二次根式化简的方法与技巧

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精品资料 二次根式化简的方法与技巧

二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：

①先将式中的二次根式适当化简

②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式abba 0,0ba

③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算．

④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．

⑤运算结果一般要化成最简二次根式．

化简二次根式的常用技巧与方法

所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。

二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。

一、巧用公式法

例1.计算 bababababa2

分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与b成立，且分式也成立，故有,0,0ba)0(ba而同时公式：),)((,222222babababababa可以帮助我们将baba2 和 ba 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。

解：原式

babababababababa22)()())((2

二、适当配方法。

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精品资料 例2．计算：32163223

分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有321其分子必有含321的因式，于是可以发现221223，且21363，通过因式分解，分子所含的321的因式就出来了。

解：原式

21321)21(3)21(321632232

三、正确设元化简法。

例3：化简53262

分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a2，,6,3,5abbc正好与分子吻合。对于分子，我们发现222cba所以0222cba，于是在分子上可加0222cba，因此可能能使分子也有望化为含有cba因式的积，这样便于约分化简。

解：设,5,3,2cba

则,622ab

且0222cba

所以：

5322222222cbacbacbacbacbacbacbacbaabcbaab

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精品资料 四、拆项变形法

例4，计算76655627

分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。通过约分化简，如转化成：baabba11再化简，便可知其答案。

解：原式

76657676656576657665

576756761651

五、整体倒数法。

例5、计算13251335

分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式：baabba11，化简但还要通过折项变形，使其具有公因式。 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 解：设13251335A

21523521335113113351335133513251A则

215152A所以

借用整数“1”处理法。

例6、计算63232231

分析：本例运用很多方面的知识如： ba.23231和×22baba，然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。

解：原式

632236232363232232323 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 23623)623)(23(

六．恒等变形整体代入结合法

例7：已知 )57(21x , )57(21y，求下列各式的值。

（1）22yxyx; (2)xyyx

分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，

如xyyxyxyx3)(222，然后再约分化简。

解：因为: )57(21x，)57(21y，

所以：21,7xyyx。

211213)7(3)(2222xyyxyxyx

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精品资料 1221212)7(22222xyxyyxxyyxxyyx

七、降次收幂法：

例8、已知32x，求725232xxx的值。

分析：本例运用了使题中2次幂项转化成1次方的项再化简。如例题中把多项式142xx转化为4x－1，这样进行低次幂运算就容易了。

解：由32x,得32x。3)2(2x 整理得：2x= 4x－1。

所以：

310222)32(1052)14(35232xxxx ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 3327)32(272x

所以原式

33744233231022

二次根式的化简与计算的策略与方法

1．公式法

【例1】计算①； ②

【解】①原式

②原式

【解后评注】以上解法运用了“完全平方公式”和“平方差公式”，从而使计算较为简便．

2．观察特征法

【例2】计算：

【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以，即得分子，于是可以简解如下：

【解】原式．

【例3】 把下列各式的分母有理化．

（1）；（2）（）

【方法导引】①式分母中有两个因式，将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示我们可以用如下解法：

【解】①原式

【方法导引】②式可以直接有理化分母，再化简．但是，不难发现②式分子中的系数若为“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，②可以解答如下：

【解】②原式

3．运用配方法 ______________________________________________________________________________________________________________

精品资料 【例4】化简

【解】原式

【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于“”

4．平方法

【例5】化简

【解】∵

∴．

【解后评注】对于这类共轭根式与的有关问题，一般用平方法都可以进行化简

5．恒等变形公式法

【例6】化简

【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式，则使运算简化．

【解】原式