九年级数学代数和几何的综合专题

ABCA 1A 2A 3B 1 B 2 B 3 代数专题复习考点一、有关数与式需要注意题目要求1、()22-的算术平方根是 ， -2的绝对值= ，3的相反数为 -1/3的倒数是2、化简x x -+-11 _______．3、已知：3212323=⨯⨯=C ，1032134535=⨯⨯⨯⨯=C ，154321345646=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C ，…， 观察上面的计算过程，寻找规律并计算=610C ．4、如图，△ABC 的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点A 1、B 1，则四边形A 1ABB 1的面积为3 4，再分别取A 1C 、B 1C 的中点A 2、B 2，A 2C 、B 2C 的中点A 3、B 3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出3 4＋3 42＋3 43＋…＋34n ＝_____．5、观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个★ 6、某种商品降低x%后是a 元，则原价是( )A 、元、元、元、元；100x -1a D x 100a C )100x a(1B 100+ax7、若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）A.-5B.3C.7D.7或-18、下列各式中，运算正确的是（ ）A ．（x 4）3=x 7B ．a 8÷a 4=a 2C ．583523=+D ．533153=÷ 考点二、计算专题（1）11(π1)527232-⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭（2） 308(π2)12----．（3）22221(1)121a a a a a a +-÷+---+ （4） 223124x x x --=+- （5）用配方法解一元二次方程：2213x x +=.（6）先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷++++其中22a =．考点三、反比例函数的图像与性质 例1 如图，函数y ＝kx与y ＝-kx+1（k ≠0）在同一坐标系内的图像大致为（）例2当n 取什么值时，y ＝（n 2+2n ）x 是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每个象限内，y 随x的增大而增大或是减小?例3若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，则（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 2例4若双曲线y=x k 12-的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是A.k ＞21 B. k ＜21 C. k =21D. 不存在考点四、二次函数的图像与性质 1、二次函数的图像例1、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）例2、已知函数y ＝a (x ＋2)和y ＝a (x 2＋2)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )例3、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图3所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，其中正确结论的个数为（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个小结： a 决定开口方向及开口大小b 和a 共同决定对称轴的位置，遵循“左同右异”的原则c 决定抛物线与y 轴交点的位置同步练习：1、已知反比例函数xk y =的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）2、已知函数y=x 2﹣2x ﹣2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是（ ）A 、﹣1≤x ≤3B 、﹣3≤x ≤1C 、x ≥﹣3D 、x ≤﹣1或x ≥33、函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c （a ≠0）在同一个坐标系中的图象可能为（ ）A 、B 、C 、D 、4、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如右图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b=0；④a+b ＞m （am+b ）（m ≠1的实数）． 其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、如右图，抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是x=1，下列结论：①b ＜0；②（a+c ）2＞b 2；③2a+b-c ＞0；④3b ＜2c ．其中正确的结论有 （填上正确结论的序号）． 6、二次函数y=x 2＋mx ＋n ，若m ＋n=0，则它的图象必经过点（ ）A ．（－1，1）B ．（1，－1）C ．（－1，－1）D ．（1，1）】7、已知二次函数y=a 2x +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（ ）A 、2yO x yO xyO xyO x个 B 、3个 C 、4个 D 、5个2、二次函数的增减性与比较大小注意：a ＞0时，x ＞a b 2-与a ＜0时，x ＜a b 2-都是同增；反之，一增一减。

中考数学代数+几何知识点总结第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0） 0≥a==a a2；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

中考冲刺：代数综合问题【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合例1．已知函数2yx和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．类型二、函数与方程综合例2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?xyO【变式】已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．类型三、以代数为主的综合题例3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB．(1)求点B的坐标；(2)求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．例4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y axbx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．例5．已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2+bx+c ，α，β为方程120y y -=的两个根，点M(t ，T)在函数y 2的图象上．(1)若13α=，12β=，求函数y 2的解析式； (2)在(1)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ，B ，当△ABM 的面积为3112时，求t 的值； (3)若0＜α＜β＜1，当0＜t ＜l 时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．【巩固练习】 一、选择题1. 如图，已知在直角梯形AOBC 中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC 、AB 交于点D ，点E 、F 、G 分别是CD 、BD 、BC 的中点，以O 为原点，直线OB 为x 轴建立平面直角坐标系，则G 、E 、D 、F 四个点中与点A 在同一反比例函数图象上的是 （ ）A ．点GB ．点EC ．点D D ．点F2．已知函数y=()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤--)3(1)5(31)1(22x x x x ，若使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．33.