第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
学习目标：1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题；
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
重点：灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
难点：将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.
一、知识回顾
1.你能说出勾股定理及其逆定理的内容吗？
2. 快速填一填：(1)已知△ ABC中，BC=41,AC=40,AB=9,则此三角形为_______三角形，_________是最大角;
(2)等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高是__________cm.
一、要点探究
探究点1：勾股定理的逆定理的应用
典例精析
例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：题目已知“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离，实质是要求
出两艘船航向所成角，由此容易联想到勾股定理的逆定理.
方法总结:解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数学知识求解.
变式题 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 课堂探究 自主学习 教学备注
学生在课前完成自主学习部分
配套PPT讲授
1.情景引入
（见幻灯片3-5）
17.2.2勾股定理逆定理的应用
核心素养目标：
1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；
2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题；
3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
教学重难点：
重点：进一步理解勾股定理的逆定理；
难点：勾股定理逆定理的灵活应用；
教学过程：
一、复习导入
1.我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？
2.你能用勾股定理及其逆定理解决哪些问题？
二、互助探究
探究点一：利用勾股定理的逆定理解答角度问题
例题讲解：例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
探究点二：利用勾股定理的逆定理解答面积问题
例2已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝
13,求四边形ABCD的面积.
跟踪练习：如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m.求这块地的面积.
探究点三：利用勾股定理的逆定理解答检测问题
例3 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
跟踪练习：一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?
三、课堂小结
1．利用勾股定理逆定理求角的度数
2．利用勾股定理逆定理求线段的长
3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
四、课堂检测
1.如图，直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
勾3股4弦5怎么实际运用
勾三股四弦五的原理(勾3股4弦5是勾股定理的一个特例),本文通过数据整理汇集了勾三股四弦五的原理(勾3股4弦5是勾股定理的一个特例)相关信息，下面一起看看。
欧老师上课说，我来讲，你学。
一：勾股定理
1.勾股定理：当一个三角形是直角三角形时，
有:斜边的平方等于两条直角边的平方之和。
c=a b
例如：
勾股定理：比如在直角三角形ABC，a，b中，两边都是直角，C是斜边；
甲、乙、丙有如下关系。
c=a b
两个直角的平方和等于斜边的平方。
二：勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理：如果三角形的三条边相交：
c=a b
那么这个三角形就是直角三角形。
例如： 勾股定理逆定理：如果知道三角形中的三条边满足以下条件：
c=a b
那么能相对的三角形就是直角三角形。
三：挂钩股份的数量
如果，三个符合c=a b的数称为一组勾股数，
比如3，4，5；5、12、13等。
所以，像3，4，5这样的数字是一组毕达哥拉斯数。
四：勾股定理的实际应用
1.下列几组数字中，不属于股票的是()
甲：3，4，5乙：6，8，10
丙：12，16，20丁：32，42，52
解析：满足c=a b的一组数叫做毕达哥拉斯数。
2.图为一棵美丽的毕达哥拉斯树，其中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形。如果正方形A、B、C和D的面积分别是5、7、3和5，那么最大的正方形E的面积是()
甲：108乙：50
第20天第12天
解析：勾股定理的应用。
因此：ab=f
c d=g f g=e
因为：A，B，C，D，E，F，G都是正方形。
是a的面积。
b是b的面积。
c是c的面积。
d是d的面积。
f是f的面积。
g是g的面积。
面积的相加，所以是勾股定理的实际运算。
总结:勾股定理主要是关于三角形内角的理解。一般的计算主要集中在角点之间的关系。同时，对于角点，有时会巧妙地运用勾股定理的逆定理。
勾股定理及逆定理的综合应用
一、勾股定理的逆定理
逆定理
如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理说明：
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
②在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若222abc时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
二、实际应用定理中的注意问题
1. 定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边；
2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
三、勾股定理逆定理的几种典型应用
总结：
1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；
2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。
例题1 如图，△ABC中，AB=15，AC=8，AD是中线，且AD=8.5，则BC的长为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
解析：延长AD至E使ED=AD，利用好“AD是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD的长度了，再根据BC=2BD，所以BC的长也就求出了。
答案：解：延长AD至E，使DE=AD；连接BE，
∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17，
在△ADC和△EDB中，AD＝DE
∵∠ADC＝∠EDB BD＝CD， ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE=AC=8，BE2+AB2=82+152=289，AE2=172=289，
