![CHP3[1].2 随机向量随机变量的独立性(新)](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/6580af30eefdc8d376ee32ae.webp)
随机变量的独立性事件A 与B 独立的定义是：若)()()PAB P A P B =则称事件A 与B 相互独立 。
借助于两个随机事件的相互独立的概念，引入随机变量的相互独立一、随机变量相互独立的概念1、定义{,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤⋅≤,则称随机变量,X Y 相互独立. 说明（1）X Y 如果随机变量与相互独立，则由 ()()(),X Y F x y F x F y =可知二维随机变量(),X Y 的联合分布函数(),F x y 可由其边缘分布函数()X F x ，()Y F y 唯一确定（2）X Y 随机变量与相互独立，实际上是指：对任意的x y ，,随机事件{}X x ≤与{}Y y ≤相互独立.二、离散型随机变量的相互独立的充要条件 如果(,)X Y 是二维离散型随机变量，其概率分布及边缘概率分布分别为{}ij i j p P X x Y y ===，,{}i i p P X x ⋅==()12i =，，{}j j p P Y y ⋅==()12j =，，,则随机变量X 和Y 相互独立的充分必要条件是：对(,)X Y 的所有可能取值(,)i j x y 均有{}{}{}i j i j P X x Y y P X x P Y y ====⋅=，,,1,2,i j =即.ij i j p p p =,,1,2,i j =例1：设二维随机变量(,)X Y 的联合概率分布为解：X Y 由表，可得随机变量与的边缘分布律为 由{}1129P X Y ===，{}{}12P X P Y ===1139α⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭29α=得 又由{}11318P X Y ===，{}{}13P X P Y ===11318β⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2199αβ==而当，时，联合概率分布,边缘概率分布为 三、连续型随机变量相互独立的充要条件 如果()X Y ，是二维连续型随机变量，其概率密度函数(,)f x y 及边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y 在xoy 面上除个别点及个别曲线外均连续时，随机变量X 和Y 相互独立的充分必要条件是：在(,)f x y ,()X f x ,()Y f y 的连续点处都有例2:设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-.,0;0,),(其它y x e y x f y 求(1)X 与Y 的边缘概率密度, (2)判断X 与Y 是否相互独立; 解 (1) ,),()(⎰+∞∞-=dy y x f x f X ,+∞<<-∞x 当0≤x 时，,0)(=x f X当0>x 时，,)(x x y X e dy e x f -+∞-==⎰ 所以,0,00,)(⎩⎨⎧≤>=-x x e x f x X 类似可得.0,00,)(⎩⎨⎧≤>=-y y ye y f y Y 由于当y x <<0时, ),()()(y x f y f x f Y X ≠⋅, 故X 与Y 不相互独立.。