已知二次函数y=ax 2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＜0；②4ac ﹣b 2=0；③a ＞2；④4a ﹣2b+c ＞0．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题4．若a+b-21a --42b -=33c --12c-5，则a+b+c 的值为 .5．已知关于x 的方程x 2+（k-5）x+9=0在1＜x ＜2内有一实数根，则实数k 的取值范围是 ．6.关于x 的方程，2kx 2-2x-3k=0的两根一个大于1，一个小于1，则实数k 的的取值范围是 .三、解答题7．关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2+1=0有两个不等实根x 1、x 2． （1）求实数k 的取值范围．（2）若方程两实根x 1、x 2满足x 1+x 2=﹣x 1•x 2，求k 的值．8. 已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x ．（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象1C 的一个交点的横坐标为2，求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解．（3）在（2）的条件下，将抛物线()312-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．9. 抛物线2y ax bx c =++，a ＞0，c ＜0，2360a b c ++=．（1）求证：1023b a +>； （2）抛物线经过点1(,)2P m ，Q (1,)n ．① 判断mn 的符号；② 若抛物线与x 轴的两个交点分别为点A 1(,0)x ，点B 2(,0)x （点A 在点B 左侧）， 请说明116x <，2112x <<．10. 已知：二次函数y=22(2)x n m x m mn +-+-． （1）求证：此二次函数与x 轴有交点；（2）若m-1=0,求证方程22(2)0x n m x m mn +-+-=有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程22(2)0x n m x m mn +-+-=的另一根为a,当x=2时，关于n 的函数1y nx am =+与222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线L 与1y nx am =+、222(2)y x n m ax m mn =+-+-的图象分别交于点C 、D ，若CD=6，求点C 、D 的坐标.。

专题四 代数与几何综合问题根本类型与解题策略 类型与策略 几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中综合题大多以代数与几何综合题形式出现，而且留有自主探究空间，表达个性开展与新课程标准理念，代数与几何大型综合题为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下几何图形；③函数图象与几何图形相结合问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到题型有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜测，细致演练确保第二问正确，在时间充裕情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．规律与预测纵观遵义近5年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形综合，由浅入深设置多问，难度较大，考察方式综合运用知识与解决问题能力，预计2021年遵义中考压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．第一节 用数学思想方法解决问题,中考重难点突破)数学思想方法是指对数学知识与方法形成规律性理性认识，是解决数学问题根本策略．数学思想方法提醒概念、原理、规律本质，是沟通根底知识与能力桥梁，是数学知识重要组成局部．数学思想方法是数学知识在更高层次上抽象与概括，它蕴含于数学知识发生、开展与应用过程中．中考常用到数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它实质，就可以把所学知识融会贯穿，解题时可以举一反三．【例1】(2021遵义二中二模)如图，菱形ABCD 对角线长分别为3与4，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与A ，C 重合)，且PE∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，那么图中阴影局部面积________．【学生解答】3【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目题设与结论中所隐含信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例2】(2021随州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)局部图象如下图，图象上点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，以下结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c>3b ；③8a＋7b ＋2c>0；④假设点A(－3，y 1)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，y 2，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72，y 3在该函数图象上，那么y1<y3<y2；(5)假设方程a(x＋1)(x－5)＝－3两根为x1与x2，且x1<x2，那么x1<－1<5<x2.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【学生解答】B【例3】(2021遵义六中二模)⊙O半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，那么AD长为________．【学生解答】1或3【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合与分类讨论数学思想进展解答，防止出现漏解．【例4】(2021三明中考)如图，AB是⊙O直径，分别以OA，OB为直径作半圆．假设AB＝4，那么阴影局部面积是________．【学生解答】2π【规律总结】此类题就是化未知为、化繁为简、化难为易，通过一定策略与手段，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化．具体地说，比方把隐含数量关系转化为明显数量关系；把从这一个角度提供信息转化为从另一个角度提供信息，转化内涵非常丰富，与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题转机．模拟题区1．(2021遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，假设△PAD与△PBC 是相似三角形，那么满足条件点P个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个(第1题图)(第2题图)2．(2021红花岗二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如下图，那么以下结论：①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0两根之与大于0；③y随x增大而增大；④a －b＋c＞0，其中正确是( A)A．②B．②④C．①②④D．①②③④3．(2021金华中考)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，那么y关于x函数关系用图象大致可以表示为( D),A) ,B),C) ,D)4．(2021淄博中考)如图，△ABC面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，那么图中阴影局部面积是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6(第4题图)(第5题图)5．(2021岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，且k≠0)与反比例函数y ＝4x (x>0)图象交于A ，B 两点，利用函数图象直接写出不等式4x<kx ＋b 解集是__1<x<4__．6．(2021 遵义十一中二模)如图，正方形边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，那么图中阴影局部面积为__8－2π__．(结果用含π式子表示)中考真题区7．(2021 温州中考)假设a ＋b ＝22，ab ＝2，那么a 2＋b 2值为( B ) A ．6 B ．4 C ．3 2 D ．238．(2021凉山中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图，那么反比例函数y ＝－a x与一次函数y ＝bx －c 在同一坐标系内图象大致是( C ) ,A ) ,B ),C ) ,D )9．(2021 牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于点E ，那么C E ＝__5－2或5＋2__．10．(2021德州中考)如图，半径为1半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧中点M 与圆心O 重合，那么图中阴影局部面积是__32－π6__．。

