高一数学复习考点知识讲解课件§1.4两条直线的交点考点知识1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．导语在平面几何中，我们对直线做了定性研究，引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式，这样我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点，坐标平面内与点、直线相关的距离问题等．一、判断直线的交点及由交点求参数问题点A(－2,2)是否在直线l1：3x＋4y－2＝0和直线l2：2x＋y＋2＝0上，点A和直线l1，l2有什么关系？提示在，点A是l1与l2的交点．知识梳理1．设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0：方程组错误!的解一组无数组无解直线l1，l2的公共点一个无数个零个直线l1，l2的位置关系相交重合平行2.已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P ，则点P 既在直线l 1上，也在直线l 2上．所以点P 的坐标既满足直线l 1的方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，也满足直线l 2的方程A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，即点P 的坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 注意点：(1)虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用．(2)两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.例1(1)(多选)(教材P27例1改编)下列选项中，正确的有() A ．直线l 1：x －y ＋2＝0和l 2：2x ＋y －5＝0的交点坐标为(1,3) B ．直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：2x －4y ＋8＝0的交点坐标为(2,1) C ．直线l 1：2x ＋y ＋2＝0和l 2：y ＝－2x ＋3的交点坐标为(－2,2) D ．直线l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：y ＝x ，l 3：2x ＋y －3＝0两两相交 答案AD解析方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.因此直线l 1和l 2相交，交点坐标为(1,3)，A 正确；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，2x －4y ＋8＝0有无数个解，这表明直线l 1和l 2重合，B 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋2＝0，2x ＋y －3＝0无解，这表明直线l 1和l 2没有公共点，故l 1∥l 2，C 错误；方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，y ＝x 的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，2x ＋y －3＝0的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，2x ＋y －3＝0的解也为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以，三条直线两两相交且交于同一点(1,1)，D 正确．(2)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为() A ．－24B ．24C ．6D ．±6 答案A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －k ＝0，x －ky ＋12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 2－363＋2k ，y ＝k ＋243＋2k，因为直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，所以y ＝k ＋243＋2k＝0，解得k ＝－24. 反思感悟(1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系．(2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必满足第三条直线． 延伸探究若将(1)中选项D 改为“三条直线mx ＋2y ＋7＝0，y ＝14－4x 和2x －3y ＝14相交于一点”，求m 的值．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝14－4x ，2x －3y ＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，所以这两条直线的交点坐标为()4，－2.由题意知点()4，－2在直线mx ＋2y ＋7＝0上，将()4，－2代入，得4m ＋2×()－2＋7＝0，解得m ＝－34.跟踪训练1(1)直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点为() A.()4，3B.()－4，3 C.()－4，－3D.()4，－3 答案B解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，所以交点为()－4，3.(2)若直线l 1：y ＝kx ＋k ＋2与直线l 2：y ＝－2x ＋4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是() A ．k ＞－23B ．k ＜2C ．－23＜k ＜2D ．k ＜－23或k ＞2 答案C解析方法一由题意知，直线l 1过定点P (－1,2)，斜率为k ，直线l 2与x 轴、y 轴分别交于点A (2,0)，B (0,4)，若直线l 1与l 2的交点在第一象限内，则l 1必过线段AB 上的点(不包括A ，B )，因为k P A ＝－23，k PB ＝2，所以－23＜k ＜2.方法二由直线l 1，l 2有交点，得k ≠－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋k ＋2，y ＝－2x ＋4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－k k ＋2，y ＝6k ＋4k ＋2.又交点在第一象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－k k ＋2>0，6k ＋4k ＋2>0，解得－23＜k ＜2.二、求过两直线交点的直线例2求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点， ∴其斜率k ＝2－2＝－1.故直线方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.反思感悟求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下解法：先求出两直线交点，将问题转化为过定点的直线，然后再利用其他条件求解．跟踪训练2求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程． 解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，l 3的斜率为34，∴k l ＝－43， ∴直线l 的方程为y －2＝－43x ， 即4x ＋3y －6＝0.三、过两直线交点的直线系方程 知识梳理1．平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )． 2．垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程为Bx －Ay ＋λ＝0.3．过两条已知直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．例3求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75.又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行， 所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即15x ＋5y ＋16＝0.方法二设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0.(*) 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以有⎩⎪⎨⎪⎧(2＋λ)×1－(λ－3)×3＝0，(2＋λ)×(－1)－(2λ－3)×3≠0，得λ＝112.代入(*)式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋112x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫112－3y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2×112－3＝0，即15x ＋5y ＋16＝0. 延伸探究1．本例中将“3x ＋y －1＝0”改为“x ＋3y －1＝0”，则如何求解？解由例题知直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75，所求直线与x ＋3y －1＝0平行，故斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋75＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35，即5x ＋15y＋24＝0.2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ 解设所求直线方程为(2x －3y －3)＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 即(2＋λ)x ＋(λ－3)y ＋(2λ－3)＝0， 由于所求直线与直线3x ＋y －1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－34， 所以所求直线方程为5x －15y －18＝0. 反思感悟解含参数的直线恒过定点问题的策略(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．跟踪训练3无论m 为何值，直线l ：(m ＋1)x －y －7m －4＝0恒过一定点P ，求点P 的坐标．解∵(m ＋1)x －y －7m －4＝0， ∴m (x －7)＋(x －y －4)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝0，x －y －4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3. ∴点P 的坐标为(7,3)．1．知识清单：(1)方程组的解与直线交点个数的关系． (2)两条直线的交点． (3)直线系过定点问题．2．方法归纳：消元法、直线系法． 3．常见误区：对两直线相交条件认识模糊．1．直线2x ＋y ＋8＝0和直线x ＋y －1＝0的交点坐标是() A ．(－9，－10) B ．(－9,10)C ．(9,10)D ．(9，－10) 答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋8＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝10，故两条直线的交点坐标为(－9,10)．2．不论m 为何实数，直线l ：(m －1)x ＋(2m －3)y ＋m ＝0恒过定点() A ．(－3，－1) B ．(－2，－1) C ．(－3,1) D ．(－2,1) 答案C解析直线l 的方程可化为m (x ＋2y ＋1)－x －3y ＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1， ∴直线l 恒过定点(－3,1)．故选C.3．不论a 取何值时，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过第____象限． 答案四解析方程可化为a (x ＋2y )＋(－3x ＋6)＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，－3x ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∵(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k ＝________.答案－12解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，又该点(－1，－2)也在直线x ＋ky ＝0上，∴－1－2k ＝0，∴k ＝－12. 课时对点练1．两条直线l 1：2x －y －1＝0与l 2：x ＋3y －11＝0的交点坐标为()A ．(3,2)B ．(2,3)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)答案B解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为()A ．12B ．10C ．－8D ．－6答案B解析∵直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)．∴将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0得3×2＋m ×(－1)－1＝0，即m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0得4×2＋3×(－1)－n ＝0，即n ＝5，∴m ＋n ＝10.3．两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，那么k 的值是()A ．－24B ．6C ．±6D ．24答案C解析因为两条直线2x ＋3y －k ＝0和x －ky ＋12＝0的交点在y 轴上，所以设交点为(0，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3b －k ＝0，－kb ＋12＝0，消去b ，可得k ＝±6. 4．△ABC 的三个顶点分别为A (0,3)，B (3,3)，C (2,0)，如果直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，那么实数a 的值等于() A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案A解析l AC ：x 2＋y 3＝1，即3x ＋2y －6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y －6＝0，x ＝a ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ，y ＝6－3a 2，因为S △ABC ＝92，所以12×a ×⎝⎛⎭⎪⎫3－6－3a 2＝94，得a ＝3或a ＝－3(舍去)． 5．过直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且过原点的直线方程为()A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －2y ＝0D ．x ＋2y ＝0答案D解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y ＋1＝0，解得两条直线l 1：x －2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋y ＋1＝0的交点坐标为(－2,1)．