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矩阵论第二章-3

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§3.不变因子与行列式因子、初等因子一、行列式因子二、初等因子、初等因子组三、练习解答及提示12一、行列式因子例11222()−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠A λλλλ 定义 称 的所有非零k 级子式的首一的最高公因式为 的k 级行列式因子, 记作()A λ().k D λ()m n A λ×1()1D λ=23()(1)(2)D λλλ=−−()21D λλ=−()1,2,,()k R A λ=⋯3()(),m n m n rankA rankB λλ××=()()A B λλ且与有相同的各级行列式因子.互换两行（列）、用非零数乘某行（列）的初等变换，各级子式至多差一个非零的常数因子，即这两类初等变换不改变行列式因子。

证明""⇒()()()A B A λλλ∼设，即可经有限 定理定理11 同型矩阵 与 等价()A λ()B λ⇔().B λ次初等变换变成()()()().r A r B λλ=显然有4()A λ()1A λ~()ijr rϕλ+ 若用 乘 的第j 行再加到第i 行，即()ϕλ()A λ则： 的不含第i 行元素的 k 级子式与 的相应子式显然相等.1()A λ()A λ 的同时含有第 i 行和第 j 行元素的 k 级子式与 的相应子式显然也相等.1()A λ()A λ5的只含有第 i 行不含第 j 行元素的 k 级子式可表为1()A λ12()()(),k k λϕλλ+12()()k k λλ其中和都是1()()()A k A A k λλλ的级子式,因此与有相同的级行列式因子。

综上分析，三类初等变换均不改变矩阵的行列式因子。

6⇐设rankA rankB rλλ==,且具有各级相同的行列式因子 , 12(),(),()rD D D λλλ⋯根据行列式按行（列）展开定理可知()| (), ,,k 1kD D k 12rλλ−=⋯记A λ的Smith 标准形为()00ArAS S λλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠B λ的Smith 标准形为()00B r B S S λλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠7()12()(),(),()AAAAr r S diag d d d λλλλ=⋯()12()(),(),()BBBBr r S diag d d d λλλλ=⋯AA S λλ∵由必要性的证明可知A λ与AS λ有相同的各阶行列式因子.由AS λ的各级行列式因子知A λ的各级行列式因子为:811()(),AAD d λλ=111222()()()()(),,()()()().rBBBBBBABBr r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ===⋯⋯类似地122()()(),,AAAD d d λλλ=⋯2()()()().rAAAArrD d d d λλλλ=⋯9由定理条件知() B()()1,2,,Ai i D D i r λλ==⇒⋯ ()B ()()1,2,,Ai i d d i r λλ==⋯从而)A λ与()B λ有相同的Smith 标准形,于是B λλ()~().注：(1) 行列式因子与不变因子的关系:211211()()()(),(),,()(())rr r D D d D d d D D λλλλλλλλ−===⋯10(2) ×m nA λ的Smith 标准形是唯一的.因()A λ的各级行列式因子由()A λ唯一决定,从而不变因子()id λ也由()A λ唯一决定,可知Smith 标准形是唯一的.11例2: 求1211()11n n a a A a a λλλλλ−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋱⋱⋮的Smith 标准形.解：()11,2,,1,D k n k λ==−⋯显然又对于都存在级子式101det (1)011kλλλ−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=−≠⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋯⋯⋯⋮⋱⋱⋱⋮⋯⋯12所以()1n D λ−=,从而()()1n D D λλ−===⋯()()det n D A λλ=又 12123n nr r r rλλλ−++++⋯12100111n a a aϕλλλλ−−−−+⋯⋯⋯⋯⋱⋱⋱⋮（）12121()nn n n na a a a ϕλλλλλ−−−=+++++⋯这里1211()11n n a a A a a λλλλλ−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋱⋱⋮13从而A λ的Smith 标准形为根据不变因子与行列式因子的关系112()()()1,()()n n d d d D λλλλϕλ−=====⋯()~(1,1,,1,())A diag λϕλ⋯按第一行展开得1111()()()()()n n nD λϕλϕλ+−=−−=12100111n a a a ϕλλλλ−−−−+⋯⋯⋯⋯⋮⋱⋱⋱（）12121()nn n n na a a a ϕλλλλλ−−−=+++++⋯14定义 设m nrankA r λ×=，其不变因子为(),d λ1(),,(),(),().ri id d d d λλλλ−⋯11111212121121212(()())()()()()()()()()()()()()jtiji i itrjrtr r k k k k j t k k k k i j t k k k kr j t d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎧=−−−−⎪⎪⎪=−−−−⎨⎪⎪⎪−=−−−⎩⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯二、初等因子、初等因子组,1,(,,1,,),,1,, 1.i j s j s j i j i j t k k s r λλ+≠≠=≤=−⋯⋯其中,15则称这×个因式中所有指数>ijk 的因式)ijk jλλ−为A λ的初等因子,而()A λ的全部初等因子（重复的按重数计）全体称为()A λ的初等因子组。

