高数BC三重积分

第3讲 三重积分的计算一、直角坐标系下三重积分的计算１.先一后二法例1 计算V xdV ⎰⎰⎰，其中V 是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的闭区域. 例2 计算VzdV ⎰⎰⎰,其中{(,,)|0V x y z z =≤≤ 例 3 计算三重积分cos()V y x z dxdydz +⎰⎰⎰,其中V是由抛物柱面y =及平面0,0y z ==及2x z π+=所围区域.2.先二后一法例4 计算sin Vz dxdydz z ⎰⎰⎰,其中V 是由平面,0,0z x y x y =+==及z π=所围成的立体. 例5 已知椭球222222:1x y z V a b c ++≤,其密度222222x y z a b cρ=++,求该椭球体的质量m . 二、柱面坐标下三重积分的计算（适用于有旋转体类型的区域）例1 计算VI zdV =⎰⎰⎰,其中V 是由柱面221x y +=,锥面z =及平面0z =围成的区域. 例2 计算22()V I x y dV =+⎰⎰⎰,其中V 是由曲线220y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得曲面与平面2z =围成的空间区域.三、球面坐标下三重积分的计算（适用于区域含球形的情形）例1 计算2V I x dV =⎰⎰⎰,其中V由曲面z =和z = 0R >围成. 例2 计算222[()()()]V I x y y z z x dxdydz =-+-+-⎰⎰⎰,其中2222{(,,)|}V x y z x y z R =++≤例3 计算V xyzdxdydz ⎰⎰⎰,其中V 为球体2222xy z a ++≤在第一卦限的部分.例4 求抛物面222z x y =+与2262z x y =--所围立体的体积.练习：1、2V I z dV =⎰⎰⎰，222222:1x y z V a b c ++≤ 3415abc π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2、V I =，2222:(1)1,8V x y z x y +-==+及0z =所围。

三重积分的计算与应用积分是高等数学中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

三重积分是对三维空间中的函数进行积分运算的一种方法，它可以用于计算三维体积、质心位置、质量、物理场的通量等问题。

在本文中，我们将介绍三重积分的计算方法以及一些常见的应用。

一、三重积分的计算方法三重积分在直角坐标系中的计算方法可以分为直角坐标系下的直接计算和变量替换法两种。

1. 直接计算直接计算是指根据积分的定义，将积分区域划分为许多小的体积元，然后对每个小体积元进行积分的方法。

在直角坐标系中，三重积分的计算公式为：∬∬∬_V f(x,y,z) dxdydz其中f(x,y,z)为被积函数，V为积分区域，dxdydz表示三维空间中的体积元。