代数综合题一：对于实数a，b，我们用符号min{a，b}表示a，b两数中较小的数，如min{3，5}=3，因此，min{－1，－2}=________；若{}22min(1),4+=，则x=___________．x x题二：对于实数c，d，我们用符号max{c，d}表示c，d两数中较大的数，如max{3，5}=5，因此，题四：在平面直角坐标系中，点P(0，m2)(m>0)在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y A、B，交抛物线C2：y于点C、D．(1)如图①，原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC 和QD，求△AOB与△CQD面积比为_______．(2)如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F，在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为_______．题七： 设函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足y 1=y 2=y 3， 求x 1+x 2+x 3的取值范围．题八： 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =243x x ++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ． (1)求直线AC 的表达式；(2)在x 轴下方且垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，与直线AC 交于点N (x 3，y 3)，若x 1>x 2>x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围．参考答案题一：－2，－3或2．详解：∵－2<－1，∴min{－1，－2}=－2，∵{}22+=，x xmin(1),4当(x+1)2=x2时，解得：x=－0.5，(x+1)2=x2=0.25，这时不可能得出最小值为4，当x>－0.5，(x+1)2>x2，则x2=4，解得x1=2或x2=－2(舍去)，当x<－0.5，(x+1)2<x2，则(x+1)2=4，解得x1=－3或x2=1(舍去)，∴x=－3或x=2．题二：∵{}22++=，max22,2x x x当x2+2x+2=x2时，解得：x=－1，x2+2x+2=x2=1，这时不可能得出最大值为2，当x>－1，x2+2x+2>x2，则x2+2x+2=2，解得x1=0或x2=－2(舍去)，∴x=0．题三：∴C (－3m ，m 2)，D (3m ，m 2)，∴CD =6m ，∵O 、Q 关于直线CD 对称， ∴PQ =OP ，∵CD ∥x 轴，∴∠DPQ =∠DPO =90°，∴△AOB 与△CQD 的高相等， PQ CD PO AB ⋅⋅2121=mm 64=32．AEM DFMS S=∵S △OEF +S △OFD =S △OEC +S 梯形ECDF ，而S △OFD =S △OEC =2， 2详解：先作出函数y =⎩⎨⎧<+≥+-0130242x x x x x ，　，的图象，如图，不妨设x 1<x 2<x 3，∵y =242x x -+(x ≥0)的对称轴为x =2，y 1=y 2，∴x 2+x 3=4， ∵y =242x x -+(x ≥0)的顶点坐标为(2，－2)，令y =－2，代入y =3x +1，解得：x =－1，∴－1<x 1<0，则x 1+x 2+x 3的取值范围是：－1+4<x 1+x 2+x 3<0+4，∴3<x 1+x 2+x 3<4．题八： (1)y =x +3；(2)－8<x 1+x 2+x 3<－7．详解：(1)由y =243x x ++得到：y =(x +3)(x +1)，C，∴A (－3，0)，B (－1，0)，设直线AC 的表达式为：y =kx +b (k ≠0)， ∴⎩⎨⎧==+303-b b k ，解得:⎩⎨⎧==31b k ，所以直线AC 的表达式为y =x +3，(2)由y =243x x ++得到：y =(x +2)2－1，∴抛物线y =243x x ++的对称轴是x =－2， 顶点坐标是(－2，－1)，∵y 1=y 2，∴x 1+x 2=－4，令y =－1，代入y =x +3，解得：x =－4，∵x 1>x 2>x 3，∴－4<x 3<－3，∴－4－4<x 1+x 2+x 3<－3－4，∴－8<x 1+x 2+x 3<－7．代数几何综合题一：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点P，使得△P AC的周长最小，并求出点P 的坐标.题二：如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由.题三：在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．（1）如图1，⊙O的半径为2，①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）=，d（B，⊙O）=.是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．参考答案题一： （1）y =214x --+（），M （1，4）；（2）P （1，2）. 详解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）过A （-1，0）、B （3，0），C （0，3）三点，∴93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得12c=3a b =-⎧⎪=⎨⎪⎩.故抛物线的解析式为222314y x x x =-++=--+（），故顶点M 为（1，4）； （2）如图1，∵点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与抛物线对称轴交于一点，即为所求点P ．设对称轴与x 轴交于点H ，题二： （1）y =-x 2-3x +4，C （-2，6）；（2）△ACE 为等腰直角三角形.详解：（1）∵抛物线经过A 、B 、D 三点，∴代入抛物线解析式可得164004a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝，解得134a b c -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴抛物线的解析式为 y =-x 2-3x +4， ∵点C （-2，n ）也在此抛物线上，∴n =-4+6+4=6，∴C 点坐标为（-2，6）；∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE，∴△ACE为等腰直角三角形.。

