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高等数学(下册)第八章：三重积分

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高等数学《三重积分》课件

高等数学《三重积分》课件


3
注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
13
例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
20
o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
15
f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
三重积分知识点总结

三重积分知识点总结

三重积分知识点总结定义与表示：三重积分是对三重积分的定义是对平面上的二重积分的推广。

设函数f(x, y, z)在空间区域V上有定义，V的边界为S，那么三重积分可以表示为：∭V f(x, y, z) dV。

其中，dV表示体积元素，它等于dxdydz，即三个方向上的微小长度的乘积。

性质：线性性质：被积常数中的常数因子可以提到三重积分号外面；函数的和（或差）的三重积分等于各个函数的三重积分的和或差。

可加性质：如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G 上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

估值性质：设M、m 分别为f(x,y,z)在闭区域G上的最大值和最小值，V为G的体积，则有mV≤≤MV。

计算方法：直角坐标系法：适用于被积区域Ω不含圆形的区域。

具体方法包括先一后二法（投影法）和先二后一法（截面法）。

柱面坐标法：适用被积区域Ω的投影为圆时。

具体方法依具体函数设定。

球面坐标法：适用于处理涉及球形或类似形状的积分区域。

坐标变换：在进行三重积分的计算时，有时需要进行坐标变换，以便简化积分的计算。

常见的坐标变换包括球坐标、柱坐标和直角坐标之间的转化。

应用：物理学：用于计算物体的质量、电荷和能量等物理量的分布。

工程学：用于计算复杂结构的体积和材料用量等。

经济学：用于分析多维经济模型。

求解步骤：确定积分区域和函数。

选择适当的坐标系进行积分。

写出三重积分的表达式。

根据所选坐标系进行坐标变换和简化。

进行积分运算并求解。

综上所述，三重积分是一个涉及多个方面的概念，包括其定义、性质、计算方法、坐标变换以及应用等。

理解和掌握这些知识点对于深入学习和应用三重积分至关重要。

三重积分 ppt课件

三重积分 ppt课件

0
n k 1
f
(
k
,k
,
k
)vk
记作
f (x, y, z)dv

存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
性质: 三重积分的性质与二重积分相似.
ppt课件
3
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二、三重积分的计算
其中 由抛物面
x2 y2 4z 与平面 z h (h 0)所围成 .
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1

2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1

2
(h

2
4
)
d

ppt课件
10
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围成 , f (x, y, z) C( ).
提示:
:
1
y

2

1 2
x
I
2
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
ppt课件
14
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2. 设
计算
提示: 利用对称性
原式 = d x d y x2 y2 1 0
奇函数
ppt课件
因此有
d d r
r d
f (x, y, z)dxdydz
三重积分计算--课件

三重积分计算--课件


化三重积分为三次积分
计算三次积分
z1 ( x, y) z z2 ( x, y) 用平行于z 轴的直线穿Ω
(2) 将三重积分化为三次积分:
dxdy
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
(3) 计算三次积分.
例1 计算三重积分
平面x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
三重积分的计算(一)
回顾:
在求密度分布不均匀几何体质量的过程中， 推导出了三重积分的定义：
d (T ) 0
lim
f ( , ,
k 1 k k
n
k
)Vk f ( x, y, z )dV

三重积分的计算
计算三重积分 I f ( x, y, z )dV 其中:Ω为关于z轴的
1
xy
d
z
z2 ( x, y)
d [
Dxy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]
平面薄片的面 密度

z1 ( x, y)
( x, y )
压缩后平面 薄片的质量
O
y
d
先一后二投影法
x
Dxy
投影法计算三重积分的计算步骤 (1) 用不等式表示积分区域 a xb 将Ω投影到xOy 面得Dxy Dxy : y1 ( x) y y2 ( x) :

