3.1.1两角差的余弦公式(教师)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式【最新考纲】1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．２.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．３.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系．4.能利用两角和（差)、二倍角公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).１．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(１)sin（α±β）＝sin_αcos_β±cos_αsｉｎ＿β；（2)cos(α±β)＝ｃoｓ_αｃos_β∓sin_αsin_β；（3)ｔan(α±β)=错误!.２．二倍角的正弦、余弦、正切公式（１)sｉn2α＝2sｉn αｃｏsα;（2)cｏｓ2α=ｃｏs２α-ｓiｎ2α=2coｓ２α－1=1－２sｉn２α;(3）tan 2α=＼f（2tan α，１-ｔan2α）．3.有关公式的变形和逆用(1）公式Ｔ(α＋β)的变形：①taｎα＋tａn β=taｎ(α＋β)(1-ｔaｎ＿αｔａn_β)；②ｔａn α－ｔanβ＝ｔan（α-β）(1+tａn_αｔan_β)．(2)公式C2α的变形:①sin2α=错误!（1－cｏｓ＿2α）；②cos２α＝＼ｆ(1,2）(１+cos＿2α).(３）公式的逆用①1±ｓiｎ2α＝(ｓin α±cｏｓα)２；②sin α±ｃos α=2sｉn错误!.4.辅助角公式ɑsin α＋bｃos α＝错误!ｓｉn(α＋φ)(其中tａn φ=错误!）.1.(质疑夯基)判断下列结论的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）（1）存在实数α,β，使等式ｓin(α＋β)＝sｉn α＋sin β成立．( ）(2）在锐角△ＡＢＣ中，sin Asｉn B和cｏs Acos B大小不确定．()(3)公式tan(α+β)＝ｔaｎα＋ｔan β1－tａn αtaｎβ可以变形为tan α+ｔanβ＝taｎ（α+β)(1-tan αtａn β),且对任意角α，β都成立．()(4)公式ɑsin x＋bcos x＝＼r(ɑ２+b2)ｓiｎ(ｘ＋φ)中φ的取值与ａ，b的值无关.( )答案：(1)√（2)× (3)× (4)×2．(2015·课标全国Ⅰ卷)ｓiｎ20°cｏs10°－cos 160°sin １0°=( ）A ．-＼f(3,2) Ｂ.３2 Ｃ．-1２D.错误! 解析：ｓｉn ２０°cos 1０°－cos 1６０°s ｉn 1０°＝ｓｉｎ 20°ｃos 10°+ｃos ２０°ｓi ｎ 10°＝sin(２0°＋１0°)=ｓin ３0°＝错误!.答案：D3．(经典再现)已知sin 2α=错误!,则ｃos 2(α+错误!)=( ） A.16B.错误! Ｃ.错误! D.错误!解析：∵sin ２α=错误!，∴co ｓ2错误!＝错误!＝错误!=错误!=错误!.答案:A4．(2015·重庆卷)若ｔａn α＝13,tan (α+β)=错误!，则tan β＝（ )Ａ.＼f(1,7) B ．错误! C ．错误! D.56解析:ｔan β＝tan[（α＋β)－α]=＼f(tan(α+β)-ｔan α,1+tan （α＋β）·ta ｎ α)＝错误!=错误!.答案：Ａ5.若锐角α、β满足(1+3tan α）(1+＼r(3)ｔan β）＝4，则α+β＝__＿___＿_.解析：由(1+错误!tan α)(１＋错误!ｔan β）＝4,可得错误!＝错误!,即tan (α＋β)=错误!.又α＋β∈(0，π)，所以α+β＝π3. 答案:错误!一点注意三角函数是定义域到值域的多对一的映射,时刻关注角的范围是防止增解的有效措施.两个技巧1．拆角、拼角技巧:2α=(α＋β)＋(α－β),α=(α+β)－β,β＝错误!－错误!,错误!＝错误!－错误!.2．化简技巧:切化弦，“１”的代换等．三种变化1.变角:设法沟通所求角与已知角之间的关系.2．变名：尽可能减少函数名称,其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等.3．