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《两条直线的交点坐标》ppt课件

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人教版数学1《两条直线的交点坐标》教学(共23张PPT)教育课件

人教版数学1《两条直线的交点坐标》教学(共23张PPT)教育课件

有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
两直线是否有公共点，要看它们的方 程是否有公共解. 因此，只要将两条直线 l1和l2的方程联立，得方程组
4. 如何利用方程判断两直线的位置关系？
两直线是否有公共点，要看它们的方 程是否有公共解. 因此，只要将两条直线 l1和l2的方程联立，得方程组
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1 C2
思维拓展
当变化时， 方程3x＋4y－2＋(2x＋y＋2)＝0
表示什么图形？图形有什么特点？
练习. 1. 教材P.104练习第1、2题.
练习.
1. 教材P.104练习第1、2题.
2. 求经过点(2, 3)且经过以下两条直线的 交点的直线的方程：
l1：x＋3y－4＝0， l2：5x＋2y＋6＝0.
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
场
一

课件2：2.3.1　两条直线的交点坐标 ~2.3.2　两点间的距离公式

课件2：2.3.1　两条直线的交点坐标 ~2.3.2　两点间的距离公式
31
(2)轴对称： ①点 A(a，b)关于直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点 A′(m，n)， 则有mAn－·－a＋ba2×m＋－BAB·b＝＋2－n＋1，C＝0. ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
32
[跟踪训练] 求直线 m：3x－2y－6＝0 关于直线 l：2x－3y＋1＝0 的对称直线 m′ 的方程． 解：在直线 m 上取一点，如 M(2,0)， 则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上．
18
法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23， 则 kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝2 13， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝2 13， ∴|AC|＝|AB|，∴△ABC 是等腰直角三角形．
19
[母题探究] (变设问)本例条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长． 解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点， 所以 x＝3＋2 1＝2，y＝－32＋7＝2，即点 M 的坐标为(2,2)． 由两点间的距离公式得|AM|＝ －3－22＋1－22＝ 26， 所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.
并求|PA|的值． 解：设点 P 的坐标为(x,0)，则有
|PA|＝ x＋32＋0－42＝ x2＋6x＋25，
|PB|＝ x－22＋0－ 32＝ x2－4x＋7.
由|PA|＝|PB|，得 x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得 x＝－95.
故所求点 P 的坐标为－95，0.|PA|＝
－95＋32＋0－42＝2
则点(－1，－2)必在所求直线上，∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，C＝8.
∴所求直线方程为 2x＋3y＋8＝0. [答案] (1)B (2)D

两条直线的交点坐标(上课课件)

两条直线的交点坐标(上课课件)

人A数学选择性必修第一册
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1.已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝ 0，试求m为何值时，l1与l2：(1)重合；(2)平行；(3)垂直；(4)相交． 解析：当 l1∥l2(或重合)时： A1B2－A2B1＝1×3－(m－2)·m＝0，解得 m＝3，或 m＝－1. (1)当 m＝3 时，l1：x＋3y＋6＝0，l2：x＋3y＋6＝0，所以 l1 与 l2 重合． (2)当 m＝－1 时，l1：x－y＋6＝0，l2：－3x＋3y－2＝0，所以 l1∥l2. (3)当 l1⊥l2 时，A1A2＋B1B2＝0，m－2＋3m＝0，即 m＝12.
人A数学选择性必修第一册
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4．要理解掌握两直线位置关系与两直线方程的系数的关系，即：
l1 与
l2 平行⇔kb11＝≠kb22，
(斜率
k
存
在
)
⇔
A1 A2
＝
B1 B2
≠
C1 C2
(A2B2C2≠0)
⇔
AB11BC22＝≠AB22BC11，；
l1 与
l2 重合⇔kb11＝＝kb22，
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2.分别求过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交 点且与直线l：2x＋3y＝0垂直、平行的直线．
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相交直线系
过直线A1x＋B1y＋C1＝0(其中A1，B1不同时为0)与直线A2x＋B2y＋C2＝ 0(其中A2，B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋ B2y＋C2)＝0(其中λ为任意实数)．
[例1] 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0. 分析：联立方程组，由解的情况确定两直线的位置关系；若方程组有 唯一解，此解就是交点坐标．

