3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域教材分析本节课是在学生学习了直线与直线方程的关系，初步了解了二元一次方程的几何意义的基础上，引领学生进一步研究二元一次不等式的几何意义，为后面学习用图解法求二元函数最值问题创造条件.使学生体会数与形的转化过程，逐步加强学生应用几何图形解决代数问题的意识．基于以上分析，在教学中应充分利用多媒体课件向学生展示代数条件与几何图形的对应关系，加强学生对问题的了解，培养学生学习数学的兴趣.课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解二元一次不等式（组）表示平面区域.教学目标重点: 用二元一次不等式（组）表示平面区域的方法.难点：1.探究二元一次不等式所表示的平面区域的过程；2.正确画出二元一次不等式（组）相应的平面区域.知识点：二元一次不等式的几何意义，能准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域.能力点：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力.教育点：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质.自主探究点：通过自主探索、合作交流，增强学生对数学的情感体验，提高创新意识. 通过学生合作探究、独立思考、自由讨论、情景设置等方法帮助学生在原有经验上对新知识主动建构.考试点：充分体会数学来源于生活，又服务于生活，培养学生的应用意识.易错易混点：引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，突破本节难点.拓展点：链接高考感悟提升.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式基于问题驱动的一问一答式一、复习引入提出问题，引起思考师：今天是什么特殊日子？生：重阳节师：你准备好礼物了吗？生：没有师：我给你们推荐一份礼物：一束鲜花！送母亲选什么花？生:康乃馨师:康乃馨是母亲之花，它代表了母亲对子女伟大、无私而又含蓄的爱；然后还可以选择些纯洁的百合花加以点缀，并且祝愿父母百年好合心想事成.你们满意吗?生：师：可是我却遇到了一个问题: 当花店老板告诉我康乃馨每枝15元，百合每枝10元时，我才发现只有150元钱，而且希望康乃馨的数量不低于百合数量的2倍，我可以如何购买呢？今天就请同学们一起帮我解决这个问题.设计意图：通过设置实际问题情景引入新课，提高学生的学习兴趣和自主探求新知的欲望，为下面的讲解做好铺垫.另外，情景的设置贴近学生的生活，并借助鲜花营造一种温馨的氛围和浪漫的气息，适合当今学生的口味，使原本枯燥严肃的数学课在不改变其严谨本质的前提下尽量趣味化.分析问题，建立模型设购买康乃馨x 枝，购买百合y 枝.( x ,y 均为整数)则购买数量应满足的条件：3230211x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩介绍概念今天这个不等式模型与前面的不等式有所不同：它含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1这样的不等式叫做二元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序实数对（x ,y ）叫做二元一次不等式的一个解，所有这样的有序实数对（x ,y ）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.尝试解决，学生遇挫如何求上面的二元一次不等式组的解集？针对前面的不等式组 ，由学生自主分析思路，发表见解.学生可能的思路：①列举法---首先肯定学生的做法，列举法是解决数学问题的一种基本方法，也是生活中的常用方法，但是它有一定的局限性，引导学生寻求通法.②消元法- -----首先肯定学生的转化和消元的思想，这是数学中的重要思想方法，但是消元中会出现知识性错误，教师引导学生寻找错误根源.在各种思路均受阻的情况下，引导学生转化思维角度，重新审视不等式的解与点的坐标都是有序实数对，于是用几何方法来解决代数问题，利用数形结合的思想去尝试探求答案.灵感来源：二元一次不等式的解是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，所以，二元一次不等（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合----数形结合思想.解决策略：探寻解集的问题转化为探寻这些点所构成的几何图形的问题————转化思想.设计意图：引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程.在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识，建立二元一次不等式模型.突出不等式的特性，将画平面区域作为不等式的一种几何解法，利用数形结合思想得到不等式的解集.二、探究新知探究一：二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）先研究具体的二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.1.联系类比：二元一次方程6x y -=表示图形是一条直线，平面内所有的点被直线分成三类： 第一类：在直线6x y -=上的点；------------------6x y -=第二类：在直线6x y -=左上方的区域内的点；第三类：在直线6x y -=右下方的区域内的点. -----6x y -≠猜想：6x y -<和6x y ->，是各占一方还是相互交融？2.实验探索：设点1(,)P x y 是直线6x y -=上的点，选取点2(,)A x y ，使它的坐标满足不等式6x y -<，完成填表、作图并思考；①通过你的试验，你发现了什么？②进行理性思考，你觉得你的发现具有合理性吗？学生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式6x y -<的解为坐标的点都在直线6x y -=的左上方； ③反过来，直线6x y -=左上方的点的坐标都满足不等式6x y -<吗？3.交流合作.4.得出结论：在平面直角坐标系中，不等式6x y -<的解与直线6x y -=左上方的平面区域的点形成一一对应的关系；所以不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域.