配对求和

配对求和更简便同学们，你听过德国著名数学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的高斯很快报出了得数：5050。

这个答案完全正确！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种巧妙的方法——配对求和。

什么是配对求和呢？下面老师向小朋友介绍一下！题目：计算5+7+9+11+13+15=？分析：这道加法算式的加数个数有6个，如果从左往右依次计算，也能正确得出计算结果，但速度比较慢，计算也比较烦。

有没有好方法呢？仔细观察上面加法算式中的几个加数，我们可以采用凑整的思路来计算：5+15=20，9+11=20，7+13=20，正好有3个20，所以结果是60。

（用线将每两个数连起来）5+7+9+11+13+15=（5+15）+（7+13）+（9+11）=20+20+20=20×3=60。

凑整是我们计算问题常用的一种简便思路。

对几个数连加时进行两两凑整，就是一种基本的配对求和方法。

题目：计算12+13+14+15+16+17+18=？分析：这道加法算式的加数有7个，还用上面的凑整思路试试看！12+18=30，13+17=30，14+16=30，还剩15。

这样3个30加15，得105。

（用线将每两个数连起来）12+13+14+15+16+17+18=（12+18）+（13+17）+（14+16）+15=31×4=124。

采用这种配对方法，要弄清加数的个数是不是双数，如果是双数，说明正好可以全部配对；如果是单数，就不能全部配对，留下的正好是中间数。

同学们，现在你明白小高斯是怎样算得快又对的了吗？你也算算看吧！。

配对求和专题简析：被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。

小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。

数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2末项=首项＋公差×（项数－1）项数=（末项－首项）÷公差＋1配对求和例题1 你有好办法算一算吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。

01小试牛刀1，计算：1＋2＋3＋4＋ (20)2，你能迅速算出结果吗？1＋2＋3＋4＋ (100)3，想一想，该怎样计算方便？21＋22＋23＋24＋ (50)例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想：9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。

当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。

02小试牛刀用简单方法迅速算出下面的题。

1，1＋2＋3＋4＋ (55)2，1＋2＋3＋4＋ (99)3，56＋57＋58＋ (76)例题3 计算：（1）32＋34＋36＋38＋40＋42（2）203＋207＋211＋215＋219思路导航：（1）32、34、36、38、40、42共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，我们可以把它们分为3组，每组的和都是74，那么几个数的和就是3个74即74×3=222；（2）203＋207＋211＋215＋219共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，我们也可以仿照例2的方法进行计算，用第一个数和最后一个数相加203＋219=422，乘上数的个数5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。

配对求和专题简析：被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1＋2＋3＋4＋…＋99＋100的结果。

小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。

数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2末项=首项＋公差×（项数－1）项数=（末项－首项）÷公差＋1例题1 你有好办法算一算吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共10个数，我们可以把10个数分成5组：1＋10，2＋9，3＋8，……，每组两个数的和是11，它们的和就有5个11即11×5=55。

例题2 你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路导航：1、2、3、4、5、6、7、8、9一共9个数，如果我们还像例1那样两个数组成一组，就有一个数多出来，那怎样做呢？我们可以这样想：9个10是90，90是两组1加到9的和，它的一半是90÷2=45。

当加数个数成单时，我们可以用第一个数与最后一个数相加，乘这组数的个数，再除以2，其实这种方法也适用于加数个数成双的求和。

例题3 计算：（1）32＋34＋36＋38＋40＋42（2）203＋207＋211＋215＋219思路导航：（1）32、34、36、38、40、42共6个数相加，后一个数与前一个数相差都是2，我们可以把它们分为3组，每组的和都是74，那么几个数的和就是3个74即74×3=222；（2）203＋207＋211＋215＋219共5个数相加，后一个数与前一个数相差都是4，我们也可以仿照例2的方法进行计算，用第一个数和最后一个数相加203＋219=422，乘上数的个数5，即422×5=2110，再除以2得到2110÷2=1055。

