几何画板在高中数学教学中的应用
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《几何画板》在高中数学教学中的应用
学 中有 以下 主要作用 ： （ １ ） 有助于提高课 堂效率 ，
增大知识 的覆盖 面 ， 能给学生更 多的操作 机会 ， 培养 学生 的动手动脑 能力 ； （ ２ ） 有 助 于 提 高 课 堂 教 学 效 果 ，由于情况 的快速反馈 ，老师讲课时更具有针对 性， 并 能及时调整教 学内容和节奏 ； （ ３ ） 有助于 培养 学生敏捷 的思维和观察 问题 、分析问题解决问题的 能力 ， 利用现代化的教育手段进行快速训练 ， 有助于 个性特长 的培养和发挥 。 《 几何画板》 在高 中代数 的其他方面也有很 多用 途 。例如 ， 借助于图形对不 等式 的一些性质 、 定 理和 解法 进行直观分析 ， 由“ 半径不小 于半弦 ” 证 明不 等 式“ ｎ ＋ ６ ＞２ ／ 、 ／ （ ｎ 、 ｂ∈Ｒ＋ ） 等； 再 比如 ， 讲解 数列 的 极 限的概念 时 ， 作 出数列 ＝ １ ０ 一 的图形（ 即作 出一个 由离散点组成 的函数图象 ） ，观察 曲线 的变化趋势 ， 并利 用《 几何 画板 》 的制表 功能 以“ 项数、 这 一项 的 值、 这一项与０ 的绝对值” 列表 ， 帮助学生直 观地理解 这 一 较 难 的概 念 。
二、 《 几 何 画板 》 在 平 面解 析 几何 教 学 中 的应 用
Ａ
＼ —／
（ ３ ）
（ ４ ）
（ ５ ）
三、 《 几何 画板 》 在 立体 几何 教 学 中的 应 用
平面解析几何是用代数 方法来研究几何 问题 的 门数学学科 ， 它研究 的主要 问题 ， 即它的基本思想 和基本方 法是 ： 根据 已知条件 ， 选择适 当的坐标 系 ， 借助形和数的对应关 系 ， 求 出表示平面 曲线的方程 ， 把形的问题转 化为数来研究 ； 再通过方程 ， 研究平面 曲线 的性 质 ， 把 数 的研 究 转 化 为 形 来 讨 论 。 而 曲线 中 各几何量受各 种因素的影 响而变化 ， 导致点 、 线按不 同的方式作运 动 ， 曲线和方程的对应关系 比较抽象 ， 学生不易理解 ， 显而易见 ， 展示几何 图形变形与运动 的整体过程在解析几何教学 中是非常重要 的。 这样 ， 《 几何 画板》 又以其极强 的运算功能和 图形 图象功能 在解 析几何 的教 与学 中大显身手 。如它能作 出各种 形式 的方 程（ 普通方程 、 参数方程 、 极 坐标 方程 ） 的曲 线； 能对 动态 的对象进 行“ 追踪 ” ， 并 显 示 该 对 象 的 “ 轨迹” ； 能通过拖动某一对象（ 如点 、 线） 观察整个图 形 的变化来研究两个或两个 以上 曲线 的位置关系。
增大知识 的覆盖 面 ， 能给学生更 多的操作 机会 ， 培养 学生 的动手动脑 能力 ； （ ２ ） 有 助 于 提 高 课 堂 教 学 效 果 ，由于情况 的快速反馈 ，老师讲课时更具有针对 性， 并 能及时调整教 学内容和节奏 ； （ ３ ） 有助于 培养 学生敏捷 的思维和观察 问题 、分析问题解决问题的 能力 ， 利用现代化的教育手段进行快速训练 ， 有助于 个性特长 的培养和发挥 。 《 几何画板》 在高 中代数 的其他方面也有很 多用 途 。例如 ， 借助于图形对不 等式 的一些性质 、 定 理和 解法 进行直观分析 ， 由“ 半径不小 于半弦 ” 证 明不 等 式“ ｎ ＋ ６ ＞２ ／ 、 ／ （ ｎ 、 ｂ∈Ｒ＋ ） 等； 再 比如 ， 讲解 数列 的 极 限的概念 时 ， 作 出数列 ＝ １ ０ 一 的图形（ 即作 出一个 由离散点组成 的函数图象 ） ，观察 曲线 的变化趋势 ， 并利 用《 几何 画板 》 的制表 功能 以“ 项数、 这 一项 的 值、 这一项与０ 的绝对值” 列表 ， 帮助学生直 观地理解 这 一 较 难 的概 念 。
二、 《 几 何 画板 》 在 平 面解 析 几何 教 学 中 的应 用
Ａ
＼ —／
（ ３ ）
（ ４ ）
（ ５ ）
三、 《 几何 画板 》 在 立体 几何 教 学 中的 应 用
平面解析几何是用代数 方法来研究几何 问题 的 门数学学科 ， 它研究 的主要 问题 ， 即它的基本思想 和基本方 法是 ： 根据 已知条件 ， 选择适 当的坐标 系 ， 借助形和数的对应关 系 ， 求 出表示平面 曲线的方程 ， 把形的问题转 化为数来研究 ； 再通过方程 ， 研究平面 曲线 的性 质 ， 把 数 的研 究 转 化 为 形 来 讨 论 。 而 曲线 中 各几何量受各 种因素的影 响而变化 ， 导致点 、 线按不 同的方式作运 动 ， 曲线和方程的对应关系 比较抽象 ， 学生不易理解 ， 显而易见 ， 展示几何 图形变形与运动 的整体过程在解析几何教学 中是非常重要 的。 这样 ， 《 几何 画板》 又以其极强 的运算功能和 图形 图象功能 在解 析几何 的教 与学 中大显身手 。如它能作 出各种 形式 的方 程（ 普通方程 、 参数方程 、 极 坐标 方程 ） 的曲 线； 能对 动态 的对象进 行“ 追踪 ” ， 并 显 示 该 对 象 的 “ 轨迹” ； 能通过拖动某一对象（ 如点 、 线） 观察整个图 形 的变化来研究两个或两个 以上 曲线 的位置关系。
