下载文档原格式
中考压轴题目归类总结代数几何综合板块.doc 中考压轴题目归类总结：代数几何综合板块引言介绍中考压轴题目的重要性代数几何综合板块在中考中的地位归类总结的目的和意义代数几何综合板块概述代数几何综合板块的定义该板块涵盖的主要内容代数方程几何图形函数与图形几何证明代数几何综合题目特点结合代数和几何的解题思路需要综合运用多种数学知识题目通常具有较高的难度和综合性代数几何综合题目解题策略分析题目要求，确定解题方向利用代数方法解决几何问题利用几何直观辅助代数计算综合运用函数、方程、不等式等数学工具代数几何综合板块常见题型题型一：代数方程与几何图形结合例题分析解题步骤易错点提示题型二：几何图形中的代数问题例题分析解题步骤易错点提示题型三：函数与几何图形的结合例题分析解题步骤易错点提示题型四：几何证明中的代数应用例题分析解题步骤易错点提示代数几何综合题目解题技巧转化思想：将几何问题转化为代数问题建模思想：建立数学模型解决实际问题归纳推理：通过已知条件推导未知结论逆向思维：从结论出发，逆向求解代数几何综合板块备考建议系统复习代数和几何基础知识多做综合题目，提高解题能力总结解题规律，形成自己的解题方法培养空间想象能力和逻辑推理能力经典例题解析选取几道历年中考中的代数几何综合题目分步骤解析解题过程总结解题思路和技巧结语强调代数几何综合板块在中考中的重要性鼓励学生通过不断练习提高解题能力表达对学生中考取得优异成绩的祝愿。
例6. 如图，边长为1的正方形OABC 的顶点O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上。
动点D 在线段BC 上移动（不与B ，C 重合），连结OD ，过点D 作OD DE ⊥，交边AB 于点E ，连结OE 。
记CD 的长为t 。
（1）当31=t 时，求直线DE 的函数表达式。
（2）如果记梯形COEB 的面积为S ，那么是否存在S 的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t 的值；若不存在，请说明理由。
（3）当22DE OD +的算术平方根取最小值时，求点E 的坐标。
【观察与思考】对于（1），只需求出D 点的和E 点的坐标，这可以通过解ODC Rt ∆和DEB Rt ∆来实现。
对于（2），首先要求出S 关于t 的函数关系式，然后再由函数的性质和取值范围看是否有最大值，而面积计算又归结为有关线段的计算。
对于（3），22DE OD +最小，实际上是OE 的长最小，而OE 又是OEA Rt ∆的斜边，且在这个三角形中，一直角边OA 为定值，因此，斜边OE 最小，就会使另一直角边AE 最小，进而使OEA S ∆（面积）最小，也即梯形COEB 面积最大，这便和（2）的结论联系起来，解法也就找到了。
例9.如图，抛物线233y mx mx =+-（m ＞0）与y 轴交于点C,与x 轴交于A 、B 两点，点 A 在点B 的左侧，且1tan 3OCB ∠=． （1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ，△ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．x(备用图)x 练习. 在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=2经过直线42+=x y 与坐标轴的两个交点B C 、，它与x 轴的另一个交点为A ．点N 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点M 为线段AB 上的动点．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图①，若过动点M 的直线BC ME //交抛物线对称轴于点E ．试问抛物线上是否存在点F ，使得以点F E N M ,,,为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图②，若过动点M 的直线ACMD //交直线BC 于D ，连接CM ．当CD M ∆的面积最大时，求点M 的坐标？图① 图②练习.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.练习.已知：抛物线y=ax 2－2ax+c(a ≠0)与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A ，B ，点A 的坐标为（4，0）。
中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（基础）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础； (2)认识综合题的结构是解综合题的前提； (3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键； (4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心． * 审题(读题、断句、找关键)； * 先宏观(题型、知识块、方法)； 后微观(具体条件，具体定理、公式) * 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合； * 观察——挖掘题目结构特征； 联想——联系相关知识网络； 突破——抓往关键实现突破； 寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、方程与不等式综合1．已知方程组2323,342 1.x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩的解满足0,0.x y >⎧⎨<⎩求a 的取值范围．【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题．【答案与解析】解：23233421x y a x y a -=-⎧⎨-=+⎩①②①×3－②×2得：y ＝13a －4 ①×4－②×3得：x ＝18a －5 由题意令x ＞0，y ＞0得：1850,1340.a a ->⎧⎨-<⎩∴541813a <<. 【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解．2．m 为何值时，222(2)21x m x m m --+++是完全平方式？【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义．因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解． 【答案与解析】解：解法1：待定系数法设原式＝[x-(m-2)]2＝x 2-2(m-2)x+m 2-4m+4 所以m 2+2m+l ＝m 2-4m+4，12m =； 解法2：配方法原式＝22222(2)(2)(2)21x m x m m m m --+---+++． ＝[x-(m-2)]2+6m-3，6m-3＝0，12m =； 解法3：判别式法因为是完全平方式，所以方程222(2)210x m x m m --+++=有两等根， △＝[-2(m-2)]2－4(m 2+2m+1)＝0，12m =； 解法4：因为是完全平方式，所以令222(2)21y x m x m m =--+++，所以抛物线顶点在x 轴上，2404ac b a-=， 224(21)4(2)04m m m ++--=，630m -=，12m =．