配对求和
大家都听过数学家高斯小时侯算1加到100的故事吧，他能很快地算出答案，就是采用了配对求和的方法，后来被称为高斯定理。

今天就给大家介绍几种配对求和的方法。

一、首位配对法
例1：12+13+14+15+16+17+18+19
首尾两个数依次配对，可得4个31。

解：12+13+14+15+16+17+18+19
=（12+19）+（13+18）+（14+17）+（15+16）
=31×4
=124
二、取整配对法
例2：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
将能得到整十、整百、整千的数配对，这题中可以配对得到10。

解：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+10+5
=5×10+5
=55
三、公式法
S=（A1+An）×n÷2这里的A1表示开头第一个数，An 表示最后一个数，n表示数的个数。

例3：2+4+6+8+……+98+100
解：2+4+6+8+……+98+100
=（2+100）×50÷2
=102×50÷2
=2550
配对求和要注意的是：一要弄清一串数中有几个数，可配成几对；二要根据一串数的特点进行合理配对。

练一练：
40+41+42+……+61+62
2+4+6+8+……+98+100。

配对求和数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

如果一个数列从第二行起每一项与前一项的差是一个固定数，这样的数列叫做等差数列，这个差叫做这个数列的公差。

用配对的方法求和，其实则是变加法(连加)为乘法。

一般情况下，我们是把数列的首项和末项配位一对，一列数可以配成的对数=数的个数÷2。

计算时，我们可以根据“等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2”这一公式求和。

例1 计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10拓展一计算21+22+23+24+25+26+27+28+29拓展二计算：101+102+103+104+105+106+107+108+109+110例2 有一堆钢管叠在一起，一共有20层。

第一层有10根，第二层有11根，…，下面的每层都比它的上一层多一根。

你知道这一堆钢管共有多少根吗？拓展某小组有10名同学。

放假时，握手告别，每两人都握一次，问一共握多少次手？例3前25个自然数的和是325，即“1+2+3+4+5+…+25=325。

求接下来的25个自然数的和，即26+27+28+29+…+50=? (用两种方法计算)例4 将自然数按下面的形式排列，问第20行最左边的一个数是多少？12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25……拓展一计算1+3+5+7+9+…+49拓展二计算 1+3+5+7+…+25检测与应用1.计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+152.计算 11+12+13+14+15+16+17+18=193.计算 2+4+6+8+12+14+16+18+20+22+24+264.计算 63+65+67+69+71+73+755.计算 100+102+104+106+108+110+112+114+116+118+1206. 计算 21+22+23+24…+48+49+507.算 12+14+16+18…+48+508. 有10个数，第一个数是7，以后每个数都比前一个数大4.这10个数连加，和是多少？9. 一堆圆木共18层，第一层有9根，下面每层都比上一层多一根，这堆圆木共多少根？10.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下…十二点钟敲十二下，每逢半点钟敲一下。

