代数与几何答案

第一章 行列式一、填空题 1.2)1(-n n ； 2. 42312314,!4a a a a - 3. 0 ；4. 1222+++c b a ； 5. 1，2，3； 6. -1，或 -2 .二、选择题 D C B B C.三、计算题1. 解： 122334,,r r r r r r D ---104106310321011112334r r r r --,4100310032101111=12. 解： D n （从最后一列开始）列加到第将第1-i i 2)1(1+=∑==n n i ni . 3. 解：1111111111114321-----+---+++a a a a a a a Dc c c c 40001001001001a a a a a==四、解答题解：14131211432A A A A +++1313120210114321---==1514131211432M M M M +++1313120210114321-----==3五、证明题证明：因为42056963061223613214101001000c c c c +++5024205369696321606121632361 因为第四列的元素可以被16整除，所以行列式可被16整除.第二章 矩阵及其运算一、填空题1. 327,- ；2.0；3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---32164232164； 4. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001 5. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---31310032310000520021 二、选择题 B AC D D ； BCCBB三、计算题1. 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−↔1101024431220130121121r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→00000216001101001211，所以秩为3.2. 解： *18)31(A A --=-=--1183A A A =---113A A 12-A ==-18A 64.3．解：(1) 由→)(E P )(1-P E 易得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1140120011P，⇒=PB AP 1-=PBP A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=116002001(2) 12112---==P PB PBP PBP A， 同理 155-=P PB A52523)(A A E A f +-=∴152)523(-+-=P B B E P又 =+-52523B B E ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-400030006，,)(A f ∴1400030006-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--47340360064. 解法一：记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=300031001200002A ，对)(E A 进行初等行变换得)(1-A E 可求. 解法二：（利用分块矩阵）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=31122A ， 易求：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21137112A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∴-31000021*********211A 5. 解：因为A B AB =-，B A AB =-∴B E B A =-⇒)( 两边同时右乘1-B 得：E BE B A =--1)(E B E A =-⇒-)(1，=-=∴--11B E A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1000021000020020，由→-)(1E A )(A E 可得A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10000210410002100210. 四、证明题1．(1)证明： ,32A A = ,32O A A =-∴,4))(4(E E A E A -=+-∴ 从而,)4)(4(E EA A E =+- A E -∴4 可逆，且 4)4(1E A A E +=--. (2) 证明：,32A A = ,)3(O A E A =-∴假设A E -3可逆,则等式两边同时右乘(),31--A E 得O A =，与条件O A ≠矛盾，所以A E -3不可逆.2．证明：A A =2,∴=-⇒=-∴,)(2O E A A O A A R (A )+ R (A -E )≤n （1）又R (A )+ R (A -E )= R (A )+ R (E - A )≥R [A + (E - A )]= R (E )=n （2） 由（1），（2）式知 R (A )+ R (E A -)= n.第三章 向量与向量空间第四章 欧氏空间一、填空题 1. 的实数2≠；2. -2 ； 3.T T )1,2,1(61,)1,0,1(21-；4. 40；5. 0453=+--z y x ；6. 0),(22=+±z y x f ； 7. 椭圆柱面．二、选择题 D ； C ； D ； C ； C ； B ． 三、解答题1．对矩阵),,,(4321αααα=A 施行初等行变换：→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--6254533111113121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------6630221022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000022103121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→0000000022101301 从而得向量组4321,,,αααα的秩为2，一个最大无关组为 21,αα（不唯一）.其余向量在此最大无关组下的线性表示式分别为：214213223αααααα+-=+-=;.2． 解：记),,(321ααα=A ，),,(321βββ=B ，⑴ 设由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为P , 即AP B = ∴ B A P 1-=由()()B A E B A 1101010432100010001341432321111001111-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=行变换 得：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101010432P ．⑵ 设(x ,y ,z )是γ在基321,,βββ的坐标，则有：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32141011125202167410111B z y x ． 3．