《几何画板》在高中数学教学中的应用
表 ． 助学 生 直观 地 理解 数 列 极 限的 概念 ． 帮
的 两种 表达 方式 （ 解析 式和 图象 ） 间 常 常 需 要 对 照 。 研 究 函 之 如
数 的单 调 性 、 论方 程 或 不等 式 的 解 的情 况 、 讨 比较 指数 函数 和对 数 函数 图象 之 间的 关 系等．在 有关 函数 的 传统 教 学 中 ， 了解 决 为 数 形 结合 的问题 ， 师 多 以手工 绘 图 。 手工 绘 图有 不精 确 、 教 但 速度 慢 的弊端 ； 应用 《 几何 画板 》 速直 观地 显 示 及变 化 功 能则 可 以克 快
视 觉 化．因 此 ， 着计 算机 多 媒 体 技 术 的 出现 和飞 速 发 展 。 网 ” 随 在 络 技 术 广泛 应 用 于各 个 领 域 的 同时 ． 给学 校教 育 带 来 了一 场 也
来 嘶
距离为参数作 图．如图１ 当拖动两条线段 的某一端点（ 。 即改变 两条线段 的长度 ） 时分别改变三角函数的首相和周期 ， 拖动点Ａ
西安 交通 大学 苏州 附属 中学
２５ ２ １０ １
对 于 数学 科 学来 说 ， 主 要 是 抽象 思 维 和 理论 思 维 ： 从 人 其 但
类 数 学 思维 系统 的发 展 来 说 ， 形象 思 维 是 最早 出现 ． 在 数 学 研 并
函数 的 图象 ． 可 以在 同一 个坐 标 系 中作 出多 个 函 数 的 图象 ， 并 如
０ ９ １
教学 研究 ） 学技 教 巧
数 学教学通 讯（ 教师版 ）
投 箱：ｊ ｖ 。 ３ ｏ 稿稚 ｓ ｋ ｉ１ ． ｍ ｘ＠ ｐ６ｃ
则 改 变其 振 幅 。 样 在 教学 时 既 快速 灵 活 呈 现 函数 图象 的 性质 ， 这
的 两种 表达 方式 （ 解析 式和 图象 ） 间 常 常 需 要 对 照 。 研 究 函 之 如
数 的单 调 性 、 论方 程 或 不等 式 的 解 的情 况 、 讨 比较 指数 函数 和对 数 函数 图象 之 间的 关 系等．在 有关 函数 的 传统 教 学 中 ， 了解 决 为 数 形 结合 的问题 ， 师 多 以手工 绘 图 。 手工 绘 图有 不精 确 、 教 但 速度 慢 的弊端 ； 应用 《 几何 画板 》 速直 观地 显 示 及变 化 功 能则 可 以克 快
视 觉 化．因 此 ， 着计 算机 多 媒 体 技 术 的 出现 和飞 速 发 展 。 网 ” 随 在 络 技 术 广泛 应 用 于各 个 领 域 的 同时 ． 给学 校教 育 带 来 了一 场 也
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距离为参数作 图．如图１ 当拖动两条线段 的某一端点（ 。 即改变 两条线段 的长度 ） 时分别改变三角函数的首相和周期 ， 拖动点Ａ
西安 交通 大学 苏州 附属 中学
２５ ２ １０ １
对 于 数学 科 学来 说 ， 主 要 是 抽象 思 维 和 理论 思 维 ： 从 人 其 但
类 数 学 思维 系统 的发 展 来 说 ， 形象 思 维 是 最早 出现 ． 在 数 学 研 并
函数 的 图象 ． 可 以在 同一 个坐 标 系 中作 出多 个 函 数 的 图象 ， 并 如
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教学 研究 ） 学技 教 巧
数 学教学通 讯（ 教师版 ）
投 箱：ｊ ｖ 。 ３ ｏ 稿稚 ｓ ｋ ｉ１ ． ｍ ｘ＠ ｐ６ｃ
则 改 变其 振 幅 。 样 在 教学 时 既 快速 灵 活 呈 现 函数 图象 的 性质 ， 这
《几何画板》在高中数学教学中的应用
辅 助教学 ，并 越来 越 多地 影 响着教 师 的 教 学和 学生 的学 习活动 。根 据数 学这 门 学科 的特 点 ， 从 国外 引进 的教育软 件《 几
间 图形 ，从平 面观 念过 渡 到 立 体 观念 ． 何时 。 大 多数学 生不 具 备 丰 富 的空 间 想
中简 单地想象或手工地 画出其草 图． 而
几 何 图形 的三 种 运 动 和 变化 、 空 间
图 形 的观 察 与 抽 象 都 是 利 用 传 统 教 学 比较 薄 弱 的地 方 ． 好 多学 生 由于 在 实 际
为数 来研 究 ； 再通过 方程 ． 研 究 平面 曲线 的性质 。 把 数的研究 转化 为形 来讨 论 。 而
厌 恶的心 理 。 尤 其是在 中学 数学 中 。 有相 当一部 分 的知识 是 比 较抽 象 难 懂的 ， 如 立 体 几何 、 函数 、 不等 式 解 的讨论 、 三角
何 画板） 以其学习入 门容易和操作简单 象 的 能 力 及 较 强 的 平 面 与 空 间 图形 的
的 优点 及 其 强大 的 图 形和 图 象功 能 、 方
