《勾股定理和逆定理》课堂学案
1．下列条件：①b2＝c2﹣a2；②∠C＝∠A﹣∠B；③a：b：c＝：：；
④∠A：∠B：∠C＝3：4：5，能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．直角三角形三边的长分别为3、4、x，则x可能取的值为（ ）
A．5 B．6或 C．5或 D．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）A．5 B．9 C．16 D．25
4．如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（ ）A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
5．如图，在高3米，坡面AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需（ ）
A．4米 B．6米 C．7米 D．8米
6．△ABC中，AB＝20，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的面积为（ ）
A．66 B．126 C．54或44 D．126或66
7．将一根长为30cm的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和24cm的长方体有盖盒子中，在M处是盒子的开口处，设细木棒露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是 ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝
，CD＝ ．
9．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度
AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为
米．
10．如图是株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为3，7，1，3．则最大的正方形E的面积是 ．
勾股定理及逆定理的综合应用
一、勾股定理的逆定理
逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理说明：
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
②在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
二、实际应用定理中的注意问题
1. 定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边；
2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
三、勾股定理逆定理的几种典型应用
总结：
1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；
2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。
例题1 如图，△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，则BC的长为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
解析：延长AD至E使ED=AD，利用好“AD是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD的长度了，再根据BC=2BD，所以BC的长也就求出了。
答案：解：延长AD至E，使DE=AD；连接BE，
∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17，
在△ADC和△EDB中，AD＝DE
∵∠ADC＝∠EDB BD＝CD， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289，
【才．恩】 【思维纵横】 勾股定理的逆定理应用探究 江苏新沂●刘莉 《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》（以下简称《课标》）在 课程“目标与内容”七学段 九学段中指出：“探索勾股定理及其 逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。”勾股定理及其 逆定理是初中数学中非常重要的定理，华罗庚把它称为“茫茫宇 宙星际交流的语言”，西方一些国家把它称为“毕达哥拉斯定理”。 勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三边的数量关系，体现了 “数形统一”的数学思想。勾股定理和它的逆定理不但是解直角三 角形的重要依据，而且是各省市中考必考的知识点，同时在实际 生活中的应用也十分广泛。这里我们不探索勾股定理的应用，只 探索勾股定理的逆定理的应用。笔者在长期的初中数学教学中发 现，有许多学生在涉及到判断三角形的形状、计算图形的面积时， 还是不知道应该如何利用勾股定理的逆定理来解决问题。由于勾 股定理及其逆定理把直角三角形中有一个直角的“形”的特征，转 化为三边之间的“数”的关系，也就是把几何学与代数学有机地结 合在一起了。因此，我们应用勾股定理的逆定理抽象出数学方程 模型或者进行图形的转化是 断三角形的形状、计算图形的面积 问题的一种行之有效的方法。在应用勾股定理的逆定理解决问题 的时候，一定要让学生去思考、讨论、交流甚至是探究，让他们经 历解题的过程，最终树立“数形结合”的数学思想和方法，正如《课 标》所说：“它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程 和蕴含的数学思想方法。”下面，笔者就勾股定理的逆定理的应用 谈谈自己的看法。 ， 一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 例ｌ：已知在三角形中，ａ、ｂ、ｃ分别是它的三边，并且ａ＋ｂ＝ｌＯ， ａｂ＝１８，ｃ＝８，判断三角形的形状。 