辛普森公式余项

Simpson算法及其推广形式摘要：本文研究了辛普森公式的数值积分的计算方法问题，并且更进一步研究了变步长复化的辛普森公式和二重积分的辛普森公式的问题。

首先是对一维辛普森公式和变步长复化辛普森公式以及二维辛普森公式的推导及其算法，进行误差分析，并且列举了实例。

然后，对辛普森公式进行改进，这里的改进最主要是对辛普森公式的代数精度进行提高，从而使辛普森公式对积分的计算更加精确。

另外，还研究了辛普森公式的推广形式。

最后，在结论的当中列举了一个例子。

关键词：辛普森公式算法改进推广形式二重积分的辛普森公式Abstract：This paper first studies the calculation methods of the numerical integration in simpson formula, and then study of the long-simpsonformula and the double integral simpson formula problem. First, study thealgorithm and derived of one-dimensional simpson formula andstep-change in simpson formula, as well as two-dimensional simpsonformula, and then analysis the error. Finally , list the example. In this ,improve the simpson formula. This improved the most important is toincre ase the simpson formula’s accuracy of algebra. Besides, we study thesimpson formula’s promotion of forms. At the last, we list a example inthe conclusion.Key word:The simpson formula, Algorithm, Improve, Promotion of forms, The simpson formula of the two-dimensional integral.1 引言辛普森公式主要的研究数值积分（numerical integration）的。

牛顿-科特斯公式∑⎰=-≈ni i n i bax f C a b x x f 0)()()(d )( 科特斯(Cotes)系数)(n i C ，特点：Cotes 系数仅取决于 n 和 i ，可通过查表得到。

与被积函数 f (x) 及积分区间 [a, b] 均无关。

n = 1: 21,21)1(1)1(0==C C 为梯形求积公式)]()([2)(b f a f ab dx x f ba+-≈⎰梯形求积公式的几何意义：用梯形面积近似代替曲边梯形的面积梯形公式的余项为 )(12)(3ηf a b ''--代数精度 = 1n = 2:61,32,61)2(2)2(1)2(0===C C C Simpson 求积公式（为抛物线求积公式）)]()(4)([6)(2b f f a f ab dx x f ba ba++-≈+⎰ 辛普森公式的余项为 )()2(180)4(4ηf ab a b ---代数精度 = 3n = 4:科特斯(Cotes)求积公式（五点公式）)](7)(32)(12)(32)(7[90)(43210x f x f x f x f x f ab dx x f ba++++-≈⎰4/)( ,a b h h i a x i -=⋅+=柯特斯公式的余项为 )()4(495)(2)6(6ηf a b a b ---柯特斯公式具有5次代数精度科特斯系数具有以下特点：(1)10)(=∑=nin i C(2) )()(n i n n iC C -=(3) 当 n ≥ 8 时，出现负数，稳定性得不到保证。

而且当 n 较大时，由于Runge 现象，收敛性也无法保证。

一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。

当 n ≤ 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n +1 阶代数精度。

牛顿-柯特斯公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(a b -复化求积公式特点固定时1而节点个数,的长度较大],[当积分区间+n b a 直接使用牛顿-柯特斯公式余项将会较大增加时1即,而如果增加节点个数+n 当n>8时，公式的舍入误差又很难得到控制此时，使用复化方法，分成若干个子区间],[即将积分区间b a 然后在每个小区间上使用低阶牛顿-柯特斯公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加，这种方法称为复化求积法复化梯形求积公式n baT dx x f ≈⎰)( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h n k k复化梯形公式余项为 )(12)(2ηf h a b ''--误差是2h 阶⎰=→∞→ba n h n dx x f T )(lim 0即复化梯形公式是收敛的复化辛普森求积公式n ba S dx x f ≈⎰)( )]()(2)(4)([611121b f x f xf a f hn k k n k k +++=∑∑-=-=+公式的余项为复合,足够大时则Simpson nn n S I f R -=)( ()b a f h a b ,),(2180)4(4∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=ηη 误差是h4阶，⎰=→∞→ba nh n dx x f S )(lim复化辛普森公式是收敛的复化柯特斯求积公式nba C dxx f ≈⎰)()](7)(14)](32)(12)(32[)(7[90111434241b f x f xf xf x f a f na b n k k n kk k k +++++-=∑∑-=-=+++公式的余项同样可得复合],,[)(若6Cotes b a C x f ∈n C I - )(4945)(2)6(6ηf h a b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= ∞→n 时，复化柯特斯公式也是收敛的],[b a ∈η三种复化公式的的余项n T I - ∑=''⋅⋅-=nkk f h h2)(12η )(2h O =n S I - ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=nkk f h h 0)4(4)(2180η )(4h O =n C I - )(494520)6(6∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nk k f h h η )(6h O = 阶无穷小量6，4，2的分别是h 的速度依次更快趋于定积分,,即I C S T n n n。

SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY题目名称：复合梯形公式与复合辛普森公式对比学生姓名:学生学号:班级:学院(系):目录1.概述 (3)2.问题提出 (4)3.算法推导 (5)4.算法框图 (6)4.1复合梯形公式算法流程图 (6)4.2 复合辛普森公式算法流程图 (6)5.MATLAB源程序 (7)6.结论与展望 (8)图表目录图 4-1 复合梯形公式算法流程图 (6)图 4-2 复合辛普森公式算法流程图 (7)图 6-1 MATLAB计算结果 (9)表 2-1函数计算结果表 (4)1.概述梯形求积公式和辛普森求积公式分别是牛顿-科斯特公式中n=1和n=2时的情形。

其中梯形求积公式可表示为由于牛顿-科斯特公式在n≥8时不具有稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。

为了提高精度通常可把积分区间分成若干子区间（通常是等分），再在每个子区间上用低阶求积公式。

这种方法称为复合求积法。

本文主要讨论复合梯形公式和复合辛普森公式在同一数学问题中的应用。

首先给出了复合梯形公式和复合辛普森公式的推导过程以及其余项的表达形式，然后用流程图的形式介绍算法思路，再运用MATLAB编写代码计算结果，最后对结果进行对比讨论。

希望通过两个算法在同一个算例中的应用对比，更好的理解和掌握复合梯形公式和复合辛普森公式的适用范围和适用条件。

并且能够熟悉MATLAB编程求解问题的流程，掌握编程化的思想方法。

同时对两种方法的计算结果对比分析，讨论两种求积方法的计算精度。

2.问题提出对于函数 给出的函数表如下，试用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分 。

表 2-1函数计算结果表3. 算法推导3.1复合梯形公式根据梯形公式，将区间 划分为n 等份，分点 ,, ，在每个子区间上采用梯形公式，则得：记则 为复合梯形公式。

另外，复合梯形公式的余项可表示为2()()12n b a R f h f η-''=-3.2 复合辛普森公式根据辛普森公式将区间 划分为n 等份，在每个子区间 上采用辛普森公式。

实验5 复合辛普森公式李涛 201226100108 计自1201一、实验目的● 用复合辛普森公式计算积分dx x ⎰+482cos 1，使误差不超过-410（注意所给积分特点，做出相应的处理后再计算）二、实验步骤 1.算法原理复合辛普森原理：将区间],[b a 划分为n 等分，在每个子区间[]1,+k k x x 上采用辛普森公式，若记,2121h x x k k +=+则得 ● ∑⎰-===1)()(n k badx x f dx x f I● ).()]()(4)([6121f R x f x f x f h n n k k k k +++=∑-=+记● ∑-=+++=11)]()(4)([6n k k k k n x f x f x f h S● ],)()(2)(4)([6101121∑∑-=-=++++=n k n k k k b f x f x f a f h称为复合辛普森求积公式，其余项为● .),(),()2(180)(11)4(4∑-=+∈-=-=n k k k k k n n x x f h h S I f R ηη于是当],[)(4b a C x f ∈时，与复合梯形公式相似有 ● ),(),()2(180)()4(4b a f h a b S I f R n n ∈--=-=ηη 易知误差阶为4h ，收敛性是显然的，实际上，只要],[)(b a C x f ∈则可得到收敛性，即 ● ⎰=∞→ban n dx x f S )(lim此外，由于n S 中求积公系数均为正数，故知辛普森公式计算稳定。

2.算法步骤复合辛普森：首先将区间],[b a 划分为n 等分，在每个子区间[]1,+k k x x 上采用辛普森公式，若记,2121h x x k k +=+则得∑-=+++=1021)]()(4)([6n k k k k n x f x f x f h S ])()(2)(4)([6101121∑∑-=-=++++=n k n k k k b f x f x f a f h算法过程：这里将辛普森公式写为Sn()函数，然后在Solve()函数里依次计算S1,S2,S4,S6.......当相邻的精度小于eps 时退出循环，则S2n 保存结果。