转化 能 力 ， 主要原 因在 于人 们 是 依 靠 对 ＜ 几何画板＞ 。 就可以动态地描绘出轨迹 二 维 平 面 图形 的 直 观 来 感 知 和 想 象 三 成 为三 维 空问 图形 的真 实 写 照 ． 平 面 上 绘 出 的立体 图形 受 其视 角 的影 响 ， 难 于 综 观全 局 ． 其空 间形 式 具 有很 大 的 抽 象
《 几何画 在高中数擘教学 中的应 用
内蒙古赤峰 市敖 汉旗 新 惠 中学数 学组 潘辉
我 国高 中新 数学课 程标 准指 出 ： “ 数 学 课 程 的设 计 与实 施 应 重视 运 用 现 代 信 息 技 术 。特 别要 充分 考 虑计 算 器 、 计 算机 对 数 学学 习内容 和 方式 的 影 响 ． 大 力 开 发 并 向 学 生提 供 更 为 丰 富 的 学
几何画板在高中数学教学中的应用研究
3、培养了学生的动手实践能力
数学教学的目的是为了培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。为 了达到这个目的，我们不仅要让学生掌握数学知识，而且要让他们学会如何运用 所学的知识来解决实际问题。几何画板不仅可以用来解决数学问题，而且可以用 来解决物理问题和其他学科的问题。例如我们可以利用几何画板来测量山的高度； 可以利用它来制作物理中的简谐振动图像等等。学生在使用几何画板解决这些实 际问题的过程中会不断提高他们的动手实践能力。
例如在讲解椭圆的定义时，我们可以利用几何画板来绘制椭圆的图形。通过 改变焦距或椭圆上任一点的位置来动态地展示椭圆的形成和变化过程，这样就会 使学生对椭圆的定义有更深的理解。
三、几何画板在立体几何教学中 的应用
立体几何是以公理为基础的，它主要研究空间图形的形状、大小和位置关系。 在传统的教学中，我们只能借助模型或教学挂图来进行讲解。但这些模型或挂图 一般是二维的、静态的，不能动态地反映图形的生成过程。而几何画板可以绘制 三维的图形，可以从不同角度展示同一个物体，并可以通过拖动、设色、旋转等 手段使抽象的图形变得形象、具体，从而使学生更好地理解空间图形的性质。
一、几何画板在高中代数教学中 的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在 中学数学的各个方面。如果学生开始不理解函数，对以后的学习会造成很大的障 碍。而利用几何画板可以展示函数图像的平移、对称等动态过程，使学生一目了 然，极大地方便了学生的学习。
例如在讲解正弦型函数y=asin(ωx+φ)的图像变换规律时，以前我们只能在 黑板上画几个图来说明问题，学生往往难以理解，现在利用几何画板画出y=sinx 的图像后，可以方便地通过改变ω，φ的值来让学生观察图像的变化规律，动态 的演示加深了学生的理解。
《几何画板》在高中数学教学中应用
《几何画板》在高中数学教学中的应用众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。
数学是集抽象思维和理论思维于一体的一门科学，从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。
因此，形象思维是学习数学的一个必要条件，在数学教学中，对数形结合的思想培养和训练是非常重要的。
下面，我就《几何画板》在高中数学教学中的一些应用谈几点体会：一、利用《几何画板》创设情境，帮助学生理解基本概念“函数”是中学数学中最重要的概念，它的概念和思维方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。
就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。
”函数的两种表达方式——解析式和图象——之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。
为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多数教师是在课堂上亲手画图，但通常不够精确、速度较慢；另一种方式是使用函数图象的相关图片，虽然够精准够速度，但是缺少过程展示和动态效果的体现。
而应用几何画板可以同时解决上述两大问题，它能够快速直观的显示图象并能展示动态变化过程的功能，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
实例1：可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，归纳幂函数的性质。
（如上图）实例2：可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数y=asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将a、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段q、w的长度和a点到x 轴的距离为参数作图（如下图），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点a则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
