第03讲勾股定理的应用
1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题。
2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．
知识点1：勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角
形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方
进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的
结论．本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题
类型一、应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
类型二、应用勾股定理解决旗杆高度
类型三、应用勾股定理解决小鸟飞行的距离
类型四、应用勾股定理解决大树折断前的高度
类型五、应用勾股定理解决水杯中的筷子问题
类型六、应用勾股定理解决航海问题
类型七、应用勾股定理解决河的宽度
类型八、应用勾股定理解决汽车是否超速问题
类型九、应用勾股定理解决是否受台风影响问题
类型十、应用勾股定理解决选扯距离相离问题
类型十一、应用勾股定理解决几何图形中折叠问题
知识点2：平面展开图-最短路径问题几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解考点一：应用勾股定理解决梯子滑落高度问题
例1．（2023春•潮阳区校级期中）如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙
上，这时梯子底端离墙（BO）6米
（1）此时梯子顶端A离地面多少米？
（2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？
【答案】（1）8米（2）米
【解答】解：（1）∵AB＝10米，BO＝6米，梯子距离地面的高度米，
答：此时梯子顶端离地面8米；
（2）∵梯子下滑了3米，即梯子距离地面的高度CO＝8﹣3＝5米，∴米，∴米，即下端滑行了米．答：梯子底端将向左滑动了米．
【变式1】（2023春•北辰区期中）如图梯子斜靠在竖直的墙AO，AO长为24dm，OB为7dm．
（1）求梯子AB的长；
（2）梯子的顶端A沿墙下滑4dm到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．
第2课时 勾股定理及其逆定理的综合应用
姓名：
基础题
知识点1 勾股定理逆定理的应用
1．在一根长为30个单位长度的绳子上，分别标出A，B，C，D四个点，将绳子分成长为5个单位长度，12个单位长度和13个单位长度的三条线段．自己握住绳子的两个端点(A点和D点交于一处)，两个同伴分别握住B点和C点，将绳子拉成一个几何图形，会得到( ) A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不能组成三角形
2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40 m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B.若A，B两点的直线距离为1 000 m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )
A．南偏东60° B．南偏西60°
C．北偏西30° D．南偏西30°
3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列选项中正确的是( )
A B C D
4．某小区的一所健身中心的平面图如图所示，活动区是面积为200 m2的长方形，其长为20 m，餐饮区是一个半圆形，面积为4.5π m2，休息区是一个三角形，边AE＝8 m，求休息区的面积．
知识点2 勾股定理及其逆定理的综合应用
5．如图，正方形网格中的△ABC.若小方格边长为1，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
6．如图是一个零件的示意图，测量AB＝4 cm，BC＝3 cm，CD＝12 cm，AD＝13 cm，∠ABC＝90°，根据这些条件，你能求出∠ACD的度数吗？试说明理由．
7．如图，已知点C是线段BD上的一点，∠B＝∠D＝90°.若AB＝3，BC＝2，CD＝6，DE＝4，AE＝65.
一、教学目标
1. 知识与技能：
（1）理解勾股定理及逆定理的概念；
（2）学会运用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2. 过程与方法：
（1）通过探究勾股定理及逆定理的证明过程，培养学生的逻辑思维能力；
（2）运用勾股定理及逆定理进行几何图形的计算和设计。
3. 情感态度与价值观：
（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；
（2）感受数学在生活中的应用，培养学生的应用意识。
二、教学重点与难点
1. 教学重点：
（1）勾股定理及逆定理的概念；
（2）运用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2. 教学难点：
（1）勾股定理及逆定理的证明过程；
（2）复杂几何图形的计算和设计。
三、教学准备
1. 教具准备：
（1）黑板、粉笔；
（2）多媒体教学设备； （3）几何模型和道具。
2. 学具准备：
（1）练习本；
（2）三角板；
（3）直尺、圆规。
四、教学过程
1. 导入新课：
（1）复习已学过的勾股定理及其应用；
（2）引入逆定理的概念，激发学生的好奇心。
2. 探究勾股定理及逆定理：
（1）引导学生通过观察、操作、推理得出勾股定理的证明过程；
（2）引导学生发现逆定理的证明过程，巩固知识。
3. 运用勾股定理及逆定理解决问题：
（1）设计不同难度的练习题，让学生独立完成；
（2）选取典型的实际问题，引导学生运用勾股定理及逆定理解决。
4. 课堂小结：
（1）回顾本节课所学内容，总结勾股定理及逆定理的应用；
（2）强调学生在课堂上的积极参与和优秀表现。
五、课后作业
1. 巩固练习：
（1）完成练习本上的相关习题；
（2）选取一道实际问题，运用勾股定理及逆定理解决。 2. 拓展延伸：
（1）查阅资料，了解勾股定理及逆定理在古代数学中的应用；
（2）尝试创造自己的几何图形，运用勾股定理及逆定理进行计算和设计。
六、教学反思
1. 教师反馈：
（1）总结学生在课堂上的表现，表扬优秀学生；
（2）针对学生的掌握情况，提出改进教学的方法和策略。
第三讲 中考中的勾股定理应用
【典型例题A】
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．
【变式】在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．
2、如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．
【变式】已知，△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
3、已知如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，D是BC上的一点，且AD⊥AC，求BD的长．
【变式】如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，BD＝，AE⊥BC于E，求AE的长.
4、如图①所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用表示，则不难证明．
(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示，那么之间有什么关系?(不必证明)
(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用表示，请你确定之间的关系并加以证明．
5、如果ΔABC的三边分别为，且满足，判断ΔABC的形状.
类型三、勾股定理的实际应用 6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A处爬到B处的最短路线长为多少?
【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.(π取3)
【典型例题B】
类型一、勾股定理及逆定理的应用
1、如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝，AB＝，BC，E是AB上一点，且AE＝，求点E到CD的距离EF．
【变式】如图所示，在△ABC中，D是BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．