【总结升华】对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程，从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不定，从函数的角度解决问题．解决问题的角度不同，但结果是相同的．类型二、方程与函数综合3．请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题：(1)分别写出1l ，2l 中变量y 随x 变化而变化的情况；(2)写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题．本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系．【答案与解析】解：(1)1:l y 的值随x 的增大而增大； 2:l y 的值随x 的增大而减小．(2)设直线1l ，2l 的函数表达式分别为11y a x b =+，22y a x b =+， 由题意得11111a b b +=⎧⎨=-⎩，2222130a b a b +=⎧⎨+=⎩．解得：1121a b =⎧⎨=-⎩，221232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线1l ，2l 的函数表达式分别为21y x =-，1322y x =-+． ∴所求的方程组为211322y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩．【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想．举一反三：【变式】已知：如图，平行于x 轴的直线y ＝a(a ≠0)与函数y ＝x 和函数xy 1=的图象分别交于点A 和点B ，又有定点P(2，0)．(1)若a ＞0，且91tan =∠POB ，求线段AB 的长； (2)在过A ，B 两点且顶点在直线y ＝x 上的抛物线中，已知线段38=AB ，且在它的对称轴左边时，y 随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式； (3)已知经过A ，B ，P 三点的抛物线，平移后能得到259x y =的图象，求点P 到直线AB 的距离． 【答案】解：（1）设第一象限内的点B （m,n ），则1tan 9n POB m ∠==，得m=9n ，又点B 在函数1y x=的图象上，得1n=，所以m=3（－3舍去），点B 为1(3,)，B （1,a a），则183AB a a =-=,所以03832=-+a a ，解得 313=-=a a 或 .当a =－3时，点A （―3，―3），B 1(,3)3--，因为顶点在y = x 上，所以顶点为55(,)33--，所以可设二次函数为255()33y k x =+-，点A 代入，解得34k =-, 所以所求函数解析式为2355()433y x =-+- .同理，当13a =时，所求函数解析式为2355()433y x =--+；（3）设A （a , a ），B （1,a a），由条件可知抛物线的对称轴为122a x a =+ .设所求二次函数解析式为：91(2)()25y x x a a ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦. 点A(a,a)代入，解得31=a ，1362=a ，所以点P 到直线AB 的距离为3或613 [4．（门头沟区期末）已知：关于x 的方程mx 2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m 为任何实数，此方程总有实数根；（2）如果该方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，求m 的值；（3）在（2）的条件下，令y=mx 2+（3m+1）x+3，如果当x 1=a 与x 2=a+n （n ≠0）时有y 1=y 2，求代数式4a 2+12an+5n 2+16n+8的值． 【思路点拨】（1）注意对m 的取值进行分类讨论：即当m=0和m ≠0时；（2）先解方程，由于方程有两个不同的整数根，且m 为正整数，得m 的值；（3）由（2）得函数解析式，利用函数的对称性，得a 与n 的关系，然后再利用整体代入的方法计算． 【答案与解析】（1）证明：当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=﹣3； 当m ≠0时，∵△=（3m+1）2﹣12m=9m 2﹣6m+1=（3m ﹣1）2．∵（3m ﹣1）2≥0，∴不论m 为任何实数时总有两个实数根，综上所述，不论m 为任何实数时，方程 mx 2+（3m+1）x+3=0总有实数根； （2）解：当m ≠0时，解方程mx 2+（3m+1）x+3=0得 x 1=﹣3，x 2=，∵方程mx 2+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m 为正整数， ∴m=1；（3）解：∵m=1，y=mx 2+（3m+1）x+3，∴y=x 2+4x+3，又∵当x 1=a 与x 2=a+n （n ≠0）时有y 1=y 2，∴当x 1=a 时，y 1=a 2+4a+3，当x 2=a+n 时，y 2=（a+n ）2+4（a+n ）+3， ∴a 2+4a+3=（a+n ）2+4（a+n ）+3，化简得 2an+n 2+4n=0， 即 n （2a+n+4）=0， 又∵n ≠0， ∴2a=﹣n ﹣4，∴4a 2+12an+5n 2+16n+8=（2a）2+2a•6n+5n2+16n+8=（n+4）2+6n（﹣n﹣4）+5n2+16n+8=24．【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入．举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝，求m的值和此时方程的两根．【答案】解：（1）证明：由关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0得△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2＋4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1.∵|x1－x2|＝∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8.∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m2＋2m－3=0.解得：m1=－3，m2=1.