两条直线的交点(特色班)-PPT课件

两条直线的交点(特色班)-PPT课件

练习.观察下列两条直线方程的
系数，并判断它们的交点情况
1)m:3x+2y-6=0 n:6x+4y-15=0
2)m:3x-2y-7=0 n:6x-4y-14=0
1)平行，无交点
2)重合， 有无数个交点
其它情形：
两条直线平行和重合时应满足的条件
设 m : A1x B1y C1 0; n : A2x B2y C2 0
(1)直线m // n
方程组
A1x A2 x
B1y C1 0 无解 B2 y C2 0
此时，系数之间的关系是________
(2)直线m和n重合
方程组
A1x A2 x
B1y C1 0 B2 y C2 0
有无数组解
此时，系数之间的关系是________
结论：
直线位置关系与方程组的解个数
3.3.1 两条直线的交点
教学目标：
1.理解求两条直线交点的方法思想， 即解方程组的转化思想；
2.能正确地通过解方程组确定点坐标； 3.通过求交点坐标判断两条直线的位置关系.
复习
1.方程Ax+By+C=0.(A,B不全为0)
在平面直角坐标系上表示的图形
是:_一___条__直__线______.
共有两个交点，则a=_-_1_或_2_/3
9.已知直线y kx 3与直线y 1 x 5 k
的交点在直线y x上，求k的值 K=5/3
10.已知 a (0, 2) ，直线ax-2y-2a+4=0, 和直线 2x (a2 1) y 2a2 2 0
与两坐标轴围成一个四边形，求使此四边形 的面积最小时a的取值 a=1/2
位置关系 交点个数
解的个数

直线的交点坐标与距离公式课件PPT

直线的交点坐标与距离公式课件PPT

解:（1）
解方程组
x y 3x 3y
0， 10
0，得
x y
5， 3 5. 3
所以l1与l2相交，交点坐标为
(5 , 5). 33
（2）解方程组
3x y 4 0, 6x 2 y 1 0,
① ②
方法一： ① 2 ② 得 9 0, 矛盾，
方程组无解，所以两直线无公共点，故 l1, l2 平行.
x
质得点C的坐标为(ａ+ｂ，ｃ).
因为
AB 2 a2 CD 2 , AD 2 b2 c2 BC 2 ，
AC 2 (a b)2 c2, BD 2 (b a)2 c2，
所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 2(a2 b2 c2 )，
AC 2 BD 2 2(a2 b2 c2 )， 所以 AB 2 CD 2 AD 2 BC 2 AC 2 BD 2 . 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对 角线的平方和.
2 3
.
l2 : x ( 2 1) y 2.
答案：(1) 相交， (2) 相交， (3) 平行.
4.求下列两点间的距离：
(1)A(6,0),B(-2,0). (2)C(0,-4),D(0,-1). (3)P(6,0),Q(0,-2). (4)M(2,1),N(5,-1).
答案：(1)8
(3)2 10
1.若直线l1:y=kx+k+2与l2:y=-2x+4的交点在第
一象限，则实数k的取值范围是 ( C )
A.k＞ 2
3
C. 2＜k＜2
3
B.k＜2 D.k＜ 2 或k＞2
3
2.求下列各对直线的交点坐标，并画出图形：
(1)l1 :2x +3y = 12, (2)l1 :x = 2,

《两条直线的交点坐标》教学课件(15张PPT)