类似的：二元一次不等式6x y ->表示直线6x y -=右下方的区域，直线叫做这两个区域的边界.（2）特殊例子推广到一般情况：二元一次不等式0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）设计意图：先由学生提出自己的想法，再引导学生分析其问题所在，在思维层层受阻的情况下主动探索其它解法，增加学习的目的性和主动性.探究方法 ：由特殊到一般，从感性观察到理性思考，符合学生的认知规律，充分体现以学生为主体、教师为主导的教学思想.第一步，小组合作探究，增强学生的合作意识.第二步,学生独立思考.第三步，引导学生类比出一般结论.探究二：二元一次不等式表示哪侧的平面区域.自由讨论：不等式6x y -<表示直线6x y -=左上方的平面区域，是不是二元一次不等式0Ax By C ++<一定也是表示边界下方的区域？师：判定到底表示哪一侧是区域有困难吗？这个问题我来回答.设置情境：师：我把这个问题的答案放到了咱们班的作业本中了.这两摞作业中，其中一摞是咱们班的，请徐美华同学帮我把咱们班的那部分作业拿到我这儿来.生：（学生很快将本班的作业找到）师：你能确定这摞就是咱们班的吗？生：能确定.师：作业本上没有班级，你怎么就知道是这一摞呢？生：我抽了一本看了看就是我们班的.师：明白了，你从中抽查了一本确认是咱们班的，于是就确定这摞就是咱们班的了，那么如果你抽的那本不是咱们班的呢？生：一共就两摞，那就是另一摞了.师：我明白了：因为我们找的是这两摞作业中的某一摞，所以我只需从两摞中任意选取一个验证一下，如何是咱们班的就确定它所在的这一摞都是咱们班的，如果不是咱们班的就确认另一摞是咱们班的.非常简单，好！那么刚才判断哪一侧区域这个问题的答案找到了吗？生：噢！（沉思少许，恍然大悟）生：只需在此直线的某一侧取一个特殊点00(,)x y ，代入不等式验证，如果满足此不等式就是这个点所在的一侧，如果不满足就是另外的那一侧.师：你会取哪个点验证呢？生：一般取简单的点，如(0,0)，(1,0)，(0,1)等等.师：太棒了，简直是无师自通！谁告诉你们的呢？师：是生活告诉我们的!刚才我让同学帮我取作业本这件事情，你们都觉得太容易了，一件简单的生活小事不仅启发了我们对数学问题的思考，里面还蕴含着深刻的数学道理，它应用的是集合的思想：一个元素或者属于某个集合，或者属于它的补集，当全集中只有两个互补子集时，只需对某个元素验证一次便可知它属于哪个集合.如：直线6x y -=外的点的集合为{}(,)6U x y x y =-≠直线两侧的点的集合分别为{}(,)6A x y x y =-> {}(,)6B x y x y =-<验证原点(0,0)B ∈，则知道集合A 表示的就是原点所在一侧的区域.当然集合B 表示另一侧的区域. 设计意图：此问题的处理有三个目的：①此时学生的注意力已经有所下降，学习效率降低，通过设置情境再次吸引学生的注意力，提高课堂效果.②如果简单地告诉学生特殊点定域的方法，学生也很容易接受，完成本课的教学任务，但只是授之鱼而不是授之于渔.将此问题上升到集合思想的高度，达到触类旁通.③让学生进一步体会“数学源于生活并服务于生活”，生活本身就蕴含着深刻的数学道理，增强学生的学习兴趣.探究三：如何画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域的.①直线定界（有等则实，无等则虚）②特殊点定域（优先考虑原点）例 画出不等式44x y +<表示的平面区域.解：先画直线44x y +=（画成虚线）.取原点(0,0)，代入44x y +<成立∴原点在44x y +<表示的平面区域内.思考：如果是44x y +≤呢？非常好！已经成功按照由特殊到一般的方法，利用数形结合思想成功得到了二元一次的平面区域. 设计意图：解决开始提出的问题，也不仅仅是为了解决开始的问题，而是巩固、提高、深化对本节课的理解：首先，不等式组中包含的四个不等式正是本节内容的四种类型，典型全面，通过练习可以很好的巩固本节内容.其次，在师生共同完成不等式表示的平面区域的基础上，通过启发引导由学生自己完成不等式组的平面区域，又是能力提高的过程.另外，寻找整数点是难点但不是本节的重点，所以由教师完成，让学生体会我们前面的研究是在实数的前提下研究的，当变量的取值范围发生改变后，点集也会相应改变，深化对本节课的理解.三、运用新知带着收获的喜悦，我们来解前面的不等式组.1.首先分析：不等式组的解集是各不等式解集的交集，所以表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.引导学生一步步画出图形，找到正确的平面区域.3.启发学生找到整数点①有多少种购买方案？ 16种②最多买多少枝？ 取整数解(8,3)即，康乃馨8枝，百合3枝，共11枝让我们把这一束感激的鲜花，献给所有为了子女而辛勤忙碌的母亲，一十一枝鲜花代表我们一心一意的祝福，祝福天下所有母亲一生一世幸福安康！设计意图：本课在浪漫温馨并配以美妙音乐（感恩的心）的氛围中结束，本课小结在鲜花和音乐的衬托下缓缓打出，回顾本节知识，升华个人情感，多些感动多些感恩，不也正是当今学生所必修的内容吗？若能在学生的心灵上有所启迪岂不一箭双雕？教书育人，乐在其中！四、课堂小结1．二元一次不等式表示平面区域；2．二元一次不等式（组）表示平面区域的作图方法.五、布置作业1.基础巩固: 课本第86页练习1.2.3（目的：巩固，熟练本节基础知识）2.课堂延伸：特殊点定域只是确定平面区域的一种基本方法，相信你还能探索发现更为简单实用的方法，试试看！（目的：将课堂上的探究延伸到课下，进一步提高学生探究问题的能力）3.大显身手:已知康乃馨的进价为10元，百合进价为3元，如果你是花店老板，你会建议我怎么购买？ (目的：为讲线性规划问题做好铺垫）六、反思提升鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较强的分析问题、解决问题的能力，本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探索相结合一问一答的教学方法．首先设置“问题”情境，激发学生解决问题的欲望；其次提供观察、探索、交流的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生在开放的活动中获取知识．恰当的利用多媒体课件辅助教学，直观生动地呈现学生思维的形成过程，从而提高教学效率．在教学过程中，注重学生的探索经历和发现新知的体验，使其形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.美中不足的是知识量太少，思维量还够，但练习量有点少，不一定能够适应当前的高考选拔方式.七、板书设计。