当m=－3时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1，x2=.当m=1时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－，x2=－2.类型三、以代数为主的综合题5．（2017•曲靖一模）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=ax2+bx+c 过A（1，0），B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图形上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是以BN 为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A、B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）假设存在，设出点P的坐标为（2，n），结合（2）的结论可求出点N的坐标，结合点N、B的坐标利用两点间的距离公式求出线段PN、PB、BN的长度，根据等腰三角形的性质分类讨论即可求出n值，从而得出点P的坐标．【答案与解析】解：（1）由题意点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，把点点B（3，0）代入y=kx+3中，得：0=3k+3，解得：k=﹣1，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵MN∥y轴，∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为x=2，∴点（1，0）在抛物线的图象上，∴1＜m＜3．∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为．（3）假设存在．设点P的坐标为（2，n）．当m=时，点N的坐标为（，），∴PB==，PN=，BN==．△PBN 为等腰三角形分三种情况： ①当PB=BN 时，即=，解得：n=±，此时点P 的坐标为（2，﹣）或（2，）； ②当PN=BN 时，即=，解得：n=，此时点P 的坐标为（2，）或（2，）．综上可知：在抛物线的对称轴l 上存在点P ，使△PBN 是等腰三角形， 点P 的坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，）．【总结升华】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、两点间的距离以及等腰三角形的性质. 举一反三：【变式】如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点B （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得△ABP 的周长最小．请求出点P 的坐标．【答案】解：（1）根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=.0405,)1(4)1(022c a c a解得 ⎩⎨⎧-==.5,1c a∴二次函数的表达式为542--=x x y ．（2）令y =0，得二次函数542--=x x y 的图象与x 轴的另一个交点坐标C （5, 0）. 由于P 是对称轴2=x 上一点，连结AB ，由于2622=+=OB OA AB ， 要使△ABP 的周长最小，只要PB PA +最小.由于点A 与点C 关于对称轴2=x 对称，连结BC 交对称轴于点P ，则PB PA += BP +PC =BC ，根据两点之间，线段最短，可得PB PA +的最小值为BC .因而BC 与对称轴2=x 的交点P 就是所求的点. 设直线BC 的解析式为b kx y +=，根据题意，可得⎩⎨⎧+=-=.50,5b k b 解得⎩⎨⎧-==.5,1b k所以直线BC 的解析式为5-=x y因此直线BC 与对称轴2=x 的交点坐标是方程组⎩⎨⎧-==5,2x y x 的解，解得⎩⎨⎧-==.3,2y x所求的点P 的坐标为（2，-3）.。
中考数学几何代数重点难点解析及专题练习（含答
案解析）
几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某
个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
在中考中常以填空选择及解答题形式出现，难易程度多为难题、压轴题。
务必掌握求几何最值的基本方法：（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、
定理。
常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造
二次函数等。
代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。
作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。
解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。
特别注意如果所列方程为分式方程，需检验增根！
具体例题题型如下：。
代几综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.【方法点拨】方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．4．解几何综合题应注意以下几点：（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．【典型例题】类型一、方程与几何综合的问题1.（2015•大庆模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）【思路点拨】（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10﹣t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，求解即可；（2）正确把四边形PQCB表示出来，即可得出y关于t的函数关系式；（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程，解方程即可；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．【答案与解析】解：（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB﹣BP=10﹣t．∵PQ∥BC，∴=，∴=，解得t=；（2）∵S四边形PQCB=S△ACB﹣S△APQ=AC•BC﹣AP•AQ•sinA∴y=×6×8﹣×（10﹣t）•2t•=24﹣t（10﹣t）=t2﹣8t+24，即y关于t的函数关系式为y=t2﹣8t+24；（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：由题意，得t2﹣8t+24=×24，整理，得t2﹣10t+12=0，解得t1=5﹣，t2=5+（不合题意舍去）．