两条直线的交点坐标-人教A版高中数学选修第一册上课用PPT

(3)l₁:x+y+2=0,1₂:2x+2y+3=0.
解：(3)联立直线I₁ 与 I₂的方程得方程组
由①×2-②,得1=0,则方程组无解.所以I₁ 与 I₂无公共点，即 l₁//l₂ .
方法 总 结
用代数方法求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直 线的方程，然后联立求解.
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组
时，此时这两条直线
平行，因此这三条直线不能构成三角形；当直线I₂ 与直线 I₃的
斜率相等，即
时，此时这两条直线平行，因此这三
条直线不能构成三角形；当直线I₃ 过直线I₁,I₂ 交点(1,2)时，
三条直线不能构成三角形，即有1-2a-3=0=a=-1.
4.不论a为何实数，直线1:(a+2)x-(a+1)y=2-a 恒过一定
方法 总 结
涉及两直线交点的问题，通常是先求交点坐标，再进一步 解决问题.
[易错警示] 垂直线系方程的设法容易搞错系数.
[ 针 对 训 练 ] 将本 例 中 的“垂 直” 改 为“ 平 行”, 其 他 条
件不变，求直线1的方程.
解 ：法一(直接法)
由本例可知P(0,2), 直线|的斜率为
故直线丨的方程为
2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标
课前预习 素养启迪
知识梳理
两条直线的交点坐标
设这两条直线的交点为P, 则点P 既在 直线1₁ 上，也
在 直线1₂
上.所以点P 的坐标既满足直线l₁ 的方程
A₁x+B₁y+C₁=0,也满足直线1₂的方程A₂x+B₂y+C₂=0,即点P的
则
解得A'(-4,-3).

l1∥l2
＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系是________．
l1∥l2
[方程组无解，则l1与l2无公共点，从而l1∥l2．]
3．直线l1 ：4x－y＋3＝0与直线l2 ：3x＋12y－11＝0的位置关系是
l1⊥l2
________．
l1⊥l2
[由4×3＋(－1)×12＝0得l1⊥l2．]
15x＋5y＋16＝0
的直线方程为_________________．
2
因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
(2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0．
[解]
− 2 + 1 = 0，
解方程组ቊ
可得x＝－3，y＝－1，
+ 2 + 5 = 0，
因此，l1与l2相交，而且交点坐标为(－3，－1)．
类型3 直线系过定点问题
【例3】 (1)直线mx－3y＋2m＋3＝0，当m变动时，所有直线都经
l1
l2
设这两条直线的交点为P，则点P既在直线__上，也在直线__上．所
以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
1 + 1 + 1 = 0，
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组 ቊ + + = 0
2
2
2
的解．
知识点2 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
1．会用解方程的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学
学习 运算)
任务 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(数学

是否有唯一解
两条直线方程所组成的方程组 设A₁,A₂,B₁,B₂全不为零.
解这个方程组，
①×B₂得 ，A₁B₂x+B₁B₂y+B₂C₁=0,③ ②×B₁得 ，A₂B₁x+B₁B₂y+B₁C₂=0,④
③-④得，(A₁B₂-A₂B₁)x+B₂C₁-B₁C₂=0,
1.A₁B₂-A₂B₁≠0 时，即 ，
时，方程组有唯一的解
学习新课：
设两条直线的方程是
l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的 坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次 方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l₁和l₂ 的交点，因此，两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程 所组成的方程组
当C₁ 、C₂全不为零 由A₁B₂-A₂B₁=0, 得到
由B₁C₂-B₂C₁=0, 得到
两个方程是同解方程，∴方程组有无穷多解 .∴两条直线重合
当C₁、C₂全为零 由A₁B₂-A₂B₁=0, 得到
两个方程是同解方程，∴两条直线重合
归纳：
当
时
相交；
当
时， 2平行；
当
时
重合
方程组的 解就是交 点坐标.
第二章直线和圆的方程
2.3.1直线的交点坐标与距离公式(1) ——两条直线的交点坐标
复习引入：
1.直线方程的点斜式y-yo =k(x-x₀) 直线方程的斜截式 y=kx+b 直线方程的两点式
直线方程的截距式 直线方程的一般式Ax+By+C=0(A,B 不同时为零) 2.这节课我们来研究由两条直线的一般式方程推导交点坐标

