华师大数学九下：27.2教案_与圆有关的位置关系
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与圆有关的位置关系重点、难点：1. 重点：（1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。
（2）三角形外接圆的性质。
（3）切线的识别及切线性质的应用。
（4）切线长定理。
（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
（6）两圆相交、相切的性质和判定。
（7）圆和圆的位置关系。
2. 难点：（1）直线与圆相切的性质和判定。
（2）切线的判定方法：切线的性质。
（3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。
①两圆相交，可作公共弦。
②两圆相切，可作公切线。
③有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对的圆周角。
④圆与圆要心连心，即作连心线。
【知识纵览】1. 点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。
也就是说：点与圆的位置关系，不仅2. 直线与圆的位置关系的性质与判定4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法上表中，两圆内含时，如果d ＝0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。
【典型例题】例1. ⊙O 的半径为2.5，动点P 到定点O 的距离为2，动点Q 到P 点距离为1。
问：P 点、Q 点和⊙O 是什么位置关系？为什么？ 解：∵PO ＝2＜2.5 ∴P 点在⊙O 内部Q 点和O 点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。
当Q 点在OP 延长线上时，则Q 点和O 点距离最大，最大距离为213+=。
当Q 点在OP 上时，则Q 点和O 点距离最小，最小距离为211-=。
当Q 点处在Q 1点和Q 2点时，则QO =25.，如上图所示。
综上所述，Q 点既可能在⊙O 上，也可能在⊙O 外，或在⊙O 内。
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，当以点O'（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r 的取值范围。
（1）与坐标轴有惟一交点。
（2）与坐标轴有两个交点。
（3）与坐标轴有三个交点。
（4）与坐标轴有四个交点。
解：如下图，由题意，圆心O'到x 轴的距离d x =3，到y 轴的距离d y=4。
（1）∵⊙O'与坐标轴有惟一公共点∴只可能与x轴有惟一公共点r d3∴==x（2）由条件知，⊙O'与x轴相交，但与y轴无公共点r34∴<<（3）∵⊙O'与坐标轴有三个交点∴⊙O'与x轴必相交且与y轴必有公共点若⊙O'与y轴有惟一公共点，则r＝4若⊙O'与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r＝5。
∴所求r的值为r＝4或r＝5（4）∵⊙O'与坐标轴有四个交点∴⊙O'与两坐标轴都相交，且不过原点∴r＞4且r≠5例3. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。
OC平行于弦AD，试说明：DC是⊙O的切线。
解：连结OD因为OA＝OD，所以∠1＝∠2又因为AD∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4因此∠3＝∠4而OB＝OD，OC公共，于是将△OBC沿OC翻折可与△ODC重合所以∠ODC＝∠OBC又BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°从而∠ODC ＝90°，OD ⊥DC ，故DC 是⊙O 的切线例4. 如图所示，已知AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧AC ⋂上一点，DE ⊥AB于点H ，交⊙O 于E ，交AC 于点F ，P 为ED 延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，请说明理由；（2）当点D 在劣弧AC ⋂上的什么位置时，才能使AD DE DF 2=·。
精析与解答：（1）如图所示，当△PCF 为等腰三角形，PC ＝PF 时，PC 与⊙O 相切 连结OC ，当PC ＝PF 时，∠PCF ＝∠PFC ∵DE ⊥AB ，∴∠1＋∠AFH ＝90°∴∠1＋∠PFC ＝90°，即∠1＋∠PCF ＝90° 又∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠2∴∠2＋∠PCF ＝90°，即PC 与⊙O 相切于点C（2）当D 为劣弧AC ⋂中点时，AD DE DF 2=· 连结AE ，∵D 为AC ⋂中点，∴∠3＝∠4又∠ADF ＝∠EDA ，∴△ADF ∽△EDA∴=AD ED DFDA ，即AD DE DF 2=·例5. 如下图，AB 是半圆⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD 切⊙O 于点C ，AD ⊥CD 于点D ，⊙C 以CD 为半径。
求证：AB 是⊙C 的切线。
分析：要证AB 是⊙C 的切线，就是要证点C 到AB 的距离CE ＝CD 。
即要证△ACD 和△ACE 全等。