故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5﹣；（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①如果AE=AQ，那么10﹣2t=2t，解得t=；②如果EA=EQ，那么（10﹣2t）×=t，解得t=；③如果QA=QE，那么2t×=5﹣t，解得t=．故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．【总结升华】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，综合性较强，难度适中．解答此题时要注意分类讨论，不要漏解；其次运用方程思想是解题的关键．举一反三：【变式】（2016•镇江）如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y 关于时间t的函数表达式．【答案】解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=6，则AE′=6∴DE′=6+6，DF=BE′=12，故答案为：6+6，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=6，∴t=6秒；（4）y=t﹣12﹣，如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=6，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=6，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=6+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣6﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣6﹣12），即y=t﹣12﹣．类型二、函数与几何综合问题2.如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）．⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．．写出t的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，∵t＞0，∴b=-t；（2）不变．∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，∴当x=1时，y=1-t，∴M（1，1-t），∴AM=|1-t|=t-1，∵OP=t ，∴AP=t-1， ∴AM=AP ，∵∠PAM=90°，∴∠AMP=45°；（3）72＜ｔ＜113．①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有-4＜y 2＜-3，-2＜y 3＜-1， 即-4＜4-2t ＜-3，-2＜9-3t ＜-1，∴72＜ｔ＜４且103＜ｔ＜113，解得72＜ｔ＜113；③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解； 综上所述，t 的取值范围是：72＜ｔ＜113．【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．类型三、动态几何中的函数问题3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2+2y ax ax c =+的图象与y 轴交于(0,3)C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(-3,0)（1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时△CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标.【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B 、C 的坐标代入其中求解即可．（2）先画出相关图示，连接OD 后发现：S △OBD ：S 四边形ACDB =2：3，因此直线OM 必须经过线段BD 才有可能符合题干的要求；设直线OM 与线段BD 的交点为E ，根据题干可知：△OBE 、多边形OEDCA 的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE 的面积是四边形ACDB 面积的1233或，所以先求出四边形ABDC 的面积，进而得到△OBE 的面积后，可确定点E 的坐标，首先求出直线OE （即直线OM ）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M 的坐标（注意点M 的位置）．（3）此题必须先得到关于△CPB 面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB 的面积最大值以及对应的点P 坐标；通过图示可发现，△CPB 的面积可由四边形OCPB 的面积减去△OCB 的面积求得，首先设出点P 的坐标，四边形OCPB 的面积可由△OCP 、△OPB 的面积和得出． 【答案与解析】解：（1）由题意，得：3,9-60.c a a c =⎧⎨+=⎩ 解得：-1,3.a c =⎧⎨=⎩所以，二次函数的解析式为：2--23y x x =+ ，顶点D 的坐标为（-1，4）. （2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB 的面积为9.直线BD 的解析式为y=2x+6.设直线OM 与直线BD 交于点E ，则△OBE 的面积可以为3或6.①当1=9=33OBE S ∆⨯时，如图，易得E 点坐标（-2，-2），直线OE 的解析式为y=-x.E M xy O A BCD设M 点坐标（x ，-x ），21223113113,().22x x x x x -=--+---+==舍 ∴113113M ,22--+（） ② 当时，同理可得M 点坐标．∴ M 点坐标为（-1，4）．（3）如图，连接OP ，设P 点的坐标为(),m n ， ∵点P 在抛物线上，∴232n m m =-+-， ∴PB PO OPB OB S S S S =+-△C △C △△C111||222OC m OB n OC OB =⋅-+⋅-⋅ ()339332222m n n m =-+-=--()22333273.2228m m m ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭∵3<0m -<，∴当32m =-时，154n =. △CPB 的面积有最大值27.8∴当点P 的坐标为315(,)24-时，△CPB 的面积有最大值，且最大值为27.8【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M 的位置，以免出现漏解的情况．