两条直线相交
二元一次方程 组有唯一解
直线l,J2还 有 哪些位置关系
平行
重合
问题4.已知直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l:A₂x+B₂y+C₂=0
平行，能否判断对应的二元一次方程组的解的情况呢
从形的角度看
直线l₁//l₂
直线lj,J₂没有公共点
从代数的角度看
不 存在点P(xo,y₀)的坐标满足
解 直线l₁,l₂方程化为斜截式，
则k₁=1,k₂=-1,k₁≠k₂,
所以，直线l₁与l₂相交.
例2.判断下列各对直线的位置关系.
(2)l:3x-y+4=0,l ₂:6x-2y-1=0
解 直线l₁,l₂ 方程化为斜截式，
则k₁=k₂=3,b₁≠b₂, l₁/l₂.
所以，
例2.判断下列各对直线的位置关系. (3)l:3x+4y-5=0,l₂:6x+8y-10=0
Q(2,-6)在直线l 上
追问：为什么可以作这样的判断呢?
直线l上的点
对应 关系
直线l 的方程的解
直线l:Ax+By+C=0
点P
在直线l上
C=0
问题2.已知直线 l₁:A₁x+B₁y+C₁=0,l₂:A₂x+B₂y+C₂=0 相交，它们的交点坐标与直线l₁,l₂的方程有他么途系?
从形的角度看
直线l₁,l₂ 相交
的交点且过坐标原点的直线l的方程 .
解 解方程组
,得
所以，两条直线的交点为
所以，直线l的的斜率 故直线l的方程
即4x-3y=0
和l₂ :6x-4y+1=0

（1） l1 : 2 x 3 y 12 ， l2 : x 2 y 4 ；
（2） l1 : x 2 ， l2 : 3x 2 y 12 0 ．
2 x 3 y 12
【解析】
（1）联立
，
x 2 y 4
36

x 7
36 4
解得
，交点为 A , .
学习目标
理解并掌握用直线方程求两条相交直线的交点坐标的方法；
理解二元一次方程组的解与两条直线的位置的对应关系，会
用直线方程组的解和斜率两种方法判断两条直线的位置关系；
核心素养：数学抽象 逻辑推理 数学运算
3
新课导入
问题 一 直线l1：A1x+B1y+C1=0， l2:A2x+B2y+C2=0 的交
反之，( x0 , y0 ) 是方程组的唯一解，说明 ( x0 , y0 ) 既
在 l1 上也在直线 l2 上.
所以, ( x0 , y0 ) 是两条直线的唯一交点. 因此求两
的唯一解。
方程组的唯一
解x0, y0 ，构成
的点（x0, y0 ）
在直线上。
条直线的交点，只需联立方程组求解即可.
4
例题精讲
x 2
（2） l1 : 2 x 6 y 4 0 ， l2 : y ；
3 3
（3） l1 : 2 1 x y 3 ， l2 : x 2 1 y 2 ．




17 13
；（2）重合；
【答案】
（1）相交， ，
（3）平行
8
16
11
课堂练习
必做 一

方法总结：
(1)求过两直线交点的直线方程的方法 ①方程组法：一般是先解方程组求出两直线的交点坐标，再结 合其他条件求出直线方程． ②直线系法：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件 利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．如过两条已知 直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为
3
-1
-2
巩固练习
3.直线l经过原点, 且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点, 求直线l的方程.
解1:
解方程组
2x 6 x
2 4
y y
1 1
0，得 0
x
3 2
,y
2.
直线2x 2 y 1 0与6x 4 y 1 0的交点坐标为( 3 , 2). 2
直线l的方程为
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0).
(2)含有参数的直线恒过定点问题的解法 ①直接法 将已知的直线方程转化为点斜式、斜截式等形式的方程，进而得定点． ②特殊值法 取出直线系中的两条特殊直线，它们的交点就是所有直线都过的定点． ③方程法 将已知的直线方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参 数的方程应有无穷多解，进而求出定点．
恒过定点的直线问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与 直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．
解 1：由方程组2xx＋－y＋3y－2＝3＝0，0，
解得x＝－35， y＝－57．
因为直线l和直线3x＋y－1＝0平行，所以直线l的斜率k＝－3.
所以根据点斜式有 y－－75 ＝－3x－－53 ， 即所求直线 l 的方程为 15x＋5y＋16＝0.