几何画板在高中数学教学中的应用
几何画板在高中数学教学中的应用几何画板在高中数学教学中的应用1. 简介几何画板是一种基于计算机技术的可视化工具，可以用来绘制和探索几何图形。
在高中数学教学中，几何画板可以用来辅助教师讲解几何概念、帮助学生理解几何原理，并能够提供一些实践操作，加深对几何知识的理解。
2. 绘制基础几何图形•使用几何画板可以绘制各种基础的几何图形，如点、线、圆等。
教师可以在黑板或投影仪上展示几何画板绘制的图形，让学生观察和理解图形的特点和属性。
3. 探索几何定理和性质•几何画板可以帮助学生通过实践操作去探索和验证几何定理和性质。
比如，学生可以通过几何画板绘制两条平行线和一条横穿它们的线，然后观察和记录相应的角度关系，进而发现平行线的性质。
4. 解决几何问题•几何画板还可以用来解决一些几何问题。
学生可以通过几何画板进行推理和演算，求解未知的几何量。
比如，给定一个等边三角形，学生可以使用几何画板求解其面积、周长等属性。
5. 动态演示几何变换•几何画板可以进行各种几何变换的动态演示，比如平移、旋转、翻转等。
教师可以利用几何画板来展示和解释几何变换的概念和特点，让学生更直观地理解这些变换对图形的影响。
6. 探究立体几何•除了平面几何，几何画板还可以用来探究立体几何。
学生可以利用几何画板绘制和操纵各种立体几何图形，比如长方体、正方体等，进一步理解和学习立体几何的概念和性质。
7. 综合应用•几何画板可以与其他学科知识相结合，进行跨学科的综合应用。
比如，在科学课程中，可以利用几何画板演示光线的反射和折射现象；在艺术课程中，可以利用几何画板探索和创作各种几何艺术图案。
通过应用几何画板，学生可以在实践中加深对几何知识的理解和应用，提升对数学的兴趣和学习动力。
同时，几何画板也能够帮助教师更生动、直观地教学，提高教学效果。
因此，在高中数学教学中广泛使用几何画板是非常有益的。
《几何画板》在高中数学教学中的应用
培 养 学 生 发 现 问 题 的 能力 。
建 构 主 义 学 习 理 论认 为 ： 识 不 是 通 过 教 师 传 授 得 到 的 ， 是 知 而 学 习 者 在 一 定 的 情 境 下 ， 助 于 他 人 （ 括 教 师 和学 习 伙 伴 ） 帮 借 包 的 助 ， 用必 要 的学 习资 料 、 体 ， 过 意 义建 构 的 方式 而获 得 的 。 利 媒 通 所 以数 学 知识 的 学 习 ， 要 学 生 主 动 观 察 、 索 来 消 化 和 理 解 ， 终 需 探 最 建 立 自 己的 认 知 结构 。 而在 传 统 教 学 中 ， 往 只 重 视数 学结 论 的得 往
生不易理解 ， 因此 我 们 可 以采 用 《 何 画 板 》 向学 生 提 供 形 象 的 动 几 ，
态画面 ， 发学生的联想 ， 诱 培养 和 提 高 学 生 的 类 比 能 力 。
学的规律。 因此 ， 者 结合 教学 实践 就《 何 画 板 》 高 中数 学 教 学 笔 几 在
中的 应 用作 一探 讨 。 １ 《 何 画 板》 概 念 教 学 中 的应 用 几 在 数 学概 念 是 现 实 世 界 中空 间 形 式 和 数 量 关 系 的本 质 特 性 的 高 度 概 括 与 反 映 ， 数 学 思 维 的 细 胞 ， 有 高 度 的 抽 象 性 、 统 性 和 是 具 系 逻 辑性 。在 学 习过 程 中 ， 须 严谨 地 分 析 ， 刻 地 理解 其本 质 属 性 必 深 和 内部 联 系 ． 此 在 概 念 教 学 中 ， 可 能 用 直 观 的 、 视 的 图形 描 因 尽 可 述 抽象 的概 念 。而 《 何 画板 》 速 直 观 的显 乐 及 变化 功 能恰 好 能 几 快 大 大 提高 课 堂 效 率 ， 收到 事 半 功 倍 的效 果 。 比 如 在 讲 椭 圆 的定 义 时 ， 以 由“ 两 定 点 Ｆ 、 距 离 之 和 可 到 Ｆ 的
建 构 主 义 学 习 理 论认 为 ： 识 不 是 通 过 教 师 传 授 得 到 的 ， 是 知 而 学 习 者 在 一 定 的 情 境 下 ， 助 于 他 人 （ 括 教 师 和学 习 伙 伴 ） 帮 借 包 的 助 ， 用必 要 的学 习资 料 、 体 ， 过 意 义建 构 的 方式 而获 得 的 。 利 媒 通 所 以数 学 知识 的 学 习 ， 要 学 生 主 动 观 察 、 索 来 消 化 和 理 解 ， 终 需 探 最 建 立 自 己的 认 知 结构 。 而在 传 统 教 学 中 ， 往 只 重 视数 学结 论 的得 往
生不易理解 ， 因此 我 们 可 以采 用 《 何 画 板 》 向学 生 提 供 形 象 的 动 几 ，
态画面 ， 发学生的联想 ， 诱 培养 和 提 高 学 生 的 类 比 能 力 。
学的规律。 因此 ， 者 结合 教学 实践 就《 何 画 板 》 高 中数 学 教 学 笔 几 在