举一反三：【变式】如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－12x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形OA 1B 1C 1，试探究OA 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.yxDECOAB【答案】（1）由题意得B （3，1）．若直线经过点A （3，0）时，则b ＝32 若直线经过点B （3，1）时，则b ＝52若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1.①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤32，如图1，此时点E（2b，0）.∴S＝12OE·CO＝12×2b×1＝b.②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即32＜b＜52，如图2，此时点E（3，32b-），D（2b－2，1）.∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE＋S△DBE)＝ 3－[12(2b－1)×1＋12×(5－2b)•(52b-)＋12×3(32b-)]（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，C1B1与OA相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM 为平行四边形,根据轴对称知，∠MED＝∠NED, 又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，由题可知，D（2b-2，1），E（2b，0），∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，∴HN=HE-NE=2-a，则在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1a a=-+，∴a=5 . 4.∴S四边形DNEM ＝NE·DH＝54．∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为54．类型四、直角坐标系中的几何问题4. 如图所示，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由轴对称的性质，可知∠FBD=∠ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F 、P 为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是唯一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E 、F 、P 为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解. 【答案与解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF ，在Rt △EBF 中,∠B=90°，∴EF=5212222=+=+BF EB .设点P 的坐标为(0,n),n ＞0,∵顶点F(1,2), ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a ≠0)．①如图1，当EF=PF 时，EF 2=PF 2，∴12+(n-2)2=5，解得n 1=0(舍去)，n 2=4. ∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得a=2， ∴抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．②如图2，当EP=FP 时，EP 2=FP 2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=－25(舍去)③当EF=EP 时，EP=5＜3，这种情况不存在. 综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．(3)存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小．如图3，作点E 关于x 轴的对称点E′，作点F 关于y 轴的对称点F′，连结E′F′，分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，则点M 、N 就是所求. 连结NF 、ME. ∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′. ∴BF′=4，BE′=3. ∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=F′E′=2243 =5. 又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5， 此时四边形MNFE 的周长最小值为5+5.【总结升华】本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏，最简分类常见的依据是：一是依据概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清哪两条边是对应边；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式．类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题5. 如图所示，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积Ｓ＝ ________（n 为正整数）．B 2B 1A 1BOA【思路点拨】本题要先根据已知的条件求出S 1、S 2的值，然后通过这两个面积的求解过程得出一般性的规律，进而可得出S n 的表达式．【总结升华】本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值． 举一反三：【变式】阅读下面的文字，回答后面的问题．求3+32+33+…+3100的值． 解：令S=3+32+33+…+3100（1），将等式两边提示乘以3得到：3S=32+33+34+…+3101（2）， （2）-（1）得到：2S=3101-3问题：（1）2+22+…+22011的值为__________________；（直接写出结果）（2）求4+12+36+…+4×350的值；（3）如图，在等腰Rt△OAB中，OA=AB=1，以斜边OB为腰作第二个等腰Rt△OBC，再以斜边OC为腰作第三个等腰Rt△OCD，如此下去…一直作图到第8个图形为止．求所有的等腰直角三角形的所有斜边之和．（直接写出结果）．【答案】解：（1）22012-2．（2）令S=4+12+36+…+4×350 ①，将等式两边提示乘以3得到：3S=12+36+108+…+4×351②，②-①得到：2S=4×341-4∴S=2×351-2∴4+12+36+…+4×350=2×351-2．（3）92-2 2-1（）．。