解： 过点M 与L 垂直的平面P ：0)3()1(2)2(3=---+-z y x 即：0523=--+z y x P 与L 的交点：)73,713,72(-, 故所求直线方程为431122-=--=-z y x .四、证明题1．证明：存在m k k k ,,21使得02211=-+-+-)()()(m m αβk αβk αβk 代入m αααβ+++= 21，整理得：0132231132=+++++++-m m m m αk k k αk k k αk k k )(,)()(因为)(,,121>m αααm 线性无关，所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++-0001323132m m m k k k k k k k k k 而系数行列式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=011111110111110 D ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=011111110111111m m m 0111≠--=-)()(m m ，所以齐次方程组只有零解，m k k k ,,21都为零。

所以m αβαβαβ--- ,,21线性无关．2.证明：显然R (B )n ≤， 又R (B )≥R (AB )= R (E ) n =，所以R (B )n =. 则：B 的列向量组线性无关.3.证明：因为R (A )=R (B )=3, 所以321,,ααα线性无关，4321,,,αααα线性相关，且4α可以由321,,ααα唯一线性表示,即3322114αλαλαλα++=.假设存在一组数4321,,,k k k k 使得,0)(454332211=-+++αααααk k k k 即：)(411k k λ-1α+)(422k k λ-+2α)(433k k λ-+3α,054=αk由于R (C )= 4,所以5321αααα,,,线性无关,从而有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=-00004433422411k k k k k k k λλλ得唯一解04321====k k k k ,所以45321,,,a a a a a -线性无关,秩为4.第五章 线性方程组一、填空题1. k (1,1,…,1)T , k ∈R ;2. 0;3. -3;4. R k k ∈+-121)(ηηη..5.n-11二、选择题 B ；C ；B ；B ； A ；D ；D ；A; C; B. 三、解答题1. 解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++233454623032315432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==00000100100162010151001213345462310031123111111行变换b A B∴()(),<==53B A R R 有无穷多解.同解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==++-=--1162153542541x x x x x x x ； 故原方程组的通解：R k k k k x x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212154321,,001111006501021. 2. 解：因为方程组（1）、（2）有公共解，所以（1）（2）联立的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++1202020321321321321a x x x ax x x ax x x x x x 有解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=)2)(1(000110010101101112104102101112a a aa a a a a a A 所以21==a a 或当1=a 时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→0000000000100101A 公共解为R k k x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101 当2=a 时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→0000110010100001 公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110x3. 此问题实际上是讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++-=++23321321321ax x x b x ax x a x x ax 解的情况.∵|A |=a a a 111111=aa a a a 1212112+++=2)1)(2(-+a a ， 所以：(1)当|A |≠0，即1,2≠-≠a a 时，方程组有唯一解，三平面交于一点.(2) 当2-=a 时，[A |b ]=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----70003110221122111215112b b 行变换， 7=b 时，∵R (A )=2=R (B )，∴方程组有无穷多解, 此时三平面交于一条直线.7≠b 时，∵R (A )=2≠3=R (B )，∴方程组无解,此时三平面两两交于一条直线.(3) 当1=a 时， [A |b ]= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--00002000211121111112111b b 行变换 2-=b 时，∵R (A )=1=R (B )，∴方程组有无穷多解,此时三平面重合.2-≠b 时，∵R (A )=1≠2=R (B )，∴方程组无解,此时三平面平行.四、证明题R (B )≥R (AB )证明：因为A 的m 个行向量是0=Cx 的基础解系所以0=T CA ，且m A r =)(又因为B 可逆，所以m BA r =)(，即BA 的m 个行向量线性无关 又因为0)(==T T T B CA BA C所以BA 的m 个行向量也是0=Cx 的基础解系第六章 特征值、特征向量及相似矩阵 第七章 二次型一、填空题1. 00,0, n ；2. -60；3. 1=a ；4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--032301210、3； 5. 352<t .二、选择题 A ；D ；C ；B ；B ；B ；A ；C ；D ；B .三、 解答题1. 解：由)(E A λ-0=α,推出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------0001112135212λλλba 解方程组得： 1,0,3-==-=λb a .由=-E A λλλλ-------201335212 0175352122--------λλλλ017532132=+-=-------=)(λλλλ 求得1321-===λλλ，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+=-000110101101325213E A E A λ，显然2)(=+E A R ,故矩阵的三重特征值只对应一个线性无关的特征向量，所以A 不能与对角阵相似.-1⨯r 3c 3-(1+λ)c 12. 