311变化率与导数

23
[点拨] 求函数f(x)的平均变化率的步骤是： (1)根据x1 和 x2 值写出自变量的增量Δx； (2)由 Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)计算函数增量； (3)求出比值ΔΔxy就是函数f(x)由 x1 变化到 x2 时的平均变 化率．它的几何意义是过图象上两点P1(x1，f(x1))、P2(x2， f(x2))的直线斜率．
§3.1变化率与导数 3.1.1～3.1.2变化率问题 导数的概念
1
2
3
1.平均变化率
? f?x2?－f?x1?
函数y＝f(x)从x1到 x2的平均变化率为①____x_2_－_x_1____，
简记作：ΔΔxy.
2．瞬时变化率
函数f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
ΔΔxy＝②__Δlix_m→_0_f?_x_0＋__Δ_Δ_xx_?－__f_?x_0.?
24
练 1 求函数y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 率；并计算当Δx＝21时，平均变化率的值．
[解] 因为 Δy＝2×(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋ 2(Δx)2，所以平均变化率为ΔΔxy＝8＋2Δx.
当 Δx＝12时，平均变化率的值为8＋2×12＝9.
25
瞬时速度
15
(1)函数f(x)在 x1，x2 处有定义； (2)x2 是 x1 附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可正可负； (3)注意变量的对应，若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)， 而不是Δy＝f(x1)－f(x2)； (4)平均变化率可正可负，也可为零．
16
2．根据导数的定义，求函数y＝f(x)在 x0 处的导数的步 骤
答案：3－Δx
12
5．求函数y＝x2 在点x＝1 处的导数． 解：Δy＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， ∴ ΔΔxy＝2＋Δx.y′|x＝1＝Δlixm→0(2＋Δx)＝2.
13
14
1.函数的平均变化率的理解 定义中的x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记Δx ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当Δx≠0 时，f?xx2?2－－xf?1x1?＝ΔΔxy 称作函数y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
Δx→0
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝f?x0＋ΔΔxx?－f?x0?
10
解析：考查导数的定义，B 中 f′(x0)＝lim[f(x0＋Δx)－ Δx→0
f(x0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限C．中 f′(x0) ＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量D；中 f′(x0)＝f?x0＋ΔΔxx?－f?x0?，右边的式子表示函数的平均变化 率．故应选A.
函数y＝f(x)在x＝x0处的③__瞬__时__变__化__率__称_ 为函数y＝
fΔΔ(xxy＝)在④x_＝Δ_lixx_m→0_0处f_?_x的_0＋_导_Δ_Δ数x_x?_－，记__f?作_x_0f?_′_.(x0)或
y′|
x＝x0
，即
f′(x0)＝lim Δx→0
6
思考探究 2. 在匀速运动过程中，物体在任一处的导数有什么关 系？ 提示：相等．令v＝3t，在任一时刻t0 处， f′(t0)＝lΔit→m0ΔΔxy＝lΔit→m03?t0＋ΔΔtt?－3t0＝3. 所以在匀速运动中，在任一时刻t0 处的导数都相等．
38
练 4 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A， B，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 f[f(0)]＝___2_____； Δlixm→0f?1＋ΔΔxx?－f?1?＝__－__2__.(用数字作答)
答案：A
11
4．已知函数y＝f(x)＝－x2＋x 的图象上一点(－1，－2) 及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔxy＝______.
解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋ Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔxy＝－?ΔxΔ?2x＋3Δx＝3－Δx， 故应填3－Δx.
32
练 3 求函数y＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数．
[解] 法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ ΔΔxy＝2?Δx?2Δ＋x16Δx＝2Δx＋16. y′|x＝3＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16.
问题．
28
练 2 以初速度v0(v0>0)竖直上抛物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0 的瞬时速度．
[解] 因为 Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－21gt20)＝ (v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 v0－gt0，故物体在时刻t0 的瞬时速度为v0 －gt0.
27
[点拨] 本例引导学生理解瞬时速度是物体在t 到 t＋Δt
这段时间内的平均速度Δs当 Δt
Δt
趋近于Βιβλιοθήκη Baidu
0
时的极限，即为s
对 t 的导数．对于作匀变速运动的物体来说，其位移对时间
的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间
的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数
的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理
33
法二：f′(x)＝Δlixm→02?x＋Δx?2＋4?xΔ＋xΔx?－?2x2＋4x? ＝Δlixm→04x·Δx＋2Δ?Δxx?2＋4Δx ＝lim(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
Δx→0
∴ y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.