最新九年级数学必考要点分类汇编精华版中考数学复习专题 代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．典型例题精析 例1．有一根直尺的短边长2cm ，长边长10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm ，如图1，将直尺的矩边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移如图2，设平移的长度为xcm （•0≤x ≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm 2．（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________； （2）当0<x ≤4时（如图2），求S 关于x 的函数关系式；（3）当4<x<10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值（同学可在图3、•图4中画草图）解析：（1）2；2．（2）在Rt △ADG 中，∠A=45°， ∴DG=AD=x ．同理EF=AE=x+2，∴S 梯形DEGF =12（x+x+2）×2=2x+2， ∴S=2x+2．（3）①当4<x<6时，（如图5） GD=AD=x ，EF=EB=12-（x+2）=10-x ，则S △ADG =12x -2，S △BEF =12（10-x ）2， 而S △ABC =12×12×6=36，∴S=36-12x 2-12（10-x ）2=-x 2+10x-14， S=-x 2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5（4<5<6）时，S 最大值=11．②当6≤x<10时（如图6）， BD=BG=12-x ，BE=EF=10-x ，S=12（12-x+10-x ）×2=22-2x ， S 随x 的增大而减小，所以S ≤10．由①、②可得，当4<x<10时，S 最大值=11．例2．如图所示，点O 2是⊙O 1上一点，⊙O 2与⊙O 1相交于A 、D 两点，BC⊥AD，垂足为D ，分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C 两点，延长DO 2交⊙O 2于E ，交BA 的延长线于F ，BO 2交AD 于G ，连结AG ．•（1）求证：∠BGD=∠C ；（2）若∠DO 2C=45°，求证：AD=AF ；（3）若BF=6CD ，且线段BD 、BF 的长是关于x 的方程x 2-（4m+2）x+4m 2+8=0•的两个实数根，求BD 、BF 的长．解析：（1）∵BC ⊥AD 于D ， ∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AB 、AC 分别为⊙O 1、⊙O 2的直径．∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°， ∴∠BGD=∠C ．（2）∵∠DO 2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O 2D=O 2C ，∴∠C=∠O 2DC=12（180°-∠DO 2C ）=67.5°， ∴∠4=22.5°， ∵∠O 2DC=∠ABD+∠F ， ∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF ．（3）∵BF=6CD ，∴设CD=k ，则BF=6k ． 连结AE ，则AE ⊥AD ，∴AE ∥BC ，∴AE AFBD BF∴AE ·BF=BD ·AF ． 又∵在△AO 2E 和△DO 2C 中，AO 2=DO 2∠AO2E=∠DO2C， O2E=O2C，∴△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k，∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0，解得：BC=3k或BC=4k．当BC=3k，BD=2k．∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．整理，得：4m2-12m+29=0．∵△=（-12）2-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．∴BC=3k（舍）．当BC=4k时，BD=3k．∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4，∴原方程可化为x2-18x+72=0，解得：x1=6，x2=12，∴BD=6，BF=12．中考样题训练1．已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y 随x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、•B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？2．如图，已知圆心A （0，3），⊙A 与x 轴相切，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上，且⊙B 与⊙A 外切于点P ，两圆的公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N ．（1）若sin ∠OAB=45，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式； （2）若⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C ，在此变化过程中探究： ①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M 、N 、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？若存在，•表示出来；若不存在，说明理由．3．如图，已知直线L 与⊙O 相交于点A ，直径AB=6，点P 在L•上移动，连结OP 交⊙O 于点C ，连结BC 并延长BC 交直线L 于点D ．（1）若AP=4，求线段PC 的长；（2）若△PAO 与△BAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积．（•答案要求保留根号）LA yM CBA xPO N考前热身训练1．如图，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 为以点A 为旋转中心，AM 边从与AO•重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP•上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM 的面积为S ，若cos α、OA•是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：AN 2=ON ·MN ； （3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量量x 的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．2．如图，已知P 、A 、B 是x 轴上的三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），•且PA ：AB=1：2，以AB 为直径画⊙M 交y 轴的正半轴于点C ． （1）求证：PC 是⊙M 的切线；（2）在x 轴上是否存在这样的点Q ，使得直线QC 与过A 、C 、B•三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）画⊙N ，使得圆心N 在x 轴的负半轴上，⊙N 与⊙M 外切，且与直线PC 相切于D ，•问将过A 、C 、B 三点的抛物线平移后，能否同时经过P 、D 、A 三点？为什么？M A Q P O N答案:中考样题看台1．（1）k=1，抛物线解析式y=-x2+2x+3（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）（3）∵⊙O′过A、B两点，∴O′在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有MP×MN=MA×MB，4MN=2×2，∴MN=1，•PN=5，O′P=52<PM，∴O′点在x轴上方，∴O′M=32，∴O′（1，32）．（4）①过B点作⊙O′的切线交y轴于点G，直线BO′交y轴于点E，可求出直线BO•′的解析式为，y=-34x+94，∴E（0，94），∵BG是⊙O′的切线，BO⊥EG，∴BO=OE×OG，∴OG=4，•∴G（0，-4），求出直线BG的解析式为y=43x-4．②-4<m<0．2．（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=45，cos∠OAB=35，∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2．•在Rt△APM中，APAM=cos∠OAB=35，∴AM=5，OM=2，∴点M（0，-2），又△NPB∽△AOB，∴BN AB BP OB，∴BN=52，•∴ON=32，∴点B（32，0），设MP的解析式为y=kx+b，∵MP经过M、N两点，∴MP的解析式为y=43x-2，设过M、N、B的抛物线解析式为y=a（x-32）（x-4）且点M（0，-2）在其上，可得a=-13，即y=-13x2+116x-2．（2）①四边形OMCB是矩形．