《两条直线的交点坐标》教学课件(15张PPT)
同一直角坐标系中的两条直线l1：A1x+B1y+C1 =0, l2:A2x+B2y+C2=0有几种位置关系？ l1 l2 l1 l2 如何用代数的方 l2 法来判断这两条直线 ？ l1和l2平行的位置关系呢 l1和l2重合 l1
l1和l2相交
下面的表格中，你能用代数表示表示出左边 的几何元素及关系吗？ 几何元素及关系 点A 直线l1 点A在l1直线上 直线l1与l2的交 点是A 代数表示 A（ a， b ） l1：A1x+B1y+C1=0
解:（3）将方程变形后，解方程组
( 2 -1)x+y-3=0 x+( 2 +1)y-2=0
得出方程组无解.
所以直线l1与l2没有公共点，即直线l1与l２平行.
光线从M(-2，3)射到x轴上的一点P(1，0)后 被x轴反射，求反射光线所在的直线方程. y M
o P
x
解:（1）将方程变形后，解方程组
17 x= 2x-3y-7=0 得： 16 13 4x+2y-1=0 y= 8 13 17 所以l1与l2相交， 交点坐标为（ ， 8 ）. 16
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交Байду номын сангаас的坐标 （1）l1:2x-3y=7， l2:4x+2y=1 + 2 （2）l1:2x-6y+4=0， l2:y= x 3 3 （3）l1:( 2 -1)x+y=３， l2:x+( 2 +1)y=2
判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求 出交点的坐标 （1）l1:x-y=0， l2:3x+3y-10=10 （2）l1:3x-y+4=0， l2:6x-2y-1=0 （3）l1:3x+4y-5=0， l2:6x+8y-10=10 3x-y+4=0 解:（2）解方程组 6x-2y-1=0

两条直线的交点坐标ppt课件

两条直线的交点坐标ppt课件
A.(2,2)
B.(1,1)
C.(1,2)
D. (2,1)
练习3.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),
则m+n的值为 ( B
A.12
B.10
)
C.-8
D.-6
练习4.经过两直线l1:2x-y+3=0与l2:x+2y-1=0的交点,
且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是 ( D
.
练习9.无论实数k取何值,直线kx+y+2=0都过定点,则该定点
的坐标为 ( A )
A.(0,-2)
B.(0,2)
C.(2,0)
D.(-2,0)
练习10.已知直线x+ky-2-3k=0恒过定点Q,Q点在直线l上,则l
的方程可以是 ( B )
A.x+y-4=0
C.3x+y-8=0
B.2x-y-1=0
Ax0+By0+C=0
问题3：两条直线l1：x+y+2=0，l2：x-y-4=0相交，
它们的交点坐标怎么求？
点P既在直线l1上，也在直线l2上.
点P的坐标既满足直线l1的方程，也满足直线l2的方程.
+ + 2 = 0，
= 1，
解：联立{
解得{
.
= −3，
− − 4 = 0，
平行于直线x-2y+4=0,则直线l的方程为(
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x-y+2=0
D.2x+y-2=0
B)
练习8.已知直线l经过两条直线l1:x+2y-6=0和l2:2x-y+3=0的交点.

新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学直线的交点坐标与距离公式：两条直线的交点坐标pptx课件新人教A版选择性必修第一册
l1∥l2
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学

两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件

两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件

两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
要点 两条直线的交点 (1)已知两条直线的方程分别是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，当方程组 AA12xx＋ ＋BB12yy＋ ＋CC12＝ ＝00，有唯一解时，l1 与 l2 相交；有无穷多个解时，说明直线 l1 与 l2 重合；当方程组无解 时，l1 与 l2 平行．
②类似地，有 l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(4)①设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则 |P1P2|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. ②原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|＝ x2＋y2.
如何设直线系方程？
答：(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋ m＝0(m≠C)；
(2)经过两直线交点的直线系方程：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
(3)已知 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 与 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 ①A1B2－A2B1≠0⇔l1 与 l2 相交；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1 ≠0⇔l1∥l2；A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1＝0⇔l1 与 l2 重合．
题型三 两点间的距离公式的应用
例 3 求函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的最小值． 【思路分析】 常规方法显然行不通，只有进行转化！根据结 构联想距离．
【 解 析 】 原 式 可 化 为 y ＝ （x－4）2＋（0－2）2 ＋ （x－0）2＋（0－1）2 ，考虑 两点间 的距 离 公式形 式得三点 A(4，2)，B(0，1)，P(x，0)，则上述问题转化为：在 x 轴上求一 点 P(x，0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点 A(4，2)关于 x 轴的对称点 A′(4，－2)，可知|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB| 的最小值为|A′B|的长度．由两点间的距离公式，得|A′B|＝ 42＋（－2－1）2＝5，所以，函数 y＝ x2－8x＋20＋ x2＋1的 最小值为 5.

