到最小值，由于PA⊥平面ABC,AM平面ABC,所以PA AM所以在中，PA2+AM2=PM2，解得AM=1，因为PA⊥平面ABC，BM平面ABC，则由，，平面PAM，故有BM平面PAM，AM平面PAM，BM，所以在中，BM==，则tan∠BAM==,则∠BAM=60°，由于∠BAC=120°，所以∠MAC=∠BAC-∠BAM=60°则△ABC为等腰三角形．所以BC=2，在△ABC中，设外接圆的直径为2r=，则r=2，设球心距离平面ABC的的高度为h,则,解得,所以外接球的半径R═，则S=，故选：C．2.【答案】C【解析】解：如图：正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是BC和A1D1的中点，连接AF和FC1，根据正方体的性质知，BB1⊥AB，C1C⊥B1C1，故B1到异面直线AB，CC1的距离相等，同理可得，D到异面直线AB，CC1的距离相等，又有AB⊥BC，C1C⊥BC，故E到异面直线AB，CC1的距离相等，F为A1D1的中点，易计算FA=FC1，故F到异面直线AB，CC1的距离相等，共有4个点．故选C．画出正方体，结合正方体中线面、线线垂直，先找定点、再找棱的中点，找出符合条件的所有的点．本题考查了正方体体的结构特征，考查了线面、线线垂直定理的应用，利用异面直线之间距离的定义进行判断，考查了观察能力和空间想象能力．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查两直线的位置关系，由两直线平行的充要条件，列出方程求解即可．【解答】解：直线x+（1+m）y-2=0和直线mx+2y+4=0平行，可得，得：m=1.故选A．4.【答案】B【解析】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意可得，点;而且圆心（x0，y0）在以原点为圆心，以2为半径的圆上．满足条件的点P在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积，即36π-4π=32π，故选：C．先根据圆的标准方程求出圆心和半径，然后研究圆心的轨迹，根据点P在平面内所组成的图形是一个环面进行求解即可．本题主要考查了圆的参数方程，题目比较新颖，正确理解题意是解题的关键，属于中档题．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查数列的求和、一元二次不等式，根据题中等式变形得，构造，从而解出本题.【解答】根据题意，，所以，所以，所以，因为对于任意的，，不等式恒成立，所以在时恒成立，即在时恒成立，设，，则，即，解得或，即实数的取值范围为.故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了锐角三角形内角和定理及其性质、余弦函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在锐角三角形ABC中，A＞B＞C，A+B+C=π，可得，于是＞，即可得出．【解答】解：∵在锐角三角形ABC中，A＞B＞C，A+B+C=π，∴，∴，又∵，∴，∴．故选A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．由cos（A+）=解得cosA=，再由余弦定理得BC=，cosB=，再根据向量数量积可得结果．【解答】解：由cos（A+）=-得：cosAcos -sinAsin =-，得cosA=sinA-，两边平方得：cos2A=sin2A-sinA+，整理得sin2A-sinA+-=0，解得sinA=或sinA=-（舍去），又A为锐角，∴cosA=，∴BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA=72+（2）2-2××=43，∴BC=，∴cosB===，∴•=AB•BC•cos（π-B）=7××（-）=-40．故选A．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查三棱锥的内接球的问题，找到球心所在是解题的关键.【解答】解析：因为球O的表面积为29π，所以球的半径为，设AB=a,AC=b，则底面直角三角形ABC的斜边为其外接圆的半径为因为AD⊥平面ABC，所以外接球的半径为=，则，由题意可知，所求三棱锥的侧面积为,运用基本不等式，，当且仅当时，等号成立，即侧面积的最大值为.故选A.10.【答案】C【解析】【分析】本题考查正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线的轨迹，考查分析运算能力，属于难题．以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C′，M等点的坐标，从而可求得cos∠MAC′，设设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，继而可求得cosθ，比较θ与∠MAC′的大小，利用正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线，即可得到答案．【解答】解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这个正圆锥面的中心轴即为AC′，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC′；以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），C′（1，1，0），M （，1，1），∴=（1，1，-1），=（，1，0），∵cos∠MAC′====，设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，则cosθ====＞，∴θ＜∠MAC′，∴该正圆锥面和底面A′B′C′D′的交线是双曲线弧；同理可知，P点在平面CDD′C′的交线是双曲线弧，故选C．11.【答案】【解析】解：取AB的中点O，连接OC，OD，则AD=BD，∴OD⊥AB，又AB⊥CD，CD∩OD=D，∴AB⊥平面OCD，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V圆柱=πR2h=4π，即R2h=4，∴三棱锥A-BCD的体积为V A-OCD+V B-OCD=S△OCD•AB===．故答案为：．将三棱锥分解成两个小棱锥计算．本题考查了圆柱、圆锥的体积计算，属于中档题．12.【答案】【解析】解：如图所示，正三棱锥S-ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO 中，．于是，，．所以．故答案为由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．本题主要考查基本运算，应强调考生回归课本、注重运算、留心单位、认真审题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.