证明：在⊙A不动，⊙B运动变化过程中，恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，∴△AOB≌△APM，∴OB=PM，AB=AM，∴PB=OM ，而PB=BC ，∴OM=BC ，由切线长定理知MC=MP ，∴MC=OB ， ∴四边形MOBC 是平行四边形， 又∵∠MOB=90°，∴四边形MOBC 是矩形．②存在，由上证明可知，Rt △MON ≌Rt △BPN ， ∴BN=MN ．因此在过M 、N 、B 三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在，• 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M ′与M 关于其对称轴对称， ∴BN=BM ′，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB 和△M ′NB ． 3．（1）∵L 与⊙O 相切于点A ，∴∠4=90°，∴OP 2=OA 2+AP 2， ∵OB=OC=12AB=3，AP=4， ∴OP 2=32+42，∴OP=5， ∴PC=5-3=2．（2）∵△PAO ∽△BAD ，且∠1>∠2，∠4=90°， ∴∠2=∠APO ，∴OB=OC ，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO ∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90° ∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°． 在Rt △BAD 中，∠2=∠APO=30°．∴AD=6sin30°=6×3过点O 作OE ⊥BC 于点E ∵∠2=30°，BO=3，∴OE=32，BE=3×cos30°=2，∴∴S 四边形OADC =S △BAD -S △BOC =12AB ·AD=12BC ·OE=12×6×12×3294154．考前热身训练1．（1）易知OA=2，cos α=12，∠POQ=∠MAN=60°， ∴初始状态时，△AON 为等边三角形，•∴ON=OA=2，当AM 旋转到AM ′时，点N 移动到N ′， ∵∠OAM ′=30°，∠POQ=∠M ′AN•′=60°，∴∠M ′N ′A=30°，在Rt △OAN 中，ON ′=2AO=4， ∴NN ′=ON ′-ON=2，∴点N 移动的距离为2．（2）易知△OAN ∽△AMN ，∴AN 2=ON ·MN ．（3）∵MN=y-x ，∴AN 2=y 2-xy ，过A 点作AD ⊥OP ，垂足为D ，可得OD=1， ∴DN=ON-OD=y-1，在Rt △AND 中，AN 2=AD 2+DN 2=y 2-2y+4， ∴y 2-xy=y 2-2y+4，即y=42x-． ∴y>0，∴2-x>0，即x<2，又∵x ≥0，∴x 的取值范围是：0≤x<2．（4）S=12·OM ·，∵S 是x 的正比例函数，且比例系数2>0，∴0≤S<2·2．即0≤2．（1）易知⊙M 半径为2，设PA=x ，则x ：4=1：2⇒x=2，由相交弦定理推论得OC=OA ．OB=1×3，2=PO 2+OC 2=32+2=12，PM 2=42=16，MC 2=22=4，∴PM 2=PC 2+MC 2，∴∠PCM=90°．（2）易知过A 、C 、B 三点的抛物线的解析式为（x+1）（x-3），•假设满足条件的Q 点存在，坐标为（m ，0），直线QC 的解析式为y=-m∵直线QC 与抛物线只有一个公共点，∴方程x+1）（x-3）∴（2+3m）2=0，∴m=-32，即满足条件的Q 点存在，•坐标为（-32，0）；（3）连结DN ，作DH ⊥PN ，垂足为H ，设⊙N 的半径为r ，则∵ND ⊥PC ， ∴ND ∥MC ，∴DN PN MC PM =，∴224r r -=， ∴r=23，∵DN 2=NH ·NP ，∴（23）2=NH·（2-23），∴NH=13，∴D（-2∵抛物线y=-3（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为y=-3（x+•1）（x+3）又经验证D是该抛物线上的点，∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点．。

第二十四讲代数与几何综合题一、选择题1.如图24- 1，抛物线y = x 2 + bx + c 与x 轴交于点 A 、点B ，与y 轴交于点 6若厶AOC 为等腰三角形，则下列各式成立的是（ ）.图 24 - 1A . c + b + 1 = 0B . c + b - 1 = 0C . c -b - 1 = 0D . c - b + 1 = 0 2 .如图24- 2，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax 2 + c （a ^ 0）的图象经过正方形 ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ,则ac 的值是（）. A . 1 B . - 1 C . 2 D . - 2 （2009兰州）如图24- 3,点A 、B 、C 、D 为圆O 的四等分点，动点 P 从圆心O 出发，沿 0宀C T D T O 的路线做匀速运动.设运动时间为 图象中，表示y 与t 之间函数关系最恰当的是二、填空题16（x > 0）图象上五个整 x数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形 （阴影部分），则 这个五个橄榄形的面积总和是 _______ （用含兀的代数式表示）.3. t （秒），/ APB 的度数为y （度），则下列）. 4. （2009福州）如图24- 4,已知A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数(图 24 - 39045图24 - 45 .如图24- 5①，矩形ABCD 中，AB= 12cm , BC = 24cm;直线PQ 从AB 出发，以1cm/s 的速度向DC作匀速运动，PQ与AD、BC分别交于P、Q;点M从点C出发，沿C宀D T A T B T C方向逆时针运动，点M与PQ同时出发，当点M运动到D后改变速度；当点M与Q相遇后，点M与直线PQ均停止运动.图24- 5②是点M运动的路线长y(cm) 与运动时间t(s)的函数关系图象.图24 - 5(1) 点M在CD上运动的速度为_______ c m/s, M点改变速度后的速度为 _______ cm/s；(2) y关于运动时间t的函数关系式为________ , P、M的相遇时间是________ (s), M、Q相遇的时间是______ (s);(3) 当O W t v8时，△ PQM的面积S关于运动时间t的函数关系式为______________ ，当S=60cm1 2时，t的值为_______ ;(4) 当PM = QM时，此时的时间为 ______ s.二、解答题6 .如图24- 6,在平面直角坐标系中，Rt△ AOB也Rt△ CDA，且A( —1, 0)、B(0, 2)，抛物线y= ax2+ ax—2经过点C.1 27.已知：二次函数y x2bx c的图象经过点A(—3, 6)，并与x轴交于点B( —1, 0)2和点C,顶点为P.1 求抛物线的解析式；2 在抛物线(对称轴右侧)上是否存在两点P, Q,使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P, Q的坐标，若不存在，请说明理由.(1)求这个二次函数的解析式；⑵设D为线段0C上的点，满足/ DPC = Z BAC,求点D的坐标.&已知：抛物线y = x2+ (2n—1)x+ n2—1(n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求它所对应的函数关系式；⑵设A是(1)所确定的抛物线上，位于x轴下方且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB丄x轴于B, DC丄x轴于C.①当BC = 1时，求矩形ABCD的周长；②矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由.9. 如图24 —7,对称轴为直线X=7的抛物线经过点A(6, 0)和B(0, 4).2⑵设点E(x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以0A为对角线的平行四边形•求口OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并求变量x的取值范围；①当口OEAF的面积为24时，请判断D OEAF是否为菱形？并说明理由；②是否存在点E,使口OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在请说明理由.10. 如图24 —8,直线AB交x轴于点A(2 , 0)，交抛物线y= ax2于点B(1，-、3)，点C到△ OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D .