解： 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=342442220A ， 因 λλλλ------=-342442220E A λλλλλλλ-----+++142284222020223221c c c c ,)6)(6)(1(1084941228222222+---=----=----+-=λλλλλλλλλλλ6,6,1321-===∴λλλ为A 的特征值当11=λ时， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000442432221321x x x ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021α当62=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000942422226321x x x ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2512α当63-=λ时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0003424102226321x x x ，得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2113α显然321,,ααα正交，将其单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102511ξ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2513012ξ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211613ξ取⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=62302516130506130152P 令PY,X = 则原方程可化为： a y y y -=-+23222166当0=a 时，方程066232221=-+y y y 其图形为二次锥面. 当0>a 时，方程166232221=---+-ay a y a y 其图形为双叶双曲面. 当0<a 时，方程166232221=---+-a y a y ay 其图形为单叶双曲面. 3. 解：由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200200b b a A 得⎩⎨⎧==112trA A 解之得2,1==b a解0=-E A λ得3,2321-===λλλ解0)2(=-x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,10221ξξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010,5105221p p 解0)3(=+x E A 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=520513p令()321,,p p p P =所求正交变换为Py x =标准形为232221322y y y f -+=4. 解：（1）A 的秩为2，所以0是A 一个特征值，由题意得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101101,101101A A所以-1是A 一个特征值，其对应的特征向量为()0,101≠-k k T1是A 一个特征值，其对应的特征向量为()0,101≠k k T 设Tx x x ),,(321是0的特征向量，则⎩⎨⎧=+=-003131x x x x 解之得0对应的特征向量为()0,010≠k k T（2）令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011100011P 则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-0000100011AP P所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001000100010210212102100001000101100011A 四、 证明题.1. 证明：因λ是AB 的特征值，所以存在列向量0≠ξ使λξξ=AB .上式两端左乘B 得: =ξBAB λξB ， 令ξηB =，这时0≠η，否则λ0==ξξAB ， 而0≠ξ，所以0=λ与已知矛盾，所以0≠η， 这表明λ也是BA 的特征值.2. 证明： 因B A,正定，所以对任意0≠x ，有00>>Bx x ,Ax x T T ，所以对任意0≠x ，有>+=+Bx x Ax x B)x (A x TT T 0.所以B A +正定.模拟试题答案一、选择题C ; B ; B ; B ; C ; C ; A ; A ; A ; B二、填空题（1） n 2（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001100010p （3）16322=-z y （4）26，10，5 （5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132 三、解答题（1） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10002121001（2） 431,,ααα （3）x 5- 四、综合题（1）记方程组的系数矩阵为A , 则增广矩阵（A ,b ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---)1(311001102112112113112λλλλλλλλλλ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+----→)1(3)1)(2(000110211λλλλλλ(1) 当2-≠λ且1≠λ时，R (A )=R (B )=3, 方程组有唯一解； （2）当2-=λ时，R (A )≠R (B )，方程组无解；（3）当1=λ时，R (A )=R (B )=1，方程组有无穷多解， 由3212x x x ---=，令032==x x ，得特解T)0,0,2(-， 基础解系取为: ,)1,0,1(,)0,1,1(T T--其通解为: X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=00210101121k k ,),(21R k k ∈. （2）解 ：A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----320222021，由 212320222021r r E A --------=-λλλλλλλλ-------322224625 展开按1c )5)(2)(1()5)(1(4)25)(5(2--+-=---+--λλλλλλλλ=0.可得5,2,1321==-=λλλ.属于1λ的特征向量为T )1,2,2(1=α，单位化T)31,32,32(1=β； 属于2λ的特征向量为T)2,1,2(2-=α，单位化T )32,31,32(2-=β；属于3λ的特征向量为T )2,2,1(3-=α，单位化T)32,32,31(3-=β，所求正交变换为X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=32122121212231y y y ； 二次型法式为23222152y y y f ++-=；当1=f 时，152232221=++-y y y 表示单叶双曲面。