分析：由于题目中涉及两边之和与两边的积，所以先结合完 全平方公式得出ａ２＋ｂｚ的值，再检验ａ２＋ｂ 与ｃ 的大小，就可以得 ． 出相应的结论。 Ｄ 图１ 所以，凡是给出三角形的三边或者边 之间的关系判断三角形的形状，都应考虑 应用勾股定理的逆定理来进行判断。 Ｃ 变式训练：如图ｌ所示，已知：在ＡＡＢＣ 中，ＡＢ＝Ｉ３，ＢＣ＝１０，ＢＣ边上的中线ＡＤ＝１２。 求证：△ＡＢＣ是等腰三角形。 二、利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合计算图形的面积 例２：如图２所示，已知在四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢＣ＝９０。， ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＤ＝１２，ＣＤ＝１３。求四边形ＡＢＣＤ的面积。 分析：由于这是不规则的四边形，所以不能直接计算面积，可 根据题目所给数据特征，联想勾股数，先连接ＡＣ，转化成两个三 角形的面积之差，并判断两个三角形的 形状，就可以实现四边形向三角形转 化，得出相应的结论。所以，计算不规则 的四边形的面积，一般要通过构造直角 三角形再利用三角形的面积的和或差 进行计算。 Ａ 图２ Ｄ 变式训练：如图３所示，已知四边形ＡＢＣＤ中，／＿Ｂ＝９０。， ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＣＤ＝１２，ＡＤ＝Ｉ３，求四边形ＡＢＣＤ的面积。 以上我们讨论了利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 以及利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合的方式计算图形的 面积的问题，利用这种方法应该说是 一种比较简捷、有效的方法。我们在引 导学生利用勾股定理的逆定理解决实 际问题时，一定要让学生进行变式训 练，并进行一题多解、一题多练，从而达 到举一反三、触类旁通的目的。同时， Ｃ Ａ 图３ Ｄ 我们还要注意发挥学生的主体作用，让学生主动地去发现问题、 探究问题进而解决问题，从而培养学生的思维能力和创新能力。 《课标》指出：“教师要处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学 生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学 知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动 经验。”让学生掌握基本的数学知识和基本的数学技能不是最根 本的目的，最根本的目的是通过数学学习，训练学生的思维能力， 提高他们的创新性和创造性。 在学习和应用勾股定理的逆定理过程中，我们可以结合“综 合与实践”课给学生灌输“生活数学”的思想。《课标》指出：“‘综合 与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方 法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积 累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。”我们要遵循 《课标》的要求和教学理念，灵活地应用勾股定理的逆定理，把勾 股定理的逆定理的应用同实际生活紧密地联系在一起。我们要让 学生明白：数学知识来源于生活，但又要应用于生活。没有生活就 没有数学知识，数学知识如果不应用于生活，也就失去了数学知 识的价值。 总之，勾股定理的逆定理的应用是十分广泛的。我们在引导 学生应用勾股定理的逆定理时，一定要注意方式、方法，让学生灵 活地掌握和应用。 （江苏省新沂市瓦窑中学） 条件的改变对水电离平衡的影响 山东胶州●潘曰芹 盐类的水解是《化学反应原理》的重要内容，而水的电离是重 点也是难点，许多教师在讲解水的电离时花费Ｔ￣ｆｌ￣大的精力，但收 效不佳。如何突破这一难点，让学生易于理解，并能灵活应用，就 成了一个重要课题。在这里我结合多年的教学与实践，谈谈个人 的做法。 回８４【２０１３．１ ０】 水的电离的难点在于真正理解条件的改变对水电离平衡的 影响，本文着重剖析讨论水电离的内涵，深入探讨条件的改变对水 电离平衡的影响。 ２５￣Ｃ￣水中，ｃ（Ｈ￣）＝ｃ（ＯＨ－）＝１０－７ｍｏ１．Ｌ－Ｉ，水的离子积Ｋｗ为１Ｏ 。 在任何稀溶液中，水电离出的Ｈ＋永远等于水电离出的ＯＨ一，
勾股定理及逆定理
1.勾股定理的基本概念
Rt△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c则222cba,222bca,222acb（c为三角形的斜边）
2.勾股定理的证明
如图,小正方形的面积421)(22abbac,化简即222cba.
b a
a c c b
c c
b a
a b
3. 勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足222cba,222bca,222acb之一,那么这个三角形一定是直角三角形.
4.勾股定理及逆定理的综合应用
运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决一些实际问题.
例题精讲
知识点一 勾股定理的基本概念
例1.在Rt△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,那么下列等式一定成立的是( )
A.222cba B.222bca C．222acb D．222acb
训练1-1. 下列四组数据均为三条线段的长度,其中能作为Rt△ABC三边的是( )
A.1cm,2cm,3cm B．3cm,4cm,5cm C．7cm,12cm,13cm D．1cm,1cm,3cm
知识点二 勾股定理的验证
例2.如图,是一个由两个全等的斜边为c,两直角边分别为a,b的直角三角形和一个两直角边均为c的直角三角形组成的图形,试用这个图形证明勾股定理.
b c
c
