3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式课标要求1.熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.2.熟记两角差的余弦公式,并能灵活运用.重点难点重点:两角差的余弦公式的推导及应用.难点:两角差的余弦公式的推导.两角差的余弦公式cos(α-β)= ,可简记为C(α-β),其中α,β是任意角.思考: (1)两角差的余弦公式是如何推导的?(一是利用三角函数线,二是利用向量数量积)(2)公式有何特点?(公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是两组含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆)题型一 运用公式化简求值【例1】 化简求值:(1)cos 75°;(2)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°;(3)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.名师导引:(2)(3)中所给式子不符合两角差的余弦公式,可先用诱导公式调整再计算.题后反思 (1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差,正用公式直接求值.(2)在转化过程中,可利用诱导公式调整角和函数名称构造公式的结构形式然后逆用公式求值. 跟踪训练11:cos 15°cos 45°+cos 75°sin 45°的值为( )(A)12 (C)-12 题型二 条件求值【例2】 已知α,β∈（3π4,π）,sin(α+β)=-35, sin （β-π4）=1213,求cos （α+π4）的值. 题后反思 (1)求解给值求值型问题,一般思路是:先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值.注意根据角的终边所在的象限确定符号.(2)注意角的配凑:如(α+β)-α=β,(α+β)-β=α,(2α+β)-α=α+β,(α+2β)-β=α+β等.跟踪训练21:(2014牡丹江一中期末)若α,β均为锐角,sin(α+β)=35,则cos β=()【例1】求cos 31π12+cos25π12的值.【例2】已知sin α+sin β,求(cos α+cos β)2的取值范围. 达标检测——反馈矫正及时总结1.cos 65°cos 35°+sin 65°sin 35°等于(C)(A)cos 100°(B)sin 100°(D)1 22.已知锐角α、β满足cos α=35,cos(α+β)=-513,则cos β等于(A)(A) 3365(B)-3365(C)5475(D)-54753.sin 75°=.4.°+12sin 75°= .课堂小结1.利用向量数量积、推导两角差的余弦公式.2.利用两角差的余弦公式可实现给式求值或给值求值问题,求解关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式.同时注意公式的正用和逆用及拆角、拼角等技巧.3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式.2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.3.能灵活运用公式进行化简和求值.重点:(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征.(2)利用公式进行化简和求值.难点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形用.1.两角和的余弦公式cos(α+β)=,简记为C(α+β).思考1: C(α±β)公式有什么共同特征?(余弦在前,正弦在后,符号改变)2.两角和与差的正弦公式S(α+β):sin(α+β)=; S(α-β):sin(α-β)=.思考2: S(α±β)有何特征?(异名乘,符号同)拓展提升:辅角公式ϕ)（其中tan ϕ=ba,ϕ为辅助角）;ϕ)（其中tan ϕ=ab,ϕ为辅助角）.3.两角和与差的正切公式T(α+β):tan(α+β)=tan tan1tan tanαβαβ+-;T(α-β):tan(α-β)=tan tan1tan tanαβαβ-+.思考3:使用T(α±β)的条件是什么?(公式T(α±β)只有在α≠π2+k1π,β≠π2+k2π,α±β≠π2+k3π(k1,k2,k3∈Z)时才成立,否则就不成立,这是由正切函数的定义域所决定的)题型一三角函数式的化简求值【例1】(1)cos 105°;(2)sin 14°cos 16°+sin 76°cos 74°;(3)sinπ12cosπ12;(4)1tan751tan75+-.名师导引:(1)将105°转化为两个特殊角的和或差,直接利用公式求解.(2)先利用诱导公式统一角度再逆用两角和的正弦公式求解.(3)提取2后将12,逆用公式求解.(4)注意“1”的转化,逆用两角和的正切公式求解.题后反思三角函数式的化简与求值主要是诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和差的正余弦、正切公式的正用、逆用和变形用,观察式子结构特点选取合适公式是解题的关键.转化过程中注意“1”与“tanπ4”、“”与“tan π3”、“12”与“cos π3”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.跟踪训练11:(1)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)cos(θ+15°)的值;(2)(2014遵义四中期末)求tan 20°+tan 40°tan 20° tan 40°的值.题型二三角函数的条件求值【例2】已知π2<β<α<34π,cos(α-β)= 1213,sin(α+β)=-35,求cos 2α的值.