两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件

两条直线的交点坐标、两点间的距离公式 课件

命题方向1 ⇨两直线的交点问题
判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
[思路分析] 题中给出了两条直线的方程，要判断它们的位置关系，只需看它们组成的方程组的解 的个数．
(3)若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，解得a＝1， 当a＝1，l2与l3重合． (4)若l1∥l3，则a×1－1×1＝0得a＝1， 当a＝1时，l1与l3重合． 综上，当a＝1时，三条直线重合；当a＝－1时，l1∥l2； 当a＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线共有三个交点，需a≠±1且a≠－2. [正解] D
两条直线的交点坐标 两点间的距离公式
1．两条直线的交点坐标 (1)求法：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点 坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的___交__点__个__数____判断两直线的位置关系． 一般地，将直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的方程联
3．坐标法
(1)定义：通过建立平面直角坐标系，用代数方法解决几何问题的方法称为坐标法．
( 2 ) 步 骤 ： ① 建 立 _ _坐_ _ _标_ _系_ _ _ _ _ ， 用 坐 标 表 示 有 关 的 量 ： ② 进 行 有 关 代 数 运 算 ； ③ 把 代 数 运 算 结 果
“翻译”成几何关系．
解法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．

【课件】两条直线的交点坐标课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

【课件】两条直线的交点坐标课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

方法总结：
(1)求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结 合其他条件求出直线方程． ②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件 利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．如过两条已知 直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为
3
-1
-2
巩固练习
3.直线l经过原点, 且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点, 求直线l的方程.
解1:
解方程组
2x 6 x
2 4
y y
1 1
0，得 0
x
3 2
,y
2.
直线2x 2 y 1 0与6x 4 y 1 0的交点坐标为( 3 , 2). 2
直线l的方程为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
(2)含有参数的直线恒过定点问题的解法 ①直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点． ②特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点． ③方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参 数的方程应有无穷多解，进而求出定点．
恒过定点的直线问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与 直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解 1：由方程组2xx＋－y＋3y－2＝3＝0，0，
解得x＝－35， y＝－57．
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率k＝－3.
所以根据点斜式有 y－－75 ＝－3x－－53 ， 即所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0.

2.3.1 两条直线的交点坐标(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)

2.3.1 两条直线的交点坐标(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)

【证明】
直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x －y＋5)＝0.
缺点
不能表示 后面的那条直线：A2 x B2 y C 2 0
应用
凡是求过某交点的直线方程，都可以这样设所求直线方
程，然后根据已知条件求出 λ 即可.
能力提升
题型三
含一个参数的直线方程过定点问题
例题3
证明：不论 m 为何实数, 直线 (m－1) x＋(2m－1) y=m－5
都恒过某一定点.
(2) 解方程组
,
6 x 2 y 1 0 ———— ②
① 2 ②得9 0, 矛盾, 这个方程组无解, 所以l1 与l2 无公共点, 即l1 / / l2
结论：方程组无解 l1与l2 位置关系：平行
应用新知
例 2：判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标：
①设：设交点坐标P x0 , y0 ;
A1 x0 B1 y0 C1 0
②构：将交点坐标代入两条直线方程，构成方程组
;
A2 x0 B2 y0 C 2 0
③解：解方程组，得到交点坐标.
探究新知
几何角度
代数角度
点P
坐标：P x0 , y0
直线l
方程：Ax By C 0
1
A． 6, 2
B． , 0
6
1 1
C． ,
2 6





