第24讲 等比数列(79张PPT)

• 1、1.01，1.012, 1.013, ‥‥‥ 1.01365 • 2、0.99, 0.992, 0.993, ‥‥‥0.99365
将这张A4纸折叠，每折叠一次观察所得到的纸张层数：
• 1, 2, 22，23，24， ‥ ‥ ‥2n
探究一：
1、1.01，1.012, 1.013, ‥‥‥ 1.01365 2、0.99, 0.992, 0.993, ‥‥‥0.99365 3、1, 2，22，23，‥‥‥2n
an+1-an=d
等差或等比中项
2D=a+b
G2பைடு நூலகம்ab
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1·qn-1
实战考察
某单位到我校招聘员工，对象是高三毕业生， 待遇：实习期1年，在这1年中，第1个月工资2元， 以后每月工资比前一个月翻一番，实习期满，每月 工资按实习期的第12个月的工资发放。作为即将毕 业的高三毕业生，这样的工作你愿意应聘吗？
回想：我们是如何求出等差数列的通项公式的？
结合等比数列的定义，以小组为单位，探讨等 比数列的通项公式：
设等比数列{an}的公比为q
则 a1= a1 a2=a1·q1 a3=a2·q=(a1·q) ·q=a1·q2 a4=a3·q=(a1·q2) ·q=a1·q3 a5=a4·q=(a1·q3) ·q=a1·q4 ………
观察上面三个数列,总结出其共同特点
共同特点：从第2项开始，每一项与前一项的 比都等于同一个常数．
6.3 等比数列
孟州市职业教育中心 谷冬梅
温故---知新，忆等差数列
等比数列:如果一个数列从第2项开始，每一项 与它前一项的比都等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列。这个常数 叫等比数列的公比，用字母q表示， 那么

He can play football, play table tennis, ride a bike and speak English.
What can’t Tony do?
He can’t swim . He can’t speak Chinese.
Listen and repeat
Betty can play the piano. Tony can play table tennis.
Name:
Can Can’t
Play basketball
Play football Play table tennis Play tennis
-Can you cook? -Yes, I can./ No, I can’t.
Play the piano
Ride a bike
Ride a horse
讲解范例
2. 利用等比数列的性质解题. 例3.等比数列{an}中， (1) 已知a2＝4，a5＝ ，求通项公式; (2) 已知a3a4a5=8，求a2a3a4a5a6的值.
讲解范例
3. 如何证明所给数列是否为等比数列.
例4.
设{an}是等差数列，
bn
( 1 )an 2
,
已知
b1
b2
b3
21 8 , b1b2b3
课后作业
《学案》P.48双基训练.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
Module 2 Me,my parents and my friends
Unit 1 I can speak English
Introduce yourself:
My name is …. I’m a …. I’m from …. I’m … years old. My favourite sport is ….

02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析

适用情况
适用于已知首项和公比，且项数较大的情况。
3
优缺点
归纳法可以减少计算量，但推导过程需要小心处 理，确保正确性。
反证法
定义
通过假设等比数列的前 n项和公式不成立，然 后推导出矛盾，从而证 明假设不成立，即前n 项和公式成立。
适用情况
适用于证明等比数列的 前n项和公式的情况。
优缺点
反证法可以用来证明一 些看似难以证明的问题 ，但推导过程较为复杂 ，需要细心处理。
答案解析：对习题进行详细解析
针对习题一，首先需要了解等比数列的和公式，即S=a(1-q^n)/(1-q)。在本题中 ，首项a=2，公比q=2，项数n=5，将它们代入公式即可得到答案。
针对习题二，首先需要了解等比数列的前n项和公式，即S=a1*(1-q^n)/(1-q)。 在本题中，首项a1=5，公比q=-2，项数n=8，但是只需要前5项和，所以将它 们代入公式即可得到答案。
声音的震动
在音乐中，声音的震动可 以表示为等比数列的形式 ，从而形成不同的音阶和 音调。
在计算机科学中的应用
数据压缩
在计算机科学中，等比数列被广 泛应用于数据压缩，如gzip、 PNG等压缩格式都使用了等比数
列压缩算法。
加密算法
在一些加密算法中，等比数列被 用于生成密钥、加密和解密数据
等操作。
计算机图形学
详细描述
等比数列的求和公式是 S_{n}=a_{1}(1−r^{n})/(1−r)S_n = a_1(1-r^n)/(1-r)Sn=a1(1−r^{n})/(1−r)，其中 S_{n}S_nSn 是前 nnn 项的和， a_{1}a_1a1 是第一项， rrr 是公比。
等比数列的性质定理
01 02 03 04 05