由已知及正弦定理可求= ，又b = 4a，可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用余弦定理解得a，b，c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：由正弦定理及= ，得= ，又b=4a，∴sinC= ，∵△ABC为锐角三角形，∴cosC= ，∴cosC= == =，解得a = 1，b = 4 ，c = 4，∴S△ABC=absinC == .故答案为.14.【答案】（-∞，1）【解析】【分析】本题考查数列的通项及前n项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．通过并项相加可知当n≥2时a n-a1=n+（n-1）+…+3+2，进而可得数列{a n}的通项公式a n =n（n+1），裂项、并项相加可知b n=2（-）==，通过求导可知f（x）=2x+（x≥1）是增函数，进而问题转化为m2-mt+＞（b n）max，由恒成立思想，即可得结论.【解答】解：∵a1=1，a n-a n-1=n（n≥2，n N），当n≥2时，a n-a n-1=n，a n-1-a n-2=n-1，…，a2-a1=2，并项相加，得：a n-a1=n+（n-1）+…+3+2，∴a n=1+2+3+…+n=n（n+1），又∵当n=1时，a1=×1×（1+1）=1也满足上式，∴数列{a n}的通项公式为a n =n（n+1），∴b n =+++…+=++…+=2（-+-+…+-）=2（-）==，令f（x）=2x+（x≥1），设x1>x2>1,则f(x1)-f(x2)=,,f(x1)-f(x2)>0∴f（x）在x[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）min=f（1）=3，即当n=1时，（b n）max =，对任意的正整数n，当m[1，2]时，不等式m2-mt+＞b n恒成立，则须使m2-mt+＞（b n）max=，即m2-mt＞0对∀m[1，2]恒成立，即t＜m的最小值，可得得t＜1，∴实数t的取值范围为（-∞，1），故答案为：（-∞，1）．15.【答案】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sin B=4（1-cos B），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1-cos B）2+cos2B=1，∴16（1-cos B）2+cos2B-1=0，∴16（cos B-1）2+（cos B-1）（cos B+1）=0，∴（17cos B-15）（cos B-1）=0，∴cos B=；（2）由（1）可知sin B=，∵S△ABC=ac•sin B=2，∴ac=，∴b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-2××=a2+c2-15=（a+c）2-2ac-15=36-17-15=4，∴b=2．【解析】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π-B，再利用诱导公式化简sin （A+C），利用降幂公式化简8sin 2，结合sin2B+cos2B=1，求出cosB，（2）由（1）可知sinB=，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三角函数的关系，属于中档题.16.【答案】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：-x-x-＜2，解得：x＞-1，∴-1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：-x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：-+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．【解析】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，是中档题．（I）分当x ＜时，当≤x≤时，当x ＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b M时，（a2-1）（b2-1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度困难．17.【答案】解：（1）当时，，得，当时，，得，∴数列是公比为3的等比数列，∴ .（2）由（1）得：，又①∴②两式相减得：，故，∴.【解析】本题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.（1）利用时，即可得出.（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出.18.【答案】（Ⅰ）证明：连接EF交BD于O，连接OP．在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，∴BE=BF，DE=DF，∴△DEB≌△DFB，∴在等腰△DEF中，O是EF的中点，且EF⊥OD，因此在等腰△PEF中，EF⊥OP，从而EF⊥平面OPD，又EF⊂平面BFDE，∴平面BFDE⊥平面OPD，即平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，可得，，，PD=2，由于，∴∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，在Rt△POD中，由OD•PH=OP•PD，得．又四边形BFDE的面积，∴四棱锥P-BFDE的体积．【解析】（Ⅰ）连接EF交BD于O，连接OP，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是BC中点，可得EF⊥OP，又EF⊂平面BFDE，即可证得平面PBD⊥平面BFDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明可知平面POD⊥平面DEF，进一步得到∠OPD=90°，作PH⊥OD于H，则PH⊥平面DEF，求出PH的值，则答案可求．本题主要考查空间面面垂直的判定与性质、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意，点P在直线上，设P（3m，m），连接MP，因为圆M的方程为，∴圆心M(0,2)，半径r=1，∵过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B，则有⊥，⊥，且，易得≌，又，即,则,即有，解得或，即P点的坐标为或，（2）根据题意，PA是圆M的切线，则⊥，则过点A,P,M三点的圆以MP为直径的圆，设P点坐标为（3m，m），M（0,2），则以MP为直径的圆为，变形得，即，则有，解得或，则当和时，恒成立，则经过A,P,M三点的圆必过定点，且定点坐标为和.【解析】本题主要考查了直线和圆的方程的综合应用以及圆锥曲线中的定点问题，考查学生的运算求解能力和逻辑思维能力，难度较大. （1）根据题意，设P 点坐标，利用全等关系解得，即可解出m 的值，即P 点的坐标. （2）根据题意可得，根据斜率可得，解出n 的之即可解出面积最小值.