把初等因子(),(),,()mjm jrj k k k jjjλλλλλλ+−−−⋯,)110,,0,0mjrj jm j k k k k −>>===⋯⋯称作与)jλλ−相当的初等因子.16例3 4阶方阵的不变因子为:()()()()()()22221,1,11,111λλλλλλ−−+−++求其初等因子组.解所有不同的初等因子为:()()()()()2221,1,1,,i i λλλλλ−−++−初等因子组为:()()()()()()()22221,1,1,1,1,,.i i λλλλλλλ−−−+++−17定理定理22 ()()m nm nB A λλ××⇔∼⎧⎨⎩()()m nm nrankA rankB λλ××= 与 有相同的初等因子组.()A λ()B λ⇒设××m nm nA B λλ证明证明::由定理1知,××=m nm nrankA rankB λλ且有相同的各级行列式因子,从而有相同的不变因子,由初等因子组的定义知有相同的初等因子组.18设""⇐⎧⎨⎩()()m nm nrankA rankB λλ××= 与 有相同的初等因子组.()A λ()B λ把与)jλλ−相当的初等因子按降幂排成个,这些初等因子不足个时用常数1填满,可构造不变因子)()1,,r d d λλ⋯（且唯一）,它们既是()A λ的不变因子,又是)B λ的不变因子,于是()A λ与()B λ有相同的不变因子及相同的秩.()~()××m n m n A B λλ从而 ..19(1))m n A λ×与m nB λ×有相同的各级行列式因子或相同的不变因子rankA rankB λλ⇒=()().但是 ()m nA λ×与()m nB λ×有相同的初等因子组>()()=rankA rankB λλ注:例40(1)(2)()00A λλλ++⎞⎛=⎜⎟⎝⎠10()0(1)(2)B λλλ⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠有相同的初等因子组 , 但()()1,2λλ++()()1,2rankA rankB λλ==20(2(2)))()()()()11(),,,,,s sA diag A A A x A λλλλ=⋯⋯的全部初等因子组构成()A λ的初等因子组.证明略1222()0100()0()010(1)A A A λλλλλλλ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⎝⎠∼∼例5 ();1A λλ的初等因子组：()2-),(+)A i i λλλ的初等因子组：(()-),(+)A i i λλλλ的初等因子组：,(211.)()B A λλ~2.)A λ与)B λ有相同的各级行列式因子;3.)A λ与)B λ有相同的不变因子;4.)A λ与)B λ有相同的Smith 标准形; 定理定理33 设 均为 矩阵，则以下6个命题等价:()()A B λλ与m n ×5.)A λ与)B λ有相同的秩与相同的初等因子组;6.存在m 阶单模态阵 和n 阶单模态阵 使 ()P λ()Q λ()()()()P A Q B λλλλ=22例6 求矩阵350361A ⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦的特征方阵E A λ−的行列式因子、不变因子、初等因子组和Smith 标准形. 解：350~~010361001E A λλλλλλλ−−+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−=+−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⋯E A λ的行列式因子为11,,()()D D λλλ==−321()()()D λλλ=+−不变因子为1112,,()()()()()d d d λλλλλλ==−=−+初等因子组为,,+−−λλλ23231112()()()()()()d S d d λλλλλλλ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−+⎝⎠的Smith标准形为 E A λ−24例7 求12100n n n a b a A bb a ×−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜−⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋱⋮⋱⋱(其中 )的特征方阵 的不变因子及初等因子组.121,0n b b b −≠⋯E A λ−25解 12100n a b a E A bb a λλλλ−−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋱⋮⋱⋱显然1,()()()()n n n D D D a λλλλ−====−⋯于是不变因子为1,()()()()nn n d d d a λλλλ−====−⋯26初等因子组为naλ−称11⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋱⋱⋱a aa 为下Jordan 方阵27更一般地，对2⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋱s A AA A ，若12,,,sA A A ⋯是下Jordan 块，则称A为Jordan 标准形.11i ii i i n nA λλ×⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⋱⋱⋱ 的特征方阵的初等因子组为 1,,()()sn nsλλλλ−−⋯。

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矩阵论课本2

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第三章 矩阵分解把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的。

因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。

本章将分别介绍矩阵的五种分解：三角分解、QR 分解、满秩分解、谱分解和奇异值分解，并简单介绍了矩阵的正则性。

§3.1 矩阵的三角分解三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积。

定义3.1.1 设n n A C ⨯∈，如果存在下三角矩阵n n L C ⨯∈和上三角矩阵n n R C ⨯∈，使得A LR =，则称A 可以作三角分解。

定理 3.1.1 设n n n A C ⨯∈，则A 可以作三角分解的充分必要条件是0k ∆≠(1,2,,1)k n =-，其中det k k A ∆=为A 的k 阶顺序主子式，而k A 为A 的k 阶顺序主子阵。

证明：必要性。

已知A 可以作三角分解，即A LR =，其中()ij n nL l ⨯=(0,)ij l i j =<，()ij n nR r ⨯=(0,)ij r i j =>。

