几何画板在数学教学中的应用

几何画板在数学教学中的应用
【摘要】：随着计算机的出现和飞速发展，计算机技术广泛应用于各个社会生活领域，多媒体技术的应用为数学教学的更新创造了条件，也给学校教育带来了一场深刻的变革--用计算机辅助教学。

《几何画板》作为电子尺规，是研究几何图形的关系，动态地观察几何图形运动状态，探索数学信息的有力工具。

【关键词】：几何画板；数形结合；几何规律；变式训练
面向新标准新教材的课件设计与制作首当其冲是课件设计理念的转变，几何画板具有很强大的动态教学演示功能，是我们数学教师制作课件的首选工具，它不仅是一个教学工具，更是一个学生用来学习数学（特别是几何）的有用的学习工具。

应用几何画板可以把教师的”教”与学生的”学”有机的结合起来，它可以让我们在课堂上让学生充分活动起来，课堂气氛活跃起来，使学生真正成为学习的主人，让我们教师真正成为教学的引导者。

下面本人就利用几何画板在数学教学中的几点应用，谈谈自己的体会。

一、实现数形结合
华罗庚说：”数缺形少直观，形缺数难入微。

”函数的两种表达方式--解析式和图象--之间常常需要对照。

为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。

例如，我们在讲述二次函数的应用时，就涉及到利用二次函数的图象解一元二次方程的解，从而实现函数与方程这两种数学模式之间的互相转换。

二次函数y＝x2＋x-1的图象与x轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程x2＋x-1＝0的两个根。

在其探究活动中，本人采用如下教学设计进行探究：
问题1：x2＋x-1＝0的解可以看做抛物线y＝x2＋x-1和直线y=0交点的横坐标，如果方程变形成x2＝-x+1，那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？
教师演示：利用几何画板快速作出二次函数y=x2和一次函数y=-x+1的图象（图1），找出它们的两个交点A、B，再利用菜单栏中的度量工具，计算出两点的横坐标，让学生深深感受到几何画板的方便、快捷。

问题2：如果方程变形成x2+x＝1，那么方程的又可以看成怎样的两个函数图象的交点的横坐标？
教师演示：利用几何画板快速作出抛物线y=x2+x和直线y=1的图象（图2），
找出它们的两个交点A、B，再利用菜单栏中的度量工具，计算出两点的横坐标。

问题3：上述方程还可以变形吗？变形之后，还可以看成怎样的两个函数图象的交点的横坐标？
教师演示：利用几何画板快速作出抛物线y=x2-1和直线y=-x的图象（图3），找出它们的两个交点A、B，再利用菜单栏中的度量工具，计算出两点的横坐标。

教学实践表明：利用几何画板画二次函数图象求一元二次方程的解，真正意义上实现了函数和方程两种模式之间的转换，传统教学是不能做到这一点的。

因为在以往的教学中，虽然画出了有关函数的图象及交点，但对于求交点的横坐标，它的本质还是在利用求根公式解一元二次方程。

二、揭示几何规律
作为教材的课本一般都是直截了当的给出了发现的结果。

圆周角的定理也不例外，隐去了数学家们曲折的探索、分析、归纳、猜想等发现过程。

作为教师、如何通过自己的教学设计，再现这一过程，引导学生参与知识的探讨与发现活动，培养学生正确、科学的思维方式，运用基本的数学思想方法研究问题。

因为具体的数学知识随着时间的推移可能会遗忘，而这些数学思想方法学生将会终身受益，本人引导学生自己发现圆周角定理的教学设计如下：
引导1:在圆心角的学习中，我们知道，一条弧确定一个圆心角，即”一弧对一角”，对于圆周角，一条弧所对的圆周角有多少呢？
教师演示：演示弧AB 所对的圆周角有多少，先同时选定边AC和BC,在显示菜单中设为”追踪对象”，拖动顶点C在弧ACB上运动，瞬间即形成了无数个圆周角，给学生以强烈的视觉冲击，这是传统教学手段所不能达到的效果。

