3.1.1 两角差的余弦公式

第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式[A组学业达标]1．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°等于()A.32B．－32 C.12D．－12解析：原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°cos(180°－33°)＝cos 27°·cos 57°＋sin27°cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝3 2.故选A.答案：A2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于()A.12B．－12C.32D．－32解析：原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]＝cos(－60°)＝1 2.答案：A3．cos 555°的值是()A.64＋24B．－64－24C.62－22 D.22－62解析：∵cos 555°＝cos 195°＝－cos 15°＝－cos(45°－30°)＝－22×32－22×12＝－6＋24.故选B.答案：B4．若cos α＝117，cos(α＋β)＝－4751，且α，β都是锐角，则cos β的值为( ) A ．－17 B.13 C.403867D ．－403867解析：∵β＝(α＋β)－α，又∵cos α＝117，cos(α＋β)＝－4751，α，β都是锐角， ∴α＋β是钝角，∴sin α＝12217，sin(α＋β)＝14251. ∵cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， ∴cos β＝－4751×117＋14251×12217＝－47＋33651×17＝28951×17＝13.答案：B5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( )A.3－4310B.4－3310C.23－35D.3－235解析：∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.答案：A6．计算cos 45°·cos 15°＋sin 45°sin 15°＝________．解析：cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝cos ()45°－15°＝cos 30°＝32. 答案：327．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________．解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝12cos α＋32sin α＝cos α，∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33. 答案：338．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.又∵sin(α＋β)＝－35，sin⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213， ∴cos(α＋β)＝1－sin 2（α＋β）＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.答案：－56659．求2cos 10°－sin 20°sin 70°的值．解析：原式＝2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.10．已知－π3<α<π2，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35，求cos α.解：∵－π3<α<π2，∴0<α＋π3<5π6. 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45.∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝35×12＋45×32＝3＋4310.[B 组 能力提升]11．若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B.32 C.34D ．1解析：由sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12， 得sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝34，① cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14，② ①＋②得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1. ∴sin αsin β＋cos αcos β＝12. ∴cos(α－β)＝12. 答案：A12．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为 ( )A.π6B.π4C.3π4 D.5π6解析：∵0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，0<2α<π.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255.由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－22.又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.答案：C13．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________．解析：由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，sin β＝sin α，cos β＝－cos α.又sin α＝1 3，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2×19－1＝－79.答案：－7 914．已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010，则α－β＝________．解析：∵α，β均为锐角，∴cos α＝55，cos β＝31010.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×31010＋255×1010＝22.又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故α－β＝π4. 答案：π415．已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．解析：∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∵cos α＝17，sin(α＋β)＝5314， ∴sin α＝437，cos(α＋β)＝±1114， 当cos(α＋β)＝－1114时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12，∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3；当cos(α＋β)＝1114时，cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1114×17＋5314×437＝7198<1114＝cos(α＋β)，且α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，所以β＝π3.16．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值． 解析：(1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ，又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1， 即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55.(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，所以cos φ＝sin φ，所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12.因为0<φ<π2，所以cos φ＝22.。