专题四 代数与几何综合问题根本类型与解题策略 类型与策略 几何与代数综合题一般题量较大、梯度明显，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强题型，试题中综合题大多以代数与几何综合题形式出现，而且留有自主探究空间，表达个性开展与新课程标准理念，代数与几何大型综合题为以下类型：①在几何图形背景下建立函数或方程；②坐标系下几何图形；③函数图象与几何图形相结合问题：近几年来中考几何与代数综合题主要以压轴题形式出现，涉及到题型有关开放性探索问题、动点问题、存在性问题等居多．解答这类综合题，一般要仔细读题，细致分析，找到切入点，迅速解决第一问，然后抓住关键，由此及彼，逐层深入，合理猜测，细致演练确保第二问正确，在时间充裕情况下攻克第三问，需综合运用几何、代数方法及分类讨论思想逐一解决．规律与预测纵观遵义近5年中考，其综合压轴题，一般以二次函数为背景与几何图形综合，由浅入深设置多问，难度较大，考察方式综合运用知识与解决问题能力，预计2021年遵义中考压轴题也会是代数几何综合题，要有针对性剖析训练．第一节 用数学思想方法解决问题,中考重难点突破)数学思想方法是指对数学知识与方法形成规律性理性认识，是解决数学问题根本策略．数学思想方法提醒概念、原理、规律本质，是沟通根底知识与能力桥梁，是数学知识重要组成局部．数学思想方法是数学知识在更高层次上抽象与概括，它蕴含于数学知识发生、开展与应用过程中．中考常用到数学思想方法有：整体思想、化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它实质，就可以把所学知识融会贯穿，解题时可以举一反三．【例1】(2021遵义二中二模)如图，菱形ABCD 对角线长分别为3与4，P 是对角线AC 上任一点(点P 不与A ，C 重合)，且PE∥BC 交AB 于点E ，PF ∥CD 交AD 于点F ，那么图中阴影局部面积________．【学生解答】3【规律总结】在解题过程中，应仔细分析题意，挖掘题目题设与结论中所隐含信息，然后通过整体构造，常能出奇制胜．【例2】(2021随州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)局部图象如下图，图象上点(－1，0)，对称轴为直线x ＝2，以下结论：①4a＋b ＝0；②9a＋c>3b ；③8a＋7b ＋2c>0；④假设点A(－3，y 1)，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，y 2，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72，y 3在该函数图象上，那么y1<y3<y2；(5)假设方程a(x＋1)(x－5)＝－3两根为x1与x2，且x1<x2，那么x1<－1<5<x2.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个【学生解答】B【例3】(2021遵义六中二模)⊙O半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，那么AD长为________．【学生解答】1或3【规律总结】在几何题没有给出图形时，最好先画出图形，运用数形结合与分类讨论数学思想进展解答，防止出现漏解．【例4】(2021三明中考)如图，AB是⊙O直径，分别以OA，OB为直径作半圆．假设AB＝4，那么阴影局部面积是________．【学生解答】2π【规律总结】此类题就是化未知为、化繁为简、化难为易，通过一定策略与手段，使复杂问题简单化，陌生问题熟悉化，抽象问题具体化．具体地说，比方把隐含数量关系转化为明显数量关系；把从这一个角度提供信息转化为从另一个角度提供信息，转化内涵非常丰富，与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题转机．模拟题区1．(2021遵义航中二模)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，假设△PAD与△PBC 是相似三角形，那么满足条件点P个数是( C)A．1个B．2个C．3个D．4个(第1题图)(第2题图)2．(2021红花岗二模)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如下图，那么以下结论：①ac＞0；②方程ax2＋bx＋c＝0两根之与大于0；③y随x增大而增大；④a －b＋c＞0，其中正确是( A)A．②B．②④C．①②④D．①②③④3．(2021金华中考)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH 垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，那么y关于x函数关系用图象大致可以表示为( D),A) ,B),C) ,D)4．(2021淄博中考)如图，△ABC面积为16，点D是BC边上一点，且BD＝14BC ，点G 是AB 上一点，点H 在△ABC 内部，且四边形BDHG 是平行四边形，那么图中阴影局部面积是( B )A ．3B ．4C ．5D ．6(第4题图)(第5题图)5．(2021岳阳中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b(k 、b 为常数，且k≠0)与反比例函数y ＝4x (x>0)图象交于A ，B 两点，利用函数图象直接写出不等式4x<kx ＋b 解集是__1<x<4__．6．(2021 遵义十一中二模)如图，正方形边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，那么图中阴影局部面积为__8－2π__．(结果用含π式子表示)中考真题区7．(2021 温州中考)假设a ＋b ＝22，ab ＝2，那么a 2＋b 2值为( B ) A ．6 B ．4 C ．3 2 D ．238．(2021凉山中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象如图，那么反比例函数y ＝－a x与一次函数y ＝bx －c 在同一坐标系内图象大致是( C ) ,A ) ,B ),C ) ,D )9．(2021 牡丹江中考)矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点P 是直线BD 上一点，且DP ＝DA ，直线AP 与直线BC 交于点E ，那么C E ＝__5－2或5＋2__．10．(2021德州中考)如图，半径为1半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧中点M 与圆心O 重合，那么图中阴影局部面积是__32－π6__．。