（3）根据题意，PA 是圆M 的切线，则，可得以MP 为直径的圆为，即可解得经过A,P,M 三点的圆必过定点，且定点坐标为和.20.【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ． 由题可得F 为AG 中点，O 为AC 中点，∴FO ∥GC ； 又G 为PF 中点，E 为PD 中点，∴GE ∥FD ．又GE ∩GC =G ，GE 、GC ⊂面GEC ，FO ∩FD =F ，FO ，FD ⊂面FOD ． ∴面GEC ∥面FOD ． ∵CE ⊂面GEC ，∴CE ∥面BDF ；（Ⅱ）解：∵底面ABCD 是边长为 3 的菱形，∴AC ⊥BD ，设交点为O ，以O 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系， 则B （0，- ，0），D （0，，0），P （- ，0，3），C （ ，0，0），F （ ，0，2）．则 ， ， ，，， ，，， ，，， ． 设平面BDF 的一个法向量为 ， ， ，则，取z =3，得 ， ， ． 设平面PCD 的一个法向量为 ， ， ，则，取y = ，得 ， ， ． ∴cos ＜ ， ＞==． ∴平面 BDF 与平面 PCD 所成的锐二面角的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ．由三角形中位线定理可得FO ∥GC ，GE ∥FD ．然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC ∥面FOD ，进一步得到CE ∥面BDF ；（Ⅱ）由底面ABCD 是边长为 3 的菱形，可得AC ⊥BD ，设交点为O ，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面 BDF 与平面 PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．21.【答案】（1）证明:圆C：（x+2）2+y2=5的圆心为C（-2，0），半径为，所以圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离＜．所以直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）解：设中点为M（x，y），因为直线l：mx-y+1+2m=0恒过定点N（-2，1），则,又所以,所以M的轨迹方程是，它是一个以，为圆心，以为半径的圆．（3）解:假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（-2，0），半径为，则圆心C（-2，0）到直线l的距离为,由于圆心C(-2,0) ，半径为，则圆心C(-2,0)到直线l的距离为＜化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．【解析】本题考查点到直线的距离公式，直线的一般式方程，轨迹方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，考查分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．（1）圆心C到直线l：mx-y+1+2m=0的距离，可得：对m R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）设中点为M（x，y），利用k AB•k MC=-1，即可求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）利用圆心C（-2，0）到直线l的距离为，求出m的范围．22.【答案】(1)解:设直线l的方程为y＝k(x+1)，即kx-y+k＝0．因为直线l被圆C2截得的弦长为，而圆C2的半径为1，所以圆心C2(3，4)到直线l:kx-y+k＝0的距离为＋，化简，得12k2-25k+12＝0，解得或．所以直线l的方程为4x-3y+4＝0或3x-4y+3＝0;②写出动圆的方程即可求解.(2)①证明:设圆心C(x，y)，由题意，得|CC1|＝|CC2|，即＋＋＋．化简得x+y-3＝0，即动圆圆心C在定直线x+y-3＝0上运动;②解:圆C过定点，设C(m，3-m)，则动圆C的半径为＋＋＋＋．于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2＝1+(m+1)2+(3-m)2，整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)＝0．由得或，所以动圆C经过定点，其坐标为，．【解析】本题考查直线与圆及圆与圆的位置关系,同时考查动点轨迹的探求.(1)利用圆的弦长计算方法即可求解;(2)①由已知有|CC1|＝|CC2|,从而求出动圆圆心的轨迹即可求解;。

山东省临沂市临沐县第一中学2019届高三数学上学期开学考试试题理（扫描版，无答案）临沐一中高16级高三第一次摸底考试理科数学i・答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答題卡上.2.回答选择题时•选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用權皮擦干净后・再选涂其它答案标号•回答非选择题时.将答案写在答题卡上•写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择廳：本题共12小题.毎小題5分，共60分.在毎小题给出的四个选项中.只有一项是符合JH目要求的.1.己知集合 ^ = {x|x-1^0}.加{0,1, 2} •则4CIB=A. {0}B. {】}C. {1,2}D. {0,1,2}2.（l + i）（2-i） =A. -3-iB. -3 + iC. 3-iD. 3 + i3.中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棹头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棹头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是则cos 2a =C. D.5.（丘+壬）的展开式中的系数为A. 10 B・ 206・宜线x+y+2 = 0分别与X轴，丿轴交于乩C. 40D. 80B两駄点P在圆（x-2/+/=2上，则厶4肿面积的取值范围是A. [2, 6]B. [4,8]C.[迈，3迈]D.〔2血，3坷A2八••・=1 （。

>0, b>0）的左、右焦点.O 是坐标原点.过耳作C 的一条渐近线的垂线，垂足为尸.若I"；卜&|0尸|・则C 的离心率为A. 75B. 2 C ・D ・近12・设 a = logg°3，6 =阳2°・3，则A. a + b<ab <0B. ab <a + b <QC. a<0<abD. ab <0<ab二 填空题：本题共4小JR.每小題5分.共20分・13.已知向量g=Q2）,戶（2»-2）,尸（1,2）・若c 〃（加+6）,则2= ___________ ・ 14.曲线F = （Q + ］）（/在点（0, 1）处的切线的斜率为-2,则。