34
导数的简单应用 例 4 设函数f(x)在点x0 处可导，试求下列各极限的值． (1) Δlixm→0f?x0－ΔΔxx?－f?x0?； (2) lhi→m0f?x0＋h?2－hf?x0－h?. [分析] 给出某抽象函数在某点x0 处可导的条件，求另 一抽象函数在某点x0 处的导数，或求另一抽象函数在某点 x0 处的极限．
31
解法二：(导函数的函数值法) ∵ Δy＝?x＋4Δx?2－x42＝－4xΔ2x??x2＋x＋ΔxΔ?2x?， ∴ ΔΔxy＝－x42??2xx＋＋ΔΔxx??2. ∴ y′＝Δlixm→0ΔΔxy＝－Δlixm→0x42??2xx＋＋ΔΔxx??2＝－x83. ∴ f′(2)＝y′|x＝2＝－1. [点拨] 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本 方法．
7
1.函数 y＝f(x)的自变量x 由 x0 改变到x0＋Δx 时，函数 值的改变量Δy为( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) 解析：分别写出x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变Δ量y＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选D.
4
思考探究 1. 物体在运动过程中，不论从哪一时刻起，Δ当t 相同 时，平均变化率一定相同吗？
提示：不一定．平均变化率等于在时间段内速度的变化
除以时间的变化，所以在匀速运动中，Δ当t
相同时，Δv一 Δt
定相同，但在变速运动中却不一定，因Δ为t 相同，Δv 不一
定相同．
5
3．函数f(x)在 x＝x0 处的导数
29
导数的概念 例 3 求函数y＝x42在 x＝2 处的导数． [分析] 通常以某一具体函数为载体，利用求导“的三 步曲”，进行计算．
30
[解] 解法一：(导数定义法) ∵ Δy＝?Δx＋4 2?2－242＝?Δx＋4 2?2－1＝－?Δ?Δx?x2＋＋24?Δ2 x， ∴ ΔΔxy＝－?ΔΔxx＋＋24?2. ∴ Δlixm→0ΔΔxy＝－Δlixm→0?ΔΔxx＋＋24?2＝－1.
例 2 一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s 表示位移，
t 表示时间．
(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求质点在t＝1 时的瞬时速度．
[分析] 先求出Δs，再求ΔΔst，就得到了平均速度；当Δt
无限趋近于0
时，Δs的极限即为所求的瞬时速度． Δt
26
[解] (1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为 ΔΔst＝8－3?1＋ΔtΔ?2t－8＋3×12＝－6－3Δt. (2)由(1)知ΔΔst＝－6－3Δt，当Δt 无限趋近于0 时， lΔit→m0ΔΔst＝－6，所以质点在t＝1 时的瞬时速度为－6.
答案：D
8
2．若一质点按规律s＝8＋t2 运动，则在时间段2～2.1
中，平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
解析：v ＝ΔΔst＝?8＋2.21.21?－－?28＋22?＝2.102－.1 22＝4.1， 答案：B
9
3．函数f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( ) A．f′(x0)＝Δlixm→0f?x0＋ΔΔxx?－f?x0? B．f′(x0)＝lim[f(x0＋Δx)－f(x0)]
20
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴ Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2·x21＋3·x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
21
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴ ΔΔxy＝211＝21； (2)当 x1＝4，Δx＝0.1 时， Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ ΔΔxy＝10..912＝19.2；
18
注意：令 x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是 f′(x0)＝lx?imx0 f?xx?－－xf?0x0? 与定义中的f′(x0)＝Δlixm→0f?x0＋ΔΔxx?－f?x0?意义相同.
19
函数的平均变化率 例 1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5. (1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量Δy和平均变化率ΔΔxy； (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量Δy和平均变化率ΔΔxy； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
35
[解] (1)原式＝Δlixm→0f?x0－－Δ?－x?Δ－x?f?x0? ＝－-lΔixm→0f?x0－－ΔxΔ?－x f?x0?(Δx→0 时，－Δx→0) ＝－f′(x0)．
36
(2)原式＝lhi→m0 f?x0＋h?－f?x0?2＋hf?x0?－f?x0－h? ＝12[lhi→m0 f?x0＋hh?－f?x0?＋lhi→m0 f?x0－－h?h－f?x0?] ＝12[f′(x0)＋l-hi→m0 f?x0－－h?h－f?x0?] ＝12[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．
37
[点拨] 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样 的，但不论Δx 选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对应的 形式．利用函数f(x)在 x＝x0 处可导的条件，可以将已给定 的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重 要依据，只有熟练掌握概念的本质属性把，握其内涵与外延， 才能灵活地应用概念进行解题．
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f?x0＋ΔΔxx?－f?x0?； (3)取极限，得导数f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔxy.
17
3．对导数概念的理解 某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含 义： (1) Δlixm→0ΔΔxy存在，则称f(x)在 x＝x0 处可导并且导数即为 极限值； (2) Δlixm→0ΔΔxy不存在，则称f(x)在 x＝x0 处不可导．
22
(3)在(1)题中ΔΔxy＝f?xx2?2－－fx?1x1?＝f?55?－－4f?4?，它表示抛物线 上 P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．
在(2)题中，ΔΔxy＝f?xx2?2－－xf?1x1?＝f?44.1.1?－－4f?4?，它表示抛物 线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92连) 线的斜率．