最新九年级数学必考要点分类汇编精华版中考数学复习专题 代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．典型例题精析 例1．有一根直尺的短边长2cm ，长边长10cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm ，如图1，将直尺的矩边DE 放置与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移如图2，设平移的长度为xcm （•0≤x ≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm 2．（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________； （2）当0<x ≤4时（如图2），求S 关于x 的函数关系式；（3）当4<x<10时，求S 关于x 的函数关系式，并求出S 的最大值（同学可在图3、•图4中画草图）解析：（1）2；2．（2）在Rt △ADG 中，∠A=45°， ∴DG=AD=x ．同理EF=AE=x+2，∴S 梯形DEGF =12（x+x+2）×2=2x+2， ∴S=2x+2．（3）①当4<x<6时，（如图5） GD=AD=x ，EF=EB=12-（x+2）=10-x ，则S △ADG =12x -2，S △BEF =12（10-x ）2， 而S △ABC =12×12×6=36，∴S=36-12x 2-12（10-x ）2=-x 2+10x-14， S=-x 2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5（4<5<6）时，S 最大值=11．②当6≤x<10时（如图6）， BD=BG=12-x ，BE=EF=10-x ，S=12（12-x+10-x ）×2=22-2x ， S 随x 的增大而减小，所以S ≤10．由①、②可得，当4<x<10时，S 最大值=11．例2．如图所示，点O 2是⊙O 1上一点，⊙O 2与⊙O 1相交于A 、D 两点，BC⊥AD，垂足为D ，分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C 两点，延长DO 2交⊙O 2于E ，交BA 的延长线于F ，BO 2交AD 于G ，连结AG ．•（1）求证：∠BGD=∠C ；（2）若∠DO 2C=45°，求证：AD=AF ；（3）若BF=6CD ，且线段BD 、BF 的长是关于x 的方程x 2-（4m+2）x+4m 2+8=0•的两个实数根，求BD 、BF 的长．解析：（1）∵BC ⊥AD 于D ， ∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AB 、AC 分别为⊙O 1、⊙O 2的直径．∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°， ∴∠BGD=∠C ．（2）∵∠DO 2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O 2D=O 2C ，∴∠C=∠O 2DC=12（180°-∠DO 2C ）=67.5°， ∴∠4=22.5°， ∵∠O 2DC=∠ABD+∠F ， ∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF ．（3）∵BF=6CD ，∴设CD=k ，则BF=6k ． 连结AE ，则AE ⊥AD ，∴AE ∥BC ，∴AE AFBD BF∴AE ·BF=BD ·AF ． 又∵在△AO 2E 和△DO 2C 中，AO 2=DO 2∠AO2E=∠DO2C， O2E=O2C，∴△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k，∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0，解得：BC=3k或BC=4k．当BC=3k，BD=2k．∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．整理，得：4m2-12m+29=0．∵△=（-12）2-4×4×29=-320<0，此方程无实数根．∴BC=3k（舍）．当BC=4k时，BD=3k．∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4，∴原方程可化为x2-18x+72=0，解得：x1=6，x2=12，∴BD=6，BF=12．中考样题训练1．已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x<1时，y随着x的增大而增大，当x>1时，y 随x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、•B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？2．如图，已知圆心A （0，3），⊙A 与x 轴相切，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上，且⊙B 与⊙A 外切于点P ，两圆的公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N ．（1）若sin ∠OAB=45，求直线MP 的解析式及经过M 、N 、B 三点的抛物线的解析式； （2）若⊙A 的位置大小不变，⊙B 的圆心在x 轴的正半轴上移动，并使⊙B 与⊙A 始终外切，过M 作⊙B 的切线MC ，切点为C ，在此变化过程中探究： ①四边形OMCB 是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M 、N 、B 三点的抛物线内是否存在以BN 为腰的等腰三角形？若存在，•表示出来；若不存在，说明理由．3．如图，已知直线L 与⊙O 相交于点A ，直径AB=6，点P 在L•上移动，连结OP 交⊙O 于点C ，连结BC 并延长BC 交直线L 于点D ．（1）若AP=4，求线段PC 的长；（2）若△PAO 与△BAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积．（•答案要求保留根号）LA yM CBA xPO N考前热身训练1．如图，已知A 为∠POQ 的边OQ 上一点，以A 为顶点的∠MAN 的两边分别交射线OP 于M 、N 两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN 为以点A 为旋转中心，AM 边从与AO•重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN 保持不变）时，M 、N 两点在射线OP•上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x ，ON=y （y>x ≥0），△AOM 的面积为S ，若cos α、OA•是方程2z 2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN 旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N 移动的距离；（2）求证：AN 2=ON ·MN ； （3）求y 与x 之间的函数关系式及自变量量x 的取值范围；（4）试写出S 随x 变化的函数关系式，并确定S 的取值范围．