（1）求直线0C 及抛物线的解析式；⑵当x >0时，在直线0C 和抛物线 尸ax 2上是否分别存在点 P 和点Q,使四边形DOPQ 为特殊的梯形？若存在，求点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由.②图 24 - 9⑴当AD = 2，且点Q 与点B 重合时（如图24 — 9②所示），求线段PC 的长；3⑵在图24 — 9①中，连结AP ，当AD = 2，且点Q 在线段AB 上时，设点B ,的距离为x ,字^ =y ，其中S SPQ 、S MBC 分别表示厶APQ 和厶PBC 的面积，求y关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； ⑶当AD V AB ,且点Q 在线段AB 的延长线上时（如图24 - 9③所示），求/ QPC 的大小. 12. （2009哈尔滨）如图24 — 10①，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形11. （2009 上海）已知：如图，24- 9①/ ABC = 90°, AB = 2, BC = 3, AD // BC , PAD为线段BD 上的动点，点 Q 在射线AB 上，且满足 PQPC ABA 1 ! D! D A 1 rxKA £C c QQ 之间 ①DABCO是菱形，点A的坐标为（一3, 4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M , AB 边交y轴于点H .（1）求直线AC的解析式;⑵连结BM,如图24- 10②，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△ PMB的面积为S(S M 0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(3) 在(2)的条件下，当t为何值时，/ MPB与/ BCO互为余角？并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.13. (2009温州)如图24- 11,在平面直角坐标系中，点AC，3,0), B(^3, 2),C(0, 2).动点D以每秒1个单位长度的速度从点O出发，沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿AB向终点B运动.过点E作EF丄AB，交BC 于点F，连结DA、DF •设运动时间为t秒.(1) 求/ ABC的度数；⑵当t为何值时，AB// DF?(3)设四边形AEFD的面积为S,求S关于t的函数关系式及自变量x的取值范围.14. 把一张宽AD = 2的矩形纸片ABCD，如图24- 12①那样折叠，折叠后的点A落在CD 边上.现将矩形纸片放在如图24- 12②所示的平面直角坐标系中，设折叠后A的落点A',与AD、AB的交点分别为E、F , EF交x轴于点G ,过点A作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T.设DA = x,点T的纵坐标为y,求y与x之间的函数关系式.图24 - 1215. (2007福州)如图24- 13①，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 点D的坐标为(8, 0)，点B的标为(0, 6).点F在对角线AC 上运动(点F不与点A、C重合)，过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G、E.设四边形BCFE 的面积为◎,四边形CDGF的面积为S2,^ AFG的面积为S3.图24 - 13⑴试判断Si、S2的关系，并加以证明；⑵当S3 : S2= 1 : 3时，求点F的坐标；⑶如图24- 13②，在⑵的条件下，把△ AEF沿对角线AC所在的直线平移，得到△ A' E' F '且A '、F '两点始终在直线AC上.是否存在这样的点 E '，使点E ' 到x轴的距离与到y轴的距离比是5 ：4?若存在，请求出点E'的坐标；若不存在，请说明理由.216. (2008 武汉)如图24- 14①，抛物线y= ax - 3ax+ b 经过A( —1, 0), C(3, 2)两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B.图24 - 14(1)求此抛物线的解析式；⑵若直线y= kx- 1(k z 0)将四边形ABCD面积二等分，求k的值；⑶如图24- 14②，过点E(1 , - 1)作EF丄x轴于点F-将厶AEF绕平面内某点旋转180°后得①②△ MNQ(点M、N、Q分别与点A、E、F对应)，使点M、N在抛物线上，求点M、N的坐标.17. (2009重庆)已知：如图24 —15,在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA= 2, OC = 3.过原点O作/ AOC的平分线交AB于点D，连结DC ,过点D作DE丄DC ,交OA于点E .⑴求过点E、D、C的抛物线的解析式；⑵将/ EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段0C交于点G.如果DF与⑴中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为-,5那么EF = 2G0是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)对于(2)中的点G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△ PCG是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案第二十四讲代数与几何综合题D . 2. D . 3. C .S 圆 T HC 2 1 S 4 S OHC 4 OH HC = 4 n — 8,所以S 大橄榄形=2S = 8n -16同理，D 处橄榄形所在正方形边长为2, 所以 S D 橄榄形=2( — ：: 22 一丄：：2 ：： 2) = 2 n —4.4 2n .S E 橄榄形=——1.2而同图可知S B 橄榄形= S D 橄榄形, S A 橄榄形=S E 橄榄形,n所以 S 总面积=8“一 16+ 2(2 二一4) + 2(— 1) = 13J — 26.2① 当 P 、M 相遇时，AP = t , DM = y —12= 4t — 16, 由 AP + DM = 24 可得 t + (4t — 16) = 24.解得 t = &② 当M 、Q 相遇时，BQ = t , BM = y — 2AB — AD = 4t — 52.52 由 BM = BQ 得 4t — 52= t .解得 t 工52 - 3<-6t +144(0 兰t 兰4), 厂30t +240(4<t V8).当 S = 60 时，若—6t + 144= 60，解得 t = 14,因为 此时0w t w 4,所以t = 14(舍去).若—30t + 240= 60,解得t = 6(符合题意).所以当S = 60时，t 的值为6.(4) 2或11.5.提示：当 M 点运动到CD 或AB 中点时，有PM = QM .分别计算时间就可4. 13二-26 .提示：观察图象结合16), B(2, 8), C(4, 4), D(8, 个橄榄形 16 A 、B 、C 、D 、E 为y 的五个整数点可推断： A(1 ,x 5. (1)3, 4.(2)y =』 航―)8,52.卑―4(4ctW6) . 3 ⑶SR G答图24 - 1以了.6 .解： ⑴由 Rt △ AOB 也 Rt A CDA ，得 0D = 2+ 1 = 3, CD = 1 ,••• C 点坐标为（一3, 1）.可得抛物线的解析式为 y =J x 2」X_2.2 2（2）在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P 、Q ,使四边形 ABPQ 是正方形.以 AB 为 边在 AB 的右侧作正方形 ABPQ .过P 作PE 丄0B 于E , QG 丄x 轴于G （见答图24 -2）, i A\ 0 /"討p< 1 答图24 - 2 可证△ PBE ◎△ AQG ◎△ BAO .• PE = AG = B0= 2, BE = QG = A0= 1 .• P 点坐标为(2, 1), Q 点坐标为(1 , - 1).由(1)抛物线y =」x 2 •丄X -2 ,2 2当x = 2时，y = 1，当x = 1时，y =— 1 .• P 、Q 在抛物线上.故在抛物线(对称轴的右侧)上存在点P(2, 1)、Q(1,— 1),使四边形 ABPQ 是正 方形. 1 2 37. (1) y x - x -22 (2)C(3, 0).可证/ ACB =Z PCD = 45°.(见答图 24 — 3)易求得 AC = 6 .2 , PC = 2 .2 , BC = 4,4 45 5• DC = -, OD = 3— = - .