1 1
D． ,
6 2
2 4 k
x
2 4 kkx y 2k 10
2 k 1
x
0
6 k 1 ，

2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式课件高二上人教A版选择性必修1

2.3.1两条直线的交点坐标 2.3.2两点间的距离公式课件高二上人教A版选择性必修1
;过直线l
2 − − 1 = 0,
[解析] 由
解得
+ 3 − 11 = 0,
与l2的交点且与直线x-y-1=0平行的直线的
x-y+1=0
方程为
.
= 2,
故直线l1与l2的交点坐标
= 3,
为(2,3).∵所求直线与直线x-y-1=0
1
2
1
平行,∴所求直线的斜率为1,由点
斜式方程可得所求直线的方程为
2 2
A2,B2均不为0的情况,两种表达法均可;对于A2,B2有一个为0的情况,只能用第一种
表达法.
2.两点间距离公式的理解
(1)两点间的距离公式与两点坐标的先后顺序无关,即公式可以改写为
|P1P2|= (1 − 2
2
)
+ (1 − 2
2
) .
(2)两点间距离公式的特殊形式:①当P1P2⊥x轴时,|P1P2|=|y2-y1|;②当P1P2⊥y轴
由
可得直线AB与l的交点为(8,-3),即为所求点P.|PA|-|PB|的最大
+ 2 − 2 = 0
值为|AB|= (2 −
2
4)
+ (3 −
2
1) =2
2.
变式已知点
[解析] 过A(3,0),B(0,3)两点的直线的方程为x+y-
A(3,0),B(0,3),M(1,0),O为坐标
3=0,设M(1,0)关于直线x+y-3=0对称的点为
13,
+ (7 +
2
3) =2
26,
2
2
2
所以|AB| +|AC| =|BC| ,且|AB|=|AC|,

两条直线的交点坐标ppt课件

两条直线的交点坐标ppt课件

中线AF : x 1,中线BG : 7 x 9 y 5 0,中线CE : x 9 y -13 0.
x 1
x 1
4

由
, 解得
,
即交点
P
坐标为
(1,
).
4
y
3
7 x 9 y 5 0

3

4
1 9 13=0, 点P在中线CE所在直线，ABC三条中线交于一点.
y = k1x + b1
y = k2x + b2

方程解的个数 一组
直线的关系
A1x+B1y+C1+λ( A2x+B2y+C2)=0
A1x B1 y C1 0
A2 x B2 y C2 0
相交
无解
同一
方程
平行
重合
是过直线A1x+B1y+C1=0和
A2x+B2y+C2=0的交点的直线系
方程
即可。
例2
求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交
点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.
[自主解答] 方法一
+ － = ，
＝－，
解方程组
，得
= .
+ + = ，
即l1与l2的交点坐标为（－1，2）.




又由直线l3的斜率为 ，得直线l的斜率为－ ，
联立方程组
+ + ＝和 + + ＝

y = k1x + b1

2.3.1 两条直线的交点坐标ppt

2.3.1 两条直线的交点坐标ppt

出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
---1
=
0,
解方程组
得直线所过定点.
+ 2 = 0,
解 (1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.∵点 P(1,0)在直线上,
1
∴1-2+λ(3+2)=0.∴λ=5.
∴所求方程为
1
x+2y-2+ (3x-2y+2)=0,
2023
人教版普通高中教科书·数学
第二章
选择性必修
2.3.1 两条直线的交点坐标
第一册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习02课堂篇 探究学习课标阐释
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(数学运算)
2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
[激趣诱思]
+ + 3 = 0,
∵P(3,0)为线段 AB 的中点,
∴
3-2
3-3
+
-2
+1
4 6
=
-2 +1
= 6,
0.
2-16 = 0,
∴ 2
-8 = 0.
∴k=8.∴所求直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.
(方法2)设A点坐标为(x1,y1),则由P(3,0)为线段AB的中点,得B点坐标为(6x1,-y1).
【解析】由(m＋1)(m－1)＋4＝m2 ＋3≠0，因此方程组有唯一的
解．
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一题多解
例3：求经过原点且经过以下两条直线的 交点的直线方程: l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0.
解法2：设所求的直线方程是
x 2y 2 (2x y 2) 0
直线经过原点，将（0，0）代入上述方程，得
2 2 0,即 1
(x 2y 2) (2x y 2) 3x 3y 0
直线l1与l2的交点是A
点A的坐标是方程组