第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。

（1）用单项式基底。

（2）用Lagrange 插值基底。

（3）用Newton 基底。

证明三种方法得到的多项式是相同的。

解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。

牛顿辛普森公式牛顿-辛普森公式是数学中的一个重要公式，它主要用于解决积分问题。

这个公式在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍牛顿-辛普森公式的原理、应用和注意事项。

一、牛顿-辛普森公式的原理牛顿-辛普森公式是一种数值积分的方法，基于泰勒级数展开。

它将一个函数近似表示为一个多项式，并通过求和得到该函数的近似值。

具体来说，牛顿-辛普森公式将积分区间分成若干个小区间，并在每个小区间的中点上取多项式的值，将这些值相加即可得到积分的近似值。

二、牛顿-辛普森公式的应用1. 数值积分：牛顿-辛普森公式主要用于数值积分。

当被积函数难以找到原函数或者积分区间较大时，使用牛顿-辛普森公式可以方便地得到积分的近似值。

2. 求解微分方程：通过数值积分的方法，牛顿-辛普森公式也可以用于求解微分方程。

通过离散化微分方程，可以将微分方程转化为代数方程组，然后求解代数方程组即可得到微分方程的近似解。

3. 近似计算：在科学计算中，许多函数都需要进行近似计算。

牛顿-辛普森公式可以用于这些函数的近似计算，例如计算函数的值、函数的导数值等。

三、注意事项1. 精度问题：牛顿-辛普森公式的精度取决于分区的数量和多项式的阶数。

为了提高精度，需要增加分区数量和多项式的阶数。

但是，增加这些参数也会增加计算的复杂度和计算时间。

因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。

2. 振荡问题：当被积函数在积分区间内存在多个峰值或谷值时，牛顿-辛普森公式可能会产生振荡现象，导致结果不准确。

此时，可以使用其他数值积分方法，例如复化梯形公式、复化辛普森公式等。

3. 收敛性：牛顿-辛普森公式是一种数值逼近的方法，其结果取决于所选取的近似多项式。

如果多项式的阶数过高，可能会导致计算结果发散，因此需要对多项式的阶数进行合理的选择。

4. 稳定性：在计算过程中，可能会遇到数值稳定性问题，例如舍入误差的累积。

为了提高计算的稳定性，可以使用更精确的数值计算方法，例如使用高精度的数学库进行计算。

辛普森(Simpson)公式是用于数值积分的重要方法之一，它可以更精确地计算定积分的值。

由于其高精度和易于理解的特点，辛普森公式被广泛运用于科学计算和工程领域。

本文将对辛普森公式的原理、推导过程以及应用进行详细介绍。

一、辛普森公式的原理辛普森公式是利用多项式的插值思想来逼近定积分的值。

其基本原理是将被积函数在每个小区间上用二次多项式来逼近，然后对所有区间上的二次多项式进行积分，最终得到整个函数的积分值。

辛普森公式的精度比较高，尤其适合于二次或四次多项式的积分计算。

二、辛普森公式的推导在区间[a,b]上进行积分，将区间等分成n段，每段长度为h=(b-a)/n。

设被积函数为f(x)，则辛普森公式的推导过程如下：1. 计算积分区间的分割点首先需要计算各个分割点的横坐标 xi(i=0,1,2,...,n)，即xi=a+ih(i=0,1,2,...,n)。

2. 计算每个分段上的积分值对于每个小区间 [xi-1,xi]，可以采用三点插值公式来逼近积分值：∫f(x)dx≈h/3*(f(xi-1)+4f((xi-1+xi)/2)+f(xi))3. 求和计算总的积分值将所有小区间上的积分值相加，即可得到整个区间[a,b]上的定积分值。

经过以上推导，可以得到辛普森公式的表达式为：∫f(x)dx≈h/3*(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+...+2f(xn-2)+4f(xn-1)+f(xn))三、辛普森公式的应用辛普森公式在数值积分中有着广泛的应用，尤其适用于被积函数光滑而且二次可微的情况。

在实际工程和科学计算中，经常需要对曲线和曲面进行积分计算，而辛普森公式可以提供比较精确的积分结果。

在概率统计学、信号处理、图像处理等领域，辛普森公式也被广泛运用。

在概率密度函数的计算中，可以利用辛普森公式来对密度函数进行积分，从而得到概率分布的特征参数。

辛普森公式作为一种数值积分的方法，具有计算精度高、易于编程实现等特点，因此在实际工程和科学计算中得到了广泛的应用。

行测辛普森公式
行测中的辛普森公式是用于求解定积分的一种公式，也称为三点公式。

它利用区间二等分的三个点来进行积分插值。

具体来说，它适用于被积函数f(x)在所考虑的区间内具有二阶导数，并且在这个区间上，f(x)的两个一阶导数
都不变号。

辛普森公式可以表示为：
∫(a,b)f(x)dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)+2sum(f(i/2) for i from 1 to n and i odd and i <= n)]
其中，a和b是积分的下限和上限，f(x)是被积函数，n是偶数。

在每个小
区间[a+(i-1)d, a+id]上，辛普森公式使用中点x=a+(i-1)d/2处的函数值
f(i/2)近似代替被积函数f(x)。

辛普森公式的误差可以表示为：
I-S<=1/24max(f''(x),f'(x))(b-a)^3/n^2
其中，I是积分值，S是辛普森公式的近似值，n是偶数，f''(x)和f'(x)分别
是被积函数f(x)的二阶导数和一阶导数。

这个误差公式表明，当n足够大时，辛普森公式的近似值将非常接近积分值。

需要注意的是，在使用辛普森公式时，应该确保被积函数f(x)在所考虑的区间内具有二阶导数，并且一阶导数没有变号零点。

如果不满足这些条件，辛普森公式可能不收敛或者误差较大。