将A ，L 和R 进行分块，得12122122212222kkkA A L O R R A A L L O R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 这里k A ，k L 和k R 分别是A ，L 和R 的k 阶顺序主子阵，且k L 和k R 分别是上三角矩阵和下三角矩阵。

由矩阵的分块乘法运算，得k k k A L R = (1,2,,)k n =，由于1111det det det 0nn nn A L R l l r r ==≠，所以1111det det det 0(1,2,1)k k k kkk kk A L R l l r r k n ∆===≠=-充分性。

矩阵论第二章

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基变换与坐标变换
向量在不同基下的表示坐标的关系
n维列向量空间Rn(或Cn)的向量与坐标的关系
例:对于n维列向量空间Rn(或Cn)的存在一个基{ei,i=1,2,…,n}, 其中ei的第i个分量为1，其余分量为0；这个基称为Rn(或Cn) 的自然基。在自然基下，Rn(或Cn)中的任意向量x和它在自 然基下的表示坐标是完全一致的。即
思考
上面的例子告诉我们： 线性空间中定义的向量加法和数乘其实可以有很多种，形式 可以多种多样。 这样一方面说明定义的线性空间可以包括很多的内容，但不 同形式的定义又为我们研究带来困难，所以下面就是要围绕 这个问题给出答案。
线性空间中，向量的关系： 线性相关：若存在一组不全为零的数c1,c2,…,cm,使得 c1x1+c2x2+…+cmxm=0 则称向量组x1,x2,…,xm线性相关，否则为线性无关。
定义一个矩阵有几种方式:
1.可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵;
2. 可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。 如：对称矩阵可以定义为：aij=aji 可以定义为: (x, Ay)=(Ax,y),
可以定义为： Ax=f(x), 其中f(x)=xTAx/2,即它对向量x 的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
定理1.2 说明虽然n维线性空间有无穷多，但是从代数的角度我们仅 仅研究n维实(或复)向量空间就足够了。
例如：前面介绍次数不超过n1的多项式全体按照通常的多项式加法 和 数 乘 构 成 一 个 线 性 的 多 项 式 函 数 空 间 Pn ， 选 择 Pn 的 一 个 基 x1=1,x2=x,x3=x2,…,xn=xn1, 则任意次数不超过 n1 的多项式 f(x) = a0xn1+a1xn2+…+an2x+an1 = (1,x,x2,…,)( an1, an2,…, a0)T 这样( an1, an2,…, a0)T就是多项式f(x)在基x1,x2,…,xn的坐标。显然我 们可以看成将f(x)映射为( an1, an2,…, a0)T，这时明显可见映射为线 性的，即若 : f(x) ( an1, an2,…, a0)T : g(x) ( bn1, bn2,…, b0)T 则 : f(x)+g(x) (a +b , a +b ,…, a +b )T
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0
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量。 定理1： [cauchy—schwarz不等式]对于内积 空间中任意向量 , ，有 ( , )
(3)
并且， 等号成立的 , 线性相关。
9°（三角不等式）对 向量 , ，有

定义4：设 V 是数域 F上的线性空间， 如果在V 上还定义了一种叫内积的运算：对于V 中任意 向量 , 都有 F 中唯一的数 x 与之对应， 记为
, x， 并且这种内积运算还具有如下性质：
对于任意的 , , V
1) , ,
及任意的 k F
有：
2) k , k , 4) 当 0时, , 0
3) , , ,
此时称 V 为一个内积空间。
n C 对于复数域上的线性空间 ， 若规定向量 例1：
a1 , a2 ,, an
1 1 , 2
( 2 , 1 ) 1 2 , [设 2 k1 2 , ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) k ( 1 , 1 )
因 ( 2 , 1 ) 0
]，
3
( 3 , 1 ) ( , ) 1 3 2 2 3，…, ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定理3： 欧氏空间在一组基下的度量矩阵都 是正定矩阵。
, 证明：设 V 是 n 维欧氏空间，
1 2
,, n
是 V 的一
A 是该基下的度量矩阵。 的一组基， 为证明实对
称矩阵 A 正定， 只须证明实二次型 x
1 1 2 2 n n
T
Ax 正定，
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Chapter 2 Linear Mapping and Transformations, Eigenvectors and Eigenvalues
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Chapter 2 Linear Mapping and Transformations, Eigenvectors and Eigenvalues Linear Mapping, Linear Transformation and Matrix Representation Change of Representing Matrix and Similarity Unitary (Orthogonal) Transformations Isomorphism Eigenvalue and Eigenvector Diagonalization
Chapter 2 Linear Mapping and Transformations, Eigenvectors and Eigenvalues Linear Mapping, Linear Transformation and Matrix Representation
Actually, A’s j −th column is constructed by the coordinate of A(εj ), a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= ··· ··· ··· ·×n is named the matrix representation of linear mapping A with respect to bases ε1 , ε2 , · · · , εn and η1 , η2 , · · · , ηm .
Theorem 2.1.1 If A ∈ L(V1 , V2 ), then the following statements hold.