1 x 2 y
0
xdz x d x
0
1
0
1 x 2 y
dz
1 (1 x ) 2
1 1 1 2 3 (1 x 2 y )d y ( x 2 x x )d x 4 0 48
三重积分 ppt课件

三重积分 ppt课件


当 0时， 和总趋于确定的极限 I ，
则称此极限I 为函数 f (x,y,z)在区域Ω上的三重积分5 .
被积函数
n
记为

f ( x, y, z)dv
lim 0 i1
f ( xi , yi , zi )vi
积分区域 积分变量
体积元素
PPT课件
注：1、被积函数 f (x,y,z) 在有界闭区域Ω上连续， 则 f (x,y,z) 在Ω上三重积分存在. 2、三重积分与二重积分有类似的性质.
PPT课件
（2）近似 ( xi , yi , zi ) vi (i 1,2, , n)
（3）求和 （4）取极限
作乘积 f ( xi , yi , zi )vi
n
f ( xi , yi , zi )vi
i 1
令为n个小区域中直径最大者，
若对Ω的任意分法， 及点( xi , yi , zi ) 的任意取法
用以上三组曲面分割Ω，得
体积元素为
22
柱面坐标系下三重积分为
PPT课件
如何化为三次积分？ ——投影法 1、求Ω在xoy面的投影区域 ; 2、将 化为极坐标：
3、过 确定
做平行与z轴的射线 ，
4、
23
例6
解 Ω在xoy面的投影区域 ：
化为极坐标：
z
PPT课件
o
y
x
24
例6将三重积分 解
化为柱面坐标下三次积分
6
PPT课件
(1)1dv 的体积
(2)对称性
设关于xoy面对称，分成1与
两部分
2
0
f (x, y,z) f (x, y, z)
三重积分

三重积分


0 ≤ y ≤ 1 x 0≤ x ≤1
1 x y
x
1
1 1 2 ∫∫∫ xdxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ xdz = 2 ∫ x(1 x) dx = 24 0 0 0 0
3 例
化三重积分 I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz为三
2 2 2
次积分， 次积分，其中 积分区域 为由曲面
D( z )
无关时
就是截面的面积，如截面为圆、 就是截面的面积，如截面为圆、椭圆 三角形、正方形等， 、三角形、正方形等，面积较易计算
截面法的一般步骤： 截面法的一般步骤： (1) 把积分区域 向某轴（例如 z 轴）投影，得投 向某轴（ 投影， 影区间[c1 , c2 ]； (2) 对 z ∈ [c1 , c 2 ]用过 z 轴且平行 xoy 平面的平面去 截 ，得截面 Dz ;
1 3
0
0
r
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥 体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标 体或旋转体时， 来计算。 来计算。
ez 2 2 dxdydz, : z = x + y , z = 1, z = 2 例2 ∫∫∫ 2 2 x +y x = r cosθ 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2 y = r sinθ , z=z 当0 ≤ r ≤ 1时 1≤ z ≤ 2
当1 ≤ r ≤ 2时 r ≤ z ≤ 2
2 z 2 2
e ez I = ∫ dθ [∫ dr∫ rdz + ∫ dr∫ rdz] r r 0 0 1 1 r
2π
1
= 2π (e2 e) + 2π ∫ (e2 er )dr = 2πe2
《重积分三重积分》课件