【证明】
直线方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x －y＋5)＝0.
缺点
不能表示 后面的那条直线：A2 x B2 y C 2 0
应用
凡是求过某交点的直线方程，都可以这样设所求直线方
程，然后根据已知条件求出 λ 即可.
能力提升
题型三
含一个参数的直线方程过定点问题
例题3
证明：不论 m 为何实数, 直线 (m－1) x＋(2m－1) y=m－5
都恒过某一定点.
(2) 解方程组
,
6 x 2 y 1 0 ———— ②
① 2 ②得9 0, 矛盾, 这个方程组无解, 所以l1 与l2 无公共点, 即l1 / / l2
结论：方程组无解 l1与l2 位置关系：平行
应用新知
例 2：判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标：
①设：设交点坐标P x0 , y0 ;
A1 x0 B1 y0 C1 0
②构：将交点坐标代入两条直线方程，构成方程组
;
A2 x0 B2 y0 C 2 0
③解：解方程组，得到交点坐标.
探究新知
几何角度
代数角度
点P
坐标：P x0 , y0
直线l
方程：Ax By C 0
1
A． 6, 2
B． , 0
6
1 1
C． ,
2 6





1 1
D． ,
6 2
2 4 k
x
2 4 kkx y 2k 10
2 k 1
x
0
6 k 1 ，

线交点的直线的问题
【例 2】 求经过直线 l1:2x+3y+8=0 与直线 l2:x-y-1=0 的交
点 M,且分别满足下列条件的直线的方程:
(1)与直线 2x+y-3=0 平行;
(2)与直线 2x+y-3=0 垂直.
2 + 3 + 8 = 0,
= -1,
解: 解方程组
得
所以直线 l1 与直线 l2 的交
--1 = 0,
= -2,
点是 M(-1,-2).
(1)直线 2x+y-3=0 可化为 y=-2x+3.由所求直线与直线 2x+y-3=0 平行,
得所求直线的斜率为-2.因为所求直线过点 M(-1,-2),
所以由点斜式可得直线方程为 y+2=-2(x+1),即 2x+y+4=0.
第二章
直线和圆的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.3.1 两条直线的交点坐标
[学习目标]
1.会用解方程组的方法求两条直线交点
的坐标,积累数学运算经验.
2.会根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系,发
展逻辑推理素养.
一、两条直线的交点坐标
[新知探究]
情境:如图,观察平面直角坐标系中的两条直线.
2- + 1 = 0,
= 0,
联立两方程,得
解得
= 1,
--2 + 2 = 0,
所以直线 l 所过的定点 M 的坐标为(0,1).
3
11
a=- .
[课堂评价]
1.直线 3x+y-5=0 与 x+y-1=0 的交点坐标为 (

自
主
学 习
[注意]此公式与两点的先后顺序无关．
固
基
础
强 研 习 重 点 难 点 要 突 破
重 效 果 学 业 测 试 速 达 标 课 时 作 业
第7页
•
•
•
[重点讲解]
精
梳 理
1．两直线的位置关系
自
主
学 习 固 基
方程组AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00， 的解
一组 无数组 无解
础
直线 l1 与 l2 的公共点的个数
理
重
自
主 学
[自主记]证明：方法一：(特殊值法)取 λ＝0，得到直线 l1：2x＋y＋3＝0，
•
效 果 学
习
业
固 基
取 λ＝1，得到直线 l2：x＝－3，
测 试
础
故 l1 与 l2 的交点为 P(－3,3)．
速 达
标
强
将点 P(－3,3)代入方程左边，
研 习
得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3，
重
自 主
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 通过直线 2x＋y＋3＝0 与 x－y＋6＝0 的交点．
效 果
•
学
学
习 固 基 础
由方程组x2－x＋y＋y＋6＝3＝00， 得yx＝＝3－. 3，
业 测 试 速
达
∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3 恒过定点(－3,3)．
标
强
研
习
重 点 难 点 要
学
2．3.1 两条直线的交点坐标
业 测
基
试
础
速
达
标

. x + 3y = 0
.
x
y
+
2
3
=1
【答案】
1
3
. y = − x − 12
1
3
. y = − x + 4
).
新知探究
例1：求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
1 ：3 + 4 − 2 = 0，
2 ：2 + + 2 = 0.
3x + 4y − 2 = 0，
x = −2，
斜率k,
y轴截距b
直线上两点
(x1,y1),(x2,y2)
非零截距a,b
系数, ,
斜率存在且不
为0
斜率存在且
不为0，不
过原点
任何位置
(0, 0),斜率
斜率存在
斜率存在
新知探究
我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐
标所满足的一个关系式.
问题1：（1）点(1,3)在直线 + 3 − 4 = 0 上吗？
(3)1 ：4 + 2 + 4 = 0，2 ： = −2 + 3.
2x − y = 7，
x = 3，
解：(1)解方程组
得
y = −1.
3x + 2y − 7 = 0，
所以，l1 与l2 相交，交点坐标为(3, −1).
2x − 6y + 4 = 0， ①
(2)解方程组
4x − 12y + 8 = 0，②
x − y = 0，
解：(1)解方程组
得
3x + 3y − 10 = 0，
5 5
所以，l1 与l2 相交，交点是M( , ).