3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式3

3
2
4
( , 3 )，求 cos( )的值。
2
答案：3 5-2 7 12
解决上面问题你用到了哪些公式？
新课探究1：
cos( ) cos cos sin sin
问题1：利用上面的公式如何得到两角和 的正弦公式？
sin( )
cos[ ( )] cos[( ) )]
3
BD 100 tan( 45o ) 300
例3. 已知sin 3 , 是第四象限角,
5
求sin ,cos , tan
4 4 4 的值.
答案：7 2 ；7 2 ；-7 10 10
问题：
在本题中,sin cos ,
4 4
那么对任意角 ,此等式成立吗？若成
tan tan 1 tan tan
将S(
)、C(
)、T(
称为
)
和角公式.
将S(
)、C(
)、T(
称为
)
差角公式.
思考：这6个公式是按照什么顺序 推导出来的？推导过程中用到了哪 些方法？
例1. 应用公式计算：
(1)sin105o sin(60o 45o ) 还
6 2
有 其
4
它
(2) tan15o tan(45o 30o )
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
课前思考： D
某电视塔建在小山BC上，经测得小 山BC的高为50米，观测点A距山脚B
的距离为100米，设∠CAB= a，从点
A观测电视塔的视角∠CAD=45o
C 试用含有 a 的式子表示BD。
45o
Aa
50 B
分析：tan( 45o ) BD
100

两角和与差的 正弦,余弦,正切公式 正弦,余弦,
复习引入
1,两角差与和的余弦公式: 两角差与和的余弦公式:
cos(α ± β ) = cosα cos β sinα sin β
2,诱导公式五: 诱导公式五:
sin ( cos (
π
2 π
2
-α) = cosα -α) = sinα
sin (α + β )
π π π sin 求: α , cos + α , tan(α ) 4 4 4
例3, , π 4 3 (1)α , β ∈ (0, ), cos α = , cos(α + β ) = ) 2 5 5 (2)tan(α + β ) = 3, tan(α β ) = 2 ) 求: tan 2α , tan 2 β
探求新知
= sin α cos β + cos α sin β
sin (α β ) = sin α cos β cos α sin β
sin (α ± β ) = sinα cosβ )
tan α + tan β = 1 tan α tan β
y = 4sin x + 3cos x
y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + φ )
其中,cosφ = a a 2 + b2 , sinφ = b a 2 + b2
6 证法1: 证法1: 右边=2(sin π cos α + cos π sin α ) 6 6 1 3 =2( cos α + sin α ) 2 2 =cos α + 3 sin α =左边 1 3 证法2: 证法2:左边=2( cos α + sin α ) 2 2 π π =2(sin cos α + cos sin α ) 6 6 π =2sin( + α ) =右边 6 化为某个角的一个 一个三角函数形式 注:该题将 cos α + 3 sin α 化为某个角的一个三角函数形式 π 即 cos α + 3 sin α = 2sin( + α ) 6

3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。

3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。

类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。

上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。

)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

2.求 cos x cos(x 15 ) sin x sin(x 15 ) 的值。
0 0
新课 由 C( ) 公式出发,你能推导出两角和 的余弦公式吗? cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ 换元
把β替换成-β
α -( -β cos[ )] = cosαcos(-β)+sinαsin(-β) 转化 cos(α +β) = cosαcosβ-sinαsinβ 称为和角的余弦公式。 简记为Cα +β）
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
记：T( + )两角和与 Nhomakorabea的正切公式：
T( )
tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ
上式中以代得
tan tan( ) tanα- tanβ tan[ ( )] = 1 tan tan( ) 1+ tanαtanβ
公式特征：1、“S C S C ,符号依然” 2、公式中的α,β是任意角。
两角和的正切公式：
sin(α+β) tan( ) cos(α+β)
sinαcosβ+ cosαsinβ cosαcosβ- sinαsinβ
分子分母同时除以cos cos 当cos cos 0时，
第三章 三角恒等变换
3.1.2两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
熟能生巧 勤能补拙
知识回顾: 差角的余弦公式, 简记为 C( )
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
巩固练习
2 3 3 1.已 知sin , ( , ), cos , 3 2 4 3 ( ,2 ), 求 cos( )的 值. 2