《重积分三重积分》课件


三重积分的性质
线性性质
三重积分满足线性性质，即对于 可分离变量的三重积分，可以将 积分拆分成几个部分分别进行计 算。
区间可加性
三重积分具有区间可加性，即对 于分割的三重积分，其值等于各 个子区间上三重积分的和。
积分中值定理
对于有界闭区域上的连续函数， 存在至少一个点使得三重积分在 该点的值等于被积函数在区域上 的平均值乘以区域的体积。
重积分三重积分
目录 CONTENTS
• 重积分的概念 • 三重积分的概念 • 三重积分的计算方法 • 三重积分的应用 • 三重积分的扩展知识
01
重积分的概念
重积分的定义
定义
重积分是定积分概念的推广，用于计 算多元函数在某个区域上的累积值。
记号
设 $f(x, y, z)$ 是三维空间上的可积函 数，$D$ 是三维区域，则 $f(x, y, z)$ 在 $D$ 上的三重积分用 $intintint_{D}f(x, y, z)dxdydz$ 表示 。
计算流体动力学
在流体力学中，三重积分常用于计算流体在三维空间 中的流动情况，例如流体速度、压力等。
计算热传导
在热力学中，三重积分可以用来计算三维物体中的温 度分布以及热传导情况。
计算结构力学
在结构力学中，三重积分可以用来计算三维结构在不 同载荷下的应力和应变分布。
05
三重积分的扩展知识
重积分与线积分、面积分的关系
质量分布
当 $f(x, y, z)$ 表示物体的密度时，三重积分表 示该物体在区域 $D$ 上的总质量。
3
重心位置
三重积分可以用来计算物体在区域 $D$ 上的重 心位置。
02
三重积分的概念
三重积分的定义
三重积分.ppt

三重积分.ppt


小结: 三重积分的计算方法
方法1. “先一后二”
dxdy z2 (x, y) f (x, y, z)d z
D
z1( x, y)
方法2. “先二后一”
b
a d zDz f (x, y, z)dxdy
方法3. “三次积分”
bd x y2 (x) d y z2 (x, y) f (x, y, z)d z
（也表示体积）
n
作和式 f (i ,i , i )Vi i 1
记作
f (x, y, z)dV
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在 上的三重积分.
dv 称为体积元素, 在直角坐标系下常写作 dxdydz.
三重积分的性质与二重积分相似.
二.三重积分的性质
1. k f (x, y, z)dV k f (x, y,) dV ( k 为常数)
同样也有轮换对称性，如
x2
dV


y 2 dV

z 2 dV

1 3
(x2

y2

z2 )dV
第四节 三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 方法:
方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”)
方法1. 投影法 (“先一后二” )
设区域 :
(
x,
y)

D
:

y1
(
x) a

y x

y2 b
(
x)
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
投影法
b
dx
y2 (x) dy
高等数学(下册) 三重积分要点总结

高等数学(下册) 三重积分要点总结


x 2 y 2 ( z a)2 a 2
围成(或两球相交部分)； （106 页，10 题（1）；124 页，7 题（1，2）） 球锥形： 由球面


f ( x, y , z ) dv
x y ( z a) a
2 2 2
2


f ( x, y , z ) dv
z x2 y2 a


和平面
z ba
围成；（103 页，例 3） 抛物面与平面： 由 xOy 平 面上曲线 y 2 x 绕 x 轴旋转 与平面 x 5 围成； （124 页，
2


f ( x, y , z ) dv
7 题（3）） 球面与抛物面： 由球面
z 2 x y
z xy
围成；（106 页，4 题）
2
三重积分要点总结
3、利用区域对称性和函数奇偶性算三重积分 区域对称性 区域 关于 YOZ 平面对称 区域 关于 XOZ 平面对称 区域 关于 XOY 平面对称 函数奇偶性 被积函数关于 X 变量是奇函数 结论
f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z ) f ( x , y , z ) f ( x, y , z )
比较： 求质量对密度积分； 求质心密度乘 x 积分 （除质量） ， 求惯量密度乘 x 2 平方和积分。
3
x 乘以密度的在物体上积分 ; 对密度的积分 y 乘以密度的在物体上积分 ; y 对密度的积分 z 乘以密度的在物体上积分 ; z 对密度的积分 x
求空间物体转动惯量：
（x 轴乘 x）
高等数学课件D103三重积分