变式:对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等.一、选择题1.若sin ＼f(α,2）=错误!，则cos α＝( ）A.-＼ｆ(2,３) B ．-错误! C.错误! D.错误!解析:cos α=1－2ｓin 2＼f(α，2)＝1－２×错误!错误!=错误!. 答案：C2.3－ｓin ７０°2-cos 21０°＝（ ) A.错误! B.错误! C.2 D ．错误! 解析:原式＝错误!＝错误!＝2．答案:Ｃ3.已知sin α＋cos α＝错误!，则ｓｉn 2错误!＝( ）A ．错误! B.错误! C.错误! Ｄ.错误!解析:由s ｉｎ α+cos α=１3得1＋si ｎ 2α＝错误!,解得si ｎ 2α＝-错误!，所以sin ２错误!=错误!=错误!＝错误!． 答案:B4.已知α∈错误!，且c ｏs α=－错误!，则ta ｎ错误!等于( ) Ａ.７ B.错误! C ．－错误!D ．－7解析:因α∈错误!，且c ｏs α＝－错误!,所以sin α＜0,即ｓin α=-错误!，所以tan α＝错误!.所以t ａn 错误!＝错误!＝错误!＝错误!．答案:Ｂ５.已知si ｎ α=错误!，sin （α-β）＝-错误!,α，β均为锐角,则角β等于（ ）Ａ.＼ｆ(5π,12) B ．π3C.错误!D.＼f(π,6)解析:∵α，β均为锐角,∴－错误!<α-β＜错误!.又s ｉｎ(α－β）＝-错误!,∴c os(α－β)=错误!．又sin α＝错误!,∴cos α＝错误!,∴ｓi ｎ β=ｓin [α－(α-β)]=s ｉn αc ｏs (α-β)-c ｏs αsin (α-β)＝５5×错误!-错误!×错误!＝错误!. ∴β＝错误!． 答案:Ｃ二、填空题6．若s ｉn 错误!=错误!，则ｃos ２θ＝___＿____．解析:∵sin 错误!＝cos θ＝错误!，∴cos 2θ=2cos 2θ-1=2×错误!错误!-1=-错误!.答案:－＼f(7，25）7.(2014·山东卷)函数y ＝错误!sin 2x+co ｓ2x 的最小正周期为_＿____＿_．解析:原式=错误!s ｉn 2ｘ＋错误!=sin 错误!＋错误!，∴周期T=２π2=π. 答案:π8．(2０１４·课标全国Ⅱ卷）函数f （x)＝si ｎ(x ＋２φ)-２si ｎ φcos（ｘ+φ）的最大值为_＿___＿__．解析:∵ｆ(x)＝ｓiｎ(x＋２φ)-2ｓｉn φcos（ｘ+φ)＝sin［(x＋φ)＋φ]－2sinφｃos（x＋φ)＝sin(ｘ+φ)cｏsφ＋ｃos(ｘ+φ)siｎφ-2siｎφcoｓ(ｘ+φ)＝siｎ(ｘ＋φ)cｏs φ-ｃos(x＋φ)ｓin φ=sｉn[(x+φ)-φ］＝sin x，∴f(ｘ)的最大值为1.答案：19．设函数f(ｘ）＝sin x+ｃos x，f′（x)是f(x)的导数,若f（x)＝2ｆ′(x),则错误!=_＿____＿_.解析:f′(x）=cｏｓx－ｓin x，由f(ｘ)＝2f′(x）得sin x＋cos x＝2ｃos x－2sｉn x，∴cｏｓx＝3sｉn x，于是错误!=错误!＝错误!=-错误!. 答案:-错误!三、解答题10.已知α∈错误!，且sin错误!+cos错误!＝错误!.(1)求coｓα的值;(2)若ｓin(α-β）＝-＼f(3,５）,β∈错误!，求cos β的值.解:(1)因为sin错误!+cos错误!＝错误!，两边同时平方，得sｉｎα=错误!.又错误!<α＜π，所以cｏｓα=－错误!.(2)因为＼f(π,２)<α＜π，错误!＜β＜π,所以－π<－β＜-＼f(π,２）,故-错误!<α-β<错误!.又siｎ(α-β)＝-＼f(3,５),得ｃos(α-β)=错误!.ｃoｓβ＝cｏｓ［α-(α－β)]＝cos αcos(α-β）＋sinαsin(α-β)=－＼r(3)２×＼f（4,5）+12×错误!=－错误!．１1．（郑州质检)已知函数ｆ(x)=错误!．（１)求函数ｆ(x)的定义域；(２)设α是第四象限的角,且ｔan α＝－＼f(4,３),求f（α）的值. 解析：(1)要使f（ｘ)有意义,则需ｃos x≠0，∴f(x)的定义域是错误!.(2)f(ｘ)=错误!=错误!＝错误!＝2（cos x-sｉｎx).由tａn α=－错误!,得sin α＝-错误!cos α.又sin2α+ｃｏs2α＝1，且α是第四象限角，∴ｃｏs2α＝错误!,则cos α=错误!,siｎα=－错误!.故f(α)=2(ｃｏs α-siｎα)=２错误!=错误!．。