2．如图，已知P 、A 、B 是x 轴上的三点，点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0），•且PA ：AB=1：2，以AB 为直径画⊙M 交y 轴的正半轴于点C ． （1）求证：PC 是⊙M 的切线；（2）在x 轴上是否存在这样的点Q ，使得直线QC 与过A 、C 、B•三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）画⊙N ，使得圆心N 在x 轴的负半轴上，⊙N 与⊙M 外切，且与直线PC 相切于D ，•问将过A 、C 、B 三点的抛物线平移后，能否同时经过P 、D 、A 三点？为什么？M A Q P O N答案:中考样题看台1．（1）k=1，抛物线解析式y=-x2+2x+3（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）（3）∵⊙O′过A、B两点，∴O′在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有MP×MN=MA×MB，4MN=2×2，∴MN=1，•PN=5，O′P=52<PM，∴O′点在x轴上方，∴O′M=32，∴O′（1，32）．（4）①过B点作⊙O′的切线交y轴于点G，直线BO′交y轴于点E，可求出直线BO•′的解析式为，y=-34x+94，∴E（0，94），∵BG是⊙O′的切线，BO⊥EG，∴BO=OE×OG，∴OG=4，•∴G（0，-4），求出直线BG的解析式为y=43x-4．②-4<m<0．2．（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=45，cos∠OAB=35，∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2．•在Rt△APM中，APAM=cos∠OAB=35，∴AM=5，OM=2，∴点M（0，-2），又△NPB∽△AOB，∴BN AB BP OB，∴BN=52，•∴ON=32，∴点B（32，0），设MP的解析式为y=kx+b，∵MP经过M、N两点，∴MP的解析式为y=43x-2，设过M、N、B的抛物线解析式为y=a（x-32）（x-4）且点M（0，-2）在其上，可得a=-13，即y=-13x2+116x-2．（2）①四边形OMCB是矩形．证明：在⊙A不动，⊙B运动变化过程中，恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，∴△AOB≌△APM，∴OB=PM，AB=AM，∴PB=OM ，而PB=BC ，∴OM=BC ，由切线长定理知MC=MP ，∴MC=OB ， ∴四边形MOBC 是平行四边形， 又∵∠MOB=90°，∴四边形MOBC 是矩形．②存在，由上证明可知，Rt △MON ≌Rt △BPN ， ∴BN=MN ．因此在过M 、N 、B 三点的抛物线内有以BN 为腰的等腰三角形MNB 存在，• 由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M ′与M 关于其对称轴对称， ∴BN=BM ′，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB 和△M ′NB ． 3．（1）∵L 与⊙O 相切于点A ，∴∠4=90°，∴OP 2=OA 2+AP 2， ∵OB=OC=12AB=3，AP=4， ∴OP 2=32+42，∴OP=5， ∴PC=5-3=2．（2）∵△PAO ∽△BAD ，且∠1>∠2，∠4=90°， ∴∠2=∠APO ，∴OB=OC ，∴∠2=∠3 ∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO ∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90° ∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°． 在Rt △BAD 中，∠2=∠APO=30°．∴AD=6sin30°=6×3过点O 作OE ⊥BC 于点E ∵∠2=30°，BO=3，∴OE=32，BE=3×cos30°=2，∴∴S 四边形OADC =S △BAD -S △BOC =12AB ·AD=12BC ·OE=12×6×12×3294154．考前热身训练1．（1）易知OA=2，cos α=12，∠POQ=∠MAN=60°， ∴初始状态时，△AON 为等边三角形，•∴ON=OA=2，当AM 旋转到AM ′时，点N 移动到N ′， ∵∠OAM ′=30°，∠POQ=∠M ′AN•′=60°，∴∠M ′N ′A=30°，在Rt △OAN 中，ON ′=2AO=4， ∴NN ′=ON ′-ON=2，∴点N 移动的距离为2．（2）易知△OAN ∽△AMN ，∴AN 2=ON ·MN ．（3）∵MN=y-x ，∴AN 2=y 2-xy ，过A 点作AD ⊥OP ，垂足为D ，可得OD=1， ∴DN=ON-OD=y-1，在Rt △AND 中，AN 2=AD 2+DN 2=y 2-2y+4， ∴y 2-xy=y 2-2y+4，即y=42x-． ∴y>0，∴2-x>0，即x<2，又∵x ≥0，∴x 的取值范围是：0≤x<2．（4）S=12·OM ·，∵S 是x 的正比例函数，且比例系数2>0，∴0≤S<2·2．即0≤2．（1）易知⊙M 半径为2，设PA=x ，则x ：4=1：2⇒x=2，由相交弦定理推论得OC=OA ．OB=1×3，2=PO 2+OC 2=32+2=12，PM 2=42=16，MC 2=22=4，∴PM 2=PC 2+MC 2，∴∠PCM=90°．（2）易知过A 、C 、B 三点的抛物线的解析式为（x+1）（x-3），•假设满足条件的Q 点存在，坐标为（m ，0），直线QC 的解析式为y=-m∵直线QC 与抛物线只有一个公共点，∴方程x+1）（x-3）∴（2+3m）2=0，∴m=-32，即满足条件的Q 点存在，•坐标为（-32，0）；（3）连结DN ，作DH ⊥PN ，垂足为H ，设⊙N 的半径为r ，则∵ND ⊥PC ， ∴ND ∥MC ，∴DN PN MC PM =，∴224r r -=， ∴r=23，∵DN 2=NH ·NP ，∴（23）2=NH·（2-23），∴NH=13，∴D（-2∵抛物线y=-3（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为y=-3（x+•1）（x+3）又经验证D是该抛物线上的点，∴将过A、C、B三点的抛物线平移后能同时经过P、D、A三点．。