高等数学课件D103三重积分


积分区域：确定积分区域为直角坐标系下的一个区域 积分变量：确定积分变量为x, y, z 积分顺序：确定积分顺序为x, y, z 积分公式：使用直角坐标系下的三重积分公式进行计算 积分结果：计算得到积分结果，并解释其物理意义
柱坐标系下的三重积分定义 柱坐标系下的三重积分计算公式 柱坐标系下的三重积分计算步骤 柱坐标系下的三重积分计算实例
曲面面积：计算曲面的面积
旋转体体积：计算旋转体的 体积 柱体体积：计算柱体的体积
旋转体表面积：计算旋转体 的表面积
空间曲线长度：计算空间曲 线的长度
空间曲面面积：计算空间曲 面的面积
复杂曲面积分：需要理解曲面的性质和积分公式 旋转体体积：需要理解旋转体的性质和体积公式 球面积分：需要理解球面的性质和积分公式 柱面积分：需要理解柱面的性质和积分公式 复杂区域积分：需要理解复杂区域的性质和积分公式 复杂函数积分：需要理解复杂函数的性质和积分公式
计算体积：计算三维空间中的体积 计算表面积：计算三维空间中的表面积 计算质量：计算三维空间中的质量 计算力矩：计算三维空间中的力矩
电流密度：描述电流在三维空间中的分布 磁场强度：描述磁场在三维空间中的分布 积分公式：三重积分公式用于计算磁场强度 应用实例：计算空间分布电流的磁场强度，如电磁铁、电磁波等
电场和磁场的能量密度：电场和磁场的能量密度可以通过三重积分来计算 电场和磁场的能量密度公式：E=1/2*ε0*E^2，B=μ0*H^2 计算方法：通过三重积分计算电场和磁场的能量密度 应用实例：在电磁学、电磁场理论、电磁波传播等领域有广泛应用
三重积分的值是积 分函数在积分区域 上的积分和
积分区域：三维空间中的有限区域 积分函数：连续函数或可积函数 积分值：实数或无穷大
积分顺序：先对x积分，再对y积分，最 后对z积分
三重积分旋转抛物面

