3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。