四年级奥数：配对求和（简单整数数列的计算）知识要点：配对技巧项数的确定小朋友们，你听过德国著名数学家、物理学家和天文学家高斯的故事吗？他从小就聪颖过人，还在他8岁的时候，老师给班上同学出了一道题：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＝？8岁的高斯很快报出了得数：5050.这个答案完全正确！最让老师吃惊的是，小高斯计算的速度如此快捷！那么，小高斯是用什么办法算得这么快的呢？原来，根据所给算式的特点，他用了一种巧妙的方法——配对求和.采用这种方法，很多整数数列求和的问题都能迎刃而解了.典型例题例【1】计算：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10分析1在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数一一配对，可配成5对.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10解法一1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）＝11×5＝55分析2 将和为10的两个数一一配对，可配成4对，另加一个10，一个5.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10解法二 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10＝10×4＋5＋10＝55例【2】计算：11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19分析将11与19、12与18、13与17、14与16配成4对，再加15. 111213 14 15 16 1718 19解 11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＝（11＋19）＋（12＋18）＋（13＋17）＋（14＋16）＋15＝30×4＋15＝135例【3】计算：101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110 分析此题中每个数里都包含了一个100，可以把这10个100分离出来，转化为例【1】解101＋102＋103＋104＋105＋106＋107＋108＋109＋110＝100×10＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）＝1000＋11×5＝1055例【4】计算500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）分析先用配对的方法计算11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29 11 13 15 1719 21 23 2527 2911＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29＝（11＋29）＋（13＋27）＋（15＋25）＋（17＋23）＋（19＋21）＝40×5＝200解 500－（11＋13＋15＋17＋19＋21＋23＋25＋27＋29）＝500－200＝300例【5】有一垛电线杆叠堆在一起，一共有20层.第1层有12根，第2层有13根……下面每层比上层多一根（如下图）.这一垛电线杆共有多少根？20层...………………分析因为这堆电线杆从第2层起，每层比上面一层多一根，共有20层，所以，这垛电线杆的总数为：12＋13＋14＋……＋29＋30＋31＝（12＋31）×20÷2＝43×20÷2＝430（注：20÷2表示一共配成的对数，即和数为43的有20÷2对）小结用配对方法求和，实质上是变加法（连加）为乘法.要正确、合理地运用这种方法，首先必须弄清应当怎样把一串数进行合理的配对.有时，一串数的个数不是双数，就不能刚好配对，还留下一个数，要弄清这个数是几；有时，一串数虽然个数是双数，但为了计算简便，往往把其中两个或者几个数放在一旁，将其余数配对，使每对中两数的和恰好是整十或整百数.。

第八讲配对求和内容提要德国数学家卡尔·弗里得利希·高斯在很小的时候，就表现出非凡的数学才能。

在他只有10岁还是一个小学生的时候，一次算术课上，老师出了一个题目：１＋２＋３＋４＋５＋……＋100等于多少？老师刚把题目说完，小卡尔就举起了小手，很快地答道：这100个数的和是5050．小卡尔这么快就得出结果，同学们都带着惊讶与怀疑的目光看着他，只有老师心中明白，这个答案是对的。

小卡尔是怎样算出来的呢？为什么算得这么快？原来他用了一种非常巧妙的方法。

这种巧妙的方法就是配对求和。

下面我们就来介绍这种求和的方法。

典例评析例１：计算：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10分析：当加数个数较少的时候，可以用依次相加的方法进行计算。

可是，当我们遇到数的个数比较多的时候，就应该考虑该如何计算才能既简单，速度又快！算式中一共有10个数，我们把它们分为５组，第一个数和最后一个数为一组，第二个数和倒数第二个数为一组，依次类推。

即：每一组两个数的和都是11，求它们的和就等于求５个11是多少，即和是：（1＋10）＋（２＋９）＋（３＋８）＋（４＋７）＋（５＋６）＝11×5＝55，这就是两两配对求和。

当然，在配对时，方法不是唯一的。

还可以这样也配对：上面的是用凑10法配对，即：（１＋９）＋（２＋８）＋（３＋７）＋（４＋６），每对的和是10，共配成了４个10。

求这10个数的和是10×４＋10＋5＝55。

这道题的计算还可以这样来理解：列出两组１～10这10个数，使它们的顺序相反，把竖着的两个数配成１对，共有10对，且每对的和都相等，都等于11。

１２３４５６７８９10 １０９８７６５４３２１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１１这样就得到了10个11，它是２个１～10的和，所以，要求１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10，只要将10个11的和除以２就行了。

解：方法一：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝（１＋10）＋（２＋９）＋（３＋８）＋（４＋７）＋（５＋６）＝11×５＝55方法二：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10＝（１＋９）＋（２＋８）＋（３＋７）＋（４＋６）＋10＋５＝10×５＋５＝55方法三：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋10＝【（１＋10）＋（２＋９）＋（３＋８）＋（４＋７）＋（５＋６）＋（６＋５）＋（７＋４）＋（８＋３）＋（９＋２）＋（10＋１）】÷２＝11×10÷２＝110÷２＝55说明一列差相等的数求和，计算中简洁而快速的方法是将这列数的最大数与最小数配成一对，第二个小的数与倒数第二个大的数配成一对，依次类推，分成若干对，每对的和都相等。