同时可看到，不论C 运动到什么位置，始终构成AB所对的一个圆周角（如图4）。

引导2:上面的演示说明了一条弧所对的圆周角有无数个，由于它们顶点的变化，这些角的形状与位置也随着变化，它们的大小是怎样的关系呢？
教师演示：在几何画板中依次选定A、Ｃ、Ｂ，在度量菜单中选择”角度”，然后拖动点C，可以发现∠ACB的角度始终没有变化（如图5）。

通过以上演示观察，启发学生得出猜想1：同弧所对的圆周角相等。

引导3:上面的猜想告诉了我们：任意一弧所对的圆周角都等于同一度量，这个度量是多少呢？它是由什么因素决定的。

教师演示：任意拖动动点A或B，可以发现∠ACB的角度随之发生变化，且可看出：较大的弧所对的圆周角较大，较小的弧所对的圆周角较小，从面进一步得出圆周角的度数是由它所对的弧来决定的。

引导4:一条弧所对的圆周角的度数是由它所对的弧决定的，而这条弧的度数与圆中什么角有直接的关系呢？由此你想到了什么问题。

学生容易得出，寻找一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角是什么关系。

引导5:一条弧所对所有圆周角都是相等的，因而只须找到某一圆周角与这段弧所对圆心角的关系就行了，在弧AB所对的所有圆周角中，顶点C运动到什么位置时的圆周角与圆心角的关系最明显呢？这个关系是什么呢？并简要说明发现的理由。

通过观察演示，学生不难发现；具有如图6所示的位置时，可以得出关系：∠ACB度数等于∠AOB度数的一半。

继而启发学生归纳猜想2：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

教学实践证明：通过以上各步引导，学生不仅自己发现了定理与推论的结论，更重要的是训练了学生运用了观察、比较、分析、归纳猜想等一系列合理的思维方式参与了探求与发展知识的全过程，学会了运用类比、化归、由特殊到一般、变静止为运动、从归纳到猜想等数学思想方法去研究、认识问题，这无疑有助于学生创造力、探索等一系列思维能力的提高。

三、进行变式训练
变式训练能使学生不只看到事物的表象，而且能自觉地探索事物的本质，学会比较全面地挂看待问题，学会从事物之间的联系上来理解事物本质，能在一定程度上克服和减少由于绝对化思维而思维僵化、思维惰性，使思维向多方面发展，培养思维的发散性。

几何画板能够随意地改变图形的形状、结构，改变问题的条件，从而进行变式训练。

例如，在平行线的教学中，我们经常会讲到下面这个典型的例题：
已知：如图7所示，AB∥EF；求证：∠BCF＝∠B＋∠F。

变式1：如果点C在所图8所示位置，则∠BCF、∠B、∠F之间有怎样的数量关系？
教师演示：将点C由图7位置拖至图8位置，让学生能直观地看到改变点C的位置，图形随之发生变化，激发学生的新奇感和参与感，提高学生参与教学活动的兴趣和热情。

变式2：如果改变点C的位置，点C不在AB、EF之间，而在AB、EF外侧，如图9所示，∠BCF的结果会是多少呢？
教师演示：将点C拖至AB上面，使CF与AB的交于点D，让学生清楚地观察到图形之间的内在联系，增加学生的好奇心和求知欲。

变式3：若AB、EF不是平行线，是两条相交直线（如图10），那么∠BCF、∠A、∠B、∠F之间会有怎样的关系？
教师演示：改变点A、E的位置，所它们重合，然后将点C拖至∠BAF内。

实现由平行线向相交线的转换，让感受到几何图形变幻神奇，有效地调动学生学习的积极性和主动性。

教学实践证明：几何画板有助于学生在一个动态的演示过程中，形象、直观地理解知识的发生和发展的各个环节，还可以让学生对动画演示过程产生比较深刻的印象，从而让学生能够很好地理解和掌握所学的知识。

总之，在当前新课改教学中，课件已经成为课堂教学中不可或缺的工具，我们数学教师要充分利用几何画板的各种功能，开发出适应当前教学形势的课件，让教师的教成为真正的”教”，学生的学成为真正的”学”。

参考文献
[1]《几何画板电子教程》，数学教育网，2007.6.
[2]《数学》, 九年级上册, 浙江教育出版社, 2006.6.
[3] 王伟. 《数学变式百例精讲》,宁波出版社, 2006年1月.。