(4an1 4an ) 2an1 2an1 4an 2
an1 2an
an1 2an
∴数列{bn}是公比为2的等比数列,首项为a2-2a1. ∵S2=a1+a2=4a1+2, ∴a2=5.∴b1=a2-2a1=3.
返回首页
(2)由(1)知bn=3·2n-1=an+1-2an,
∴
an1 2n1
返回首页
1.等比数列的定义
一般地，如果一个数列从 第2项 起，每一项与它
的前一项 的比等于 同一 常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，公比通常
用字母 q(q≠0) 表示.
其数学表达式为：
an+1 an
= q（q为常数）或
an = q a n-1
（q为常数）（n≥2）,常用定义判断或证明一个数列是等
返回首页
设等比数列{an}的公比q＜1,前n项和为Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
【解析】由题设知a1≠0,Sn=
,
则
a1q2=2,
①
a1(1- q4 ) 5 a1(1- q 2 )
②
1-q
1-q
由②得1-q4=5(1-q2),(q2-4)(q2-1)=0,
a1(1- qn ) 1- q
返回首页
1 1 1
1
n2
2
2
1 1 n1 1 2
1 1 2
1
2
1
1
n1
3 2
5
2
1
n1
3 3 2
当n=1时，
5 3
2 3
1 2
n1
=1=a1,

数列的一般形式可以写成：
a 1 , a 2 , a 3 , …，a n , …，
简记作： a n
2021/3/24
新疆奎屯市第一中学 王新敞 制作
2
复习数列的有关概念2
如果数列 a n 的第n项 a n 与n之间的关
系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做 这个数列的通项公式。
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n 叫做数列 a n 的前n项和。
∴ a322a3a5a5225
∴ (a3a5)225
∴
a3a55
2021/3/24
新疆奎屯市第一中学 王新敞 制作
10
等比数列的性质例题4
例4 a≠c,三数a, 1, c成等差数列， a 2 ,1, c 2 成等比数列， ac
求 a2 c2
解：∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2,
a c 1 又 a 2 ,1, c2 成等比数列，∴
等比数列的 性质
新疆奎屯市第一中学 王新敞
2021/3/24
新疆奎屯市第一中学 王新敞 制作
1
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项（或首项）用 a 1 表示，
第2项用 a 2 表示，…，第n项用 a n 表示，…，
22
有ac＝1或ac＝－1,
当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾，
∴ ac＝－1, a 2 c2 (a c )2 2 a c 6
ac 1
a2 c2 3
2021/3/24
新疆奎屯市第一中学 王新敞 制作
11
等比数列的性质练习

变：等差数列首项为-5，前11项的 平均值为5，若从中抽取一项，余 下10项的平均值为4.6,则抽取的是 第几项。
谢谢观看
3、{an}成A.P, {bn}成 G.P,a1=b1,a2n+1=b2n+1
比较an+1与bn+1的大小。
综合
1、{an}的前n项的和为bn,数列{bn} 的前n项和为cn,且bn+cn=n，nN* (1)证明：数列{1-bn}为等比数列 (2)求{cn}的前n项的和 (3)比较1/an-1与(bn+cn+1)2的大小
2、已知数列{an}中，Sn是它的前n 项和， Sn+1=4an+2,a1=1,设 bn=an+1-2an,
求证：{bn}是等比数列，并求它的 通项公式。
3、正项等比数列｛an｝的首项a1 ＝2-5，其前11项的几何平均数为 25，若前11项中抽取一项后的几 何平均数仍是25，则抽去一项的项 数————
(2)a =18,a =8,求a ,q 求和公式：Sn=kqn-k (q≠1)
2 3、m+n=s+t → am.
通项公式：an=kqn-1
4
1
(2)求{cn}的前n项的和
2: a1<0,q>1
10{kan} 20{an2} 30{an.
(3)a5=4,a7=6,求a9 (2){an}是等比数列，{bn}是等比数列
4、若方程x2-5x+m=0与x210x+n=0的四个根，适当排列后， 恰好组成一个首项为1的等比数列， 则m:n=?
性质 ：
看清下标用性质
1、b是a, c的等比中项
a b b2 ac bc
2、m+n=2s →am.an=as2 3、m+n=s+t → am.an=as.at

篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
点评：(1)解决等比数列问题，关键是抓住首项 a1 和 公比 q，求解时，要注意方程思想的运用．
(2)运用等比数列求和公式时，要注意公比 q 是否为 1.当 n 较小时，直接利用前 n 项和的意义展开，不仅可避 开公比 q 的讨论，还可使求解过程简捷．
q3＝－2， 所以a1＝1，
或q3＝－12， a1＝－8.
所以 a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
a111－－qq10＝10， (2)(方法一)设公比为 q，则a111－－qq20＝30， 得 1＋q10＝3，所以 q10＝2. 所以 S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10(1＋2＋22)＝70. (方法二)因为 S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， 所以 S30－30＝30－10102＝40，所以 S30＝70. 答案：(1)D (2)70
A．8
B．9
C．10
D．11
解：因为 a5a7＝a62，a7a9＝a82， 所以 a5a7＋2a6a8＋a7a9＝a62＋2a6a8＋a28＝(a6＋a8)2＝100.又 an＞ 0，所以 a6＋a8＝10.
答案：C
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3

1．等比数列的通项公式：an＝ a1qn－1 ，推广形式：an＝am·qn－m (n，m∈N*)．
2．如果一个数列{an}的通项公式为 an＝aqn，其中 a，q 都是不 为 0 的常数，那么这个数列一定是等比数列，首项为 aq ，公 比为 q .
3．一般地，如果 m，n，k，l 为正整数·_a_l ，特别地，当 m＋n＝2k 时，am·an＝ a2k .
＝q(q≠0)是判定一个数列是等
比数列的基本方法．要判断一个数列不是等比数列，举一组反
例即可，例如a22≠a1a3.
例3 某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的 产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开 始超过30万吨(保留到个位)？(lg 6＝0.778，lg 1.2＝0.079) 解 记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，…. 则依题意可得a1＝5，aan－n 1＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30， 故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝lglg16.2＝00..707789≈9.85.
探究 2 在等比数列{an}中，若 m＋n＝2k，证明 am·an＝ak2(m，n， k∈N*)． 证明 ∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1， ∴am·an＝a21qm＋n－2， ∵ak＝a1qk－1，∴a2k＝a21·q2k－2.
∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2k.
问题 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则
(1)证明 ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝2，且a1＋1＝2. ∴{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解 由(1)知{an＋1}是等比数列．

25或-25 a =__________. 625或-625 a30=__________. 60
4.在等比数列中，若a1 a2 a3 7, a1a2a3 8,
3-n或2n-1 2 则an _________
等比数列的前n项和
Sn a1 a2 a3 an1 an
n
n （ 2）
1 2 2 2 2
2 3
n
1 (1 2 ) 1 2
例1 已知 {an } 是等比数列，请完成下表：
题号 (1) (2) (3) a1 ３ ８
3
q ２
1 2
2
n ６
7
an
Sn
96
1 8
96
189
127 8
63
6
a1、q、n、an、Sn中 知三求二
(1 - q)Sn a1 a1q
a1 (1 q ) Sn 1 q
n
n
点击 判断是非
5(1 1 ) 5 5 5 5 0 1 1
n
1 2 4 8 16 (2)
n个
n1

1 (1 2 2 ) 1 (2)
n n+1
1 1 1 例2 求等比数列2 , 4 , 8 , 的第5项到第10项的和.
【解法1】此等比数列的第5项到第10项构成 1 一个 首项是 a 15 公比为 q 5
2
2
，项数 n 6 的等比数列
1 1 (1 6 ) 5 1 1 2 2 S 4 10 1 2 2 1 2
63 1024
3
由此可知，等比数列
a
n
a5 a4 q a1 q 4