中的 应 用作 一探 讨 。 １ 《 何 画 板》 概 念 教 学 中 的应 用 几 在 数 学概 念 是 现 实 世 界 中空 间 形 式 和 数 量 关 系 的本 质 特 性 的 高 度 概 括 与 反 映 ， 数 学 思 维 的 细 胞 ， 有 高 度 的 抽 象 性 、 统 性 和 是 具 系 逻 辑性 。在 学 习过 程 中 ， 须 严谨 地 分 析 ， 刻 地 理解 其本 质 属 性 必 深 和 内部 联 系 ． 此 在 概 念 教 学 中 ， 可 能 用 直 观 的 、 视 的 图形 描 因 尽 可 述 抽象 的概 念 。而 《 何 画板 》 速 直 观 的显 乐 及 变化 功 能恰 好 能 几 快 大 大 提高 课 堂 效 率 ， 收到 事 半 功 倍 的效 果 。 比 如 在 讲 椭 圆 的定 义 时 ， 以 由“ 两 定 点 Ｆ 、 距 离 之 和 可 到 Ｆ 的
《几何画板》在高中数学教学中的应用
一
化 的 观 点 对现 实 世 界 数 量 关 系 的一 种 刻 画 ，这 又 决 定 了它 是 对 学 生进 行 素 质 教 育 的 重 要 材 料 。就 如 华 罗庚 所 说 ：数 缺 形 “ 少直观 ， 缺数难人微。” 形 函数 的两 种 表 达 方 式— — 解 析 式 和 图像 — — 之 间 常 常 需 要 对 照 （ 研 究 函数 的 单 调 性 、 论 方 程 如 讨 或 不 等式 的解 的情 况 、 比较 指 数 函数 和 对 数 函数 图像 之 间 的 关 系等 ） 为 了解 决 数 形 结 合 的问 题 。 。 在有 关 函数 的传 统 教学 中多以教师手工绘 图， 手工绘 图有不精确 、 度慢的弊端 ； 但 速 应 用 几 何 画 板 快 速 直 观 的 显示及 变 化 功 能则 可 以克 服 上 述 弊 端 ， 大提 高 课 堂 效 率 ， 而 起 到 事半 功倍 的效 果 。 大 进 具 体 说 来 ， 以用 《 何 画 板 》 据 函 数 的解 析 式 快 速作 可 几 根 出 函数 的 图像 ，并 可 以 在 同 一个 坐标 系 中作 出多 个 函数 的 图 像 ，如 在 同 一 个 直 角坐 标 系 中作 出 函数 ｖ ｘ、＝ ｌ＝ …的 图 ＝ ‘ｙ ｘ￣ｙ ｘ ｌ 像． 比较 各 图像 的形 状 和位 置 ， 纳 幂 函 数 的性 质 ； 可 以作 归 还 出含 有 若 干参 数 的 函数 图像 ，当参 数 变 化 时 函数 图 像也 相应 地 变 化 ， 在 讲 函 数ｙ Ａ ｉ（ ｘ Ｏ） 图像 时 ， 统 教 学 只 能将 如 ＝ｓ ｏ＋ 的 ｎ 传 Ａ、） （、 入 有 限个 值 ，观 察各 种 情 况 时 的 函数 图像 之 问 的关 １ 代 系 ； 用 《 何 画板 》 可 以 以线 段ｂ Ｔ 利 几 则 、 的长 度 和Ａ点 到ｘ 的距 轴 离 为 参 数 作 图 （ 图 １ ， 拖 动 两 条 线段 的 某 一 端 点 （ 改 变 如 ）当 即 两 条 线段 的长 度 ） 分 别 改 变 三 角 函 数 的 首相 和周 期 ， 动 点 时 拖
化 的 观 点 对现 实 世 界 数 量 关 系 的一 种 刻 画 ，这 又 决 定 了它 是 对 学 生进 行 素 质 教 育 的 重 要 材 料 。就 如 华 罗庚 所 说 ：数 缺 形 “ 少直观 ， 缺数难人微。” 形 函数 的两 种 表 达 方 式— — 解 析 式 和 图像 — — 之 间 常 常 需 要 对 照 （ 研 究 函数 的 单 调 性 、 论 方 程 如 讨 或 不 等式 的解 的情 况 、 比较 指 数 函数 和 对 数 函数 图像 之 间 的 关 系等 ） 为 了解 决 数 形 结 合 的问 题 。 。 在有 关 函数 的传 统 教学 中多以教师手工绘 图， 手工绘 图有不精确 、 度慢的弊端 ； 但 速 应 用 几 何 画 板 快 速 直 观 的 显示及 变 化 功 能则 可 以克 服 上 述 弊 端 ， 大提 高 课 堂 效 率 ， 而 起 到 事半 功倍 的效 果 。 大 进 具 体 说 来 ， 以用 《 何 画 板 》 据 函 数 的解 析 式 快 速作 可 几 根 出 函数 的 图像 ，并 可 以 在 同 一个 坐标 系 中作 出多 个 函数 的 图 像 ，如 在 同 一 个 直 角坐 标 系 中作 出 函数 ｖ ｘ、＝ ｌ＝ …的 图 ＝ ‘ｙ ｘ￣ｙ ｘ ｌ 像． 比较 各 图像 的形 状 和位 置 ， 纳 幂 函 数 的性 质 ； 可 以作 归 还 出含 有 若 干参 数 的 函数 图像 ，当参 数 变 化 时 函数 图 像也 相应 地 变 化 ， 在 讲 函 数ｙ Ａ ｉ（ ｘ Ｏ） 图像 时 ， 统 教 学 只 能将 如 ＝ｓ ｏ＋ 的 ｎ 传 Ａ、） （、 入 有 限个 值 ，观 察各 种 情 况 时 的 函数 图像 之 问 的关 １ 代 系 ； 用 《 何 画板 》 可 以 以线 段ｂ Ｔ 利 几 则 、 的长 度 和Ａ点 到ｘ 的距 轴 离 为 参 数 作 图 （ 图 １ ， 拖 动 两 条 线段 的 某 一 端 点 （ 改 变 如 ）当 即 两 条 线段 的长 度 ） 分 别 改 变 三 角 函 数 的 首相 和周 期 ， 动 点 时 拖
几何画板在高中数学教学中的应用
几何画板在高中数学教学中的应用一、引言随着科技的不断发展，信息技术已经逐渐渗透到教育领域，为我们的教学方式带来了许多变化。