两角差的余弦公式余弦公式是三角形中的一个基本公式，可用于计算未知角的值。

具体来说，余弦公式可以用来计算两个角之间的差异。

余弦公式的形式如下：cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)其中，x和y是两个角度，cos(x - y)表示x和y之间的差异的余弦值，cos(x)和cos(y)分别表示x和y的余弦值，sin(x)和sin(y)分别表示x和y的正弦值。

在余弦公式中，角度的单位可以是度或弧度。

如果使用度作为单位，那么上式中的cos(x)、cos(y)、sin(x)和sin(y)应该是用角度值计算得到的。

如果使用弧度作为单位，那么上式中的cos(x)、cos(y)、sin(x)和sin(y)应该是用弧度值计算得到的。

余弦公式的应用非常广泛。

以下是一些余弦公式的应用示例：1.三角形边长的计算：如果知道一个三角形的两边长度和夹角，可以使用余弦公式来计算第三边的长度。

假设已知三角形的两边长度分别为a和b，夹角为C，则第三边的长度可以通过余弦公式计算得到：c² = a² + b² - 2abcos(C)在这个公式中，c表示第三边的长度。

2.三角形角度的计算：如果知道一个三角形的三边长度，可以使用余弦公式来计算角度。

假设已知三角形的三边长度分别为a、b和c，则夹角C可以通过余弦公式计算得到：cos(C) = (a² + b² - c²) / (2ab)在这个公式中，C表示所需要计算的夹角。

3.二维坐标系中两个向量之间的夹角的计算：在二维坐标系中，可以使用余弦公式来计算两个向量之间的夹角。

假设有两个向量A和B，向量A的分量分别为Ax和Ay，向量B的分量分别为Bx和By，则两个向量之间的夹角可以通过余弦公式计算得到：cos(θ) = (Ax * Bx + Ay * By) / (sqrt(Ax² + Ay²) * sqrt(Bx² + By²))在这个公式中，θ表示两个向量之间的夹角。

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理论迁移
例1 利用余弦公式求cos15°的值.
5 4 p 骣 ÷ ， p , 例2 已知sin a = ,cosb = - , a Î ç ÷ ç 桫 2 13 5
β 是第三象限角,求cos(α －β )的值.
1 例3 已知 cos( a + b )cosb + sin(a + b )sin b = , 3
t an a - t an b t an(a - b ) = . 1 + t an a t an b
思考6：上述公式就是两角和与差的正切 T ( a + b ) ，这两 公式，分别记作 T ( a - b )， 个公式有什么特点？如何记忆？公式成 立的条件是什么？
思考7：为方便起见，公式S ( a + b ) , C ( a + b ) , T ( a + b ) 称为和角公式，公式S ( a - b ) , C a - b , T ( a - b ) 称为差角公式.怎样理解这6个公 式的逻辑联系？
探究（二）：两角差的余弦公式的变通
思考1：若已知α ＋β 和β 的三角函数 值，如何求cosα 的值？
cosα ＝cos[(α ＋β )－β ]＝ cos(α ＋β ) cosβ ＋sin(α ＋β )sinβ . 思考2：利用α －(α －β )＝β 可得 cosβ 等于什么？ cosβ ＝cos[(α －β )－α ]＝ cos(α －β )cosα ＋sin(α －β )sinα .
思考5：sinx＋cosx能用一个三角函数表 示吗？ p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4
理论迁移
3 例1 已知 sin ，α 是第四象限角， 5 p 求 cos( ) ， sin( ) ， t an( a - ) 的值.

3.1.1 两角差的余弦公式学习目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．学习过程基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．学习引领两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．典例导析题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值．随堂练习1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 2．化简cos （x +y ）cos （x －y ）+sin （x +y ）sin （x －y ）的值为（ ）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（ ）A ．1B ．21 C ．22 D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________． 6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值．参考答案学习过程基础预探cos αcos β+sin αsin β典例导析题型一：公式的直接应用例1．C【解析】cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选C ． 题型二：公式的间接应用例2．D【解析】由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º， 则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º） =cos30º=23，故选D ． 题型三：公式的综合应用例3．解：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1，亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π． 随堂练习1．B【解析】cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B3．D 【解析】cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21 【解析】cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21. 5．cos （2βα+） 【解析】cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β） = cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）. 6．解：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53， 又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54， 所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524．。