证明：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连结AC 、BC 、OC ∵CD 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径 ∴CD ⊥OC ，AC ⊥BC∴+=︒+=︒∴==+=︒+=︒∴==∠∠，∠∠∠∠∠∠，∠∠∠∠∠∠∠ACD ACO ACO OCB ACD OCBOCB B B BAC ACE BAC ACD B ACE 90909090在△ACD 和△ACE 中∵∠∠，∠∠，CDA CEA ACD ACE AC AC ==︒==90 ∴△ACD ≌△ACE ∴CE ＝CD∴AB 是⊙C 的切线例6. 如下图，设⊙I 与△ABC 的三边AB 、BC 、AC 分别相切于点F 、D 、E ，连结BI 、CI 、ED 、FD 。
若∠A ＝60°，则∠BIC ＝_________，∠EDF ＝_________。
分析：本题所求的两个角分别是⊙I 的圆心角和圆周角。
如果考虑用圆心角等性质来求。
但条件不足，所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。
解：连结IE 、IF∵⊙I 是△ABC 的内切圆()∴∠∠，∠∠∴∠∠∠IBC ABC ICB ACB BIC IBC ICB ===︒-+1212180=︒-+=︒-+=︒-︒-=︒-︒=︒1801212180121801218018012120120（∠∠）（∠∠）（∠）×ABC ACB ABC ACB A∵⊙I 分别切AB 、AC 于F 、E ∴IF ⊥AB ，IE ⊥AC∴∠AFI ＋∠AEI ＝180° ∴∠A ＋∠EIF ＝180°∴∠∠∴∠∠EIF A EDF EIF =︒-=︒-︒=︒==︒180180601201260例7. 如图所示，⊙O 半径为R ，CD 为⊙O 直径，以D 为圆心。
r 为半径的圆与⊙O 相交于A 、B ，BD 的延长线交⊙D 于E 点。
求证：r R AE 2=·证明：本题中的⊙O 经过⊙D 的圆心，是一种特殊相交，则连接AD 。
可知AD 即为⊙O 的弦，又为⊙D 的半径，两圆相交可作公共弦，连接AB ，对R 、r 进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。
连结AD 、AB 、OA 、AC∵∠∠，∠∠AOD C ADE B ==22 又∵∠C ＝∠B∴∠AOD ＝∠ADE∵△AOD 与△ADE 都是等腰三角形且顶角相等 ∴它们的底角也相等，即∠ADO ＝∠DAE ∴△AOD ∽△ADE∴AD AE AOAD =（相似三角形对应边成比例）∴·AD AO AE 2= 即r R AE 2=·例8. 已知：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝24cm ，BC ＝26cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3cm/s 速度运动。
P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，求： （1）t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？等腰梯形？ （2）当t 分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切？相交？相离？精析与解答：（1）四边形PQCD 为平行四边形时，只要PD ＝CQ 即可；四边形PQCD 为等腰梯形时，则要PQ ＝CD ，PD ≠QC当QC ＝PD 时，有324t t =-，解得t ＝6 ∴当t ＝6s 时，四边形PQCD 为平行四边形过P 、D 分别作BC 的垂线交BC 于E 、F （如图甲所示），则由等腰梯形的性质可知EF ＝PD ，QE ＝FC ＝2，QC －PD ＝4 ()∴--=3244t t ，解得t ＝7 ∴当t ＝7时得四边形PQCD 为等腰梯形甲（2）讨论动直线PQ 与⊙O 的位置关系，关键是要抓住直线PQ 与⊙O 相切时的情况计算出t 的值，加以分析推理可以得出PQ 与⊙O 相交、相离时t 的值。
设运动t s 时，直线PQ 与⊙O 相切于点G ，过P 作PH ⊥BC ，垂足为H （如图乙所示）乙∴PH ＝AB ，BH ＝AP 即PH ＝8，HQ ＝26－4t 由切线长定理，得：PQ AP BQ t t t =+=+-=-263262 由勾股定理，得：PQ PH HQ 222=+即()()2628264222-=+-t t得3261602t t -+=，解得t t 12238==，∵t ＝0时，PQ 与⊙O 相交，当t s=823时，Q 点运动到B 点，P 点尚未运动到点D ，但也停止运动，此时PQ 直线与⊙O 相交∴=t 23或8s 时，直线PQ 与⊙O 相切；当023≤<t 或8823<≤t 时，直线PQ 与⊙O 相交；当238<<t 时，直线PQ 与⊙O 相离。
例9. 如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？甲精析与解答：如图乙所示，连结O O O O 1312，乙设⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，则O A O O 312⊥在Rt O AO ∆13中，O O O A 131112==，∴=-=O A O O O A 31321232∴最高点C 到水平面的距离CB O A AB =+=+32321例10. 如图所示，两等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且两圆互过圆心，过B 作任一直线，分别交⊙O 1、⊙O 2于C 、D 两点，连结AC 、AD 。
（1）试猜想△ACD 的形状，并给出说明。
（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。
（3）若⊙O 1，⊙O 2是两个不相等的圆，半径分别为R 和r 。
那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC 和AD 的长与两圆半径有什么关系？说明理由。