三重积分旋转抛物面

三重积分旋转抛物面三重积分是高等数学中的一个概念，它在数学和物理学中有着广泛的应用。

本文将以三重积分旋转抛物面为主题，介绍三重积分的概念和旋转抛物面的性质。

我们来了解一下三重积分的概念。

三重积分是对三维空间中某一区域内的函数进行积分的一种方法。

与二重积分类似，三重积分可以对立体空间中的函数进行求和。

三重积分的计算需要确定积分区域的边界，并通过积分限来确定求和的范围。

它可以用于计算体积、质量、重心等物理量。

接下来，我们将重点介绍旋转抛物面。

旋转抛物面是由一个二次曲面通过旋转形成的曲面。

它的形状类似于一个形状对称的碗或者钟形。

旋转抛物面在物理学中有着广泛的应用，例如在天文学中描述行星的轨道、在力学中描述物体的运动等。

在三维空间中，我们可以使用三重积分来计算旋转抛物面的体积。

首先，我们需要确定积分区域的边界。

对于一个旋转抛物面，它的边界可以通过旋转曲线的方程来确定。

然后，我们可以通过三重积分来计算旋转抛物面的体积。

具体的计算方法是将旋转抛物面分割成无数个微小的体积元，然后将这些微小的体积元进行求和。

通过不断缩小体积元的大小，我们可以得到旋转抛物面的准确体积。

除了计算体积，三重积分还可以用来计算旋转抛物面的质量和重心。

在物理学中，质量和重心是描述物体性质的重要物理量。

通过将旋转抛物面分割成无数个微小的质量元，我们可以使用三重积分来计算旋转抛物面的质量。

而重心则可以通过三重积分和质量的乘积来计算。

这些计算可以帮助我们更好地理解和研究旋转抛物面的性质和行为。

总结起来，三重积分旋转抛物面是一个有趣且具有实际应用价值的数学概念。

通过对旋转抛物面进行三重积分，我们可以计算出其体积、质量和重心等物理量。

这些计算可以帮助我们深入理解旋转抛物面的性质和行为，为物理学和工程学等领域的研究提供重要的数学工具。

希望通过本文的介绍，读者们对三重积分和旋转抛物面有了更深入的了解。

三重积分-高等数学PPT

dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
y
f ( cos , sin , z)dddz.
17
例1. 计算三重积分 z x 2 y 2 d x d yd z z
其中为由柱面 y 2 x-x2 及平面 z 0 ,
a
z a (a 0) , y 0 所围成半圆柱体.
x 2 y 2 4 z 与平面 z h (h 0) 所围成 .
h
解: 在柱面坐标系下
d xd yd z 1 x2 y2
2 2
d
0
h 0
1
2
d
h
2
d
z
o
x
y
4
2
2
h 0
1
2
(h
2
4
)d
4
[(1
4h) ln(1
4 h)
4 h]
d v d d1d9 z
例3 计算I zdxdydz，其中是球面
6
例1. 计算三重积分 xd xd yd z
z
1
其中为三个坐标面及平面 x 2 y z 1
所围成的闭区域 .
解: xdxdydz
1 2
y
x1
1
1 2
(1
x
)
1 x2 y
xdx dy dz
0
0
0
1
1 2
(1
x
)
xdx (1
x
2
y)d
y
1
1
(x
2x2
x3)d
x
1
0
0
40

三重积分的计算方法

学法教法研究任水平,对公司、对社会也将是一件善事。

一是建立明晰的伦理道德责任。

从目前来看,各种类似“天津港的爆炸案”的案例已经不在少数,每天可能都在上演着,尽管造成这种事故的原因各式各样,有的是自然因素,有的是人为因素,但只要我们细细分析,大多与我们工程师的道德观念崩塌有着或多或少的关系,更有甚者,工程师没有履行职责,尤其是伦理责任没有到位而造成了巨大的损失。

二是建立责任评价和追究机制。

目前,我国的工程师主要是在公司、企业、政府担任一定的职责,在承担责任时往往都是单位,尤其是在追究道德层面的责任,由于责任不清晰,无法认定。

或者根本就没有单独制定这样的评价机制。

对工程师的约束就很少以至于没有,所以,建立公开、公正、公平的工程责任评价和追究机制是非常必要的,从制度机制层面明确工程活动主体的责任,对于社会、对企业或者工程师个人都是大有裨益的。

三是加强伦理教育,提升工程师伦理责任意识。

我们无论大学还是社会,对于工程师的伦理道德教育都不能放松,没有一定的伦理道德教育作为基础,想要工程师们的伦理责任有大幅的提高也是不可能的。

目前,我们的高校在人才培养上,可能注重工程专业技术的培训多,而对于工程师伦理责任的培养却是非常的少,重视程度还不是很够。

所以我们大学应该采取多种措施,加大对工程师伦理道德的培养。

当然,在现实社会中,工程伦理又是实践性和应用性很强的学科,必须结合工程的实际问题,培养出具有生态伦理价值观、思维观和执行力的工程技术人才。

通过以上结合天津港爆炸事件分析,对工程师的伦理责任有了更深层次的认识。

社会的进步和发展离不开工程建设活动,生态文明建设更离不开有效的工程活动,我们的工程师要切实树立增强伦理责任的理念,在工程的设计、施工中既要体现对企业、对公司的经济效益负责,又要体现出对社会、对环境的责任。

参考文献:[1]李世新.谈谈工程伦理学[J].哲学研究,2013(02).[2]张铁山.论阻碍工程师伦理责任发挥的因素及其对策[J].漯河职业技术学院学报,2012(01).[3]何放勋.论工程师的伦理责任[J].湖南工程学院学报,2012(04).[4]胡岩.对工程师伦理责任的探讨[J].中北大学学报(社会科学版),2012(04).三重积分的计算方法张辉李应岐陈春梅(火箭军工程大学理学院陕西西安710025)【摘要】介绍了计算直角坐标下三重积分的六种方法,给出相应的求解思路,并辅以典型例题,旨在使学生对三重积分的计算有更深的理解和掌握。