• D(Y , 0).3 3 3 32 c8. (1)y = x — 3x .•••/ DPC = Z BAC ,• △ DPC BAC .(2)抛物线与x轴的另一个交点为(3, 0), 顶点为(3, —9),对称轴为直线x = 3,2 4 2其大致位置如答图24—4所示.竹答图24 — 4①••• BC = 1,由抛物线和矩形的对称性可知OB = - X (3 —1) = 1 ,••• B(1 , 0), A(1 , —2) , AB = 2.2矩形ABCD的周长为6.②可设A点的坐标为(x , x2—3x),3• B 点的坐标为(x , 0)(0v x v -) , BC = 3—2x.2••• A在x轴下方，•- x?—3x v 0 , AB = |x?—3x|= 3x — / ,•矩形ABCD 的周长P= 2[(3x—x2)+ (3 —2x)] = —2(x—- )2+ 13.2 2•/ 0 v -v 3, •当x=-时，矩形ABCD的周长P有最大值为13.2 2 2 2此时点A的坐标为A(-,—-).2 49. 解：(1)由抛物线的对称轴是x=7,及抛物线经过点A(6 , 0)可知抛物线还经过(1 , 0)2占八、、♦设抛物线的解析式为y= a(x—1)(x—6).2 2 o 14由抛物线经过点B(0 , 4)可得a二？.故抛物线解析式为y上x2 - 14x • 4 ,顶点3 3 3为昇25、为(二)•2 62 7 25(2)•••点E(x , y)在抛物线上，位于第四象限，• y v0且坐标适合y=—(x-7)2-—-3 2 6•/ OA是口OEAF的对角线，1 7 2--S= 2S A OAE= 2 X X OA • |y|=—6y =—4(x—) + 25.2 2•••抛物线与x轴的两个交点是(1, 0)和(6 , 0)，•自变量x的取值范围是1 v x v 6.①根据题意，当S= 24时，即—4(x —7)2+ 25= 24.2化简，得(x - 7) 2 = 1 .解之，得 X 1 = 3 , x 2= 4 •2 4 此时点E 坐标分别为E I (3, - 4), E 2(4,— 4).点 E I (3, — 4)满足 0E = AE ,点 E 2(4,— 4)不满足 0E = AE ,•••当口 OEAF 的面积为24,且点E 坐标为(3, — 4)时，口 OEAF 是菱形. ②当0A 丄EF ，且0A = EF 时，D OEAF 是正方形， 此时点E 的坐标只能是(3,— 3).而坐标为(3, — 3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E ,使口OEAF 为正方形.10. 简解：(1)见答图24 — 5 — 1，可得直线 AB 的解析式为y - -.、3x • 2、、3..抛物线的解析式为 y = .. 3x 2.又•••点C 到厶OAB 各顶点距离相等，可得△ OAB 为等边三角形， 即点C 是厶OAB 三边的垂直平分线的交点.连结 BC ,并延长交OA 于E ,则 BE 丄 OA , OE = AE . •••点E 的坐标为(1 , 0). 可得点C 的坐标为C(1,-).3•直线OC 的解析式为y =x ,直线AC 的解析式为y =— x +-. 333⑵可得点D 的坐标为D(0,今卫),OD =仝卫.33① OD // PQ .(i )当DQ 1 = OP 1时，四边形DOPg 为等腰梯形.(如答图24 — 5①)由题意得,△ OCD 为等边三角形，/ CDO = / COD ,• Q 1是直线AC 与抛物线的交点，(ii )当/ ODQ 2= 90°时，四边形 DOP 2Q 2为直角梯形(如答图24 — 5②).£，2®3答图24 - 5②设过点D （0,竽）且平行于x 轴的直线交抛物线 y 二,3x 2于点Q 2,则Q 2的纵3 坐标为2、3，可得点Q 2的坐标为（学,23），点P 2的坐标为（学,：；2）.3 3^3 3 ' 3 ② DQ // OP .过点D （O ,^^）且平行于oc 的直线为y •為3 ,交抛物线 y = ..3X 2 于点 Q .「. ^x 233 r3x 2,2解得禺=1或x 2（舍）.3把 x = 1 代入 y = 3x 2 中，得 y = 3,•••点Q 的坐标为（1, 3）（与点B 重合）.（i ）当 OD = P 3Q 3时，四边形DOP 3Q 3是等腰梯形，如答图 24- 5 — 1.•••△ OCD 为等边三角形，/ DOC = / Q 3P 3O = 60°,「. Q 3P 3/ AC . 可得Q 3P 3的解析式为，433 •33点P 3为直线Q 3P 3与直线OC 的交点，.••点P 3的坐标为 Q 4（1,、3）（与点B 重合）时，四边形DOPQ 为直角梯形.思路分析： ⑴考虑到 AB = AD = 2，贝U PQ : PC = 1，即PQ = PC ; （2）先分别表示出S^ APQ 和PBC ，然后再去表示两三角形面积之比，列出函数关系式；⑶（2等（ii ）Z OP 4Q 4= 90°时，四OC 与直线AB 的交点.,2 4、32.3Q 1 （-^9 ）和卩3（2,卞），合）时，四边形DOPQ 为等腰梯形；当P2^36^32） ^Q 2^36,2233）和卩4（? 迈）、3 3 3 3 2 2Q 3（1,，3）（与点 B 重y利用三角形相似与等量代换.简解：⑴当AD = 2时可得/ PBC = 45°.PQ AD,AD = AB ，点 Q 与点 B 重合，• PB = PQ = PC . PC AB•••/ PCB =Z PBC = 45°.「./ BPC = 90°. 在 Rt △ BPC 中，PC = BC • cosC = 3 X cos45°=⑵如答图24- 6①，过点P 作PE 丄BC , PF 丄AB ,垂足分别为 可得四边形FBEP 是矩形.••• PF // BC , PE = BF .3•- CG = — ,PG = AB =2, PC2AD 可得 PQ =15 ABE、•/ AD // BC ,「. PF // AD .BF•/ AQ = AB - QB = 2 — x , BC = 3,PF.AD 又 AD 旦AB =2,. 2AB PF PEPF BF1S.APQ 2 SPBC 1BCPF PE••• y 与x 的函数关系是为 yrB G C当点Q 与点B 重合时,x = 0; 答图24 - 6 当点P运动到与点D 重合时，x 取得最大值.作 PG 丄BC 于G .AD =3 , BC =23可得PB = PC , G 为BC 中点.在 Rt △ FAQ 中, PA 2 + AQ 2= PQ 2, （扩（2—t ）2 =（舟）2.整理，得t 2_4t晋"解得t1计,t225 8QA DQPN •/ AD // BC,「. PN // AD . -BN ADABPNPMADAB由0v t v 2 得t =78•自变量x的取值范围是0^t _7 -8(3) 如答图24- 6③，过点P作PM丄BC,PN丄AB,垂足分别为M、N，可得四边形PNBM 为矩形，PN // BC, PM = BN，/MFN = 90°._ PQ AD . PN PQ"AB " P M "PC又•••/ PMC = Z PNQ = 90 °,「. Rt △ PCM s Rt △ PQN .•••/ CPM = Z QPN .•••/ MPN = 90°,「./ QPC = Z CPM + Z QPM = Z MPN = 90°.12 .思路分析：由 A( — 3, 4)可知AO = 5,贝U OC = 5，所以点C 坐标(5, 0)，可求出直线 AC1的解析式；当点 P 在AB 上时，S 二丄BPMH ，当点P 在BC 上时，由菱形性质可知2 △ MOCMBC ，从而/ MBC = 90°，所以 S =丄 BR MB. 2解：⑴过点A 作AE 丄x 轴，垂足为E （如答图24 — 7①）.答图24 — 7①由A （— 3，4）及四边形ABCO 为菱形，可得 OC = CB = BA = OA = 5，C 点的坐标为 C （5，0）. 可得直线AC 的解析式为y = _丄x • 5 •2 2 1 S = BP •2 2 2 2②当P 点在BC 边上运动时，记为 P i .•••/ OCM = Z BCM ，CO = CB ，CM = CM ，5• △ OMC ◎△ BMC . • BM = OM = -，Z MBC = Z MOC = 90°5 5⑵由⑴得M 点坐标为（0，- ），• OM =2 2①如答图24 — 7②，当P 点在AB 边上运动时,2ci 1 5 5 25 5•- S= P1B • BM = (2t —5) •= t—( v t w 5).2 2 2 2 4 2⑶设OP与AC相交于点Q，连结OB交AC与K.3可得 tan / BCO = tan / AOE =里，由/ MPB 与/ BCO 互余可得 tan / MPB =•44①当P 点在AB 边上运动时，如答图 24- 7②.MH MH =OH -OM , PH 2.2 tan ZMPB1 由 PH = AH — AP 得 3- 2t = 2. t 2AQ AP 1由 AB//OC 可得△ AQPCQO .