其中，几何画板是一款优秀的数学教学软件，它能够通过动态的图形和直观的视觉效果，帮助学生更好地理解数学概念和解决问题。
本文将探讨几何画板在高中数学教学中的应用。
二、几何画板的功能与特点几何画板是一款基于图形运算功能的软件，它能够快速生成各种形状的图形，并且能够实现图形的动态变化。
其特点包括：1、操作简单：几何画板的界面简洁明了，操作方式直观易懂，学生可以轻松上手。
2、动态绘图：几何画板可以生成动态的图形，让学生更直观地理解数学概念和问题。
3、交互式操作：学生可以通过拖拽、缩放、旋转等方式与图形进行交互，增强了学生的参与感和实际操作能力。
4、数据处理：几何画板可以快速地进行数据运算和处理，帮助学生更好地理解数据的变化规律。
三、几何画板在高中数学教学中的应用1、平面解析几何：在平面解析几何教学中，几何画板可以帮助学生更好地理解圆锥曲线、直线、圆等图形的性质和方程。
例如，通过绘制图形，学生可以直观地理解椭圆、双曲线、抛物线的形状和性质，以及它们与直线和圆的关系。
2、立体几何：立体几何是高中数学中的一个难点，但通过几何画板的动态绘图功能，可以帮助学生更好地理解立体图形的结构和性质。
例如，在讲解正方体、长方体等立体图形的性质时，通过几何画板的绘制，可以让学生更直观地理解它们的对角线、边长等属性的关系。
3、函数图像：函数图像是高中数学中非常重要的内容，但传统的教学方式很难让学生直观地理解函数的变化规律。
而通过几何画板，学生可以轻松地绘制出函数的图像，并且可以通过动态的图像变化来理解函数的变化规律。
4、统计与概率：在统计与概率教学中，几何画板可以帮助学生更好地理解数据的分布和概率的计算。
例如，在讲解正态分布时，通过几何画板的绘制，可以让学生更直观地理解正态分布的特点和规律。
四、结论几何画板在高中数学教学中具有广泛的应用前景。
几何画板在高中数学教学中的作用及其应用
信息技术与学科整合几何画板在高中数学教学中的作用及其应用山东省寿光市第一中学(２６２７００)㊀董江春１㊀几何画板概述几何画板是一个在理科教学尤其是在高中数学教学中使用效果非常的软件平台,它能够培养学生的发散性思维能力,提高其空间想象能力.它的主要特征就是可以将抽象的几何图形变得形象化,具备 动态性 的特征,也就是说:能够通过鼠标拖动图形上的点㊁线或者面的方式,保证几何图形在动态变化的过程中保持其基本性质不变,因此,借助于几何画板能够实现在 动态变化的几何图形中,发现恒定不变的数学规律 .２㊀几何画板在高中数学教学中的作用２．１㊀有利于培养学生的学习兴趣学生利用几何画板进行高中数学学习,学习变得生动有趣,有利于培养学生的学习兴趣.调查结果表明,部分学生以前上数学课不认真听讲,注意力很难集中,而几何画板在高中数学教学中应用之后,学生认为他们突然发现了高中数学的精髓,抽象复杂的数学概念㊁定理㊁公式等都变得直观㊁生动了.比如,平面解析几何相关内容由于需要耗费大量的精力进行运算而导致一些学生难于学习,而在教师利用几何画板动态演示圆㊁椭圆㊁圆锥曲线等几何图形的动态变化过程之后,学生能够积极主动地利用几何画板,通过动手操作的方式来掌握平面解析几何相关的问题.２．２㊀有利于教师开发校本课程教师在开发出校本教材的基础上在校本课程中开设几何画板这门课程,从而能够解决学生学习几何困难的问题,能够满足不同的学生的学习需要,让学生更轻松地掌握几何画板的应用.借助于几何画板,非常有利于教师开发校本课程,它能以基本的数学知识为出发点,引导学生学会温故而知新.２．３㊀有利于提高课堂学习效率高中生面临着高考,效率就是生命,提高课堂学习效率至关重要.高中数学的每个章节几乎都离不开数形结合的思想,简单地利用 数 或者 形 进行学习,很难取得良好的效果.而通过几何画板的应用,能够实现高中数学教学中的数形结合,学生就能够形成良好的数形结合的思想,从而更加热爱高中数学,有利于提高课堂学习效率,让学生在有限的课堂学习时间之中深入学习,掌握更多的内容.３㊀几何画板在高中数学教学中的应用３．１㊀几何画板在高中立体几何教学中的应用在初学立体几何时,学生是通过对二维平面图形的认识来学习和想象三维空间图形的,而展示在平面上的立体图形肯定会受到视角的影响导致很难逼真地展现在学生面前.例如,空间中两个互相垂直的面展示在平面上未必是夹角为直角的;正方体的６个面并不都能画成正方形等.这就导致学生在扭曲事实的二维平面图形上去感知立体几何,因此,学生学习起来非常困难.而通过几何画板在高中立体几何教学中的应用,立体几何中的每一个元素之间的位置关系和数量关系都能够动态演示出来,学生就能够真正地观察到立体图形的动态变化过程,学生在头脑中能够深刻地领会立体图形的动画效果,深刻掌握立体几何的相关知识.在讲二面角和二面角的平面角时,当二面角的半平面发生转动时,二面角的大小也会随之发生相应的变化,二面角的平面角的大小也会改变,如图１甲㊁乙㊁丙所示.学生能够通过几何画板的动态演示很明显地观察到这种直观变化,从而提高其空间想象力,让学生更容易理解和掌握复杂的立体几基金项目:中国教育科学研究院实验区重点课题 全面实现教育现代化有效路径和评价研究 子课题 现代信息技术(几何画板软件)在高中数学教学中的应用研究 ,课题编号:Z K T２０１６１４０.何知识.甲乙丙图１㊀二面角和二面角的平面角的动态变化３．