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解 画积分区域的草图. 采用先对x积分, 再对y、z
积分的方法简单.将V向yOz平面投影 得平面区域 D yz {( y, z ) 0 y z ,0 z 1}, 对任一 ( y, z ) Dyz , x取值为 0 x z 2 y 2 .
1 z
I
1
0

1
0
1 . 36
解题时, 要依据具体的被积函数 f ( x , y , z )
和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.
14
三重积分
例 计算三重积分 I x 3 y 4 cos zdxdydz ,
V ( x , y , z ) 0 x 1, 0 y 1, 0 z . 2
解 由于V是长方体, 三次积分的上、下限 z 都是常数, 故
I
其中V是长方体
V
0
1
x dx y dy 2 cos zdz
3
1

4
0
0
1 1 1 1 4 5 20
O
y
15
x
三重积分
例 化三重积分 I f ( x , y , z )dxdydz 为三次积分,
其中积分区域为由曲面 z x 2 2 y 2 及z 2 x 2 所围成的闭区域. z x2 2 y2 解 由 得交线投影区域 2 2 2 z 2 x z x 2 y
3
三重积分
2. 三重积分存在性 在Ω上是可积的.
(existence)
当f ( x , y , z ) 的三重积分存在性时, 称f ( x , y, z )
连续函数一定可积 3. 三重积分的几何意义 设被积函数 f ( x , y , z ) 1, 则区域V 的体积为
V 1 dv
x yzdv 0

2 2 2 2 8 y y z d v z dv

3
8
三重积分
(4) 若 关于原点对称,
则 f ( x , y , z )dv

0 2 f ( x , y , z )dv
4
f为 x , y , z的奇函数
f为 x , y , z的偶函数

0 2 f ( x , y , z )dv Ω
1
f为z的奇函数 f为z的偶函数
其中1为在xOy坐标面的上半部区域.
5
三重积分
例 设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 1为的z 0部分 则
2 2 x y zdv 0

2 2 y z d v 2 y z dv 0
(2)对z [c1 , c2 ]用过z轴且平行xOy的平面去截 ,
得截面Dz ; (红色部分)
(3) 计算二重积分 f ( x , y , z )dxdy
Dz
c2
z

z
c1
o
Dz
其结果为z的函数F ( z ); c2 (4) 最后计算单积分 F ( z )dz .
c1
y
19
x
三重积分

D: x y 1 1 x 1 故： 1 x2 y 1 x2 x2 2 y2 z 2 x 2
2 2
z
O
x
y z 2 x2
I dx
1
1
1 x 2
2
1 x
dy
2 x 2
2 2
x 2 y
f ( x , y, z )dz
其中 4 是 的关于原点对称的一半区域.
9
三重积分
二、三重积分的计算
1. 在直角坐标系下计算三重积分 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的 平面的来划分 , 则 vi x j yk zl .
( vi是小长方体). 故直角坐标系下的体积元素为
dv dxdydz
在直角坐标系下三重积分可表为
S2
S2 : z z2 ( x, y),
过点 ( x , y ) D 作直线,
从 z1 穿入, 从 z2 穿出．
b x

z1
S1
z z1 ( x , y )
y y2 ( x )
11
a
O
( x, y)
D
y
y y1 ( x )
三重积分
先将 x , y 看作定值, 将 f ( x , y, z )只看作 z 的函数, 则
D : y1 ( x ) y y2 ( x ), a x b, X－型
得
dx y ( x ) dyz ( x , y ) f ( x , y , z )dz
a
1
f ( x , y , z )dv
b
y2 ( x )
z2 ( x , y )
1
12
三重积分
f ( x , y , z )dv dx
2是 在一,五卦限部分的区域,则
2 x yz dv 0