…CQ CO 5 在 Rt △ AEC 中，AC =:：：AE 2 EC 2〉』42 82 =4.5,25 10 ..5 ^,QC3-在 Rt △ OHB 中，OB h 』HB 2 HO 2 =：；22 42 =2、、5. 由菱形性质可得OK 」O B = . 5,AK 二匹=2 .5,. QK =AK — AQ 二爲^, 2 2 3 ••• tan. OQC =巴=3QK 4②当P 点在BC 边上运动时，如答图 24 - 7③..QK =KC —CQ 二 5.—OKOK", tan OQK =OKMtan._ MPB 3 10由PB =2t -5 解得325由 PC // OA 可得△ PQC s^ OQA . CQ AQCP CQ」,CQ 」AC-5.4AO AQ 3综上所述，当t =1或t =竺时，/ MPB与/ BOC互为余角，直线OP与直线AC所 2 63夹锐角的正切值为3或1.413•思路分析：第(1)(2)题，通过解直角三角形解决，第⑶题求四边形AEFD的面积时，要把它转化为规则图形的面积的和或•/ C(0, 2), B(3.3 , 2),••• BC // OA.差来解答.解：•••/ ABC = Z BAM .•/ BM = 2, AM = 2 3 , • tan/BAM =圧3•••/ ABC = Z BAM = 30°.(2)若AB / DF，则/ CFD = Z ABC = 30°.在Rt△ DCF 中，CD = 2-t，/ CFD = 30 °，/3•- S= S 梯形OABC —S A OAD —S A CDF —S A FEB=4 . 3 一J『- ](2 7)(4t 1) - 6(4 -2t)2二-3t -3.(0 :: t =2)14•简解：连结AA',由折叠的对称性知，EF垂直平分AA '于点G.在Rt A A' GT中，2 GH 丄A' T, AA'丄EF，所以△ A' GH GTH，所以HG : HT = A' H : GH，即HG•/ AB = 4 ,• BE = 4- 2t ,/ FBE = 30°.. BF"厂2—.E( 3・3t,t) ,• DE // x 轴.11S = S ^DEF + S A DEA = DE CD DE22CF = , 3 (2 -1). = 2(4_2t) _ 3⑶方法一：过点 E 作EG 丄x 轴于点G ,则 EG = t , OG 3 •.3t.OD =丄 DE OC 二2方法二：BF’D, CF 43-2(4切/ 1=H「A' H•而A' H= 1，HG持，所以HT Jx2.又因为点T在第四象限，所以T 的纵坐标为_】x4 5，故所求的函数关系式为415. 解:(1)S i= S2-证明：如答图24- 9①,4 15口，叫).答图24 - 9①•/ FE 丄y 轴，FG 丄 x 轴，/ ABD = 90°, •••四边形AEFG 是矩形. ••• AE = GF , EF = AG .• S ^AEF = S A A FG .冋理 S A ABC = S A A CD .• S ^ABC — S ^AEF = S X ACD — S A AFG ，即 S 1 = S 2 .=3— 5a ,同理可得②如答图24 — 9③，若点 E'在第二象限，•设 E '—4a , 5a), a > 0, 得 AN = 4a , A N(2) •/ FG // CD ,•••△ AFG ACD .S SFG 2 AG 21 1K=(CD )=(AD )二门=4CD = BA = 6, AD = BC = 8,「. FG = 3, ⑶假设存在符合条件的点 E '.V A A ' E 'E ' A '= EA = 3, E 'F ' = EF = 4. ①如答图24 — 9②，若点1 __2 'AG = 4, • F(4, 3).F '是由△ AEF 沿直线AC 平移得到的, 设 E ' (4, 5a), a > 0.延长 E'A'交 x 轴于 M ，得 AM = 5a — 3, AM = 4a . 由 tan. A AM =列AM5a - 34a答图24 — 9③3③ 如答图24- 9④，若点E '在第三象限,答图24 - 9④ 设 E ' （— 4a , — 5a ）, a >0,延长 E ' F'交 y 轴于点 P ,得 AP = 5a , PF '= 4a -4.同 理可得0 = 5a ■3 4a —43 a （a v 0，舍去）. 2 在第三象限不存在点 E '. ④点E '不可能在第四象限. •••存在满足条件的 E '坐标分别是（6兰）或（_3'2 2' 81 2 316. 解：⑴抛物线解析式为 y-- — x —x 2.2 2（2）方法一：（见答图24 - 10①）, 1 2 3由 yx 2 x 2，得 B(4, 0), D(0, 2). 2 2• CD // AB . 1…S 梯形 ABCD =(5 + 3) X 2 = 8.2设直线y = kx - 1分别交AB 、CD 于点H 、T , 小 1 3 则 H( , 0), T( , 2).kk•••直线y = kx - 1平分四边形 ABCD 的面积，131( 1) 2=4.2 k k方法二：过点 C 作CH 丄AB 于点H .(见答图24- 10②)13「5a4a3 15 E (S ，R.• • S 梯形=—S 梯形 ABCD =4. 23答图24 - 10①. 12 3由y x2x 2 得B(4 , 0), C(0, 2).2 2••• CD // AB.由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形.• S^AOD = S A BHC .3设矩形ODCH的对称中心为P,贝y P(—,1).2由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分.•••过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分. 当直线y= kx- 1经过点P时，得1 = 3k -1..2 34 4•••当k =—时，直线y =—x -1将四边形ABCD面积二等分.3 3⑶见答图24- 10③.假设△ AEF绕点G旋转180°后得到△ MNQ，由中心对称性可知△ AEF MNQ .MQ = AF = 2, NQ = EF = 1，/ MQN = Z AFE = 90°. 设M(m, n)，则N(m-2, n+ 1).T M、N在抛物线上，.n = -丄m2—m 2,2 21 23且n 1 (m —2) (m —2) 2.2 2"，口 m = 3, 解得』• M(3, 2), N(1 , 3).“ =1.17 .分析(1)设抛物线的解析式为y= ax2+ bx+ c(a^ 0)，由已知先求出C、D、E的坐标后再代入求出a、b、c的值即可；(2)先假设EF = 2GO成立，再根据题设条件给予证明；(3)方法同⑵.简解：(1)由已知，得C(3, 0), D(2, 2).•••/ ADE = 90°—/ CDB = Z BCD ,1 AE = AD • tan / ADE = 2x tan /BCD =2 x = 1. 2 .E(0, 1).可得过点E 、D 、C 的抛物线的解析式为 y =_£x 21.6 6(2)EF = 2GO 成立.6 12 •••点M 在该抛物线上，且它的横坐标为 一，.点M 的纵坐标为 一 •55可得直线DM 的解析式为y• 3.2答图24 — 11①•••/ ADK =/ FDG = 90 °，•/ FDA = / GDK . 又•••/ FAD = / GKD = 90° ,•△ DAF ◎△ DKG .KG = AF = 1.. GO = 1 .• EF = 2GO .⑶如答图24 — 11②.点P 在AB 上，G(1 , 0), C(3,A 4-r6 H C\?答图24 — 11②则设 P(t , 2). • PG 2= (t — 1)2+ 22, PC 2= (3 — t)2 + 22, GC = 2. ① 若 PG = PC ,贝U (t — 1)2 + 22 = (3 — t)2+ 22. 解得t = 2 ,• P 1(2, 2),此时点Q 1与点P 1重合. • Q 1 (2, 2).② 若 PG = GC ,贝U (t — 1)2 + 22= 22,得t = 1, • P 2(1 , 2).此时GP 2丄x 轴，GP 2与该抛物线在第一象限内的交点 Q 2的横坐标为1,•••点Q 2的纵坐标为-■ Q 2(1,-)••• F(0, 3), EF = 2.K ，则 DA = DK .0),3 3③若PC = GC,贝y （3 —1）2+ 22= 22,解得t = 3,「. P3（3, 2），此时P3C= GC = 2,△ P3CG为等腰直角三角形.过点Q3作Q3H 丄x 轴于点H，贝y Q3H = GH，设Q3H = h,••• Q3（h+ 1, h）. ••• Q3 在抛物线上，_§（h 1）2 12（h 1）+ 1 = h.6 67 12 7解得h1= , h2=—2（舍去）..Q3（12,7）5 5 57 12 7综上所述，存在三个满足条件的点Q.即Q1(2, 2)或Q2(1,-)或Q3(—，—厂3 5 54 4•••当y时，直线yxT将四边形ABCD面积二等分.。