２㊀几何画板在高中函数教学中的应用利用几何画板,只要给出函数表达式,就能够做出任意一个给定区间上的函数图像,并且能够对于包含若干个参数的函数图像进行动态演示和控制.例如,三角函数s i n x ㊁２s i n x 和１/２s i n x 的图像在几何画板中可以清晰地展示出来,如图２所示.图２㊀几何画板在函数教学中的应用此外,用几何画板也能够做出指数函数图像㊁对数函数图像㊁数列的图像㊁分段函数的图像等等.３．３㊀几何画板在高中平面几何教学中的应用利用几何画板,除了能够进行尺规作图,准确地画出各种各样的几何图形之外,也能够进行精确的测量和计算,对于所画出的线段的长度㊁弧的长度㊁角的角度㊁图形的面积等都能够进行测算.通过鼠标拖动几何图形,能够动态地演示其边㊁角㊁面积等的变化情况.对于保持恒定不变的几何定理,几何画板也能够确保其恒定不变.因此,虽然可以动态地拖动几何图形,但是,线段的中点始终都是中点,两条相交线始终都是相交的;不管怎样拖动一个四边形,四边形的内角和始终都是３６０ʎ;不管怎样拖动圆内的相交弦A B ,C D 的交点P 的位置,P A ㊁P B ㊁P C ㊁P D ４条线段的长度会发生变化,但是始终满足P A P B ＝P C P D ,从而使学生能够主动地探索出相交弦定理.如果把P 点拖到圆外,又使学生能够主动地探索出割线定理,如图３所示.图３㊀几何画板在平面几何教学中的应用此外,利用几何画板也可以实现 跟踪 动态对象的功能,并且显示该对象的 轨迹 .在教学中,学生能够预先猜测轨迹的形状,并且真正看到轨迹形成的过程,采取 先猜后证 的教学设计,激发学生的学习热情,唤起他们的求知欲,在课堂上主动探索,构建知识.几何画板除了有直角坐标系功能,能画出解析几何中的所有二次曲线之外,还有极坐标系功能,能够画出由极坐标确定的所有曲线,因此能够用来学习极坐标下的图形㊁方程.４㊀结束语几何画板可以有效地解决传统高中数学教学方式㊁方法中存在的问题,使得学生能够主动学习数学,通过观察㊁分析㊁猜想㊁归纳㊁验证,锻炼数学思维能力.尤其是对于一些数学成绩不好的学生而言,他们一般都是计算机操作高手,能够非常快速地学会如何使用几何画板,灵活地运用几何画板进行数学学习和实验,他们也能够感受到胜利的喜悦,从而学习热情高涨.目前,几何画板在高中数学教学中的应用仍然处于初级阶段,实践教学之路仍然很漫长,可以预测,几何画板的重要作用一定能够在高中数学教学中得到发挥,使得高中数学教学出现质的飞跃.收稿日期:２０１６－０９－２７。
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《几何画板》在高中数学教学中的应用
摘要：几何画板对高中数学教学引起了革命性的变革，数学中的概念、定理、公式、借助几何画板得以形象、直观、动态展示，大大降低了数学学习难度，文章从三个方面阐述了几何画板在高中数学教学中的应用，对推进高中数学课堂改革有积极作用。
关键词：几何画板；代数；几何；解析几何
对于数学科学来说主要是抽象思维和理论思维，这是事实；但从人类数学思维系统的发展来说，形象思维是最早出现的，并在数学研究和教学中都起着重要的作用。
不难想象，一个没有得到形象思维培养的人会有很高的抽象思维、理论思维的能力。
同样，一个学生如果根本不具备数学想象力，要把数学学好那也是不可能的。
正如前苏联著名数学家a.h.柯尔莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化。
”因此，随着计算机多媒体的出现和飞速发展，在网络技术广泛应用于各个领域的同时，也给学校教育带来了一场深刻的变革——用计算机辅助教学，改善人们的认知环境——越来越受到重视。
从国外引进的教育软件《几何画板》以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。
那么，《几何画板》在高中数学教学中有哪些应用呢？作为一名高中数学教师笔者就此谈几点体会：
一、《几何画板》在高中代数教学中的应用
“函数”是中学数学中最基本、最重要的概念，它的概念和思维
方法渗透在高中数学的各个部分；同时，函数是以运动变化的观点对现实世界数量关系的一种刻划，这又决定了它是对学生进行素质教育的重要材料。
就如华罗庚所说：“数缺形少直观，形缺数难入微。
”函数的两种表达方式——解析式和图象——之间常常需要对照（如研究函数的单调性、讨论方程或不等式的解的情况、比较指数函数和对数函数图象之间的关系等）。
为了解决数形结合的问题，在有关函数的传统教学中多以教师手工绘图，但手工绘图有不精确、速度慢的弊端；应用几何画板快速直观的显示及变化功能则可以克服上述弊端，大大提高课堂效率，进而起到事倍功半的效果。
具体说来，可以用《几何画板》根据函数的解析式快速作出函数的图象，并可以在同一个坐标系中作出多个函数的图象，如在同一个直角坐标系中作出函数y=x2、y=x3和y=x1/2的图象，比较各图象的形状和位置，归纳幂函数的性质；还可以作出含有若干参数的函数图象，当参数变化时函数图象也相应地变化，如在讲函数