所以过点P (－2,1)且过原点(0,0)的直线的斜率k ＝－12.所以所求直线方程为y －0＝－12(x －0)，即x ＋2y ＝0.6．若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是()A ．{θ|0°<θ<60°}B ．{θ|30°<θ<60°}C ．{θ|30°<θ<90°}D ．{θ|60°<θ<90°}答案C解析由题意可知k ≠－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x ＋y －3＝0，解得x ＝3＋31＋k ，y ＝3k －31＋k ， ∴两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3＋31＋k ，3k －31＋k . ∵两直线的交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋31＋k >0，3k －31＋k >0，解得k >33. 又直线l 的倾斜角为θ，则tan θ>33，∴30°<θ<90°.7．直线l 1：3x －y ＋12＝0和l 2：3x ＋2y －6＝0及y 轴所围成的三角形的面积为________． 答案9解析易知三角形的三个顶点坐标分别为(－2,6)，(0,12)，(0,3)，故所求三角形的面积为12×9×2＝9.8．已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋c ＝0垂直相交于点(1，m )，则m ＝______. 答案－2解析由两直线垂直得2a －10＝0，解得a ＝5.又点(1，m )在直线上，所以a ＋2m －1＝0，所以m ＝－2.9．求经过直线l 1：7x －8y －1＝0和l 2：2x ＋17y ＋9＝0的交点，且垂直于直线2x －y ＋7＝0的直线方程．解由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋17y ＋9＝0，7x －8y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1127，y ＝－1327，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1127，－1327. 又因为所求直线斜率为k ＝－12，所以所求直线方程为y ＋1327＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1127， 即27x ＋54y ＋37＝0. 10．若两条直线l 1：y ＝kx ＋2k ＋1和l 2：x ＋2y －4＝0的交点在第四象限，求k 的取值范围．解联立两直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，x ＋2y －4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1， ∵该交点落在平面直角坐标系的第四象限， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1>0，6k ＋12k ＋1<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<k <12，－12<k <－16，即－12<k <－16. 则k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16.11．已知a ，b 满足2a ＋b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13 答案D解析由2a ＋b ＝1，得b ＝1－2a ，代入直线方程ax ＋3y ＋b ＝0中，得ax ＋3y ＋1－2a ＝0，即a (x －2)＋3y ＋1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，3y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－13，所以该直线必过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－13. 12．经过直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________．答案x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0解析设直线方程为3x ＋2y ＋6＋λ(2x ＋5y －7)＝0，即(3＋2λ)x ＋(2＋5λ)y ＋6－7λ＝0.令x ＝0，得y ＝7λ－62＋5λ， 令y ＝0，得x ＝7λ－63＋2λ. 由7λ－62＋5λ＝7λ－63＋2λ， 得λ＝13或λ＝67. 所以直线方程为x ＋y ＋1＝0或3x ＋4y ＝0.13．若三条直线2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，mx ＋ny ＋5＝0相交于同一点，则2m ＋4n ＝______. 答案 －5解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，所以三条直线交点坐标()2，4在直线mx ＋ny ＋5＝0上，2m ＋4n ＋5＝0，所以2m ＋4n ＝－5.14．已知A (－2,4)，B (4,2)，直线l ：ax －y －2＝0与线段AB 恒相交，则a 的取值范围为______________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析如图所示，直线l：ax－y－2＝0经过定点D(0，－2)，a表示直线l的斜率，设线段AB与y轴交于点C，由图形知，当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段CB上时，a大于或等于DB的斜率，即a≥2＋24－0＝1，即a≥1.当直线l：ax－y－2＝0与线段AB的交点在线段AC上时，a小于或等于DA的斜率，即a≤4＋2－2－0＝－3，即a≤－3.综上，a的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分线方程为y＝x＋1，则AC所在直线方程为()A．y＝2x＋4B．y＝12x－3C．x－2y－1＝0D．3x＋y＋1＝0 答案C解析设B 关于直线y ＝x ＋1的对称点为B ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y －2x ＋1＝－1，y ＋22＝x －12＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0，即B ′(1,0)． 又B ′在直线AC 上，则直线AC 的方程为y －10－1＝x －31－3，即x －2y －1＝0.16.如图，已知在△ABC 中，A (－8,2)，AB 边上的中线CE 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，AC 边上的中线BD 所在直线的方程为2x －5y ＋8＝0，求直线BC 的方程．解设B (x 0，y 0)，则AB 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－82，y 0＋22，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0－82＋2(y 0＋2)2－5＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－5y 0＋8＝0，x 0＋2y 0－14＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝6，y 0＝4，即B (6,4)． 同理可求得C 点的坐标为(5,0)． 故所求直线BC 的方程为y －04－0＝x －56－5，即4x －y －20＝0.。
