配对求和(二)

第3讲配对求和一、知识要点被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+……+99+100的结果。

小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。

数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝（）练习1：速算。

(1) 1+2+3+4+5+……+20 (2) 1+2+3+4+……+99+100(3) 21+22+23+24+……+100【例题2】计算。

(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 312+315+318+321+324练习2：计算。

(1) 48+50+52+54+56+58+60+62 (2) 108+128+148+168+188【例题3】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？(2)有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题4】计算992+993+994+995+996+997+998+999。

练习4：计算。

(1) 95+96+97+98+99 (2) 2006+2007+2008+2009(3) 9997+9998+9999 (4) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19例5：1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81练习5：计算。

第七讲 配对求和【知识要点】著名数学家、物理学家和天文学家，他从小就很聪明，在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1+2+3+4+……+99+100=？小高斯很快就说出了正确答案：5050.小高斯是用什么方法算得这么快的呢？原来，他用了一种巧妙的方法—配对求和.例题1、计算：10987654321+++++++++练习1、计算：20191843211+++++++ ）（ 10099242322212++++++ ）（例题2、计算:3129272523211+++++）（ 3243213183153122++++）（练习2、计算：168148（188）+1282+）（+++108+62545860+5256+++1+4850例题3、计算：+++++992++997998993996999994995练习3、+++（（2）19）971+99989596------100----1315171193571例题4、计算:------------1000------811784161882 111985831388128987861415练习4、计算：---------（-）-------6746381925591100284731-+-+-16+--+-）（+--+-+2+1091213151481121201934657例题5、有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层都比上层多一根这堆木材共有多少根?练习5、（1）某学校体育馆的北区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，…….这个体育馆北区共有多少个座位?（2）有一串数，第一个数是10，以后每个数比前一个数大5，最后一个数是90，这串数字连加的和是多少？例题6、小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完.问：这本小说共有多少页?练习6、小美看书，第一天看了5页，以后每天都比前一天多看2页，最后一天看了25页，小美这些天中一共看了多少页？例题7、在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍.问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?练习7、有一列数按如下规律排列：4、8、12、16······这列数中前30个数的和是多少？【课堂练习】1、3+7+11+···+43+472、1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-193、100-98+96-94+92-90+···+8-6+4-24、（1+3+5+7+...+999）-（2+4+6+8+ (998)5、小王练习毛笔字，第一天写了8个大字，以后每一天都比前一天多写3个，小王30天一共写了多少个毛笔字？6、有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下?。

数列配对求和
“配对”是处理数列求和问题的一种重要方法，它利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”，化繁为简．本文简单介绍数列配对求和的几种形式，以期对同学们有所启发和帮助．
形式一：相邻两项直接配对
这是处理项数为偶数的数列求和的方法．
例1 已知数列{}n a 的前n 项和115913(1)(43)n n S n -=-+-++--L g ．求16S 的值．
解析：采用相邻两项直接配对．这里16n =为偶数，
[]168(15)(913)(453)(4163)4832S =-+-++⨯--⨯--⨯=-L 共配成对．
形式二：留下一项，其余相邻两项配对
这是处理项数为奇数的数列求和的方法．
例2 若等差数列{}n a 共有(21)n +项，求证：1n S S a +-=奇偶．()*
（S 奇，S 偶分别为奇数项、偶数项的和）
分析：1321242n n S a a a S a a a -=++=+++L L 奇偶，，
11325421211()()()a n n n S S a a a a a a a n a n d a ++∴-=+-+-++-+=L g 留下其余相邻
奇偶 两项配对 共配成对还可以留下最后一项，其余相邻两项配对．
证明：
123421221()()()n n n S S a a a a a a a -+∴-=-+-++-+L 奇偶
1112n nd a n d a nd a +=-++=+=g ．
其实1n a +是数列{}n a 的前21n +项的中项，所以上面()*式，又可写成S S a -=奇偶中，这是等差数列的一条性质，有着广泛的应用．最后，请同学们思考一下，如果等差数列{}n a 有2n 项，那么S S -奇偶等于什么？。