y=asin(ωx+φ)的图象时，传统教学只能将a、ω、φ代入有限个值，观察各种情况时的函数图象之间的关系；利用《几何画板》则可以以线段b、t的长度和a点到x轴的距离为参数作图（如图1），当拖动两条线段的某一端点（即改变两条线段的长度）时分别改变三角函数的首相和周期，拖动点a则改变其振幅，这样在教学时既快速灵活，又不失一般性。
《几何画板》在高中代数的其他方面也有很多用途。
例如，借助于图形对不等式的一些性质、定理和解法进行直观分析——由“半
径不小于半弦”证明不等式“a+b≥2 （a、b∈r+）等；再比如，讲解数列的极限的概念时，作出数列an=10-n的图形（即作出一个由离散点组成的函数图象），观察曲线的变化趋势，并利用《几何画板》的制表功能以“项数、这一项的值、这一项与0的绝对值”列表，帮助学生直观地理解这一较难的概念。
二、《几何画板》在立体几何教学中的应用
立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质；它所用的研究方法是以公理为基础，直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。
从平面图形到空间图形，从平面观念过渡到立体观念，无疑是认识上的一次飞跃。
初学立体几何时，大多数学生不具备丰富的空间想象的能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。
如两条互相垂直的直线不一定画成交角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。
这样一来，学生不得不根据歪曲真象的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。
而应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。
这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。
像在讲二面角的定义时（如图2），当拖动点a时，点a所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力；在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割成棱台的过程（如图3），更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力;在用祖恒原理推导球的体积时，运用动画和轨迹功能作图5，当拖动点o时，平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。
三、《几何画板》在平面解析几何教学中的应用
平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。
而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。
这样，《几何画
板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。
如它能作出各种形式的方程（普通方程、参数方程、极坐标方程）的曲线；能对动态的对象进行
“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。
具体地说，比如在讲平行直线系y=x+b或中心直线系y=kx+2时，如图6所示，分别拖动图（1）中的点a和图（2）中的点b时，可以相应的看到一组斜率为1的平行直线和过定点（0，2）的一组直线（不包括y轴）。
再比如在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点f1、f2的距离之和为定值的点的轨迹”入手——如图7，令线段ab 的长为“定值”，在线段ab上取一点e，分别以f1为圆心、ae的长为半径和以f2为圆心、ae的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。
先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图7（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。
这时老师用鼠标拖动点b（即改变线段ab的长），使得|ab|=|f1f2|，如图7（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段f1f2，学生开始谨慎起来并认真思索,不难得出图7（3）（|ab|<|f1f2|时）的情形。
经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。
综上所述，使用《几何画板》进行数学教学，通过具体的感性的信息呈现，能给学生留下更为深刻的印象，使学生不是把数学作为单纯的知识去理解它，而是能够更有实感的去把握它。
这样，既能激发学生的情感、培养学生的兴趣，又能大大提高课堂效率。
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