通过将积分区域V划分成小的立方体，求解每个小立方体的体积和函数值的乘积，再将所有小立方体的贡献相加，即可得到三重积分的结果。

2. 变量替换法当被积函数的积分区域V的形状比较复杂时，直接计算的方法可能比较繁琐。

这时可以利用变量替换法来简化计算。

变量替换法是通过引入新的变量替换积分变量，使得积分区域转化为更简单的形式。

常用的变量替换方法包括球坐标系变换、柱坐标系变换和曲线坐标系变换等。

二、三重积分的应用三重积分在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

1. 计算体积三重积分可以用来计算三维空间中各种复杂形体的体积。

通过将被积函数设为1，即可计算出积分区域的体积。

2. 质心位置质心是一个物体的重心位置，对于具有连续分布质量的物体，其质心位置可以通过三重积分来计算。

通过将被积函数分别为x、y、z乘以质量密度，然后对三重积分进行计算，即可得到质心位置的坐标。

3. 质量如果一个物体的质量分布在三维空间中不均匀，可以通过三重积分来计算其质量。

将被积函数设为质量密度，然后对积分区域进行三重积分，即可得到质量的大小。

4. 物理场的通量物理场的通量表示单位时间通过单位面积的物理量。

第三节三重积分一、三重积分的概念二、三重积分的计算一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想, 采用k k k k v ∆),,(ζηξμΩ),,(k k k ζηξkv ∆引例: 设在空间有限闭区域Ω内分布着某种不均匀的物质,,),,(C z y x ∈μ求分布在Ω内的物质的可得∑=nk 1lim →λ=M “大化小, 常代变, 近似和, 求极限”解决方法:质量M .密度函数为定义.设,),,(,),,(Ω∈z y x z y x f kk k nk k v f ∆∑=→),,(lim 10ζηξλ存在,),,(z y x f ⎰⎰⎰Ωvz y x f d ),,(称为体积元素,v d .d d d z y x 若对Ω作任意分割:任意取点则称此极限为函数在Ω上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域Ω上连续,则存在,),,(Ω∈ζηξ使得⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(Vf ),,(ζηξ=V 为Ω的体积,积和式”极限记作二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法(“先一后二”)方法2 . 截面法(“先二后一”) 方法3 . 三次积分法,0),,( z y x f 先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数, 方法:当被积函数在积分域上变号时, 因为),,(z y x f 2),,(),,(z y x f z y x f --),,(1z y x f =),,(2z y x f -非负函数根据重积分性质仍可用下面介绍的方法计算.2),,(),,(z y x f z y x f +=zyabc dz=gz=eNMPzy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=Ω=[a ,b ;c ,d ;e ,g ]I =⎰ge zz y x f d ),,(积分区域是长方体..ΩD同理，也有其它积分顺序⎰⎰Dy x d d ⎰⎰⎰=ged cbazz y x f y x d ),,(d d 1.计算三重积分方法1. 投影法(“先一后二”)zyz 2(x ,y )Ω为图示曲顶柱体I =⎰21),(),(d ),,(y x z y x z zz y x f ⎰⎰Dy x d d PNM..积分区域是曲顶柱体ΩDz 1(x ,y )2.计算三重积分zy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=zyz 2(x ,y )I =D积分区域是曲顶柱体Ω为图示曲顶柱体这就化为一个定积分和一个二重积分的运算z 1(x ,y )2.计算三重积分.zy x z y x f I d d d ),,(⎰⎰⎰Ω=⎰21),(),(d ),,(y x z y x z zz y x f ⎰⎰Dy x d dz =0y = 0x =0yxΩ：平面x = 0, y = 0 , z = 0，x+2y+ z =1 所围成的区域先画图xz y1121D xy是曲顶柱体ΩD xy :x = 0, y = 0, x+2y =1 围成：上顶yx z 21--=：下底z = 0121⎰⎰⎰2--102-101=yx x z y x x d d d 481=...例1. 计算三重积分x + 2y + z =1D xyz y x x I d d d ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰2--10yx z x y x d d d I =Ω：平面y =0 , z =0，3x+y =6,3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域yx6241 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图D xy :y = 0, 3x +y = 6, 3x+2y =12 围成y x z --=6z = 0不画立体图做三重积分D xy ⎰⎰⎰--=yx D zz ,y ,x f y x I xy6 0)d (d d ⎰⎰⎰----=yx y y zz y x f x y 603243260d ),,(d d ..是曲顶柱体Ω：上顶：下底例2.zy x z ,y ,x f I d d d )( Ω⎰⎰⎰=计算66x+y+z=63x+y=62.z yΩ3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域66x+y+z=63x+y=62.zyΩ3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域3x+y=63x+2y=12 x+y+z=6.66zy 42Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域3x+y=63x+2y=12 x+y+z=6.66zy 42Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域z = 0y = 042x+y+z=6.zy66Ω3x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域420zy663x+2y =12 和x+y+z = 6所围成的区域Ω⎰⎰--=y x Dzz ,y ,x f yx I 6 0)d (d d .0yx624D ..⎰⎰⎰----=yx yy zz y x f x y I 6 0324 26 0d ),,(d dyx2πxy = 1 找出上顶、下底及投影区域2 画出投影区域图不画立体图做三重积分D xy :xz -=2πz = 0⎰⎰⎰-=x πD zz ,y ,x f y x I xy2 0)d (d d ⎰⎰⎰-=x πx πzz y x f y x 2 02 0d ),,(d d 围成2=0==πx ,y ,x y 。