A1 x A2 x

B1 B2
y y

C1 C2
0 的解 0
结论1：求两直线交点坐标方法-------联立方程组
例1.求下列两条直线的交点坐标 l1 : 3x 4 y 2 0; l 2: 2x y 2 0
答案 : M(2, 2)
M 解：解方程组
3x+4y－2 =0 2x+y+2 = 0
得
x= －2 -2 y=2
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
y 2
0
x
l1 l2
当变化时, 方程 3x 4 y 2 (2x y 2) 0
表示什么图形 ?图形有何特点?
当变化时,方程3x 4 y 2 (2x y 2) 0
来判定两直线的位置关系？ ( ABC 0)
l1 : A1x B1y C1 0
l2 : A2x B2 y C2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
A1 B1 A2 B2
l1与l2重合 l1与l2平行 l1与l2相交
例2判断下列各对直线的位置关系,如果相交, 求出交点坐标 :
经过直线l1 : A1x B1y C1 0与直线l2 : A2x B2 y C2 0 的交点的直线系方程为:
( A1x B1y C1) ( A2x B2 y C2 ) 0
为待定系数
此直线系方程 少一条直线l2
一题多解
例3：求经过原点且经过以下两条直线的
所求的直线方程为 x y 0
例4. (1)求经过两直线2x 3 y 3 0和x y 2 0 的交点,且与直线3x y 1 0平行的直线方程.
答案 : (1)15x 5 y 16 0
(2)求经过两直线2x 3 y 1 0和x 3 y 4 0 的交点,并垂直于直线3x 4 y 7 0的直线方程.
交点的直线方程:
你能想到哪些
l1：x－2y+2=0，l2：2x－y－2=0方. 法？
求出交点，用
解法1：解方程组
x－2y+2=0 2x－y－2=0
得
x=待2定系数法 y=2
∴l1与l2的交点是（2，2） 设经过原点的直线方程为 y=k x
能否不 求交点？
把（2，2）代入方程，得k=1，所求方程为 y= x
3.3.1 两条直线的交点坐标
思考 : 已知两条直线
l1 : A1x B1 y C1 0 l2 : A2 x B2 y C2 0 相交,如何求这两条直线交点的坐标?
一、几何元素的代数表示
几何元素及关系 点A 直线l
点A在直线l上
代数表示 A(a , b)
l : Ax By C 0 Aa Bb C 0
练习: 求下列各对直线的交点坐标 (1)l1 : 2x 3 y 12, l2 : x 2 y 4; (2)l1 : x 2, l2 : 3x 2 y 12 0;
答案 : (1)(36 , 4);(2)(2,3) 77
二、两直线位置关系的判断 (1)利用求交点的坐标的方法判断两直线的位置关系
(1)
ll1
: 2:
x 3
x
y
0 3y
10

0
答案
:
(1)

5 3
,
5 3

(2)
ll12
: :
3x 6x

y 2
y
4
0
0
答案 : (2)l1 / /l2
(3)
ll12
: 3x :6x
4y 8y
50 10
0
答案 : (3)l1与l2重合
唯一解

A1x A2 x

B1 B2
y y

C1 C2

0 0

无穷多解

无解

ll11
, ,
l2相交 l2重合
l1, l2平行
(2)比较两直线的斜率与截距判断两直线的位置关系
k异相交源自k同b同 重合k同b异
平行
(3)：如何根据两直线的方程系数之间的关系
表示什么图形 ?图形有何特点?
上式可化为：(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0
=0时，方程为3x+4y-2=0
l1
l2
y
=1时，方程为5x+5y=0
l3
=-1时，方程为x+3y-4=0
0
x
发现：此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线束（直线集合）
一、共点直线系方程:
练习: 判断下列各对直线的位置关系,如果相交, 求出交点坐标.
(1)l1 : 2x 3 y 7, l2 : 4x 2 y 1;
x2
(2)l1 : 2x 6 y 4 0,
l2
:
y

3

; 3
答案
:
(1)l1与l2相交于(1176
,

13 8
);(
2)l1与l2重合;
例1：求下列两条直线的交点： l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.
答案 : (2)4x 3y 9 0
(3)求过点(4, 2)和两直线3x 4 y 2 0和 2 x y 2 0的交点的直线方程.
答案 : (3)2x 3y 2 0
1. 两直线交点的求法---联立方程组。 2. 两直线位置关系的判断:解方程组,根据解的个数。 3. 共点直线系方程及其应用