2 2 y z d v 4 y z dv
2 2

2
7
三重积分
(3) 若域 关于三个坐标面都对称,
则 f ( x , y , z )dv

f同为 x , y , z的奇函数 0 f同为 x , y , z的偶函数 f ( x , y , z ) d v 8 3 其中 3是 在第一卦限部分的区域. 例 设域为 x 2 y 2 z 2 a 2 , 3是 在第一 卦限的部分, 则
即

c2 f ( x , y , z )dv dz f ( x , y , z )dxdy c1 Dz c2 F ( z )dz c1
注 当被积函数仅与变量z有关, 且截面Dz易知时, 用上公式简便.
截面法的公式还有两个. 希自己推
20
三重积分
例 计算三重积分 zdxdydz ,其中为
z z2 y2 1 dz ydy xdx 0 0 z 7 1 z 1 1 y 2 dz [ z y 2 ]dy 0 z 2dz 8 z 02

O
y
18
x
三重积分
截面法(先二后一法)
截面法的一般步骤
(1) 把积分区域向某轴 (如z轴) 投影, 得投影区间 [c1 , c2 ];
dz
0
1 y z
dx
x
(1 y )dy
0
1
1 y
e
(1 y z )2
(1 y z )dz
1 y 1 1 (1 y z )2 2 (1 y )dy e d[(1 y z ) ] 0 0 2 1 54

17
三重积分
先对z积分? xy 例 计算 dxdydz ,其中V为锥面z 2 x 2 y 2 z V 与平面z 1所围成的区域 在第一卦限内的部分 .
2
三重积分
趋于零时这和的极限总存在, 则称此极限为
函数 f ( x , y, z )在闭区域Ω上的三重积分. 记为
f ( x , y , z )dv Ω
0
即
f ( x , y , z )dv lim f ( , , Ω
i 1 i i
n
i
)v i
体积元素
f ( x , y , z )dv f ( x , y , z )dxdydz

10
三重积分
思想是 直角坐标系中将三重积分化为三次积分
投影法 (先一后二法)
如图, 闭区域 在xOy
面上的投影为闭区域D,
S1 : z z1 ( x, y),
z
z2
z z2 ( x , y )
第三节
三重积分
(triple integral)
三重积分的概念 三重积分的计算
小结
思考题
第8 章 重积分
作业
1
三重积分
一、三重积分的概念
1. 三重积分的定义
(define)
① 设f ( x , y, z )是空间有界闭区域Ω上的 有界函数. 将闭区域Ω任意分成n个小闭区域
v1 , v2 ,vn
16
三重积分
例 求I
解
0 dx 0
1
1 x
dz
1 x z
0
(1 y )e
(1 y z )2
dy
z
1
e
y 2 的原函数不是初等函数,
x yz 1
一定要交换积分次序. 应先x对积分
I (1 y )dy
0 1
1
O
1
y

0
1 y
0
e
(1 y z ) 2
V
4
三重积分
(property) 4. f (三重积分的性质 x , y , z ) f ( x , y , z 与二重积分的性质类似 ) ( f ( x , y , z ) f ( x , y ,.z )) 则称f关于变量 z的奇 (偶) 函数. 对称性质 补充三重积分 (1) 若域 关于xOy坐标面对称,则 f ( x , y , z )dv
1 z
0 1
0 1 z
dy
1 y z
1
y
0
dx
x
0

(1 y z )dy

1 1 2 z (1 z ) dz . 0 2 24
zdxdydz
d 0 D
xy
1 x y
zdz
22
三重积分
x2 y2 z2 已知椭球V: 2 2 2 1 内点(x,y,z)处质量 a b c 2 2 2 x y z 的体密度为: 求椭球的质量. , a 2 b2 c 2