名师导引:(1)寻找角的关系2α=(α+β)+(α-β);(2)借助同角三角函数关系及两角和的余弦公式求解.题后反思(1)解决三角函数条件求值问题的关键是寻找已知角与所求角之间的关系,恰当地拆角凑角、合理地选用公式.(2)常见角的变换有α=(α+β)-β、α=β-(β-α)、2α=(α+β)+(α-β)等.跟踪训练21:(2014洛阳期末)已知tan （π4+α）=2,tan(α-β)= 12,α∈（0,π4）,β∈（-π4,0）. (1)求tan α的值;(2)求212sin cos cos ααα+的值;(3)求2α-β的值. 题型三 辅角公式的应用【例3】 当函数取得最大值时,x= .题后反思 辅角公式ϕ)(或ϕ))可以将形如asin x+bcos x(a,b 不同时为零)的三角函数式写成一个角的三角函数式.这样有利于三角函数式的化简求值,更有助于研究三角函数的性质.跟踪训练31:函数f(x)=sin x-cos （x+π6）的值域为( B )](C)[-1,1] ] 【例1】 已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,求tan tan αβ的值.【例2】 已知α,β都是锐角,且,sin β=12,求α-β的值. 达标检测——反馈矫正 及时总结 .(2014清远期末)化简:sin 21°cos 81°-cos 21°sin 81°等于( D )(A)12 (B)-12 2.已知α是锐角,sin α=35,则cos （π4+α）等于( B )(D) 3.sin 255°= . 4.1tan12tan72tan12tan72--= . 5.已知α+β=45°,求(1+tan α)·(1+tan β)的值.1.两角和差公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成两角和差公式的特例.2.利用两角和与差的正、余弦、正切公式解决问题时常用到方程思想和整体思想.求解时注意角的变换,根据角的差异及式子的差异选择恰当公式,找准解题思路和方法.3.求值时注意角的范围引起的三角函数值符号的变化.。
1．计算sin7°cos23°＋sin83°cos67°的值为( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32解析：选 B.sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝12.故选B. 2．计算cos(80°＋2α)cos(65°＋2α)＋sin(80°＋2α)sin(65°＋2α)的值为( ) A.2－64 B.32 C.6＋24 D.12解析：选 C.原式＝cos[(80°＋2α)－(65°＋2α)]＝cos15°＝cos(45°－30°)＝2＋64. 3．sin θ＋cos θ等于( ) A.2cos(π4＋θ) B.2cos(π4－θ) C ．cos(π4＋θ) D ．cos(π4－θ) 解析：选B.sin θ＋cos θ＝2(sin π4sin θ＋cos π4cos θ)＝2cos(π4－θ)． 4．已知cos α＝1213，α∈(32π，2π)，则cos(α－π4)的值为( ) A.5213 B.7213 C.17226 D.7226解析：选D.∵α∈(32π，2π)，∴sin α＝－513， ∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×1213＋(－513)×22＝7226. 5．已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，则α－β等于( ) A.π4 B ．－π4C.π2 D ．－π2解析：选B.∵α，β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0， 故α－β＝－π4. 6．cos(－43°)cos17°＋sin43°sin(－17°)＝________.解析：原式＝cos(－43°)cos17°＋sin(－43°)sin17°＝cos(－43°－17°)＝cos(－60°)＝cos60°＝12. 答案：127．锐角△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos(A －B )＝________. 解析：由题意得cos A ＝45，sin B ＝1213，所以cos(A －B )＝45×513＋35×1213＝5665. 答案：56658．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 解析：(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝2＋2cos(α－β)＝83. 答案：839．已知sin α＝1213，cos β＝－35，α、β均为第二象限角，求cos(α－β)． 解：由sin α＝1213，α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(1213)2＝－513. 又由cos β＝－35，β为第二象限角， ∴sin β＝1－cos 2β＝1－(－35)2＝45. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－513)×(－35)＋1213×45＝6365. 10．已知cos α＝45，cos(α＋β)＝35，且α，β均为锐角，求cos β的值． 解：∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π，∴sin(α＋β)>0.由cos α＝45，cos(α＋β)＝35， 得sin α＝35，sin(α＋β)＝45. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝35×45＋45×35＝2425.。
